Mechanika teoretyczna/Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne $a_i$. One oznaczają współrzędne ciała w chwili $t=0$; te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną $x_i$ nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określaną dodatkowo względem czasu:

$x_i=x_i(a_j,t)$

(16.1)

Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje $a_j$. Tę wielkość liczymy względem czasu:

$v_i=\frac{\partial x_i(a_j,t)}{\partial t}=v_i(a_j,t)$

(16.2)

Opis prędkości dany wzorem (16.2) nazywamy opisem według Lagrange’a.

Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, lecz interesuje nas ściśle określony punkt — jest to opis prędkości dany przez:

$v_i=v_i(x_l,t)$

(16.3)

Opis dany wzorem (16.3) nazywamy opisem Eulera.

Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej trajektorii, czyli po zbiorze punktów, do których należy. Natomiast linią prądu nazywamy takie krzywe linie, do których styczne określają kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu.

Linie prądu opisujemy równaniem stosunku różniczek współrzędnych i prędkości cząstek:

$d{x}_1:d{x}_2:d{x}_3=v_1:v_2:v_3$

(16.4)

Przyspieszeniem w znaczeniu Lagrange’a nazywamy przyspieszenie określane jako pochodną wielkości (16.2) względem czasu:

$b_i=\frac{\partial v_i(a_l,t)}{\partial t}=b_i(a_l,t)$

(16.5)

Napiszmy teraz, czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera, znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie oraz pochodną cząstkową prędkości względem czasu. Z definicji różniczki zupełnej możemy napisać:

$b_i(x_l,t)=\frac{d{v}_i(x_l,t)}{dt}=\sum _{r=1}^3\frac{\partial v_i(x_l,t)}{\partial x_r}\frac{\partial x_r(a_j,t)}{\partial t}+\frac{\partial v_i(x_l,t)}{\partial t}$

(16.6)

Wektorowo związek (16.6) piszemy:

$\overrightarrow{b}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{grad})\overrightarrow{v}$

(16.7)

Ogólnie rzecz biorąc, tożsamość podana w punkcie (16.7) jest słuszna dla dowolnego wektora $\overrightarrow{A}$, powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tej wielkości wektorowej.

Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się pochodną substancjalną.

Definicja źródeł i wirów

Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)$, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię $S$. Wielkość tę definiujemy jako strumień pola prędkości:

${\int }_S\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}$

(16.8)

Infinitezymalny wektor $d\overrightarrow{S}$ nazywamy wektorem powierzchni — jego zwrot jest prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz, jeśli powierzchnia jest zamknięta.

Jeśli ciecz nie ma źródeł, możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego–Gaussa:

${\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}={\int }_V\mathrm{div}\overrightarrow{v}dV=0\Rightarrow \mathrm{div}\overrightarrow{v}=0$

(16.9)

Jeśli ciecz ma źródła, to strumień nie jest równy zero:

$Q={\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}\ne 0$

(16.10)

Jeśli $Q>0$, ciecz wypływa z powierzchni; jeśli $Q<0$, ciecz wpływa do wnętrza. Wielkość $Q$ nazywamy wydajnością źródła.

Z drugiej strony wydajność źródła można zapisać jako całkę po objętości:

$Q={\int }_{V}qdV$

(16.11)

Porównując (16.10) i (16.11), korzystając z twierdzenia Gaussa:

${\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}={\int }_{V}qdV\Rightarrow {\int }_V\mathrm{div}\overrightarrow{v}dV={\int }_{V}qdV\Rightarrow q=\mathrm{div}\overrightarrow{v}$

(16.12)

---

Wprowadzamy teraz wielkość opisującą wirowość pola prędkości. Definiujemy ją poprzez cyrkulację:

$\mathrm{\Gamma }=\oint \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{r}={\int }_S\mathrm{rot}\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}$

(16.13)

Cyrkulacja $\mathrm{\Gamma }$ jest związana z rotacją pola prędkości. Wektor:

$\overrightarrow{\omega }=\frac{1}{2}\mathrm{rot}\overrightarrow{v}$

(16.14)

nazywamy wirami lub wirowością.

