Mechanika teoretyczna/Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

(Rys. 11.1) Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Będziemy się tutaj zajmować równaniami materiałowymi, które np. opisuje właściwości sprężyste sprężyny, a także zobaczmy jaka jest zależność tensora napięć od temperatury w przybliżeniu liniowym i na samym końcu podamy twierdzenie o zjawisku, które się nazywa tarciem. Rysunek obok pokazuje co się stanie z ciałem, gdy na niego działamy coraz większym naprężeniem.

Według rysunku obok zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a dzielimy na zakres obowiązywania prawa Hooke'a, na nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych, na zakres odkształceń plastycznych i na zakres symbolizujący zerwanie próbki.

Prawo Hooke'a

W zakresie sprężystym dla danego ciała tensor napięć jest wprost proporcjonalny do współczynnika , który określa deformację naszego badanego ciała. Jest to równanie określane według:

$\sigma _{ij}=c_{ijkl}\epsilon _{kl}\;$

(11.1)

Współczynniki c_ijkl nazywamy modułami sprężystymi. Ponieważ tensor napięć i tensor deformacji z samej definicji są tensorami symetrycznymi względem przestawień wskaźników, z symetryczności tensora c_ijkl możemy powiedzieć:

$c_{ijkl}=c_{jikl}=c_{ijlk}=c_{jilk}\;$

(11.2)

Wprowadźmy teraz funkcję Φ, w taki sam sposób jak we wzorze (10.31) mającej te same właściwości, zatem na podstawie naszej definicji Φ możemy napisać tożsamość:

${{\partial \Phi } \over {\partial \epsilon _{ij}}}=\sigma _{ij}=c_{ijkl}\epsilon _{kl}\;$

(11.3)

I jeszcze raz zróżniczkujmy tensor (11.3) względem tensora deformacji, ale ze wskaźnikami k i l, czyli liczymy drugie pochodne względem tensora deformacji ε_kl i ε_ij, wtedy powiemy:

${{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial \epsilon _{ij}\partial \epsilon _{kl}}}=c_{ijkl}\wedge {{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial \epsilon _{kl}\partial \epsilon _{ij}}}=c_{klij}\;$

(11.4)

W obliczeniach (11.4) widzimy, że drugie pochodne z definicji przemienności liczenia pochodnych one są sobie równe, stąd wynika symetryczność modułu sprężystości względem przestawień wskaźników dwóch pierwszych z dwiema drugimi, więc mamy:

$c_{ijkl}=c_{klij}\;$

(11.5)

Napiszmy funkcję $\Phi \;$ jako funkcję tensorów deformacji (9.41) (lub (9.42):

$\Phi ={{1} \over {2}}c_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}\;$

(11.6)

Sprawdźmy, czy zachodzi wzór (11.3) wykorzystując definicję funkcji $\Phi \;$ (11.6) i wzór na przemienność wskaźników modułu sprężystości dwóch pierwszych z dwiema ostatnimi (11.5), wtedy:

${{\partial \Phi } \over {\partial \epsilon _{sm}}}={{1} \over {2}}c_{ijsm}\epsilon _{ij}+{{1} \over {2}}c_{smkl}\epsilon _{kl}={{1} \over {2}}\left(c_{ijsm}+c_{smij}\right)\epsilon _{ij}={{1} \over {2}}2c_{smij}\epsilon _{ij}=c_{smij}\epsilon _{ij}\;$

(11.7)

Na podstawie obliczeń (11.7) dla funkcji $\Phi \;$ (11.6) zachodzi (11.3). Będziemy się zajmować ciałami sprężystymi, które są izotropowe i mające pewne symetrie, będziemy rozpatrywać tensor c_ijkl, który jest niezmienniczy względem obrotów, a jedyną wielkością niezmienniczą jest delta Kroneckera δ_ij, zatem tensor c_ijkl jest tensorem zbudowanym za pomocą wspomnianych delt w sposób:

$c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \delta _{ik}\delta _{jl}+\nu \delta _{il}\delta _{jk}\;$

(11.8)

Z własności symetrii tensora (11.2) i (11.5) wynika ν=μ, zatem:

$c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta _{ik}\delta _{jl}\;$

(11.9)

Według wzoru (11.8) przy wykorzystaniu prawa Hooka dla tensora napięć (11.1) możemy wtedy napisać dysputę:

$\sigma _{ij}=\left(\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+2\mu \delta _{ik}\delta _{jl}\right)\epsilon _{kl}=2\mu \epsilon _{ij}+\lambda \delta _{ij}\epsilon _{ll}\;$

(11.10)

Z tożsamości (11.10) będziemy teraz wyznaczać tensor deformacji, ale przedtem policzmy ślad tensora napięć zapisanego przy pomocy wzoru (11.10), czyli wtedy możemy napisać następującą tożsamość:

$\sigma _{ll}=2\mu \epsilon _{ll}+3\lambda \epsilon _{ll}=(2\mu +3\lambda )\epsilon _{ll}\Rightarrow \epsilon _{ll}=\sigma _{ll}\left(2\mu +3\lambda \right)^{-1}\;$

(11.11)

Uzyskany końcowy wynik w punkcie (11.11) możemy podstawić do wzoru na tensor napięć (11.10), otrzymujemy:

$\sigma _{ij}=2\mu \epsilon _{ij}+\lambda \delta _{ij}\sigma _{ll}\left(2\mu +3\lambda \right)^{-1}\Rightarrow \epsilon _{ij}=\sigma _{ij}{{1} \over {2\mu }}-{{\lambda } \over {2\mu (3\mu +3\lambda )}}\delta _{ij}\sigma _{ll}\;$

(11.12)

Przepiszmy równanie (11.12) z nowymi współczynnikami μ i λ, otrzymujemy:

$\epsilon _{ij}=2\mu ^{'}\sigma _{ij}+\lambda ^{'}\delta _{ij}\sigma _{ll}\;$

(11.13)

• gdzie współczynniki μ' i λ', są to współczynniki określane:

$\mu ^{'}={{1} \over {4\mu }}\;$

(11.14)

$\lambda ^{'}=-{{\lambda } \over {2\mu (2\mu +3\lambda )}}\;$

(11.15)

Wydłużenie liniowe

(Rys. 11.2) Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.

Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć (10.5) jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor σ₁₁, na podstawie wzoru (11.13) tensory deformacji są napisane:

${\begin{cases}\epsilon _{x}=\epsilon _{11}=(2\mu ^{'}+\lambda ^{'})\sigma _{11}\\\epsilon _{y}=\epsilon _{22}=\lambda ^{'}\sigma _{11}\\\epsilon _{z}=\epsilon _{33}=\lambda ^{'}\sigma _{11}\end{cases}}\;$

(11.16)

Definicję modułu Younga na podstawie naprężenia P i tensora napięć σ₁₁ piszemy wedle schematu poniżej, a także napiszmy czemu jest równa jego wartość:

$P=\sigma _{11}=E\epsilon _{x}\Rightarrow E={{\sigma _{11}} \over {\epsilon _{x}}}={{1} \over {2\mu ^{'}+\lambda ^{'}}}\;$

(11.17)

A ilorazem Poissona nazywamy stosunek ε_x przez ε_y wziętej z minusem, jego definicja jest:

$\nu =-{{\epsilon _{y}} \over {\epsilon _{x}}}=-{{\lambda ^{'}} \over {2\mu ^{'}+\lambda ^{'}}}\;$

(11.18)

Wyznaczmy teraz moduł Younga (11.17) i iloraz Poissona (11.18) wykorzystując przy tym definicję λ^' (11.14) i definicję μ^' (11.15), wtedy te współczynniki E i ν piszemy:

$E={{1} \over {2\mu ^{'}+\lambda ^{'}}}={{1} \over {2{{1} \over {4\mu }}-{{\lambda } \over {2\mu (2\mu +3\lambda )}}}}={{4\mu ^{2}(2\mu +3\lambda )} \over {2\mu (2\mu +3\lambda )-2\mu \lambda }}={{4\mu ^{2}(2\mu +3\lambda )} \over {4\mu ^{2}+4\lambda \mu }}={{\mu (2\mu +3\lambda )} \over {\lambda +\mu }}\;$

(11.19)

$\nu =-{{\lambda ^{'}} \over {2\mu ^{'}+\lambda ^{'}}}=-{{-{{\lambda } \over {2\mu (2\mu +3\lambda )}}} \over {2{{1} \over {4\mu }}-{{\lambda } \over {2\mu (2\mu +3\lambda )}}}}={{2\lambda } \over {2\mu (2\mu +3\lambda )-2\lambda \mu }}={{2\lambda } \over {4(\lambda +\mu )}}={{\lambda } \over {2(\lambda +\mu )}}\;$

(11.20)

Z tożsamości (11.19) wyznaczmy parametr λ, zatem przejdźmy do sedna sprawy:

$E(\lambda +\mu )=\mu (2\mu +3\lambda )\Rightarrow \lambda (E-3\mu )=2\mu ^{2}-E\mu \Rightarrow \lambda ={{2\mu ^{2}-E\mu } \over {E-3\mu }}\;$

(11.21)

Ze wzoru (11.20) wyznaczmy parametr λ, by potem przejść do wyznaczania parametru μ w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona ν:

$2\nu (\lambda +\mu )=\lambda \Rightarrow \lambda ={{2\nu \mu } \over {1-2\nu }}$

(11.22)

Porównujemy obie strony równań (11.21) i (11.22), w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr μ:

${{2\nu \mu } \over {1-2\nu }}={{2\mu ^{2}-E\mu } \over {E-3\mu }}\Rightarrow 2E\nu \mu -6\nu \mu ^{2}=2\mu ^{2}-E\mu -4\mu ^{2}\nu +2\nu E\mu \Rightarrow -2\nu \mu ^{2}=2\mu ^{2}-E\mu \Rightarrow -2\nu \mu =2\mu -E\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 2\mu (1+\nu )=E\Rightarrow \mu ={{E} \over {2(1+\nu )}}$

(11.23)

Mając już wyliczony parametr μ wedle końcowego jego przestawienia (11.23), co to możemy podstawić do równości na parametr λ, dostajemy:

$\lambda ={{2\nu } \over {(1-2\nu )}}{{E} \over {2(1+\nu )}}={{\nu E} \over {(1+\nu )(1-2\nu )}}\;$

(11.24)

Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa

Wzory na parametr μ (11.23) i na parametr λ (11.24) są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E (11.17) i parametr Poissona ν (11.18), które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć (10.13) możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów (11.11), a także ze wzoru na współczynnik kompresji (9.64) biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy:

$\sigma _{ll}=-3p=(2\mu +3\lambda )\epsilon _{ll}=(2\mu +3\lambda )\epsilon _{ll}=(2\mu +3\lambda )\theta \Rightarrow p={{2\mu +3\lambda } \over {3}}\theta =\left({{2} \over {3}}{{E} \over {2(1+\nu )}}+{{\nu E} \over {(1+\nu )(1-2\nu )}}\right)\theta =\;$
$={{E(1-2\nu )+3\nu E} \over {3(1+\nu )(1-2\nu )}}\theta ={{E} \over {3(1-2\nu )}}\theta$

(11.25)

Wprowadźmy teraz moduł kompresji κ, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru (11.25) jest opisana:

$\kappa ={{p} \over {\theta }}={{E} \over {3(1-2\nu )}}\;$

(11.26)

Skręcenia

(Rys. 11.3) Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.

Niech mamy teraz tensor napięć σ₁₂, który wedle jej definicji w punkcie (11.10) zapisujemy:

$\sigma _{12}=2\mu \epsilon _{12}\;$

(11.27)

Wzór końcowy wynikowy (9.61) możemy wstawić do wzoru (11.27), otrzymujemy:

$\epsilon _{12}=\mu \gamma \;$

(11.28)

Współczynnik sprężystości G=μ możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika μ (11.23), w sposób:

$\mu =G={{E} \over {2(1+\nu )}}\;$

(11.29)

Rozszerzalność temperaturowa

Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć (11.10) należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana:

$\sigma _{ij}=2\mu \epsilon _{ik}+\lambda \delta _{ij}\epsilon _{ll}-\alpha \kappa \delta _{ij}(T-T_{0})\;$

(11.30)

We wzorze (11.30) występuje wielkość α, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości α i różnicy temperatur T i T₀, którego to nazwiemy przez θ, którą definiujemy jako względną zmianę objętości:

$\theta =\alpha (T-T_{0})\;$

(11.31)

Tensorowa postać prawa tarcia

Niech tensor tarcia R_ij będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników a_ikjl, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik c_ikjl przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu:

$R_{ik}=a_{ikjl}{\mathcal {\mathrm {N} }}_{jl}\;$

(11.32)

A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości Ν_jl i współczynników η i η^', które są nazywane współczynnikami lepkości.

$R_{ik}=2\eta \mathrm {N} _{ik}+\xi \delta _{ik}\mathrm {N} _{ll}\;$

(11.33)

Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że R_ik=-δ_ikp', wtedy możemy policzyć ślad tensora (11.33), który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej:

$-3p^{'}=(2\eta +3\xi ){\mathcal {\mathrm {N} }}_{kk}\;$

(11.34)

Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości:

$\xi =-{{2} \over {3}}\eta \;$

(11.35)

Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (9.68) w równaniu (11.34), dla której jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi (11.35), lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł:

$p^{'}=-\left({{2} \over {3}}\eta +\xi \right){\mathcal {\mathrm {N} }}_{kk}=-\left({{2} \over {3}}\eta +\xi \right){{\partial v_{k}} \over {\partial x_{k}}}=-\left({{2} \over {3}}\eta +\xi \right)\operatorname {div} {\vec {v}}\;$

(11.36)