Mechanika teoretyczna/Wprowadzenie do hydrodynamiki

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Wprowadzenie do hydrodynamiki

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równanie Naviera-Stokesa[edytuj]

Będziemy się tutaj zajmować równaniem ogólnym dla hydrodynamiki (10.10), a także korzystając z definicji tensora napięć (10.13), a także wykorzystując twierdzenie o tarciu (11.33) i twierdzenie o prędkości (9.68), jak również wykorzystując związek pomiędzy dwoma parametrami lepkości η i ξ, to na podstawie tego możemy napisać równanie Naviera-Stokesa w postaci skalarnej:

(13.1)

Równanie (13.1) możemy przepisać w postaci wektorowej:

(13.2)

Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego[edytuj]

Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy η jest równa zero, wtedy równanie (13.1) będziemy pisać:

(13.3)

Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz prędkość, jej do tej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy . Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie (13.3) po prawej stronie w nawiasie:

(13.4)

Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w (13.4) do wzoru (13.3), wtedy dostajemy jeszcze inny zapis naszego ostatnio wspomnianego wzoru:

(13.5)

Równanie skalarne (13.5), które jest przestawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równania możemy przestawić w postaci wektorowej:

(13.6)

Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów[edytuj]

Dla spoczywającej ciecz będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem:

(13.7)
(13.8)
(13.9)

Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu), wtedy powiemy:

(13.10)
(13.11)
(13.12)

Napiszmy teraz równanie ciągłości (10.4) wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem (13.7), (13.8) i (13.9), a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu (13.10), (13.11) i (13.12), wtedy równanie ciągłości przyjmuje wygląd:

(13.13)

W równaniu (13.13) po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy, otrzymujemy:

(13.14)

Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru (13.5), które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków (13.10), (13.11) i (13.12), to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych piszemy:

(13.15)

We wzorze (13.15) pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy tą nasza równość przepisujemy po tej wspomnianej operacji:

(13.16)

Równanie stanu będziemy linearyzować rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy ρ wokół punktu ρ=ρ0:

(13.17)

Biorąc definicję ciśnienia (13.11) i gęstości ciała (13.12), wtedy na podstawie (13.17) możemy zauważyć:

(13.18)

Wstawiamy uzyskaną równość (13.18) do równania ciągłości (13.14), to dostajemy zależność:

(13.19)

Równość (13.19) zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową (13.16):

(13.20)

Równość (13.20) możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan:

(13.21)

Równanie (13.21) jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty:

(13.22)

Będziemy wykorzystywać równość (13.18), to do wyznaczenia prędkości światła, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu, mamy:

(13.23)

Równanie (13.23) jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej·

Wyprowadzenie równania Bernoulliego[edytuj]

Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość (13.6) po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość ρ, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie, przyjmuje postać:

(13.24)

Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości Φ, którego definicja jest podana w punkcie (9.20), a także wprowadzimy, że wielkość jest gradientem potencjału U wziętej z minusem (10.24), a także wykorzystamy definicję wielkości , czyli poprzez (10.38), a co z niego wynika równość (10.41), to na podstawie tychże rozważanych rozważań dochodzimy do wniosku:

(13.25)

Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości (13.25) jest równa wielkości stałej zależnej od czasu:

(13.26)

Dla przepływów stacjonarnych równość (13.26), dla której pochodna funkcji Φ znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego:

(13.27)

Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania (13.6) i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej jest napisana:

(13.28)

Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy , to stąd podobnie jak poprzednio wynika równość jak w punkcie (13.27), tylko dla równego zero.

Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie , i , czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego możemy przepisać do postaci:

(13.29)

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju[edytuj]

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości (10.4), gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości jest napisane przez:

(13.30)

Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie (13.30):

(13.31)

Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem (13.31), są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach:

(13.32)

Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego (13.27), którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron:

(13.33)

Ponieważ iloczyn ρSv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go otrzymując własność:

(13.34)

Równość końcową wynikową (13.33) podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie (13.34):

(13.35)

Wielkość występująca w punkcie (13.18), która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości (13.35) i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową (13.33), mamy:

(13.36)

Równanie (13.36) jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha, i piszemy ją:

(13.37)

Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej ρ jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku (13.18) w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość (13.36) możemy przepisać:

(13.38)

Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością[edytuj]

Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego (13.27), które będziemy mogli wykorzystać wiedząc, że różne punkty w takiej przestrzeni są w spoczynku, zatem to nasze prawo zapisujemy w postaci:

(13.39)

Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy będziemy mogli zapisać:

(13.40)

Końcową równość (13.40) będziemy mogli podstawić do wzoru (13.39), w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony:

(13.41)

Z równości (13.41) możemy wyznaczyć jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy:

(13.42)

Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a[edytuj]

Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy , siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa (13.6) przechodzi w równość wektorową:

(13.43)

Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić:

(13.44)
(13.45)

Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku:

(13.46)

