Mechanika teoretyczna/Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego

Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Układem odniesienia nazywamy układ współrzędnych, w których środku znajduje się ciało odniesienia względem którego określamy ruch. Wektorem wodzącym nazywamy wektor mający początek w środku układu współrzędnych, a koniec w danym ciele, w której opisujemy ruch. Ruchem nazywamy zmiany wektora wodzącego względem danego układu współrzędnych.

Kinematyka

Wprowadźmy sobie układ współrzędnych, w których wersory są do siebie ortogonalne i unormowane, które spełniają warunki zdefiniowane przy pomocy definicji iloczynu skalarnego i definicji normy.

${\vec {e}}_{x}^{2}={\vec {e}}_{y}^{2}={\vec {e}}_{z}^{2}=1\;$

(1.1)

${\vec {e}}_{x}\cdot {\vec {e}}_{y}={\vec {e}}_{x}\cdot {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{y}\cdot {\vec {e}}_{z}=0\;$

(1.2)

Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który zależy od współrzędnych i wersorów opisujących właśnie nasz ruch naszego ciała w układzie współrzędnych:

${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}\;$

(1.3)

Krzywa wzdłuż których porusza się cząstka, jest to tor punktu, inaczej zwana trajektorią. Długość kwadratu małej infinitezymalnej części toru cząstki jest tak opisana jako suma kwadratów infinitezymalnych zmian współrzędnych poszczególnych współrzędnych, którego definicja:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\;$

(1.4)

Prędkością punktu nazywamy prędkość określona jako pochodna wektora wodzącego napisanego w punkcie (1.3).

${\vec {v}}(t)={\dot {\vec {r}}}={\dot {x}}(t){\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}(t){\vec {e}}_{y}+{\dot {z}}(t){\vec {e}}_{z}\;$

(1.5)

Przyśpieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości (1.5) i drugą pochodną wektora wodzącego (1.3).

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}={\ddot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\ddot {y}}{\vec {e}}_{y}+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}\;\;$

(1.6)

Przyspieszenie styczne i dośrodkowe

Opiszmy teraz prędkość ruchu jednej cząstki używając przy tym definicji wektora jednostkowego stycznego τ do toru:

${\vec {v}}=v{\vec {\tau }}\;$

(1.7)

Przyspieszeniem nazywamy pierwszą pochodną wektora prędkości zdefiniowanego w punkcie (1.7):

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\dot {v}}{\vec {\tau }}+v{\dot {\vec {\tau }}}\;$

(1.8)

Obierzmy teraz okrąg, który jest styczny do toru w punkcie, w której znajduje się nasza cząstka, wykorzystując przy tym fakty, że ${{d{\vec {\tau }}} \over {d\theta }}=-{\vec {e}}_{\theta }\;$ i ${\vec {e}}_{\rho }={\vec {n}}\;$, to według punktu (MMF-7.15), mówimy:

${\dot {\vec {\tau }}}={{d{\vec {\tau }}} \over {dt}}={{d{\vec {e}}_{\theta }} \over {d\theta }}{{d\theta } \over {dt}}=-{\vec {e}}_{\rho }{{dl} \over {Rdt}}=-{\vec {e}}_{\rho }{{v} \over {R}}=-{\vec {n}}{{v} \over {R}}\;$

(1.9)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.9) możemy powiedzieć, że dowolne przyspieszenie (1.8) możemy podzielić na przyspieszenie styczne i dośrodkowe, którego definicja jako całości jest:

${\vec {a}}={\dot {v}}{\vec {\tau }}-{{v^{2}} \over {R}}{\vec {n}}\;$

(1.10)

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie cylindrycznym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne zupełne wersorów względem czasu dla cylindrycznego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru (MMF-7.12), (MMF-7.15) i (MMF-7.18):

${\dot {\vec {e}}}_{r}={\ddot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }\;$

(1.11)

${\dot {\vec {e}}}_{\theta }=-{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{r}\;$

(1.12)

${\ddot {\vec {e}}}_{z}=0\;$

(1.13)

Wersory pochodnych jako kombinacja liniowa wektorów bazy w układzie kulistym

Napiszmy jak rozkładają się pochodne względem kulistego układu współrzędnych, korzystając przy tym ze wzoru (MMF-7.23), (MMF-7.26) i (MMF-7.29):

