Mechanika teoretyczna/Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej.

Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje

W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu (6.23), w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki:

$p_{k}={{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\;$

(8.1)

${\vec {p}}_{a}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\;$

(8.2)

Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej (8.1), a także na samym końcu od czasu.

${\dot {q}}_{k}={\dot {q}}_{k}(q_{k},p_{k},t)\;$

(8.3)

Wprowadźmy teraz funkcję zwaną funkcją Hamiltona, którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych (8.3) i pędu uogólnionego (8.1) odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a:

$H=\sum _{k}{\dot {q}}_{k}p_{k}-L={\dot {\vec {q}}}{\vec {p}}-L\;$

(8.4)

Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona (8.4) względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu:

${{\partial H} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i}p_{i}{{\partial {\dot {q}}_{i}} \over {\partial q_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}-\sum _{i}\underbrace {{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}} _{p_{i}}{{\partial {\dot {q}}} \over {\partial q_{i}}}=-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=-{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}+Q_{z}=-{\dot {p}}_{k}+Q_{z}\Rightarrow -{{\partial H} \over {\partial q_{k}}}+Q_{z}={\dot {p}}_{k}\;$

(8.5)

${{\partial H} \over {\partial p_{k}}}=\sum _{i}{{\partial {\dot {q}}_{i}} \over {\partial p_{k}}}p_{i}+{\dot {q}}_{k}-\sum _{i}\underbrace {{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}} _{p_{i}}{{\partial {\dot {q}}_{k}} \over {\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\;$

(8.6)

${{\partial H} \over {\partial t}}=\sum _{i}{{\partial {\dot {q}}_{i}} \over {\partial t}}{\dot {p}}_{i}-\sum _{i}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}{{\partial {\dot {q}}_{i}} \over {\partial t}}-{{\partial L} \over {\partial t}}=-{{\partial L} \over {\partial t}}\;$

(8.7)

2f równań różniczkowych (8.5), (8.6) i (8.7), są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego (6.27) i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość (8.7), możemy powiedzieć:

${{dH} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L\right)=-{{dL} \over {\partial t}}={{\partial H} \over {\partial t}}\;$

(8.8)

Widzimy, że na podstawie tożsamości (8.8), jeśli Hamiltonian (8.4) nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.30), i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość:

$H=E=T+U\;$

(8.9)

Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona (8.5), a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a (6.24), możemy powiedzieć:

${{\partial H} \over {\partial q_{k}}}=-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}\;$

(8.10)

Jeśli zmienna uogólniona q_k jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie (8.10) możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej q_k, to hamiltonian też nie zależy od niej.

Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej

Ciało umieszczone na sprężynie

Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi.

$H={{p^{2}} \over {2m}}+{{k} \over {2}}x^{2}\;$

(8.11)

Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu (8.11) liczymy ze wzorów:

${\dot {p}}=-{{\partial H} \over {\partial x}}=-kx\;$

(8.12)

${\dot {x}}={{\partial H} \over {\partial p}}={{p} \over {m}}\;$

(8.13)

Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych

Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym (1.29) i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych:

$L={{m} \over {2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\sin ^{2}\phi \right)+{{GMm} \over {r}}\;$

(8.14)

Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt (8.1):

$p_{r}={{\partial L} \over {\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\;$

(8.15)

$p_{\theta }={{\partial L} \over {\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\phi \;$

(8.16)

$p_{\phi }=mr^{2}{\dot {\phi }}\;$

(8.17)

Hamiltonian $H\;$ (8.4) możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany (8.14), która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach (8.15), (8.16) i (8.17):

$H=T+U={{1} \over {2m}}\left(p_{r}^{2}+{{p_{\theta }^{2}} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}+{{p_{\phi }^{2}} \over {r^{2}}}\right)$

(8.18)

Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym

Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to:

$L={{m} \over {2}}v^{2}+q{\vec {A}}{\vec {v}}-qU\;$

(8.19)

Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych (8.1) piszemy wedle:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(8.20)

Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń (8.20) jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu:

$H={{({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+qU\;$

(8.21)

Nawiasy Poissona

Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej:

$\left\{F,G\right\}_{P}=\sum _{i=1}^{f}\left({{\partial F} \over {\partial q_{i}}}{{\partial G} \over {\partial p_{i}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{i}}}{{\partial G} \over {}\partial q_{i}}\right)\;$

(8.22)

Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne p_i i q_i są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego q_i i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego p_i:

$\left\{q_{i},F\right\}_{P}=\sum _{j=1}^{3}\left({{\partial q_{i}} \over {\partial q_{j}}}{{\partial F} \over {\partial p_{j}}}-{{\partial q_{i}} \over {\partial p_{j}}}{{\partial F} \over {\partial q_{j}}}\right)={{\partial F} \over {\partial p_{i}}}\;$

(8.23)

A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego p_i i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego q_i:

$\left\{p_{i},F\right\}_{P}=\sum _{j=1}^{3}\left({{\partial p_{i}} \over {\partial q_{j}}}{{\partial F} \over {\partial p_{j}}}-{{\partial p_{i}} \over {\partial p_{j}}}{{\partial F} \over {\partial q_{j}}}\right)=-{{\partial F} \over {\partial q_{i}}}\;$

(8.24)

Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych (8.23) i (8.24), wtedy mówimy:

$\left\{q_{i},q_{j}\right\}_{P}=0\;$

(8.25)

$\left\{p_{i},p_{j}\right\}_{P}=0\;$

(8.26)

$\left\{q_{i},p_{j}\right\}_{P}=\delta _{ij}\;$

(8.27)

Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona (8.5) i (8.6):

${{dF} \over {dt}}=\sum _{i=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}+{{\partial F} \over {\partial t}}=\sum _{i=1}^{f}\left({{\partial F} \over {\partial q_{i}}}{{\partial H} \over {\partial p_{k}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{i}}}{{\partial H} \over {\partial q_{i}}}\right)=\left\{F,H\right\}_{P}+{{\partial F} \over {\partial t}}\;$

(8.28)

Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie (8.28) i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości:

${\dot {q}}_{i}=\left\{q_{i},H\right\}_{P}\;$

(8.29)

${\dot {p}}=\left\{p_{i},H\right\}_{P}\;$

(8.30)

Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości (8.28) możemy powiedzieć:

$\left\{F,H\right\}_{P}+{{\partial F} \over {\partial t}}=0\;$

(8.31)

Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze (8.28) hamiltonian $H\;$, to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie (8.8), zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona:

${{dH} \over {dt}}=\left\{H,H\right\}_{P}+{{\partial H} \over {\partial t}}\Rightarrow {{dH} \over {dt}}={{\partial H} \over {\partial t}}\;$

(8.32)

Ważne elementarne tożsamości

Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona (8.22) względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce:

$\left\{f,g\right\}_{P}=-\left\{g,f\right\}_{P}\;$

(8.33)

$\left\{f,c\right\}_{P}=0\;$

(8.34)

Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona (8.22) względem czasu "t" przedstawiamy:

${{\partial } \over {\partial t}}\left\{f,g\right\}_{P}=\left\{{{\partial f} \over {\partial t}},g\right\}_{P}+\left\{f,{{\partial g} \over {\partial t}}\right\}_{P}\;$

(8.35)

Tożsamość Jacobiego

Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h nazywamy tożsamość:

$\left\{f,\left\{g,h\right\}_{P}\right\}_{P}+\left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P}+\left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P}=0\;$

(8.36)

W celu dowodu tożsamości (8.36) należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli $\{h,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;$ jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g" ,wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D₁(φ)={g,φ}_P i D₂(φ)={h,φ}_P, wtedy należy policzyć wyrażenie:

$\left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P}+\left\{h,\left\{f,g\right\}_{P}\right\}_{P}=\left\{g,\left\{h,f\right\}_{P}\right\}_{P}-\left\{h,\left\{g,f\right\}_{P}\right\}_{P}=D_{1}(D_{2}(\varphi ))-D_{2}(D_{1}(\varphi ))\;$

(8.37)

Wprowadźmy teraz definicję operatorów D₁ i D₂ przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f.

$D_{1}=\sum _{k}\xi _{k}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\;$

(8.38)

$D_{2}=\sum _{k}\eta _{k}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\;$

(8.39)

Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D₁ (8.38) i D₂ (8.39) na dwa sposoby:

$D_{1}D_{2}=\sum _{kl}\xi _{k}\eta _{k}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}+\sum _{kl}\xi _{k}{{\partial \eta _{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\;$

(8.40)

$D_{1}D_{2}=\sum _{kl}\xi _{k}\eta _{k}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}\partial x_{l}}}+\sum _{kl}\eta _{k}{{\partial \xi _{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\;$

(8.41)

A różnica złożeń operatorów D₁ (8.38), D₂ (8.39), czyli (8.40) i (8.41) możemy przestawić poprzez:

$D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}=\sum _{kl}\left(\xi _{k}{{\partial \eta _{l}} \over {\partial x_{k}}}-\eta _{k}{{\partial \xi _{l}} \over {\partial x_{k}}}\right){{\partial } \over {\partial x_{l}}}\;$

(8.42)

Widzimy, że w lewej stronie tożsamości (8.37) upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D₁D₂-D₂D₁) na tą właśnie funkcję jest nawiasem $\{f,\{g,h\}_{P}\}_{P}\;$, który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji (8.36) jest tożsamościowo równa zero.