Z równości różniczkowej (13.46) wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość jest wyrażona:

(13.47)

W równości (13.43), jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika, wynika natychmiast równość:

(13.48)

Równość (13.48), którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero, przechodzi w równość:

(13.49)

Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x1 i współrzędnej x2, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x3, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań (13.49), bo prędkość v3 zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych, wtedy powiemy:

(13.50)

Na podstawie zależności (13.50) możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych (13.44) i (13.45) i zależności ciśnienia od długości rury x3, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p1-p2, a także jest zależna ona od długości rurki "l":

(13.51)

Jeśli wykorzystamy przedstawienie (MMF-7.36) laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość (13.50), na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie (13.51) możemy napisać:

(13.52)

Równość (13.50) możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r":

(13.53)

Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c2 jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v3 jest równa zero, wtedy rysujemy:

(13.54)

Wykorzystując wzór na stałą c1 (13.54) i wzór na stałą c2, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej (13.53):

(13.55)

Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a (13.55), to:

(13.56)

Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy jako iloraz dwóch ściśle określonych całek i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki:

(13.57)

Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy (13.57) w postaci:

(13.58)

Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy, określamy:

(13.59)

Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością[edytuj]

Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v0 można rozważyć tak jak by kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v0. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie (13.2) możemy przepisać jakie jest równanie ruchu cieczy, przy uwagach wyżej wprowadzonych:

(13.60)

W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość:

(13.61)

Zatem równanie (13.60) na podstawie warunku (13.61) możemy zapisać:

(13.62)

Podziałajmy obustronnie równość (13.62) operatorem rotacji i dostajemy wniosek:

(13.63)

Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do (13.62), jest to równanie na prędkość , której laplasjan prędkości jest równy zero:

(13.64)

Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości (13.62) spełniające (13.63) jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero:

(13.65)

Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe (13.62) jest sumą prędkości opisaną wzorem (13.65), która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości (13.64):

(13.66)

Ponieważ prędkość płynu jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła i funkcji r, która jest odległością od środka kuli:

(13.67)

Jeśli wzór (13.67) wstawimy do wzoru (13.64), na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze (13.67) jest równy zero:

(13.68)

Ponieważ funkcja występująca pod operatorem Δ jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru (MMF-7.36) możemy zapisać równoważną do równości (13.68) postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r):

(13.69)

Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(∞)=0, czyli w równaniu (13.69) należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc (13.67) i (13.66), dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r":

(13.70)

Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie (13.70) jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy:

(13.71)

to wtedy prędkość opisana wzorem (13.70) podstawiamy do równości (13.71). wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji Φ, który jest w definicji prędkości (13.65):

(13.72)

Będziemy szukali rozwiązania równania (13.72) dla którego zachodzi w postaci funkcji zależnej od prędkości v0 i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej:

(13.73)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji Φ, wychodząc od wzoru (13.73), wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji Φ jest zależny od wektora prędkości , wektora wodzącego danego punktu cieczy i położenia radialnego:


(13.74)

Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami (13.72) i (13.73) do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r:

(13.75)

Rozwiązaniem równania (13.75) jest rozwiązanie zapisane w postaci poniżej, co nie musimy tutaj sprawdzać na ławach tejże książki, jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki:

(13.76)

Wyznaczmy teraz prędkość ze wzoru (13.65) mając funkcję Φ zdefiniowanego według wzoru (13.73), w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości, mamy:

(13.77)

Równość (13.77) podstawiamy do wzoru (13.70) i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor i prędkości , który zależy natomiast od funkcji f(r):

(13.78)

Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa , co piszemy:

(13.79)

Do wzoru (13.78) możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według (13.79), czyli bardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości:

(13.80)
(13.81)

Z warunku (13.80) dla funkcji (13.76) otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór (13.78), wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne:

(13.82)
(13.83)

Wzór (13.76) możemy podstawić do wzorów (13.82) i do (13.83), wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia rozważanej kulki:

(13.84)
(13.85)

Wzór końcowy (13.85) podstawiamy do wzoru (13.84), i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki:

(13.86)

A równość na stałą B (13.85), do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie (13.86), otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R:

(13.87)

Prędkość (13.77) możemy policzyć wykorzystując definicję funkcji f(r) (13.76) i mając także, że A=1 i (13.86) jako definicję stałej "a" i (13.87) jako definicja stałej B, co stąd możemy wyliczyć całkowitą wspomnianą prędkość wedle schematu:

(13.88)

Równanie Naviera-Stokesa (13.63), który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt (13.66), a także fakt (13.64):

(13.89)

Końcową równość (13.89) możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości Φ dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem (13.72), a także wzór na definicję stałej "a" jest według (13.86):

(13.90)

Możemy teraz policzyć całkowitą siłę wykorzystując wzór (13.90), wiedząc że całka po ciśnieniu p0 jest równa zero, wtedy powiemy:


(13.91)

Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.91) możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością .