Mechanika teoretyczna/Zasady zachowania w mechanice materiałów

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Zasady zachowania w mechanice materiałów

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wyprowadzimy tutaj prawa zachowania masy, a właściwie jej lokalną własność z globalnego zachowania masy, zasadę zachowania pędu, a także na samym końcu zasadę zachowania momentu pędu.

Lokalna zasada zachowania masy[edytuj]

Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu określaną przez:

(10.1)

Minus znajdującej się po lewej strony równości (10.1) ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest:

(10.2)

Równość (10.2) wstawiamy do równości (10.1), w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa:

(10.3)

Ponieważ całkowanie we wzorze (10.3) jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić:

(10.4)

Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów[edytuj]

Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe, ten wektor definiujemy:

(10.5)

Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

(10.6)

Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości , ona wynika z tego, że wektor jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość :

(10.7)

Jak można zauważyć, że wielkość (10.7) dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=ρdV.

(10.8)

Definicja siły F(c)i jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie (10.5) i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie (10.7), które to podstawimy do wzoru (10.8), w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości.

(10.9)

Ponieważ równość (10.7) jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w (10.9) jest zawsze równa zero:

(10.10)

Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu (10.10) możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń, które będziemy pisać:


(10.11)

Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń (10.11) do drugiego prawa Newtona (10.10), otrzymujemy:

(10.12)

Tensor naprężeń σij możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej jest:

(10.13)

Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor Rij jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu (10.10), w ten sposób dostajemy niestępujący wniosek jako równanie różniczkowe o charakterze wektorowym:

(10.14)

Moment sił w dynamice materiałów[edytuj]

Wzór (10.12), który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie:

(10.15)

Wykorzystując definicję momentu sił Ml i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie (10.15) za pomocą prawa o pochodnej iloczynu, wtedy możemy napisać tożsamość wedle sposobu:

(10.16)

Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero, co można pokazać w sposób:



(10.17)

Wyrażenie zapisane w punkcie (10.17) jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor jest tensorem symetrycznym, wtedy równość (10.16) jest równa wyrażeniu:

(10.18)

Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów[edytuj]

Równość (10.10) wymnażamy przez współrzędną prędkości vi, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody:

(10.19)

Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy (10.4) i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, mamy:


(10.20)

Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie (10.19), co po tej czynności otrzymujemy:

(10.21)

Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.20) i (10.21) możemy podstawić do równania (10.19), zatem po dokonaniu tejże operacji otrzymany wzór możemy napisać:

(10.22)

Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy wektorem Poyntinga, jego definicję piszemy:

(10.23)

Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem, stąd jego definicja:

(10.24)

Wtedy na podstawie tożsamości (10.24) możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości (10.22), mamy:


(10.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (10.25), którego wynik możemy wstawić do (10.22) i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące:

(10.26)

Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia Pi podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie jest opisane:

(10.27)

I wykorzystując fakt, że siły napięć Pi są wyrażone przez tensor napięcia σij (10.5), zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem jest napisana:

(10.28)

Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor σij jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem (9.41), to wtedy dla stanu równowagi zachodzi σij,j, wtedy możemy dokonać obliczenia:

(10.29)

Praca wykonana nad układem przez siły napięć (10.28) możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (10.29) jako całkę objętościową deformowanego ciała, co piszemy:

(10.30)

Wprowadźmy teraz funkcję Φ, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt (9.71), a także z symetryczności tensora σij, piszemy:


(10.31)

Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie (10.31), to wzór (10.22) możemy przepisać:

(10.32)

Równanie (10.32) możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu wiedząc, że (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: (9.70) (wzór w następniku implikacji)), a także nie zależy od czasu gęstość objętościowa masy, tzn. , i gęstość masowa siły, tzn.: , wtedy dochodzimy do wniosku:

(10.33)

Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie (10.33) wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu jako całkowanie po objętości zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia si nie zmienia się poza ciałem, mamy:

(10.34)

Wyrażenie (10.34) przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów podzielonej przez ten element objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Te energie energię kinetyczną T i potencjalną U wyrażamy:

(10.35)
(10.36)

A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej (10.35) i potencjalnej (10.36) jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej (10.34):

(10.37)

Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości ρ(p) i całkowaną względem ciśnienia:

(10.38)

Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi (10.38), dostajemy:

(10.39)

Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie (10.4) i pochodnej funkcji (10.38) względem współrzędnej j-tej, piszemy:


(10.40)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość (10.39), której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji (10.38) względem czasu i dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu:

(10.41)

Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez (10.13):


(10.42)

Mając ostateczny wzór (10.42) i definicję tensora napięć (10.13), zatem możemy napisać równość wynikająca z (10.26) dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych:

(10.43)

Lewa strona wzoru (10.43) opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej ciała zdeformowanego na ciepło.