Mechanika teoretyczna/Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Kanoniczne metody mechaniki klasycznej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy się tutaj zajmować się definicją pędu uogólnionego, a także definicją Hamiltonianu, a także przepiszemy i udowodnimy równania Hamiltona. Bez tych wprowadzeń nie było by możliwe sformułowania zasad mechaniki kwantowej.

Równania kanoniczne Hamiltona i jego funkcje[edytuj]

W punkcie wprowadziliśmy definicję Lagrangianu (6.23), w oparciu o ten obiekt w prowadzimy pęd uogólniony, który jest pochodną cząstkową Lagrangianu względem pochodnej współrzędnej uogólnionej lub w postaci wektorowej, w której wskaźnik "a" przestawia numer cząstki:

(8.1)
(8.2)

Zakładamy, źe prędkość uogólniona zależy od współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionej (8.1), a także na samym końcu od czasu.

(8.3)

Wprowadźmy teraz funkcję zwaną funkcją Hamiltona, którego definicja jest sumą iloczynu prędkości uogólnionych (8.3) i pędu uogólnionego (8.1) odejmując od tak otrzymanego wyrażenia funkcję Lagrange'a:

(8.4)

Policzmy teraz pochodne funkcje Hamiltona (8.4) względem współrzędnej uogólnionej, pędu uogólnionego, a także czasu:

(8.5)
(8.6)
(8.7)

2f równań różniczkowych (8.5), (8.6) i (8.7), są one równoważne f równań różniczkowych Eulera-Lagrange'a. Z równania różniczkowego (6.27) i z definicji funkcji Hamiltona, patrząc na samym końcu na tożsamość (8.7), możemy powiedzieć:

(8.8)

Widzimy, że na podstawie tożsamości (8.8), jeśli Hamiltonian (8.4) nie zależy od czasu, to hamiltonian jest energią całkowitą układu wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.30), i ten hamiltonian jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej, zatem na podstawie tego zachodzi tożsamość:

(8.9)

Patrząc na pierwsze równanie Hamiltona (8.5), a także na podstawie równania Eulera-Lagrange'a (6.24), możemy powiedzieć:

(8.10)

Jeśli zmienna uogólniona qk jest zmienną cykliczną, zatem na podstawie (8.10) możemy powiedzieć, że hamiltonian ten nie zależy od tej zmiennej, czyli jeśli lagrangian nie zależy od zmiennej qk, to hamiltonian też nie zależy od niej.

Przykłady funkcji Hamiltona w mechanice analitycznej[edytuj]

Ciało umieszczone na sprężynie[edytuj]

Hamiltonian rozważanego przypadku jest napisany wzorem poniżej, którego definicją jest napisana w zmiennych pędu kulki i długości odkształcenia sprężynki od położenia równowagi.

(8.11)

Prędkość i pęd uogólniony dla hamiltonianu (8.11) liczymy ze wzorów:

(8.12)
(8.13)

Problem poruszających się planet w układzie współrzędnych kulistych[edytuj]

Wykorzystajmy wzór na prędkość ciała w układzie kulistym (1.29) i napiszemy wtedy nasz Lagrangian w tymże układzie współrzędnych kulistych:

(8.14)

Następnym krokiem jest wyznaczenie pędów uogólnionych wykorzystując przy tym fakt (8.1):

(8.15)
(8.16)
(8.17)

Hamiltonian (8.4) możemy napisać jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej, który jest wielkością stałą, w której występuje Lagrangian nasz rozważany (8.14), która tą wielkość możemy zapisać, wykorzystując przy tym wyliczone pędy, które to zrobiliśmy w punktach (8.15), (8.16) i (8.17):

(8.18)

Cząstka o ładunku q w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Zwykle lagrangian definiujemy jako różnicę energii kinetycznej i potencjalnej danej cząstki, gdy potencjał wektorowy jest równy zero, to nasza definicja Lagrangianu jest zgodna z naszymi rozważaniami co do tej definicji wspomnianej wielkości, ale gdy potencjał natomiast wektorowy jest nie równy zero, to:

(8.19)

Wektor pędu uogólnionej na podstawie jej definicji dla współrzędnych (8.1) piszemy wedle:

(8.20)

Widzimy, że pęd cząstki w polu elektromagnetycznym na podstawie obliczeń (8.20) jest równy pędowi klasycznemu cząstki plus pęd związany z polem magnetycznym, który powstaje, gdy cząstka ma pewien ładunek. Hamiltonian nasz piszmy wedle schematu:

(8.21)

Nawiasy Poissona[edytuj]

Wprowadźmy teraz nawiasy Poissona, które definiujemy dla funkcji F, i G w mechanice klasycznej:

(8.22)

Wyznaczmy czemu jest równy nawias Poissona, gdy pierwszą rozważaną funkcją F, a drugą funkcją jest G, i wiedząc jednocześnie, że zmienne pi i qi są niezależne od siebie, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć nawias Poissona położenia uogólnionego qi i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z pochodnej cząstkowej funkcji F względem pędu uogólnionego pi:

(8.23)

A także możemy powiedzieć nawias Poissona pędu uogólnionego pi i funkcji F, a jak się dowiemy jest on równy z minusem pochodnej cząstkowej funkcji F względem położenia uogólnionego qi:

(8.24)

Również bardzo łatwo się wyznacza nawiasy Poissona, których to skorzystamy z obliczeń wynikłych (8.23) i (8.24), wtedy mówimy:

(8.25)
(8.26)
(8.27)

Wyznaczmy czemu jest równa pochodna zupełna funkcji F względem czasu, wiedząc że zachodzą tożsamości Hamiltona (8.5) i (8.6):

(8.28)

Mając końcowy wynik uzyskany w punkcie (8.28) i wiedząc, że funkcja F jest za jednym razem współrzędną położenia uogólnionego, a za drugim razem jest współrzędną pędu uogólnionego, wtedy powiemy, że obowiązują dla nas tożsamości:

(8.29)
(8.30)

Wielkość F jest zachowana, gdy pochodna zupełna tejże wielkości nie zależy od czasu, zatem na podstawie tożsamości (8.28) możemy powiedzieć:

(8.31)

Gdy za funkcje F wstawimy we wzorze (8.28) hamiltonian , to otrzymamy bardzo ważną tożsamość, której to udowodniliśmy w punkcie (8.8), zatem tutaj wykorzystując nawiasy Poissona:

(8.32)

Ważne elementarne tożsamości[edytuj]

Bardzo elementarnymi tożsamościami są takie, że w definicji nawiasu Poissona (8.22) względem przestawień argumentów jest wyrażeniem funkcyjnym nieparzystym, a także, gdy jedna z funkcji w tej definicji jest funkcją stałą, które to te twierdzenia przestawimy je razem w jednej linijce:

(8.33)
(8.34)

Tożsamością polegająca na różniczkowaniu cząstkowym nawiasu Poissona (8.22) względem czasu "t" przedstawiamy:

(8.35)

Tożsamość Jacobiego[edytuj]

Tożsamością Jacobiego względem funkcji f,g,h nazywamy tożsamość:

(8.36)

W celu dowodu tożsamości (8.36) należy zauważyć, że nawiasy Poissona są jednorodną formą dwuliniową, jeśli jest jednorodną funkcją pochodnych cząstkowych drugiego rzędu względem "f" i "g" ,wtedy jak można zauważyć, że po lewej stronie dowodzonej naszej tożsamości wyrażenie jest jednorodną funkcją drugich pochodnych, zatem wprowadźmy operatory D1(φ)={g,φ}P i D2(φ)={h,φ}P, wtedy należy policzyć wyrażenie:

(8.37)

Wprowadźmy teraz definicję operatorów D1 i D2 przy pomocy kombinacji liniowych operatorów różniczkowania, która nie może w sobie zawierać pochodnych drugiego rzędu funkcji f.

(8.38)
(8.39)

Wtedy możemy policzyć złożenie operatorów D1 (8.38) i D2 (8.39) na dwa sposoby:

(8.40)
(8.41)

A różnica złożeń operatorów D1 (8.38), D2 (8.39), czyli (8.40) i (8.41) możemy przestawić poprzez:

(8.42)

Widzimy, że w lewej stronie tożsamości (8.37) upraszczają się drugie pochodne cząstkowe względem funkcji f (to samo dotyczy funkcji g i h), wtedy dla funkcji f, dla której działanie -(D1D2-D2D1) na tą właśnie funkcję jest nawiasem , który jest pochodną pierwszego rzędu względem funkcji f (podobnie to dotyczy funkcji g i h), zatem cała lewa strona funkcji (8.36) jest tożsamościowo równa zero.

Twierdzenie Poissona[edytuj]

Jeśli funkcje f i g są całkami ruchu, to nawias Poissona napisany poniżej też jest całką ruchu:

(8.43)

Dowód tego twierdzenia, gdy f i g nie zależą jawnie od czasu (wtedy na podstawie (8.22) pochodna zupełna względem czasu jest równa nawiasowi Poissona ), to wtedy mając to na uwadze, to wyrażenie (8.36) podstawia się wtedy h=H, zatem:

(8.44)

Z tożsamości (8.44) wynika, że jeśli , (to wtedy pochodna zupełna funkcji f i g jest równa zero), to również jest równa zero (pochodna zupełna funkcji jest równa zero), zatem na podstawie (8.44) zachodzi (8.43). Jeśli natomiast f i g zależą jawnie od czasu, wtedy na podstawie (8.28) zachodzi tożsamość:

(8.45)

Do wzoru (8.45) wykorzystujemy wyrażenie na pochodną cząstkową nawiasu Poissona (8.35), a także wynikłe z tożsamości Jacobiego (8.36), wtedy:

(8.46)

Do obliczeń (8.46) do wyrażenia występującego w nawiasach Poissona wykorzystujemy tożsamość (8.28), i dalej wyniku tego twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym jest:

(8.47)

Transformacje uogólnionych położeń i pędów jako transformacje kanoniczne[edytuj]

Obierzmy sobie pędy i położenia uogólnione, które są spełnione w nowym układzie współrzędnych, które są funkcjami pędów i położeń uogólnionych i czasów, których to razem jest 2f współrzędnych:

(8.48)
(8.49)

W układzie współrzędnych uogólnionych po transformacji, te współrzędne są określone jako:

(8.50)
(8.51)

Wariacja Lagrangianu zbudowanego za pomocą współrzędnych uogólnionych dla układu przed i po transformacji, w której to wariacja tych lagrangianów jest równa zero, wtedy Lagrangian w starym i nowym współrzędnych różnią się o pewną pochodną funkcji R1, którego przecałkujemy obie strony naszego związku dotyczącej Lagrangianu, otrzymujemy:

(8.52)
(8.53)

Jeśli wykorzystamy wzór na hamiltonian (8.4) i z tego wzoru napiszmy Lagrangian i na sam koniec, jeśli wykorzystamy tożsamość (8.52), wnioskujemy:

(8.54)

Z drugiej jednak strony różniczkę funkcji R1 możemy rozpisać względem współrzędnych qk, Qk i czasu, dostajemy:

(8.55)

Jeśli porównamy wzory na różniczki zupełne funkcji R1, tzn. tożsamość końcową (8.54) z (8.55), w ten sposób możemy napisać tożsamości:

(8.56)
(8.57)
(8.58)

Wzory (8.56), (8.57) i na samym końcu (8.58) stanowią swoisty przepis na transformacje kanoniczne. W każdym bodź razem możemy obrać funkcję R1, która stanowi jakoby funkcję tworzącą. Zatem wybierzmy teraz funkcję tworzącą R1, którego przepis jest , wtedy wykorzystując wzory (8.56), (8.57) i (8.58), wtedy na podstawie dla naszej funkcji tworzącej możemy napisać zależności:

(8.59)
(8.60)
(8.61)

Omawiana transformacja zmienia rolami pęd uogólniony z położeniem uogólnionym, a położenie uogólnione z pędem uogólnionym, co dla nasz definicja Hamiltonianu wygląda:

(8.62)

Również wykorzystuje się równanie poniżej i rozwiązuje się go nie jako w zmiennych qk i Qk, ale w zmiennych qk, pk, Qk, Pk wybierając z niego 2f zmiennych z 4f zmiennych, tzn. z (qk,pk,Qk,Pk), zatem wykorzystując równanie (8.58) dostajemy:

(8.63)

wtedy należy podać taką postać funkcji tworzącej R1 zwaną transformacjami Legendre'a, poprzez inne funkcje tworzące, które są podane w postaci poniżej, co można uzyskać ją w trzech sposobach:

(8.64)
(8.65)
(8.66)

Następnie możemy policzyć różniczki zupełne funkcji R1 w możliwościach wedle trzech możliwości podanych powyżej, tzn. wedle (8.64), (8.65) i (8.66):

(8.67)
(8.68)
(8.69)

Jeśli równanie (8.54) zapisujemy w specjalnie dedykowanej postaci dla powyższych przestawień różniczki funkcji tworzącej R1, czyli dla (8.67), (8.68), (8.69), tzn. w postaci:

(8.70)

Jeśli porównamy wzory (8.67), (8.68), (8.69) z odpowiednimi wzorami (8.70), to wtedy otrzymamy wzory na odpowiednie współrzędne pk, qk, Pk i Qk, zatem dostajemy wzory poniżej:

(8.71)
(8.72)
(8.73)
(8.74)
(8.75)
(8.76)
(8.77)
(8.78)
(8.79)


Przykładem funkcji tworzącej jest funkcja, której definicja jest , na podstawie tego otrzymujemy pk=Pk, Qk=qk, . Jak widzimy, że ona jest funkcją tworzącą tożsamościową. Innym przykładem funkcji R2 jest funkcja tworząca , dla której zachodzi Qk=fk(qk,t), co ono jest dowolną funkcją we współrzędnych położenia uogólnionego qk i czasu t.

Równania Hamiltona-Jacobiego[edytuj]

Gdy hamiltonian będzie miał najprostszą postać, gdy ten hamiltonian przyjmuje wartość zerową, wtedy w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi: Qk=const i Pk=const. Załóżmy, że istnieje pewna funkcji tworząca R2=S(qk,Pk,t), dla którego wzory (8.71) i (8.72) piszemy przy oznaczeniu jej przez S:

(8.80)
(8.81)

Wtedy patrząc na wzór (8.73), które przestawia równanie Hamiltona -Jacobiego przy warunku i wykorzystując warunek z oczywistych powodów (8.80), piszemy:

(8.82)

Pochodną wielkości S można wykorzystać w takiej postaci, które to przestawimy wzorem (8.64), w której wiadomo, że S to jest R2, co wyznaczając pochodną zupełną wielkości S względem czasu:

(8.83)

Dalej wykorzystajmy wzór (8.54) i dzieląc obustronnie przez różniczkę zupełną względem czasu t, w ten sposób otrzymujemy równość:

(8.84)

Dalszym krokiem jest podstawienie wzoru (8.84) do równania (8.83) przy założeniu równej zero i pamiętając, że dowolna pochodna zupełna wielkości Qk i Pk względem czasu są wielkościami równe zero, zatem pochodna zupełna wielkości S względem czasu t jest określona wzorem (8.80), z którego co będziemy wykorzystywać definicję funkcji Hamiltona, która jest zapisana przy (8.3), wtedy powiemy, że pochodna funkcji S względem czasu jest równa funkcji Lagrange'a:

(8.85)

Na podstawie wzoru (8.85), całkując obie strony tego wzoru względem czasu, otrzymujemy wzór na wielkość S (funkcję tworzącą):

(8.86)

Ruch ciała bez udziału sił (ruch swobodny)[edytuj]

Hamiltonian dla ruchu swobodnego jest definiowany z pomocą uogólnionych pędów, którego zapis dla naszego ruchu w przypadku nierelatywistycznym jest:

(8.87)

Jeśli wykorzystamy równość (8.82), która jest równością Hamiltona-Jacobiego, czyli za wielkości pędów uogólnionych podstawiamy wielkość, którą piszemy wzorem (8.80), co przy takich rozważaniach możemy napisać równość:

(8.88)

Jeśli dodatkowo napiszemy funkcję S(x,y,z,t) jako sumę czterech składników, których każda zależy od innej zmiennej, co możemy napisać równość na tą wielkość:

(8.89)

Układ opisywany za pomocą hamiltonianu (8.87) jest wielkością stałą, czyli układ jest konserwatywny, wtedy na pewno jest spełniona równość na Hamiltonian (całkowitą energię układu), to:

(8.90)

Wtedy równość (8.88), na podstawie wzoru na wielkość S (8.89) i wzoru na energię E układu (8.90), piszemy:

(8.91)

Ponieważ każdy wyraz występujący w (8.91) w nawiasie zależy za każdym razem od innej zmiennej, to wtedy możemy napisać tożsamość na te Si:

(8.92)
(8.93)
(8.94)

Mając rozwiązania (8.92), (8.93) i (8.94), które są rozwiązaniem równania (8.91) i wykorzystując wzór na definicję pędu uogólnionego (8.80), to energia układu na podstawie tego jest wyrażona:

(8.95)

Wykorzystując równość na całkowitą energię cząstki poruszającej się ruchem swobodnym (8.95), a także równość na funkcję S (8.90), to całkowite rozwiązanie na funkcję S jest:

(8.96)

Wyznaczmy teraz wielkości Qk wedle wzoru (8.81), zatem w takim przypadku możemy napisać wielkości Q1, Q2, Q3, które są wielkościami stałymi z założenia zerowania się hamiltonianu i wykorzystując przy tym z (8.95) na wielkość S, wtedy:

(8.97)
(8.98)
(8.99)

Wedle równości (8.97), (8.98) i (8.99) możemy napisać warunki na współrzędne wielkości (x, y,z) z jakimi to współrzędne będą się poruszać względem czasu:

(8.100)
(8.101)
(8.102)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych kulistych[edytuj]

Rozpatrzmy hamiltonian we współrzędnych kulistych, mając hamiltonian (8.18) bez udziału energii potencjalnej, który tutaj piszemy poprzez wzór z udziałem energii potencjalnej:

(8.103)

Teraz przestawmy potencjał U(r,θ,φ) w postaci wzoru zależnego od stałych zależnego od parametrów a(r), b(φ), i na samym końcu od c(θ), i od zmiennych r, θ, φ:

(8.104)

Ostatni wyraz w (8.104) ma wątpliwe zastosowanie fizyczne, więc we wzorze na energię potencjalną będziemy ten wyraz pomijać i potencjał pola będziemy pisać w postaci równania zależnego od promienia "r", i od zmiennej kątowej φ:

(8.105)

Wzór na potencjał pola (8.105) podstawiamy do (8.103) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), mając wzór na pęd uogólniony (8.80), otrzymujemy wtedy równość różniczkową:

(8.106)

Możemy uwzględnić, że zmienna θ jest zmienną cykliczną, zatem szukamy rozwiązania równania (8.106), w której każdy jego wyraz zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych θ, "r", φ i "t":

(8.107)

Jeśli do równości (8.106) podstawiamy przypuszczalne rozwiązanie (8.107), to dostajemy metodą zmiennych rozdzielonych dwa równania wprowadzając przy okazji parametr β, który jest w pewnym sensie parametrem stałym:

(8.108)
(8.109)

Patrząc na równości różniczkowe (8.108) i (8.109) możemy napisać końcową równość na funkcję S (8.107), gdzie tutaj przepisujemy w postaci równości, w której są dwie całki do policzenia:

(8.110)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych parabolicznych[edytuj]

Wzory na współrzędne cylindryczne definiujemy jako zależne od współrzędnych ξ i η, które nazwiemy w tym przypadku współrzędnymi parabolicznymi:

(8.111)
(8.112)

Wzór na promień w naszym przypadku możemy otrzymać z twierdzenia Pitagorasa podstawiając do jego definicji współrzędną "z" (8.111) i współrzędną radialną ρ (8.112):

(8.113)

Patrząc na wzory na promień (8.113) i i współrzędną zetową (8.111) od razu otrzymujemy tożsamości na współrzędne ξ i η w zależności od promienia "r" i zetowej współrzędnej "z":

(8.114)
(8.115)

Wzory (8.111) i (8.112) podstawiamy do definicji Lagrangianu "L" przestawionej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:


(8.116)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione, wykorzystując definicję naszego lagrangianu (8.116), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

(8.117)
(8.118)
(8.119)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.116) i przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.117), współrzędnej η-owej (8.118) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.119):

(8.120)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym jest dla współrzędnych parabolicznych, gdy funkcją potencjału pola jest U zależne od ξ i η:

(8.121)

Wzór na potencjał pola (8.121) podstawiamy do (8.120) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), wykorzystując wzór na pęd uogólniony (8.80), wtedy mamy równanie różniczkowe:

(8.122)

Równość (8.122) mnożymy przez m(ξ+η) i przestawiając w nim wyrazy, w ten sposób otrzymujemy równość różniczkową na S w zmiennych ξ, η i θ mając na uwadze (8.90), bo jeden wyraz zależy od zmiennej czasowej, której dalej będziemy rozpatrywali:

(8.123)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η:

(8.124)

Funkcję (8.124) możemy podstawić do równości (8.123) i metodą rozdzielania zmiennych, wprowadzając parametr β, otrzymujemy dwa poniższe równości:

(8.125)
(8.126)

Równości (8.125), (8.126) rozwiązujemy, w ten sposób otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η w sposób:

(8.127)

Ruch ciała w polu potencjalnych we współrzędnych eliptycznych[edytuj]

Wprowadźmy teraz współrzędne (ξ,η,θ), dla które wprowadzamy poprzez współrzędne cylindryczne ρ i "z", których definicje są:

(8.128)
(8.129)

Współrzędne eliptyczne definiuje się w taki sposób, dla którego ξ zmienia się od jedynki do nieskończoności, a η zmienia się od -1 do +1. Z definiujmy teraz odległości r1 i r2, których definicję są i , które definiujemy jako odległości od punktów z=σ i z=-σ, wtedy do tych odległości podstawimy wzory (8.128) i (8.129), otrzymujemy:

(8.130)
(8.131)

Z których to z (8.130) i z (8.131) wynikają to związki zdefiniowane zapisane przy pomocy r1, r2 i σ, które są związkami na współrzędne eliptyczne ξ, i η:

(8.132)
(8.133)

Podstawiamy wzory (8.128) i (8.129), które opisują współrzędne cylindryczne przy pomocy współrzędnych eliptycznych, do wzoru na lagrangian napisanej we współrzędnych cylindrycznych, otrzymujemy:





(8.134)

Wyznaczmy teraz pędy uogólnione wykorzystując jego definicję (8.1), która jest pochodną lagrangianu względem prędkości uogólnionej, którą przestawimy względem współrzędnych ξ η i θ:

(8.135)
(8.136)
(8.137)

Napiszmy teraz hamiltonian przy pomocy funkcji Lagrange'a (8.134) przy pomocy definicji uogólnionych pędów, tzn. współrzędnej ξ-owej (8.135), współrzędnej η-owej (8.136) i na samym końcu od współrzędnej θ-owej (8.137):

(8.138)

Dla nas interesującym przypadkiem fizycznym dla współrzędnych eliptycznych jest funkcja potencjału pola przestawiona:

(8.139)

Wzór na potencjał pola (8.139) podstawiamy do (8.138) wykorzystując teorię Hamiltona-Jacobiego (8.82), a także wzór na pęd uogólniony (8.80), który podstawimy do wzoru na hamiltonian, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe:

(8.140)

Ponieważ funkcja θ jest zmienną cykliczną powyższego równania, to funkcję S możemy przepisać w postaci czterech składników, w których każda zależy od innej zmiennej ze zbioru zmiennych "t", θ, ξ i η, pamiętając, że jeden wyraz w powyższym wyrażeniu zależy od zmiennej czasowej:

(8.141)

Funkcję (8.141) możemy podstawić do równości (8.140) i tak grupować będziemy dalej wyrazy w poniższym wyrażeniu by było można było go rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych:

(8.142)

Równanie różniczkowe (8.142) możemy rozwiązać metodą zmiennych rozdzielonych, w ten sposób otrzymujemy dwa równania przy wprowadzonym parametrze β:

(8.143)
(8.144)

Równości (8.143), (8.144) rozwiązujemy, wtedy otrzymujemy wzór na S, co to wyrażamy go poprzez dwie całki zależne od zmiennych ξ i η:

(8.145)