Aby udowodnić (16.14), korzystamy z zależności między prędkością liniową a prędkością kątową:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$

(16.15)

Prędkość kątową zapisujemy jako $\overrightarrow{\omega }=({\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z)$ i obliczamy rotację:

$\frac{1}{2}\mathrm{rot}\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\mathrm{rot}(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})=\frac{1}{2}{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{klm}{\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_l{x}_m=\frac{1}{2}({\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}){\mathrm{\nabla }}_j{\omega }_l{x}_m=\frac{1}{2}(3{\omega }_i-{\omega }_i)={\omega }_i=\overrightarrow{\omega }$

(16.16)

Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, mamy ruch wirowy, czyli: $\overrightarrow{\omega }\ne 0$.

Strumień wirów definiujemy jako:

${\int }_S\overrightarrow{\omega }\cdot d\overrightarrow{S}$

(16.17)

Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej

Rozpatrzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja pola prędkości są równe zero:

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0$

(16.18)

$\mathrm{rot}\overrightarrow{v}=0$

(16.19)

Oznaczmy prędkość danego punktu masowego poprzez potencjał pola prędkości $\mathrm{\Phi }$, który definiujemy jako gradient:

$\overrightarrow{v}=\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }$

(16.20)

Widzimy, że równanie (16.20) jest tak sformułowane, aby rotacja pola prędkości (16.19) była równa zero. Dowód wykorzystuje definicję rotacji i gradientu:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{v}=\mathrm{rot}\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }={ϵ}_{ijk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}[{ϵ}_{ijk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k+{ϵ}_{ikj}{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_j]\mathrm{\Phi }=0$

(16.21)

Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową. Prędkość danego punktu cieczy zależy od współrzędnych $x$ i $y$:

$\overrightarrow{v}=(v_x(x,y),v_y(x,y))$

(16.22)

Wprowadzamy funkcję prądu $\mathrm{\Psi }(x,y)$, definiując:

$v_x=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}$

(16.23)

$v_y=-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}$

(16.24)

Definicje (16.23) i (16.24) są tak dobrane, aby dywergencja pola prędkości była równa zero:

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial y\partial x}=0$

(16.25)

Wprowadźmy teraz wektor: $\overrightarrow{A}=(0,0,\mathrm{\Psi })$.

Wtedy rotacja tego wektora daje prędkość:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y},-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x},0)=\overrightarrow{v}$

(16.26)

Łącząc definicję potencjału prędkości (16.20) z definicją funkcji prądu, otrzymujemy:

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}$

(16.27)

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}=-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}$

(16.28)

Wprowadzamy teraz funkcję zespoloną:

$W(z)=\mathrm{\Phi }(x,y)+i\mathrm{\Psi }(x,y)$

(16.29)

Prędkość zespolona jest pochodną funkcji zespolonej:

$w=\frac{dW}{dz}=\frac{\partial (\mathrm{\Phi }+i\mathrm{\Psi })}{\partial x}=v_x-i{v}_y$

(16.30)

Zespolona prędkość sprzężona:

$w^{\ast }={\left(\frac{dW}{dz}\right)}^{\ast }=v_x+i{v}_y$

(16.31)

Zbadajmy teraz, jak zmienia się funkcja $\mathrm{\Psi }$ wzdłuż linii prądu. Różniczka zupełna:

$d\mathrm{\Psi }=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy=-\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}dx+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}dy=-v_{y}dx+v_{x}dy$

(16.32)

Na linii prądu zachodzi: $dx:dy=v_x:v_y$

Podstawiamy:

$d\mathrm{\Psi }=-v_y\frac{v_x}{v_y}dy+v_{x}dy=-v_{x}dy+v_{x}dy=0$

(16.33)

Wniosek:

• Wzdłuż linii prądu funkcja $\mathrm{\Psi }$ jest stała.

