Mechanika teoretyczna/Zasady zachowania w mechanice materiałów

Mechanika teoretyczna

Zasady zachowania w mechanice materiałów

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego 2Problem zderzenia cząstek 3Dynamika punktów masowych 4Ruch ciał ograniczonych więzami 5Układ ciał ograniczonych więzami 6Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona 7Teoria ciała sztywnego i giroskopu 8Kanoniczne metody mechaniki klasycznej 9Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny 10Zasady zachowania w mechanice materiałów 11Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a 12Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym 13Wprowadzenie do hydrodynamiki

Spis treści
1Lokalna zasada zachowania masy 2Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów 3Moment sił w dynamice materiałów 4Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów

Następny rozdział: Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a. Poprzedni rozdział: Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny.

Podręcznik: Mechanika teoretyczna.

Wyprowadzimy tutaj prawa zachowania masy, a właściwie jej lokalną własność z globalnego zachowania masy, zasadę zachowania pędu, a także na samym końcu zasadę zachowania momentu pędu.

Lokalna zasada zachowania masy

Będziemy liczyli ilość wypływania masy w jednostce czasu, zatem ilość masy jakie opuszcza daną objętość przestawiamy przy pomocy infinitezymalnego wektora powierzchni i wektora prędkości jakie obowiązują na tej omawianej powierzchni w danym punkcie z jaką wylatuje masa z tej powierzchni, którą to przecałkujemy po tej powierzchni. Możemy napisać jaka jest ilość wylatywanej substancji na jednostkę czasu określaną przez:

- \frac{d m}{d t} = \oint ρ \vec{v} d \vec{S}

(10.1)

Minus znajdującej się po lewej strony równości (10.1) ma znak ujemny, ponieważ masa ubywa z objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą. Z drugiej jednak strony całkowita masa znajdująca się w danej objętości przestawiana jest:

m = \int ρ d V

(10.2)

Równość (10.2) wstawiamy do równości (10.1), w ten sposób możemy napisać wzór przekształcając go dalej poniżej, w której wykorzystamy prawo Ostrogradskiego Gaussa:

- \frac{d}{d t} \int_{V} ρ d V = \oint ρ \vec{v} d \vec{S} \Rightarrow \int_{V} [\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ \vec{v})] d V = 0

(10.3)

Ponieważ całkowanie we wzorze (10.3) jest całkowanie po dowolnej objętości, to jedyną możliwością jest, że funkcja jej podcałkowa jest równa zero, co możemy ten wniosek przestawić:

\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ \vec{v}) = 0

(10.4)

Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów

Wprowadzimy tutaj wektor naprężeń, który to będziemy wprowadzać do drugiej zasady dynamiki Newtona, są to siły powierzchniowe, ten wektor definiujemy:

P_{i} = σ_{i j} n_{j}

(10.5)

Całkowita siła działająca na ciało znajdująca się w objętości V w wyniku naprężeń, dla której jej składowa i-ta jest przestawia się przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

\oint_{S} P_{i} d S = \oint_{S} σ_{i j} n_{j} d S = \oint σ_{i j} d S_{j} = \int_{V} σ_{i j, j} d V

(10.6)

Wśród sił działających na całą objętość są to siły, których definicja jest całką z iloczynu gęstości w danym punkcie i wielkości $\vec{f}$ , ona wynika z tego, że wektor $\vec{f}$ jest stosunkiem różniczki siły działającej na objętość dV przez iloczyn tejże wspomnianej objętości i przez gęstość materii w danym punkcie, w której liczymy naszą wielkość $\vec{f}$ :

\vec{f} = \frac{d \vec{F}}{d V ρ} \Rightarrow d \vec{F} = ρ \vec{f} d V \Rightarrow \vec{F} = \int ρ \vec{f} d V

(10.7)

Jak można zauważyć, że wielkość (10.7) dla pola grawitacyjnego jest to po prostu przyspieszenie ziemskie. Jeśli wykorzystamy wzór na całkowitą masę infinitezymalnej części układu znajdującej się w objętości dV, zatem nasz rozważany nieskończenie mały element objętości zawiera w sobie masę równą dm=ρdV.

\underset{d m}{\underset{⏟}{ρ d V}} \frac{d v_{i}}{d t} = d F_{i}^{(c)} \Rightarrow \int ρ \frac{d v_{i}}{d t} d V = F_{i}^{(c)}

(10.8)

Definicja siły F^(c)_i jest sumą sił pochodzącą od sił naprężeń zdefiniowanego w punkcie (10.5) i sił działających na całą objętość pokazanego w punkcie (10.7), które to podstawimy do wzoru (10.8), w tak otrzymanej równości wszystko przenosimy na jej lewą stronę, w ten sposób w tak otrzymanym obiekcie wszystko wkładamy pod znak jednej całki całkowalną względem objętości.

\int_{V} ρ \frac{d v_{i}}{d t} d V = \int_{V} ρ f_{i} d V + \int \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{j}} d V \Rightarrow \int_{V} (ρ \frac{d v_{i}}{d t} - ρ f_{i} - \frac{\partial σ_{i j}}{d x_{j}}) d V = 0

(10.9)

Ponieważ równość (10.7) jest spełniona dla dowolnej objętości V, która jest ograniczoną zamkniętą objętością po której całkujemy, zatem na podstawie tego nasza rozważana funkcja podcałkowa w (10.9) jest zawsze równa zero:

ρ \frac{d v_{i}}{d t} - ρ f_{i} - \frac{\partial σ_{i j}}{d x_{j}} = 0

(10.10)

Pierwszy wyraz znajdujący się w punkcie w wyrażeniu (10.10) możemy przekształcić do innej równoważnej postaci po dokonaniu poniższych przekształceń, które będziemy pisać:

ρ \frac{d v_{i}}{d t} = ρ \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + ρ \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} \frac{d x_{j}}{d t} = ρ \frac{\partial v_{i}}{\partial t} + ρ \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} v_{j} = \frac{\partial}{\partial t} (ρ v_{i}) - v_{i} \frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{j} v_{i}) - v_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{j}) = \frac{\partial}{\partial t} (ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{i} v_{j}) +

- v_{i} (\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{i})) = \frac{\partial}{\partial t} (ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{i} v_{j})

(10.11)

Możemy wykorzystać tożsamość wynikłych z obliczeń (10.11) do drugiego prawa Newtona (10.10), otrzymujemy:

\frac{\partial}{\partial t} (ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(ρ v_{i}) v_{j} - σ_{i j}] = ρ f_{i}

(10.12)

Tensor naprężeń σ_ij możemy rozłożyć na sumę tensorów pochodzącej od ciśnienia, a także od sił pochodzących od tarcia wewnętrznego, zapis tego równania w postaci tensorowej jest:

σ_{i j} = - p δ_{i j} + R_{i j}

(10.13)

Jeśli nie ma tarcia wewnętrznego, to tensor R_ij jest tożsamościowo równy zero, zatem ten nasz wniosek możemy wykorzystać do punktu (10.10), w ten sposób dostajemy niestępujący wniosek jako równanie różniczkowe o charakterze wektorowym:

ρ \frac{d \vec{v}}{d t} = ρ \vec{f} - grad p

(10.14)

Moment sił w dynamice materiałów

Wzór (10.12), który napisany dla współrzędnej i-tej, który jakoby charakteryzuje pewien wektor o trzech elementach i ten wektor mnożymy obustronnie przez wektor wodzący danego punktu w przestrzeni lewostronnie:

ϵ_{l k i} x_{k} [\frac{\partial}{\partial t} (ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j})] = ϵ_{l k i} x_{k} ρ f_{i}

(10.15)

Wykorzystując definicję momentu sił M_l i przekształcając dalej równość zapisaną w punkcie (10.15) za pomocą prawa o pochodnej iloczynu, wtedy możemy napisać tożsamość wedle sposobu:

\frac{\partial}{\partial t} (ϵ_{l k i} x_{k} ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [ϵ_{l k i} x_{k} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j})] + ϵ_{l k i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = M_{l}

(10.16)

Wyznaczmy teraz trzeci wyraz występujący we wzorze przy wykorzystaniu z własności tensora Leviego-Civity i przekonamy się później, że ten wyraz jest zawsze równy zero, co można pokazać w sposób:

ϵ_{l k i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) \frac{\partial x_{k}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{2} [ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) + ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j})] = \frac{1}{2} [ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) +

+ ϵ_{l j i} (ρ v_{j} v_{i} - σ_{j i})] = \frac{1}{2} [ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) + ϵ_{l i j} (ρ v_{j} v_{i} - σ_{j i})] = \frac{1}{2} [ϵ_{l j i} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j}) - ϵ_{l j i} (ρ v_{j} v_{i} - σ_{j i})] = 0

(10.17)

Wyrażenie zapisane w punkcie (10.17) jest tożsamościowo równe zero, co wynika z tego, że tensor $σ_{i j},$ jest tensorem symetrycznym, wtedy równość (10.16) jest równa wyrażeniu:

\frac{\partial}{\partial t} (ϵ_{l k i} x_{k} ρ v_{i}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [ϵ_{l k i} x_{k} (ρ v_{i} v_{j} - σ_{i j})] = M_{l}

(10.18)

Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów

Równość (10.10) wymnażamy przez współrzędną prędkości v_i, w ten sposób otrzymujemy równanie, która jest równaniem wejściowym, z którego będziemy wyprowadzać dalsze wywody:

v_{i} ρ \frac{d v_{i}}{d t} = v_{i} \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{j}} + v_{i} ρ f

(10.19)

Wykorzystując twierdzenie o lokalnej zasadzie zachowania masy (10.4) i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, mamy:

v_{i} ρ \frac{d v_{i}}{d t} = v_{i} ρ (\frac{\partial v_{i}}{\partial t} + v_{j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}) = \frac{1}{2} ρ \frac{\partial v^{2}}{\partial t} + \frac{1}{2} ρ v_{j} \frac{\partial v^{2}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (ρ v^{2}) - \frac{1}{2} v^{2} \frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (ρ v^{2} v_{j}) - \frac{1}{2} v^{2} \frac{\partial ρ v_{j}}{\partial x_{j}} =

= \frac{1}{2} \frac{\partial (ρ v^{2}))}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial (ρ v^{2} v_{j})}{\partial x_{j}}

(10.20)

Z twierdzenia o pochodnej iloczynu możemy przekształcić pierwszy wyraz znajdujący się po prawej stronie (10.19), co po tej czynności otrzymujemy:

v_{i} \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial (v_{i} σ_{i j})}{\partial x_{j}} - σ_{i j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}

(10.21)

Obliczenia wynikłe z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.20) i (10.21) możemy podstawić do równania (10.19), zatem po dokonaniu tejże operacji otrzymany wzór możemy napisać:

\frac{1}{2} \frac{\partial ρ v^{2}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [\frac{ρ}{2} v^{2} v_{j} - σ_{i j} v_{i}] = - σ_{i j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + v_{i} ρ f_{i}

(10.22)

Wektor, który jest drugim wyrazem pod pochodną różniczkowania względem współrzędnej j-tej położenia danego punktu w przestrzeni nazywamy wektorem Poyntinga, jego definicję piszemy:

\frac{1}{2} ρ v^{2} v_{i} - σ_{i j} v_{i}

(10.23)

Gęstość siły możemy powiązać z potencjałem objętościowym, tzn. potencjałem przypadającego na jednostkę objętości i gęstości ciała, którą definiujemy jako pochodną cząstkową potencjału U względem współrzędnej i-tej wektora położenia, i całość piszemy z minusem, stąd jego definicja:

f_{i} = \frac{\partial U}{\partial x_{i}}

(10.24)

Wtedy na podstawie tożsamości (10.24) możemy rozpisać drugi wyraz prawej strony równości (10.22), mamy:

v_{i} ρ f_{i} = - v_{i} ρ \frac{\partial U}{\partial x_{i}} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ U v_{i}) + U \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ v_{i}) = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ U v_{i}) - U \frac{\partial ρ}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ U v_{i}) - \frac{\partial}{\partial t} (ρ U) + ρ \frac{\partial U}{\partial t}

(10.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (10.25), którego wynik możemy wstawić do (10.22) i grupując odpowiednio wyrazy w nim występujące:

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{ρ}{2} v^{2} + ρ U) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [(\frac{ρ}{2} v^{2} + ρ U) v_{j} - σ_{i j} v_{i}] = - σ_{i j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}} + ρ \frac{\partial U}{\partial t}

(10.26)

Wyznaczmy teraz pracę wykonaną nad ciałem zdeformowanym przez siły napięcia P_i podczas zniekształcenia danego ciała, w którym dla danego punktu zniekształcenie jest opisane:

Δ s_{i} = s_{i} - s_{i}^{'}

(10.27)

I wykorzystując fakt, że siły napięć P_i są wyrażone przez tensor napięcia σ_ij (10.5), zatem praca wykonana przez siły naprężeń nad całym ciałem jest napisana:

Δ W = \oint_{S} P_{i} Δ s_{i} d S = \oint σ_{i j} n_{j} δ s_{i} d S = \oint σ_{i j} Δ s_{i} d S_{j}

(10.28)

Jeśli wykorzystamy fakt, że tensor σ_ij jest tensorem symetrycznym, ze względu na przestawienie dolnych wskaźników, zatem wykorzystując, że tensor deformacji jest zdefiniowany wzorem (9.41), to wtedy dla stanu równowagi zachodzi σ_ij,j, wtedy możemy dokonać obliczenia:

(σ_{i j} s_{i})_{, j} = σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{1}{2} (σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}}) = \frac{1}{2} (σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + σ_{j i} \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}}) = σ_{i j} \frac{1}{2} (\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}}) = σ_{i j} ϵ_{i j}

(10.29)

Praca wykonana nad układem przez siły napięć (10.28) możemy napisać na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (10.29) jako całkę objętościową deformowanego ciała, co piszemy:

Δ W = \oint_{V} σ_{i j} Δ s_{i} d S_{j} = \int_{V} (σ_{i j} Δ s_{i})_{, j} = \int_{V} σ_{i j} Δ ϵ_{i j} d V

(10.30)

Wprowadźmy teraz funkcję Φ, którego pochodną cząstkową względem czasu, wykorzystując przy tym fakt (9.71), a także z symetryczności tensora σ_ij, piszemy:

\frac{\partial Φ}{\partial t} = \frac{\partial Φ}{\partial ϵ_{i j}} \frac{\partial ϵ_{i j}}{\partial t} = σ_{i j} \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}}) = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + σ_{i j} \frac{\partial s_{j}}{\partial x_{i}}) = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (σ_{i j} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} + σ_{j i} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}}) = σ_{i j} \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial s_{i}}{\partial x_{j}} =

= σ_{i j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}

(10.31)

Wykorzystując obliczenia napisane w punkcie (10.31), to wzór (10.22) możemy przepisać:

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{ρ {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{i}}{2}) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{ρ}{2} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{j}) - \frac{\partial}{\partial x_{j}} (σ_{i j} {\dot{s}}_{i}) = - \frac{\partial Φ}{\partial t} + {\dot{s}}_{i} ρ f_{i}

(10.32)

Równanie (10.32) możemy w taki w sposób przekształcić, by wszystkie pochodne czasowe przestawić w postaci jednego wyrazu wiedząc, że ${\dot{s}}_{i} ≃ \frac{\partial s_{i} (x_{r}, t)}{\partial t}$ (bo udowodnilśmy, że zachodzi przybliżona równość: (9.70) (wzór w następniku implikacji)), a także przyjmując, że deformacje odkształceń $s_{i}$ są małe, a więc je można pominąć, wtedy dochodzimy do wniosku:

\frac{\partial}{\partial t} [\frac{ρ}{2} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{i} + Φ - ρ f_{i} s_{i}] + \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\frac{ρ}{2} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{j} - σ_{i j} {\dot{s}}_{i}) = 0

(10.33)

Możemy przecałkować obustronnie wyrażenie (10.33) wykorzystując definicję całki objętościowej, w ten sposób druga całka z lewej strony w tak otrzymanym wyrażeniu jako całkowanie po objętości zamieniamy na całkowanie po powierzchni znajdującej się poza ciałem, wtedy to nasza całka jest równa zero, bo wtedy tensor napięć i gęstość ciała znikają poza ciałem, a także wyraz określający przesunięcia względem starego położenia s_i nie zmienia się poza ciałem, mamy:

\frac{d}{d t} \int_{V} (\frac{ρ}{2} {\dot{s}}_{i} {\dot{s}}_{i} + Φ - ρ f_{i} s_{i}) = 0

(10.34)

Wyrażenie (10.34) przestawia zasadę zachowania energii, w której energia kinetyczna i potencjalną przestawiamy jako pewne całki, w której wzór na energię kinetyczną jest to po prostu całka po energiach kinetycznych bardzo małych elementów podzielonej przez ten element objętości, to wyrażenie jest całkowane względem objętości. Te energie energię kinetyczną T i potencjalną U wyrażamy:

T = \frac{1}{2} \int_{V} ρ \dot{s} {\dot{s}}_{i} d V

(10.35)

U = \int_{V} (Φ - ρ f_{i} s_{i}) d V

(10.36)

A całkowita energia jest wyrażona wzorem poniżej, który przy definicji energii kinetycznej (10.35) i potencjalnej (10.36) jest wielkością stałą na podstawie równości różniczkowej (10.34):

E = T + U = const

(10.37)

Weźmy następnie funkcję ciśnienia, której definicja jest całką z odwrotności funkcji gęstości ρ(p) i całkowaną względem ciśnienia:

𝒫 = \int \frac{d p}{ρ (p)}

(10.38)

Wtedy możemy policzyć pochodną cząstkową funkcji ciśnienia $𝒫$ względem współrzędnej j-tej, i wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi (10.38), dostajemy:

\frac{\partial 𝒫}{\partial x_{j}} = \frac{\partial 𝒫}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial x_{j}} = \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial x_{j}}

(10.39)

Dalej policzmy wyrażenie przy wykorzystaniu prawa ciągłości, podanej w punkcie (10.4) i pochodnej funkcji (10.38) względem współrzędnej j-tej, piszemy:

- \frac{\partial p}{\partial x_{i}} v_{i} = - ρ \frac{\partial 𝒫}{\partial x_{i}} v_{i} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ 𝒫 v_{i}) + 𝒫 \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ v_{i}) = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ 𝒫 v_{i}) - 𝒫 \frac{\partial ρ}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ 𝒫 v_{i}) - \frac{\partial}{\partial t} (𝒫 ρ) + ρ \frac{\partial 𝒫}{\partial t}

(10.40)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że przy wykorzystaniu wzoru na wielkość $𝒫$ (10.39), której definicja dla ściśle określonego punktu jest iloczynem gęstości objętościowej i pochodnej cząstkowej funkcji (10.38) względem czasu i dokonując pewnych przekształceń poniżej, dostajemy końcowy wniosek, że ona jest pochodną cząstkową ciśnienia względem czasu:

ρ \frac{\partial 𝒫}{\partial t} = ρ \frac{\partial 𝒫}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial t} = ρ \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial p}{\partial t}

(10.41)

Pochodną cząstkowa tensora napięć zdefiniowanego w punkcie poprzez ciśnienie i tensor tarcia napiszemy względem jego części ciśnieniowej poprzez (10.13):

v_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}} σ_{i j}^{(p)} = v_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p δ_{i j}) = - v_{i} \frac{\partial p}{\partial x_{i}} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ 𝒫 v_{i}) - \frac{\partial}{\partial t} (𝒫 ρ) + ρ \frac{\partial 𝒫}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x_{i}} (ρ 𝒫 v_{i}) - \frac{\partial}{\partial t} (𝒫 ρ) + \frac{\partial p}{\partial t}

(10.42)

Mając ostateczny wzór (10.42) i definicję tensora napięć (10.13), zatem możemy napisać równość wynikająca z (10.26) dla sił potencjalnych, a zarazem konserwatywnych:

\frac{\partial}{\partial t} (\frac{ρ}{2} v^{2} + ρ 𝒫 - p + ρ U) + \frac{\partial}{\partial x_{j}} [ρ (\frac{v^{2}}{2} + 𝒫 + U) v_{j} - R_{i j} v_{j}] = - R_{i j} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}

(10.43)

Lewa strona wzoru (10.43) opisuje dyssypację energii i przestawia zmianę energii mechanicznej ciała zdeformowanego na ciepło.