Mechanika teoretyczna

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Mechanika teoretyczna

Mirosław Makowiecki

---

SPIS RZECZY

Kinematyka 

 1

Dynamika 

 2

Dynamika - Przykłady 

 3

Zasady zachowania 

 4

Prawa Keplera 

 5

Siły centralne 

 6

Prawo powszechnego ciążenia 

 7

Układy nieinercjalne 

 8

Problem zderzenia cząstek 

 9

Dynamika punktów masowych 

 10

Ruch ciał ograniczonych więzami 

 11

Układ ciał ograniczonych więzami 

 12

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona 

 13

Teoria ciała sztywnego i giroskopu 

 14

Kanoniczne metody mechaniki klasycznej 

 15

Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny 

 16

Zasady zachowania w mechanice materiałów 

 17

Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a 

 18

Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym 

 19

Wprowadzenie do hydrodynamiki 

 20

Będziemy się tutaj zajmowali mechaniką teoretyczną w skład, których wchodzą następujące działy: kinematyka i dynamika Newtona, równiami ruchu z więzami, równaniem Lagrange pierwszego i drugiego rodzaju, ciałem sztywnym, a także teorią giroskopu, kinematyką deformowanych ciał, a także będziemy się zajmować równaniami materiałowymi, teorią sprężystości i na samym końcu teorią płynów.

Spis treści

Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego

Kinematyka

• 1Kinematyka
  • 1.1Przyspieszenie styczne i dośrodkowe
  • 1.2Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym
  • 1.3Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym
  • 1.4Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych
  • 1.5Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych

Dynamika

• 1Zasady dynamiki Newtona
  • 1.1Pierwsza zasada dynamiki Newtona
    • 1.1.1Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego
    • 1.1.2Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
  • 1.2Druga zasada dynamiki Newtona
    • 1.2.1Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego
    • 1.2.2Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
  • 1.3Trzecia zasada dynamiki Newtona

Dynamika - Przykłady

• 1Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych
  • 1.1Ruch bez działania siły
  • 1.2Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego
  • 1.3Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości
  • 1.4Oscylator harmoniczny
  • 1.5Tłumiony oscylator harmoniczny
  • 1.6Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia
  • 1.7Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań

Zasady zachowania

• 1Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii
  • 1.1Zasada zachowania pędu
  • 1.2Zasada zachowania momentu pędu
  • 1.3Energia potencjalna
    • 1.3.1Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości
    • 1.3.2Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego
    • 1.3.3Trójwymiarowy oscylator harmoniczny
  • 1.4Zasada zachowania energii
• 2Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu

Prawa Keplera

• 1Prawa Keplera
  • 1.1Empiryczne Prawa Keplera i ich ogólnikowe przedstawienie
    • 1.1.1Pierwsze prawo Keplera
    • 1.1.2Drugie prawo Keplera
    • 1.1.3Trzecie prawo Keplera
      • 1.1.3.1Dlaczego warunek $M\gg m$ jest ważny?
  • 1.2Półempiryczne przedstawienie praw Keplera
    • 1.2.1Pierwsze Prawo Keplera
      • 1.2.1.1Równanie elipsy w układzie biegunowym
      • 1.2.1.2Parametry elipsy
    • 1.2.2Drugie Prawo Keplera
      • 1.2.2.1Interpretacja geometryczna
      • 1.2.2.2Konsekwencja fizyczna
    • 1.2.3Trzecie Prawo Keplera
      • 1.2.3.1Wyprowadzenie fizyczne — równowaga sił w ruchu orbitalnym
      • 1.2.3.2Interpretacja fizyczna
      • 1.2.3.3Znaczenie astronomiczne
• 2Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera
  • 2.1Prędkość polowa
  • 2.2Dowód wzorów (5.7) i (5.8)
  • 2.3Związek prędkości polowej z momentem pędu
  • 2.4Wniosek
• 3Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera
  • 3.1Siła radialna z kinematyki w układzie biegunowym
  • 3.2Równanie orbity — elipsa
  • 3.3Siła radialna — wynik po podstawieniu
  • 3.4Związek z II Prawem Keplera i okresem obiegu
  • 3.5Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona
  • 3.6Wniosek
• 4Uogólnienie trzeciej zasady Keplera
  • 4.1Siła dośrodkowa i prawo grawitacji
  • 4.2Przekształcenie równań — wyznaczenie zależności geometrycznych
  • 4.3Uogólnione prawo Keplera dla dwóch układów
  • 4.4Przejście do klasycznego trzeciego prawa Keplera
  • 4.5Wniosek

Siły centralne

• 1Pole sił centralnych
  • 1.1Wektor wodzący i definicja siły centralnej
    • 1.1.1Interpretacja wzoru
    • 1.1.2Znaczenie fizyczne
• 2Energia potencjalna w polu sił centralnych
• 3Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach
• 4Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach

Prawo powszechnego ciążenia

• 1Masa grawitacyjna i bezwładna
• 2Natężenie pola grawitacyjnego
• 3Energia ciała w polu grawitacyjnym
• 4Potencjał ciała w polu ciężkości
• 5Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego
• 6Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym
• 7Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego
• 8Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego
• 9Cyrkulacja pola grawitacyjnego
• 10Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

Układy nieinercjalne

• 1Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej
  • 1.1Transformacje Galileusza
  • 1.2Wirująca karuzela
  • 1.3Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego
• 2Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych

Inne problemy dynamiczne

Problem zderzenia cząstek

• 1Wprowadzenie do zagadnień zderzeń i rozpraszania cząstek
• 2Wstęp do opisu rozpadu cząstek
• 3Doskonale sprężyste zderzenie dwóch cząstek
• 4Rozpraszanie cząstek na potencjale
• 5Wyprowadzenie wzoru Rutherforda
• 6Rozpraszanie cząstek w przybliżeniu małych kątów

Dynamika punktów masowych

• 1Środek masy układu mas
  • 1.1Transformacja energii z jednego układu odniesienia do drugiego
• 2Problem dwóch ciał w mechanice nieba
• 3Twierdzenie o wiriale
  • 3.1Układ oscylatorów fizycznych
  • 3.2Mechanika nieba
• 4Ruch ciała o zmieniających się masie
  • 4.1Przykład rakiety o zmiennej masie z wylatującymi spalinami

Ruch ciał ograniczonych więzami

• 1Zasada d'Alemberta
• 2Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju
• 3Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii
  • 3.1Zasada zachowania pędu
  • 3.2Zasada zachowania momentu pędu
  • 3.3Zasada zachowania energii
• 4Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a
• 5Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju
  • 5.1Statyka
  • 5.2Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił
  • 5.3Ruch ciała po obracającej się linijce

Układ ciał ograniczonych więzami

• 1Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta
• 2Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii
  • 2.1Twierdzenie o środku mas
  • 2.2Twierdzenie o momencie pędu
  • 2.3Twierdzenie o energii
• 3Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a
  • 3.1Ruchomy bloczek
  • 3.2Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0
• 4Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątową
• 5Wahadło fizyczne
• 6Twierdzenie Steinera

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

• 1Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione
• 2Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania
  • 2.1Zasada zachowania energii i translacja w czasie
  • 2.2Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a
  • 2.3Zasada zachowania momentu pędu
• 3Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych
• 4Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a
• 5Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście
• 6Masa zredukowana układu dwóch cząstek

Teoria ciała sztywnego i giroskopu

• 1Kinematyka ciała doskonale sztywnego
• 2Kąty Eulera
• 3Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej
• 4Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a
• 5Diagonalizacja tensora momentu bezwładności
• 6Dynamiczne równania Eulera
• 7Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi
• 8Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego
  • 8.1Równania ruchu giroskopu symetrycznego
  • 8.2Równania drugiego rzędu
  • 8.3Rozwiązania
  • 8.4Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera
  • 8.5Wektor momentu pędu równoległy do osi z'
  • 8.6Ostateczne równania ruchu
  • 8.7Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego
  • 8.8Interpretacja fizyczna
• 9Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym
• 10Bąk całkowicie asymetryczny
  • 10.1Energia i moment pędu bąka asymetrycznego
  • 10.2Ograniczenia na wartość K²
  • 10.3Eliminacja p² i r²
  • 10.4Równanie różniczkowe dla q(t)
  • 10.5Wprowadzenie zmiennych eliptycznych
  • 10.6Prędkości kątowe
  • 10.7Składowe momentu pędu
  • 10.8Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego

Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

• 1Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje
  • 1.1Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej
    • 1.1.1Ciało umieszczone na sprężynie
    • 1.1.2Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych
    • 1.1.3Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym
• 2Nawiasy Poissona
  • 2.1Ważne elementarne tożsamości
  • 2.2Tożsamość Jacobiego
  • 2.3Twierdzenie Poissona
• 3Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne
• 4Równania Hamiltona-Jacobiego
  • 4.1Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)
  • 4.2Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych
  • 4.3Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych
  • 4.4Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych

Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

• 1Definicja źródeł i wirów
• 2Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej
• 3Wprowadzenie tensora deformacji
• 4Tensor deformacji i jego sens fizyczny
  • 4.1Wydłużenie liniowe ciał fizycznych
  • 4.2Skręcenia
  • 4.3Przypadek rozszerzalności objętościowej
  • 4.4Rozkład tensora deformacji na część zachowującą objętość i jej niezachowującą
• 5Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji
  • 5.1Tensor prędkości deformacji
  • 5.2Związek tensora prędkości deformacji z tensorem deformacji
  • 5.3Część asymetryczna — prędkość obrotu elementu materiału

Zasady zachowania w mechanice materiałów

• 1Lokalna zasada zachowania masy
• 2Tensor naprężeń a druga zasada dynamiki w dynamice materiałów
  • 2.1Całkowita siła powierzchniowa
  • 2.2Siły masowe
  • 2.3Druga zasada dynamiki dla elementu materiału
  • 2.4Przekształcenie pochodnej substancjalnej
  • 2.5Rozkład tensora naprężeń
• 3Moment sił w dynamice materiałów
• 4Całkowita energia mechaniczna w dynamice materiałów
  • 4.1Przekształcenie członu kinetycznego
  • 4.2Przekształcenie członu naprężeniowego
  • 4.3Złożenie wyników
  • 4.4Siły potencjalne
  • 4.5Praca sił naprężeń
  • 4.6Funkcja energii odkształcenia
  • 4.7Energia kinetyczna i potencjalna
  • 4.8Funkcja ciśnienia
  • 4.9Związek z równaniem ciągłości
  • 4.10Część ciśnieniowa tensora naprężeń
  • 4.11Ostateczne równanie energii mechanicznej

Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

• 1Wprowadzenie do równań materiałowych
• 2Prawo Hooke'a
  • 2.1Inne parametry materiałowe
    • 2.1.1Funkcja energii odkształcenia
    • 2.1.2Postać energii sprężystej
    • 2.1.3Izotropowy tensor sprężystości
    • 2.1.4Tensor naprężeń dla materiału izotropowego
    • 2.1.5Postać z nowymi współczynnikami
  • 2.2Wydłużenie liniowe
    • 2.2.1Moduł Younga
    • 2.2.2Iloraz Poissona
    • 2.2.3Wyznaczenie $E$ i $\nu$ z ${\lambda }^{\prime }$ i ${\mu }^{\prime }$
    • 2.2.4Wyznaczenie parametrów Lamego $\lambda$ i $\mu$ z $E$ i $\nu$
  • 2.3Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa
    • 2.3.1Moduł kompresji
  • 2.4Skręcenia
• 3Rozszerzalność temperaturowa
  • 3.1Względna zmiana objętości wywołana temperaturą
• 4Tensorowa postać prawa tarcia
  • 4.1Ślad tensora tarcia
  • 4.2Warunek Stokesa
  • 4.3Interpretacja ciśnienia lepkościowego

Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

• 1Równania równowagi sprężystej (równania Lamego)
• 2Wałek skręceń w teorii sprężystości
  • 2.1Równanie statyczne wałka skręceń
  • 2.2Tensor deformacji
  • 2.3Tensor naprężeń
  • 2.4Naprężenia na górnej podstawie
  • 2.5Moment skręcający
  • 2.6Kąt skręcenia wałka
• 3Matematyczny opis fal sprężystych
  • 3.1Superpozycja fal sprężystych
  • 3.2Rotacja i dywergencja fal
  • 3.3Tożsamość wektorowa
  • 3.4Dwa równania falowe
  • 3.5Rotacja fali podłużnej
  • 3.6Dywergencja fali poprzecznej
• 4Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała
  • 4.1Energia sprężysta
  • 4.2Wariacja działania
  • 4.3Część kinetyczna
  • 4.4Część sprężysta
  • 4.5Złożenie wyników

Wprowadzenie do hydrodynamiki

• 1Równanie Naviera–Stokesa
  • 1.1Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego
  • 1.2Przekształcenie członu konwekcyjnego
  • 1.3Podstawienie do równania ruchu
  • 1.4Postać wektorowa
  • 1.5Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów
  • 1.6Linearyzacja równania ciągłości
  • 1.7Linearyzacja równania ruchu
  • 1.8Linearyzacja równania stanu
  • 1.9Połączenie równań
  • 1.10Równanie falowe dla zaburzeń ciśnienia
  • 1.11Prędkość fali dla gazu doskonałego (adiabatycznego)
• 2Wyprowadzenie równania Bernoulliego
  • 2.1Potencjał prędkości i potencjał sił zewnętrznych
  • 2.2Przepływ stacjonarny
  • 2.3Interpretacja geometryczna (linie prądu)
  • 2.4Równanie Bernoulliego dla cieczy nieściśliwej
• 3Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju
  • 3.1Związek Bernoulliego i różniczkowanie strumienia
  • 3.2Związek z prędkością dźwięku i równanie Hugoniota
  • 3.3Przypadek cieczy nieściśliwej
• 4Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością
• 5Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a
  • 5.1Warunki brzegowe i symetria przepływu
  • 5.2Duża lepkość — zanikanie członu konwekcyjnego
  • 5.3Laplasjan w układzie cylindrycznym
  • 5.4Natężenie przepływu — wzór Hagena–Poiseuille’a
  • 5.5Średnia prędkość przepływu
  • 5.6Różnica ciśnień
  • 5.7Siła działająca na rurkę
• 6Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.