Wprowadzenie tensora deformacji

Nowe położenie cząstki $x_i$ jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od chwili początkowej. Możemy napisać równania dla położenia nowego cząstki oraz różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek:

$x_i=a_i+s_i$

(16.34)

$d{x}_i=d{a}_i+d{s}_i$

(16.35)

Wyznaczmy, czemu jest równe wyrażenie (16.35) w zależności od różniczki $d{a}_i$. Pole $s_i$ jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych $a_i$:

$d{x}_j=d{a}_j+\frac{\partial s_j}{\partial a_i}d{a}_i=({\delta }_{ji}+\frac{\partial s_j}{\partial a_i})d{a}_i$

(16.36)

Tensor $\frac{\partial s_i}{\partial a_j}$ nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć.

Wyrażenie (16.36) zawiera zarówno deformacje, jak i obroty. Aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko deformacje, rozpatrujemy różnicę kwadratów odległości przed i po deformacji:

$d{\tilde{l}}^2-d{l}^2=d{x}_{j}d{x}_j-d{a}_{j}d{a}_j=({\delta }_{ji}+\frac{\partial s_j}{\partial a_i})d{a}_i({\delta }_{jk}+\frac{\partial s_j}{\partial a_k})d{a}_k-d{a}_{j}d{a}_j$
$=(\frac{\partial s_i}{\partial a_k}+\frac{\partial s_k}{\partial a_i}+\frac{\partial s_j}{\partial a_i}\frac{\partial s_j}{\partial a_k})d{a}_{i}d{a}_k=2{ϵ}_{ik}d{a}_{i}d{a}_k$

(16.37)

Wprowadzamy tensor deformacji ${ϵ}_{ik}$, który jest symetryczny:

${ϵ}_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial a_k}+\frac{\partial s_k}{\partial a_i}+\frac{\partial s_j}{\partial a_i}\frac{\partial s_j}{\partial a_k})$

(16.38)

---

Wyznaczmy teraz różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych:

$d{a}_i=d{x}_i-d{s}_i=({\delta }_{ik}-\frac{\partial s_i}{\partial x_k})d{x}_k$

(16.39)

Różnica kwadratów odległości:

$d{\tilde{l}}^2-d{l}^2=d{x}_{i}d{x}_i-({\delta }_{ij}-\frac{\partial s_i}{\partial x_j})d{x}_j({\delta }_{ik}-\frac{\partial s_i}{\partial x_k})d{x}_k=2{\overline{ϵ}}_{ik}$

(16.40)

Tensor deformacji w układzie końcowym:

${\overline{ϵ}}_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial x_k}+\frac{\partial s_k}{\partial x_i}-\frac{\partial s_l}{\partial x_i}\frac{\partial s_l}{\partial x_k})$

(16.41)

---

Jeśli deformacje są małe $\frac{\partial s_l}{\partial a_i}\ll 1$, możemy pominąć wyrazy kwadratowe:

${ϵ}_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial a_k}+\frac{\partial s_k}{\partial a_i})$

(16.42)

${\widetilde{ϵ}}_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial x_k}+\frac{\partial s_k}{\partial x_i})$

(16.43)

Tensor dystorsji rozkładamy na część symetryczną i asymetryczną:

$\frac{\partial s_i}{\partial a_k}=\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial a_k}+\frac{\partial s_k}{\partial a_i})+\frac{1}{2}(\frac{\partial s_i}{\partial a_k}-\frac{\partial s_k}{\partial a_i})={ϵ}_{ik}+D_{ik}$

(16.44)

Tensor asymetryczny $D_{ik}$ ma trzy niezależne elementy. Definiujemy wektor:

$D_l=\frac{1}{2}{ϵ}_{lik}{D}_{ik}=-\frac{1}{2}{ϵ}_{lki}\frac{\partial s_i}{\partial a_k}$

(16.45)

W postaci zwartej:

$\overrightarrow{D}=-\frac{1}{2}\mathrm{rot}\overrightarrow{s}$

(16.46)

Tensor asymetryczny:

$D_{ik}=\left[\begin{array}{ccc}0& D_{12}& D_{13}\\ -D_{12}& 0& D_{23}\\ -D_{13}& -D_{23}& 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0& D_3& -D_2\\ -D_3& 0& D_1\\ D_2& -D_1& 0\end{array}\right]$

(16.47)

Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu $\overrightarrow{a}$ wokół osi równoległej do $\mathrm{rot}\overrightarrow{s}$:

$d{s}_i=D_{ik}d{a}_k=-{ϵ}_{ijk}{D}_l{a}_k\Rightarrow d\overrightarrow{s}=-\overrightarrow{D}\times d\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\mathrm{rot}\overrightarrow{s}\times d\overrightarrow{a}$

(16.48)

Tensor deformacji i jego sens fizyczny

Tensor deformacji ${ϵ}_{ik}$ opisuje lokalną zmianę kształtu ciała fizycznego pod wpływem działania sił zewnętrznych lub wewnętrznych. Pozwala on ilościowo określić:

• wydłużenia liniowe (odkształcenia normalne),
• skręcenia i zmiany kątowe (odkształcenia postaciowe),
• rozszerzalność objętościową (zmianę objętości elementu materiału).

Wydłużenie liniowe ciał fizycznych

Wydłużenie liniowe $ϵ$ ciał fizycznych nazywamy wielkość:

$ϵ=\frac{d\tilde{l}-dl}{dl}$

(16.49)

Z równania (16.37) możemy napisać tożsamość jako różnicę kwadratów infinitezymalnych odległości dwóch blisko siebie położonych punktów ciała po deformacji i przed deformacją. Dzieląc tę równość przez $d{l}^2$, otrzymujemy:

$d{\tilde{l}}^2=d{l}^2+2{ϵ}_{ik}d{a}_{i}d{a}_k\Rightarrow {\left(\frac{d\tilde{l}}{dl}\right)}^2=1+2{ϵ}_{ik}\frac{d{a}_i}{dl}\frac{d{a}_k}{dl}=1+2{ϵ}_{ik}{e}_i{e}_k$

(16.50)

• gdzie $e_i$ są składowymi wektora jednostkowego $\overrightarrow{e}$, określającego kierunek odkształcenia.

W takim razie wielkość (16.49) możemy zapisać:

$ϵ=\frac{d\tilde{l}}{dl}-1=\sqrt{1+2{ϵ}_{ik}{e}_i{e}_k}-1={ϵ}_{ik}{e}_i{e}_k$

(16.51)

Wielkość $ϵ$ daje względną zmianę długości ciała w kierunku wektora $\overrightarrow{e}$. Tensor ${ϵ}_{ik}$ ma w tym przypadku tylko elementy diagonalne — opisują one wydłużenie ciała względem osi symetrii:

${ϵ}_{ik}=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_1& 0& 0\\ 0& {ϵ}_2& 0\\ 0& 0& {ϵ}_3\end{array}\right]$

(16.52)

Wielkości ${ϵ}_i$ występujące na przekątnej macierzy ${ϵ}_{ik}$ są wartościami własnymi tensora deformacji i nazywamy je głównymi dylatacjami.

Skręcenia

(Rys. 16.1) Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.

Rozpatrzmy dwa kierunki, których wektory jednostkowe są do siebie prostopadłe:

${\overrightarrow{e}}_1=\frac{d{\overrightarrow{a}}_1}{d{l}_1}$

(16.53)

${\overrightarrow{e}}_2=\frac{d{\overrightarrow{a}}_2}{d{l}_2}$

(16.54)

Określmy teraz kąt $\theta$, którego definicja jest:

$\theta =\frac{\pi }{2}-\varphi$

(16.55)

Kąt pomiędzy ściankami po deformacji zmienia się, dlatego z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać:

$d{x}_{1i}d{x}_{2i}=d{\tilde{l}}_{1}d{\tilde{l}}_2\cos \theta$

(16.56)

gdzie:

$d{\tilde{l}}_1=\sqrt{d{x}_{1i}d{x}_{1i}}$

(16.57)

$d{\tilde{l}}_2=\sqrt{d{x}_{2i}d{x}_{2i}}$

(16.58)

Iloczyn $d{x}_{1i}d{x}_{2i}$ zapisujemy korzystając z (16.36) oraz faktu, że początkowe wektory są prostopadłe:

$d{x}_{1i}d{x}_{2i}=({\delta }_{ik}+\frac{\partial s_i}{\partial a_k})d{a}_{1k}({\delta }_{il}+\frac{\partial s_i}{\partial a_l})d{a}_{2l}=2{ϵ}_{kl}d{a}_{1k}d{a}_{2l}$

(16.59)

Z definicji wydłużenia liniowego:

$d\tilde{l}=(1+ϵ)dl$

(16.60)

Możemy teraz wyznaczyć kosinus kąta $\theta$. Korzystając z (16.56), (16.59) oraz (16.60):

$\cos \theta =\frac{2{ϵ}_{ik}\frac{d{a}_{1i}}{d{l}_1}\frac{d{a}_{2k}}{d{l}_2}}{(1+{ϵ}_1)(1+{ϵ}_2)}=\frac{2{ϵ}_{ik}{e}_{1i}{e}_{2k}}{(1+{ϵ}_1)(1+{ϵ}_2)}\simeq 2{ϵ}_{ik}{e}_{1i}{e}_{2k}$

(16.61)

Przed deformacją wektory jednostkowe dwóch boków są: ${\overrightarrow{e}}_1=(1,0,0)$, ${\overrightarrow{e}}_2=(0,1,0)$.

Zatem:

$\sin \varphi =\cos (\frac{\pi }{2}+\varphi )=\cos \theta =2{ϵ}_{12}=\gamma$

(16.62)

Wielkość $\gamma$ nazywamy skręceniem. Dla małych skręceń (małych wartości kąta $\varphi$):

$\sin \varphi \simeq \varphi =\gamma$

(16.63)

Przypadek rozszerzalności objętościowej

Dylatacją objętości, czyli względną zmianą objętości, nazywamy wielkość określoną jako iloraz bezwzględnej zmiany infinitezymalnych objętości po i przed deformacją:

$\theta =\frac{d\tilde{V}-dV}{dV}=\frac{d\tilde{V}}{dV}-1=\frac{d{x}_1}{d{a}_1}\frac{d{x}_2}{d{a}_2}\frac{d{x}_3}{d{a}_3}-1$

(16.64)

Względną zmianę długości ciała definiujemy podobnie jak w (16.60), lecz tym razem korzystamy z zależności: $d{x}_i=(1+{ϵ}_{ii})d{a}_i$.

Stąd względna zmiana objętości (pomijając wyrazy kwadratowe i korzystając z faktu, że tensor deformacji ma tylko elementy diagonalne w przypadku czystych dylatacji (16.42)):

$\theta =(1+{ϵ}_{11})(1+{ϵ}_{22})(1+{ϵ}_{33})-1\simeq {ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}=\frac{\partial s_k}{\partial x_k}=\mathrm{div}\overrightarrow{s}$

(16.65)

Wielkość $\theta$ nazywamy dylatacją objętościową lub rozszerzalnością objętościową. Jest ona równa śladzie tensora deformacji, czyli sumie jego elementów diagonalnych.

Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą

Tensor deformacji możemy rozłożyć na dwie części:

• część niezmieniającą objętości (o zerowym śladzie),
• część zmieniającą objętość (izotropową).

Rozkład ten zapisujemy:

${ϵ}_{ik}={\widetilde{ϵ}}_{ik}+\frac{1}{3}{ϵ}_{ll}{\delta }_{ik}={\widetilde{ϵ}}_{ik}+\frac{1}{3}\theta {\delta }_{ik}$

(16.66)

gdzie:

• ${\widetilde{ϵ}}_{ik}$ — część deviatorowa (bezśladowa),
• $\theta ={ϵ}_{ll}$ — dylatacja objętościowa (ślad tensora deformacji).

---

Możemy zauważyć, że tensor ${\widetilde{ϵ}}_{ik}$ ma zerowy ślad. Dowód:

${\widetilde{ϵ}}_{ll}={ϵ}_{ll}-\frac{1}{3}{ϵ}_{ll}{\delta }_{ll}={ϵ}_{ll}-\frac{1}{3}{ϵ}_{ll}\cdot 3=0$

(16.67)

Zatem:

• tensor ${\widetilde{ϵ}}_{ik}$ opisuje deformacje niezmieniające objętości (czyste odkształcenia postaciowe),
• człon $\frac{1}{3}\theta {\delta }_{ik}$ opisuje zmiany objętości — rozciąganie lub kurczenie ciała.

---

Wniosek:

• Deviator tensora deformacji ${\widetilde{ϵ}}_{ik}$ odpowiada za zmianę kształtu przy zachowaniu objętości,
• część kulista $\frac{1}{3}\theta {\delta }_{ik}$ odpowiada za zmianę objętości ciała.

Rozkład ten jest fundamentalny w mechanice ośrodków ciągłych, ponieważ pozwala oddzielić efekty geometryczne deformacji od efektów związanych z rozszerzalnością materiału.

Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji

Mamy tensor prędkości przesunięć $\frac{\partial v_j}{\partial x_k}$, który możemy rozłożyć na część symetryczną i asymetryczną:

$\frac{\partial v_i}{\partial x_k}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i})+\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial v_k}{\partial x_i})$

(16.68)

Pierwszy człon jest symetryczny (nie zmienia się przy zamianie indeksów), drugi — antysymetryczny (zmienia znak przy zamianie indeksów).

Tensor prędkości deformacji

Symetryczną część tensora prędkości przesunięć nazywamy tensorem prędkości deformacji:

${\mathrm{N}}_{ik}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i})$

(16.69)

Ślad tego tensora:

${\mathrm{N}}_{ll}=\frac{\partial v_l}{\partial x_l}=\mathrm{div}\overrightarrow{v}$

(16.70)

opisuje szybkość zmiany objętości elementu materiału.

Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji

W przybliżeniu liniowym prędkość przesunięcia jest pochodną czasową pola przesunięć:

$v_i={\dot{s}}_i=\frac{\partial s_i(a_i,t)}{\partial t}\simeq \frac{\partial s_i(x_i,t)}{\partial t}$

(16.71)

Wyraz konwekcyjny $(v_r{\mathrm{\nabla }}_r)s_i$ pomijamy jako bardzo mały.

Pochodna czasowa tensora deformacji:

$\frac{\partial {ϵ}_{ik}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial s_i}{\partial x_k}+\frac{\partial s_k}{\partial x_i})\simeq \frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i})={\mathrm{N}}_{ik}$

(16.72)

Wniosek:

• Tensor prędkości deformacji jest czasową pochodną tensora deformacji.

Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału

Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć:

$\frac{1}{2}{ϵ}_{lik}\left[\frac{1}{2}(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial v_k}{\partial x_i})\right]=\frac{1}{2}{ϵ}_{lik}\frac{\partial v_i}{\partial x_k}=\frac{1}{2}\mathrm{rot}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }$

(16.73)

gdzie:

• ${ϵ}_{lik}$ — symbol Levi-Civita,
• $\overrightarrow{\omega }$ — wektor prędkości kątowej elementu materiału.

Wniosek:

• Część antysymetryczna tensora prędkości przesunięć opisuje lokalny obrót elementu materiału i jest równa połowie rotacji pola prędkości.