Twierdzenie Poissona

Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu:

$\{f,g\}_{P}=\operatorname {const} \;$

(8.43)

Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie (8.22) pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona $\{f,H\}\;$), to wtedy mając to na uwadze, to wyrażenie (8.36) podstawia się wtedy h=H, zatem:

$\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P}+\{f,\{g,H\}_{P}\}_{P}+\{g,\{H,f\}_{P}\}_{P}=0\;$

(8.44)

Z tożsamości (8.44) wynika, że jeśli $\{H,f\}=0\;$, $_{\{H,g\}_{P}=0}\;$ (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również $\{H,\{g,h\}_{P}\}_{P}\;$ jest równa zero (pochodna zupełna funkcji $\{g,h\}_{P}\;$ jest równa zero), zatem na podstawie (8.44) zachodzi (8.43). Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie (8.28) zachodzi tożsamość:

${{d} \over {dt}}\left\{f,g\right\}_{P}={{\partial } \over {\partial t}}\left\{f,g\right\}_{P}-\{H,\{f,g\}_{P}\}_{P}\;$

(8.45)

Do wzoru (8.45) wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona (8.35), a także wynikłe z tożsamości Jacobiego (8.36), wtedy:

${{d} \over {dt}}\left\{f,g\right\}_{P}=\left\{{{\partial f} \over {\partial t}},g\right\}_{P}+\left\{f,{{\partial g} \over {\partial t}}\right\}_{P}+\{f,\{g,H\}_{P}\}_{P}+\{g,\{H,f\}_{P}\}_{P}=\left\{{{\partial f} \over {\partial t}}+\{f,H\}_{P},g\right\}_{P}+\left\{f,{{\partial g} \over {\partial t}}+\{g,H\}_{P}\right\}_{P}\;$

(8.46)

Do obliczeń (8.46) do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość (8.28), i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest:

${{d} \over {dt}}\left\{f,g\right\}_{P}=\left\{{{df} \over {dt}},g\right\}_{P}+\left\{f,{{dg} \over {dt}}\right\}_{P}\;$

(8.47)

Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne

Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych:

$Q_{i}=Q_{i}(q_{k},p_{k},t)\;$

(8.48)

$P_{i}=P_{i}(q_{k},p_{k},t)\;$

(8.49)

W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne są określone jako:

$Q_{k}={{\partial H} \over {\partial P_{k}}}\;$

(8.50)

$P_{k}=-{{\partial H} \over {\partial Q_{k}}}\;$

(8.51)

Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R₁, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu, otrzymujemy:

$L=L^{'}+{{dR_{1}} \over {dt}}\;$

(8.52)

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}L=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L^{'}+R_{1}{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}\;$

(8.53)

Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian (8.4) i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość (8.52), wnioskujemy:

$L=\sum _{k}p_{k}{\dot {q}}_{k}-H=\sum _{k}P_{k}{\dot {Q}}_{k}-H^{'}+{{dR_{1}} \over {dt}}\Rightarrow dR_{1}=\sum _{k}p_{k}dq_{k}-\sum _{k}P_{k}dQ_{k}+(H^{'}-H)dt\;$

(8.54)

Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R₁ możemy rozpisać względem współrzędnych q_k, Q_k i czasu, dostajemy:

$dR_{1}=\sum _{k}{{\partial R_{1}} \over {\partial q_{k}}}dq_{k}+\sum _{k}{{\partial R_{1}} \over {\partial Q_{k}}}dQ_{k}+{{\partial R_{1}} \over {\partial t}}dt\;$

(8.55)

Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R₁, tzn. tożsamość końcową (8.54) z (8.55), w ten sposób możemy napisać tożsamości:

$p_{k}={{\partial R_{1}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(8.56)

$P_{k}=-{{}\partial R_{1} \over {\partial Q_{k}}}\;$

(8.57)

$H^{'}=H+{{\partial R_{1}} \over {\partial t}}\;$

(8.58)

Wzory (8.56), (8.57) i na samym końcu (8.58) stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bodź razem możemy obrać funkcję R₁, która stanowi jakoby funkcję tworzącą. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R₁, którego przepis jest $R_{1}=\sum _{k}q_{k}Q_{k}\;$, wtedy wykorzystując wzory (8.56), (8.57) i (8.58), wtedy na podstawie dla naszej funkcji tworzącej możemy napisać zależności:

$p_{k}=Q_{k}\;$

(8.59)

$P_{K}=-q_{k}\;$

(8.60)

$H^{'}(Q_{k},P_{k},t)=H(q_{k},P_{k},t)=H(-P_{k},Q_{k},t)\;$

(8.61)

Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu wygląda:

$H^{'}={{Q^{2}} \over {2m}}+{{1} \over {2}}kP^{2}\;$

(8.62)

Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych q_k i Q_k, ale w zmiennych q_k, p_k, Q_k, P_k wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (q_k,p_k,Q_k,P_k), zatem wykorzystując równanie (8.58) dostajemy:

$\sum _{k}p_{k}{\dot {q}}_{k}-H=\sum _{k}P_{k}{\dot {Q}}_{k}-H^{'}+{{\partial R_{1}} \over {\partial t}}\;$

(8.63)

wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R₁ zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach:

$R_{1}=R_{2}(q_{k},P_{k},t)-\sum _{k}P_{k}Q_{k}\;$

(8.64)

$R_{1}=R_{3}(p_{k},Q_{k},t)+\sum _{k}p_{k}q_{k}\;$

(8.65)

$R_{1}=R_{4}(p_{k},P_{k},t)+\sum _{k}p_{k}q_{k}-\sum _{k}P_{k}Q_{k}\;$

(8.66)

Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R₁ w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle (8.64), (8.65) i (8.66):

$dR_{1}=\sum _{k}{{\partial R_{2}} \over {\partial q_{k}}}dq_{k}+\sum _{k}{{\partial R_{2}} \over {\partial P_{k}}}dP_{k}-\sum _{k}d(P_{k}Q_{k})+{{\partial R_{2}} \over {\partial t}}dt\;$

(8.67)

$dR_{1}=\sum _{k}{{\partial R_{3}} \over {\partial p_{k}}}dp_{k}+\sum _{k}{{\partial R_{3}} \over {\partial Q_{k}}}dQ_{k}+\sum _{k}d(p_{k}q_{k})+{{\partial R_{3}} \over {\partial t}}dt\;$

(8.68)

$dR_{1}=\sum _{k}{{\partial R_{4}} \over {\partial p_{k}}}dp_{k}+\sum _{k}{{\partial R_{4}} \over {\partial P_{k}}}dP_{k}+\sum _{k}d(p_{k}q_{k})-\sum _{k}d(P_{k}Q_{k})+{{\partial R_{4}} \over {\partial t}}dt\;$

(8.69)

Jeśli równanie (8.54) zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R₁, czyli dla (8.67), (8.68), (8.69), tzn. w postaci:

$dR_{1}={\begin{cases}\sum _{k}p_{k}dq_{k}+\sum _{k}Q_{k}dP_{k}-\sum _{i}d(P_{k}Q_{k})+(H^{'}-H)dt\\-\sum _{k}q_{k}dp_{k}+\sum _{k}d(p_{k}q_{k})-\sum _{k}P_{k}dQ_{k}+(H-H)dt\\-\sum _{k}q_{k}dp_{k}+\sum _{k}(p_{k}q_{k})+\sum _{k}Q_{k}dP_{k}-\sum _{k}d(P_{k}Q_{k})+(H^{'}-H)dt\end{cases}}\;$

(8.70)

Jeśli porównamy wzory (8.67), (8.68), (8.69) z odpowiednimi wzorami (8.70), to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne p_k, q_k, P_k i Q_k, zatem dostajemy wzory poniżej:

$p_{k}={{\partial R_{2}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(8.71)

$Q_{k}={{\partial R_{2}} \over {\partial P_{k}}}\;$

(8.72)

$H^{'}=H+{{\partial R_{2}} \over {\partial t}}\;$

(8.73)

$P_{k}=-{{\partial R_{3}} \over {\partial Q_{k}}}\;$

(8.74)

$q_{k}=-{{\partial R_{3}} \over {\partial p_{k}}}\;$

(8.75)

$H^{'}=H+{{\partial R_{3}} \over {\partial t}}\;$

(8.76)

$Q_{k}={{\partial R_{4}} \over {\partial P_{k}}}\;$

(8.77)

$q_{k}={{\partial R_{4}} \over {\partial p_{k}}}\;$

(8.78)

$H^{'}=H+{{\partial R_{4}} \over {\partial t}}\;$

(8.79)

Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest $R_{2}=\sum _{i}q_{i}P_{i}\;$, na podstawie tego otrzymujemy p_k=P_k, Q_k=q_k, $H^{'}=H\;$. Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R₂ jest funkcja tworząca $R_{2}=\sum _{k}f(q_{k},t)P_{k}\;$, dla której zachodzi Q_k=f_k(q_k,t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego q_k i czasu t.

Równania Hamiltona-Jacobiego

Gdy hamiltonian $H^{'}\;$ będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Q_k=const i P_k=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R₂=S(q_k,P_k,t), dla którego wzory (8.71) i (8.72) piszemy przy oznaczeniu jej przez S:

$p_{k}={{\partial S} \over {\partial q_{k}}}\;$

(8.80)

$Q_{k}={{\partial S} \over {\partial P_{k}}}\;$

(8.81)

Wtedy patrząc na wzór (8.73), które przestawia równanie Hamiltona -Jacobiego przy warunku $H^{'}=0\;$ i wykorzystując warunek z oczywistych powodów (8.80), piszemy:

$H\left(q_{k},{{\partial S} \over {\partial q_{k}}},t\right)+{{\partial S} \over {\partial t}}=0\;$

(8.82)

Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem (8.64), w której wiadomo, że S to jest R₂, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu:

${{dS} \over {dt}}={{dR_{1}} \over {dt}}+{{d} \over {dt}}\sum _{k}P_{k}Q_{k}\;$

(8.83)

Dalej wykorzystajmy wzór (8.54) i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t, w ten sposób otrzymujemy równość:

${{dS} \over {dt}}=\sum _{k}p_{k}{\dot {q}}_{k}-\sum P_{k}{\dot {Q}}_{k}+H^{'}-H\;$

(8.84)

Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru (8.84) do równania (8.83) przy założeniu $H^{'}\;$ równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Q_k i P_k względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem (8.80), z którego co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy (8.3), wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a:

${{dS} \over {dt}}=\sum _{i}p_{k}{\dot {q}}_{k}-H=L\;$

(8.85)

Na podstawie wzoru (8.85), całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą):

$S=\int _{0}^{t}L(q_{k},{\dot {q}}_{k},t)dt\;$

(8.86)

Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)

Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym jest:

$H={{1} \over {2m}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)\;$

(8.87)

Jeśli wykorzystamy równość (8.82), która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem (8.80), co przy takich rozważaniach możemy napisać równość:

${{1} \over {2m}}\left[\left({{\partial S} \over {\partial x}}\right)^{2}+\left({{\partial S} \over {\partial y}}\right)^{2}+\left({{\partial S} \over {\partial z}}\right)^{2}\right]+{{\partial S} \over {\partial t}}=0\;$

(8.88)

Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość:

$S=S_{1}(x)+S_{2}(y)+S_{3}(z)+S_{4}(t)\;$

(8.89)

Układ opisywany za pomocą hamiltonianu (8.87) jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to:

$E=H=-{{\partial S} \over {\partial t}}\;$

(8.90)

Wtedy równość (8.88), na podstawie wzoru na wielkość S (8.89) i wzoru na energię E układu (8.90), piszemy:

${{1} \over {2m}}\left[\left({{\partial S_{1}} \over {\partial x}}\right)^{2}+\left({{\partial S_{2}} \over {\partial y}}\right)^{2}+\left({{\partial S_{3}} \over {\partial z}}\right)^{2}\right]+E=0\;$

(8.91)

Ponieważ każdy wyraz występujący w (8.91) w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te S_i:

$S_{1}=P_{1}x\;$

(8.92)

$S_{2}=P_{2}y\;$

(8.93)

$S_{3}=P_{3}z\;$

(8.94)

Mając rozwiązania (8.92), (8.93) i (8.94), które są rozwiązaniem równania (8.91) i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego (8.80), to energia układu na podstawie tego jest wyrażona:

${{1} \over {2m}}\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}\right)=E\;$

(8.95)

Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym (8.95), a także równość na funkcję S (8.90), to całkowite rozwiązanie na funkcję S jest:

$S=P_{1}x+P_{2}y+P_{3}z-{{1} \over {2m}}\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}\right)t\;$

(8.96)

Wyznaczmy teraz wielkości Q_k wedle wzoru (8.81), zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q₁, Q₂, Q₃, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu $H^{'}\;$ i wykorzystując przy tym z (8.95) na wielkość S, wtedy:

${{\partial S} \over {\partial P_{1}}}=x-{{1} \over {m}}P_{1}t=Q_{1}=\operatorname {const} \;$

(8.97)

${{\partial S} \over {\partial P_{2}}}=y-{{1} \over {m}}P_{2}t=Q_{2}=\operatorname {const} \;$

(8.98)

${{\partial S} \over {\partial P_{3}}}=z-{{1} \over {m}}P_{3}t=Q_{3}=\operatorname {const} \;$

(8.99)

Wedle równości (8.97), (8.98) i (8.99) możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z) z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu:

$x={{P_{1}} \over {m}}t+Q_{1}\;$

(8.100)

$y={{P_{2}} \over {m}}t+Q_{2}\;$

(8.101)

$z={{P_{3}} \over {m}}t+Q_{3}\;$

(8.102)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych

Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian (8.18) bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej:

$H={{1} \over {2m}}\left(p_{r}^{2}+{{p_{\phi }^{2}} \over {r^{2}}}+{{p_{\theta }^{2}} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}\right)+U(r,\theta ,\phi )\;$

(8.103)

Teraz przestawmy potencjał U(r,θ,φ) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(φ), i na samym końcu od c(θ), i od zmiennych r, θ, φ:

$U(r,\theta ,\phi )=a(r)+{{b(\phi )} \over {r^{2}}}+{{c(\theta )} \over {r^{2}\sin \phi }}\;$

(8.104)

Ostatni wyraz w (8.104) ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej φ:

$U=a(r)+{{b(\phi )} \over {r^{2}}}\;$

(8.105)

Wzór na potencjał pola (8.105) podstawiamy do (8.103) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), mając wzór na pęd uogólniony (8.80), otrzymujemy wtedy równość różniczkową:

${{1} \over {2m}}\left({{\partial S} \over {\partial r}}\right)^{2}+a(r)+{{1} \over {2mr^{2}}}\left[\left({{\partial S} \over {\partial \phi }}\right)^{2}+2mb(\phi )\right]+{{1} \over {2mr^{2}\sin ^{2}\phi }}\left({{\partial S} \over {\partial \theta }}\right)^{2}+{{\partial S} \over {\partial t}}=0\;$

(8.106)

Możemy uwzględnić, że zmienna θ jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania (8.106), w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych θ, "r", φ i "t":

$S=-Et+p_{\theta }\theta +S_{1}(r)+S_{2}(\phi )\;$

(8.107)

Jeśli do równości (8.106) podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie (8.107), to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr β, który jest w pewnym sensie parametrem stałym:

$\left({{dS_{2}} \over {d\phi }}\right)^{2}+2mb(\phi )+{{p_{\theta }^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}=\beta \;$

(8.108)

${{1} \over {2m}}\left({{dS_{1}} \over {dr}}\right)^{2}+a(r)+{{\beta } \over {2mr^{2}}}=E\;$

(8.109)

Patrząc na równości różniczkowe (8.108) i (8.109) możemy napisać końcową równość na funkcję S (8.107), gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia:

$S=-Et+p_{\theta }\theta +\int {\sqrt {\beta -2mb(\phi )-{{p_{\theta }^{2}} \over {\sin ^{2}\phi }}}}d\phi +\int {\sqrt {2m(E-a(r))-{{\beta } \over {r^{2}}}}}dr\;$

(8.110)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych

Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych ξ i η, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi:

$z={{1} \over {2}}\left(\xi -\eta \right)\;$

(8.111)

$\rho ={\sqrt {\xi \eta }}\;$

(8.112)

Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" (8.111) i współrzędną radialną ρ (8.112):

$r={\sqrt {z^{2}+\rho ^{2}}}={\sqrt {{{1} \over {4}}(\xi ^{2}-\eta ^{2})+\xi \eta }}={{1} \over {2}}{\sqrt {\xi ^{2}-2\xi \eta +4\xi \eta }}={{1} \over {2}}{\sqrt {(\xi +\eta )^{2}}}={{1} \over {2}}(\xi +\eta )\;$

(8.113)

Patrząc na wzory na promień (8.113) i i współrzędną zetową (8.111) od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne ξ i η w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z":

$\xi =r+z\;$

(8.114)

$\eta =r-z\;$

(8.115)

Wzory (8.111) i (8.112) podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:

$L={{1} \over {2}}m({\dot {\rho }}^{2}+\rho ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})-U(\rho ,\theta ,z)={{1} \over {2}}\left[{{1} \over {4}}\left({\sqrt {{\eta } \over {\rho }}}{\dot {\xi }}^{2}+{\sqrt {{\rho } \over {\eta }}}{\dot {\eta }}^{2}\right)^{2}+{{1} \over {4}}\left({\dot {\xi }}-{\dot {\eta }}\right)^{2}+\xi \eta {\dot {\theta }}^{2}\right]-U(\rho ,\theta ,z)=$
$={{m} \over {8}}(\xi +\eta )\left({{{\dot {\xi }}^{2}} \over {\xi }}+{{{\dot {\eta }}^{2}} \over {\eta }}\right)+{{m} \over {2}}\xi \eta {\dot {\theta }}^{2}-U(\xi ,\eta ,\theta )\;$

(8.116)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu (8.116), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

$p_{\xi }={{m} \over {4\xi }}(\eta +\xi ){\dot {\xi }}\;$

(8.117)

$p_{\eta }={{m} \over {4\xi }}(\eta +\xi ){\dot {\eta }}\;$

(8.118)

$p_{\theta }=m\xi \eta {\dot {\theta }}\;$

(8.119)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.116) i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.117), współrzędnej η-owej (8.118) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.119):

$H={{2} \over {m}}{{\xi p_{\xi }^{2}+\eta p_{\eta }^{2}} \over {\xi +\eta }}+{{p_{\theta }^{2}} \over {2m\eta \xi }}+U(\eta ,\xi ,\theta )\;$

(8.120)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od ξ i η:

$U={{a(\xi )+b(\eta )} \over {\eta +\xi }}={{a(r+z)+b(r-z)} \over {2r}}\;$

(8.121)

Wzór na potencjał pola (8.121) podstawiamy do (8.120) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), wykorzystując wzór na pęd uogólniony (8.80), wtedy mamy równanie różniczkowe:

${{2} \over {m(\xi +\eta )}}\left[\xi \left({{\partial S} \over {\partial \xi }}\right)^{2}+\eta \left({{\partial S} \over {\partial \eta }}\right)^{2}\right]+{{1} \over {2m\xi \eta }}\left({{\partial S} \over {\partial \theta }}\right)^{2}+{{a(\xi )+b(\eta )} \over {\eta +\xi }}+{{\partial S} \over {\partial t}}=0\;$

(8.122)

Równość (8.122) mnożymy przez m(ξ+η) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych ξ, η i θ mając na uwadze (8.90), bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali:

$2\xi \left({{\partial S} \over {\partial \xi }}\right)^{2}+ma(\xi )+m{{\partial S} \over {\partial t}}\xi +{{p_{\theta }^{2}} \over {2\xi }}+2\eta \left({{\partial S} \over {\partial \eta }}\right)^{2}+mb(\eta )+m{{\partial S} \over {\partial t}}\eta +{{p_{\theta }^{2}} \over {2\eta }}=0\;$

(8.123)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η:

$S=-Et+p_{\theta }\theta +S_{1}(\xi )+S_{2}(\eta )\;$

(8.124)

Funkcję (8.124) możemy podstawić do równości (8.123) i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr β, otrzymujemy dwa poniższe równości:

$2\xi \left({{\partial S_{1}} \over {\partial \xi }}\right)^{2}+ma(\xi )-mE\xi +{{p_{\theta }^{2}} \over {2\xi }}=\beta \;$

(8.125)

$2\eta \left({{\partial S_{2}} \over {\partial \eta }}\right)^{2}+mb(\eta )-mE\eta +{{p_{\theta }^{2}} \over {2\eta }}=-\beta \;$

(8.126)

Równości (8.125), (8.126) rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η w sposób:

$S=-Et+p_{\theta }\theta +\int {\sqrt {{{mE} \over {2}}+{{\beta } \over {2\xi }}-{{ma(\xi )} \over {2\xi }}-{{p_{\theta }^{2}} \over {4\xi ^{2}}}}}d\xi +\int {\sqrt {{{mE} \over {2}}-{{\beta } \over {2\eta }}-{{mb(\eta )} \over {2\xi }}-{{p_{\theta }^{2}} \over {4\eta ^{2}}}}}d\eta \;$

(8.127)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych

Wprowadźmy teraz współrzędne (ξ,η,θ), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne ρ i "z", których definicje są:

$\rho =\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\;$

(8.128)

$z=\sigma \xi \eta \;$

(8.129)

Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego ξ zmienia się od jedynki do nieskończoności, a η zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r₁ i r₂, których definicję są $r_{1}={\sqrt {(z-\sigma )^{2}+\rho ^{2}}}\;$ i $r_{2}={\sqrt {(z+\sigma )^{2}+\rho ^{2}}}\;$, które definiujemy jako odległości od punktów z=σ i z=-σ, wtedy do tych odległości podstawimy wzory (8.128) i (8.129), otrzymujemy:

$r_{1}={\sqrt {(\sigma \xi \eta -\sigma )^{2}+\sigma ^{2}(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}=\sigma {\sqrt {\left(\xi ^{2}\eta ^{2}+1-2\xi \eta +\xi ^{2}-\xi ^{2}\eta ^{2}-1+\eta ^{2}\right)}}=\sigma {\sqrt {\eta ^{2}+\xi ^{2}-2\xi \eta }}=\sigma {\sqrt {(\eta -\xi )^{2}}}=\;$
$=\sigma (\xi -\eta )$

(8.130)

$r_{2}={\sqrt {(\sigma \xi \eta +\sigma )^{2}+\sigma ^{2}(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}=\sigma {\sqrt {\left(\xi ^{2}\eta ^{2}+1+2\xi \eta +\xi ^{2}-\xi ^{2}\eta ^{2}-1+\eta ^{2}\right)}}=\sigma {\sqrt {\eta ^{2}+\xi ^{2}+2\xi \eta }}=\sigma {\sqrt {(\eta +\xi )^{2}}}=\;$
$=\sigma (\xi +\eta )$

(8.131)

Z których to z (8.130) i z (8.131) wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r₁, r₂ i σ, które są związkami na współrzędne eliptyczne ξ, i η:

$\xi ={{r_{2}+r_{1}} \over {2\sigma }}\;$

(8.132)

$\eta ={{r_{2}-r_{1}} \over {2\sigma }}\;$

(8.133)

Podstawiamy wzory (8.128) i (8.129), które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:

$L={{m} \over {2}}\left[\sigma ^{2}\left({\sqrt {{1-\eta ^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}}\xi {\dot {\xi }}-{\sqrt {{\xi ^{2}-1} \over {1-\eta ^{2}}}}\eta {\dot {\eta }}\right)^{2}+\sigma ^{2}\left(\xi {\dot {\eta }}+\eta {\dot {\xi }}\right)^{2}+\sigma ^{2}(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}\right]-U=\;$
$={{m\sigma ^{2}} \over {2}}\left[{{1-\eta ^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}\xi ^{2}{\dot {\xi }}^{2}+{{\xi ^{2}-1} \over {1-\eta ^{2}}}\eta ^{2}{\dot {\eta }}^{2}-2\xi \eta {\dot {\xi }}{\dot {\eta }}+\xi ^{2}{\dot {\eta }}^{2}+\eta ^{2}{\dot {\xi }}^{2}+2\eta \xi {\dot {\xi }}{\dot {\eta }}+(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}\right]^{2}-\;$
$-U={{m\sigma ^{2}} \over {2}}\left[{{1-\eta ^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}\xi ^{2}{\dot {\xi }}^{2}+{{\xi ^{2}-1} \over {1-\eta ^{2}}}\eta ^{2}{\dot {\eta }}^{2}+\xi ^{2}{\dot {\eta }}^{2}+\eta ^{2}{\dot {\xi }}^{2}+(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}\right]-U=\;$
$={{m\sigma ^{2}} \over {2}}\left[{{(1-\eta ^{2})\xi ^{2}+\eta ^{2}(\xi ^{2}-1)} \over {\xi ^{2}-1}}{\dot {\xi }}^{2}+{{(\xi ^{2}-1)\eta ^{2}+\xi ^{2}(1-\eta ^{2})} \over {1-\eta ^{2}}}{\dot {\eta }}+(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}\right]-U=\;$
$={{m\sigma ^{2}} \over {2}}\left(\xi ^{2}-\eta ^{2}\right)\left({{{\dot {\xi }}^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}+{{{\dot {\eta }}^{2}} \over {1-\eta ^{2}}}\right)+{{m\sigma ^{2}} \over {2}}(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}^{2}-U(\xi ,\eta ,\theta )\;$

(8.134)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję (8.1), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

$p_{\xi }=m\sigma ^{2}{{\xi ^{2}-\eta ^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}{\dot {\xi }}\;$

(8.135)

$p_{\eta }=m\sigma ^{2}{{\xi ^{2}-\eta ^{2}} \over {1-\eta ^{2}}}{\dot {\eta }}\;$

(8.136)

$p_{\theta }=m\sigma ^{2}(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}){\dot {\theta }}\;$

(8.137)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.134) przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.135), współrzędnej η-owej (8.136) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.137):

$H={{1} \over {2m\sigma ^{2}(\xi ^{2}-\eta ^{2})}}\left[(\xi ^{2}-1)p_{\xi }^{2}+(1-\eta ^{2})p_{\eta }^{2}+\left({{1} \over {\xi ^{2}-1}}+{{1} \over {1-\eta ^{2}}}\right)p_{\theta }^{2}\right]+U(\xi ,\eta ,\theta )\;$

(8.138)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola przestawiona:

$U={{a(\xi )+b(\eta )} \over {\xi ^{2}-\eta ^{2}}}={{a(\xi )+b(\eta )} \over {{{(r_{2}+r_{1})^{2}} \over {4\sigma ^{2}}}-{{(r_{2}-r_{1})^{2}} \over {4\sigma ^{2}}}}}={{\sigma ^{2}} \over {r_{1}r_{2}}}\left[a\left({{r_{2}+r_{1}} \over {2\sigma }}\right)+b\left({{r_{2}-r_{1}} \over {2\sigma }}\right)\right]\;$

(8.139)

Wzór na potencjał pola (8.139) podstawiamy do (8.138) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), a także wzór na pęd uogólniony (8.80), który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe:

$-2m\sigma ^{2}{{\partial S} \over {\partial t}}={{1} \over {\xi ^{2}-\eta ^{2}}}{\Bigg [}(\xi ^{2}-1)\left({{\partial S} \over {\partial \xi }}\right)^{2}+(1-\eta ^{2})\left({{\partial S} \over {\partial \eta }}\right)^{2}+\left({{1} \over {\xi ^{2}-1}}+{{1} \over {1-\eta ^{2}}}\right)\left({{\partial S} \over {\partial \theta }}\right)^{2}+2m\sigma ^{2}a(\xi )+2m\sigma ^{2}b(\eta ){\Bigg ]}\;$

(8.140)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej:

$S=-Et+p_{\theta }\theta +S_{1}(\xi )+S_{2}(\eta )\;$

(8.141)

Funkcję (8.141) możemy podstawić do równości (8.140) i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych:

$2m\sigma ^{2}E(\xi ^{2}-1)-(\xi ^{2}-1)\left({{\partial S_{1}} \over {\partial \xi }}\right)^{2}-{{p_{\theta }^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}-2m\sigma ^{2}a(\xi )+2m\sigma ^{2}E(1-\eta ^{2})-(1-\eta ^{2})\left({{\partial S_{2}} \over {\partial \eta }}\right)^{2}-{{p_{\theta }^{2}} \over {1-\eta ^{2}}}+\;$
$-2m\sigma ^{2}b(\eta )=0\;$

(8.142)

Równanie różniczkowe (8.142) możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze β:

$2m\sigma ^{2}E(\xi ^{2}-1)-(\xi ^{2}-1)\left({{\partial S_{1}} \over {\partial \xi }}\right)^{2}-{{p_{\theta }^{2}} \over {\xi ^{2}-1}}-2m\sigma ^{2}a(\xi )=-\beta \;$

(8.143)

$2m\sigma ^{2}E(1-\eta ^{2})-(1-\eta ^{2})\left({{\partial S_{2}} \over {\partial \eta }}\right)^{2}-{{p_{\theta }^{2}} \over {1-\eta ^{2}}}-2m\sigma ^{2}b(\eta )=\beta \;$

(8.144)

Równości (8.143), (8.144) rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η:

$S=-Et+p_{\theta }\theta +\int {\sqrt {2m\sigma ^{2}E+{{\beta -2m\sigma ^{2}a(\xi )} \over {\xi ^{2}-1}}-{{p_{\theta }^{2}} \over {(\xi ^{2}-1)^{2}}}}}d\xi +\int {\sqrt {2m\sigma ^{2}E-{{\beta +2m\sigma ^{2}b(\eta )} \over {1-\eta ^{2}}}-{{p_{\theta }^{2}} \over {(1-\eta ^{2})^{2}}}}}d\eta$

(8.145)