${\dot {\vec {e}}}_{r}={{\partial {\vec {e}}_{r}} \over {\partial \theta }}{{d\theta } \over {dt}}+{{\partial {\vec {e}}_{r}} \over {\partial \phi }}{{d\phi } \over {dt}}={\vec {e}}_{\theta }{\dot {\theta }}\sin \phi +{\vec {e}}_{\phi }{\dot {\phi }}\;$

(1.14)

${\dot {\vec {e}}}_{\phi }={{\partial {\vec {e}}_{\phi }} \over {\partial \theta }}{{d\theta } \over {dt}}+{{\partial {\vec {e}}_{\phi }} \over {\partial \phi }}{{d\phi } \over {dt}}={\vec {e}}_{\theta }{\dot {\theta }}\cos \phi -{\vec {e}}_{r}{\dot {\phi }}\;$

(1.15)

Dlaszym naszym krokiem jest obliczenie pochodnej wersora ${\vec {e}}_{\theta }\;$ względem parametru czasowego "t", co można go rozpisać względem wersorów kulistego układu współrzędnych:

${\dot {\vec {e}}}_{\theta }=\alpha {\vec {e}}_{r}+\beta {\vec {e}}_{\theta }+\gamma {\vec {e}}_{\gamma }\;$

(1.16)

Napiszmy czemu jest równa pochodna zupełna wielkości ${\vec {e}}_{\theta }\;$ (MMF-7.26) wykorzystując twierdzenia o różniczce zupełnej.

${\dot {e}}_{\theta }={{\partial {\vec {e}}_{\theta }} \over {\partial \theta }}{\dot {\theta }}+{{\partial {\vec {e}}_{\theta }} \over {\partial \phi }}{\dot {\phi }}={\dot {\theta }}[-\cos \theta ,-\sin \theta ,0]\;$

(1.17)

Mając wzór (1.16) wyznaczmy stałe α β i γ, które wyznaczymy korzystając z definicji iloczynu skalarnego oraz faktu, że wersory w kulistym układzie współrzędnych są do siebie ortogonalne:

$\alpha =({\dot {\vec {e}}}_{\theta },{\vec {e}}_{r})={\dot {\theta }}={\dot {\theta }}[-\cos \theta ,-\sin \theta ,0][\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ]=-{\dot {\theta }}\sin \phi \;$

(1.18)

$\beta =({\dot {\vec {e}}}_{\theta },{\vec {e}}_{\theta })={\dot {\theta }}[-\cos \theta ,-\sin \theta ,0][-\sin \theta ,\cos \theta ,0]=0\;$

(1.19)

$\gamma =({\dot {\vec {e}}}_{\theta },{\vec {e}}_{\phi })={\dot {\theta }}[-\cos \theta ,-\sin \theta ,0][\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,-\sin \phi ]=-{\dot {\theta }}\cos \phi \;$

(1.20)

Biorąc wnioski (1.18), (1.19), a także (1.20), to możemy napisać tożsamość (1.16), która jest:

${\dot {\vec {e}}}_{\theta }=-{\vec {e}}_{r}\sin \phi {\dot {\theta }}-{\vec {e}}_{\phi }\cos \phi {\dot {\theta }}\;$

(1.21)

Wektor wodzący, prędkość i przyspieszenie w radialnym i cylindrycznym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w cylindrycznym układzie współrzędnych określamy za pomocą:

${\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{r}+z{\vec {e}}_{z}\;$

(1.22)

Korzystając przy tym z definicji wektora ${\vec {e}}_{r}\;$ (MMF-7.12) i ${\vec {e}}_{\theta }\;$ (MMF-7.15), prędkość ciała w układzie krzywoliniowym określamy:

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{r}+\rho {{d{\vec {e}}_{r}} \over {d\theta }}{{d\theta } \over {dt}}+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{r}+\rho {\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}\;$

(1.23)

Przyspieszeniem w radialnym układzie współrzędnych określamy jako pochodna wielkości (1.23):

${\vec {a}}={\ddot {\rho }}{\vec {e}}_{r}+{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\rho }}{\ddot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }-\rho {\dot {\theta }}^{2}{\vec {e}}_{r}+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{r}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {e}}_{r}+(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}){\vec {e}}_{\theta }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}\;$

(1.24)

Układ współrzędnych radialny, tym różni się od układu współrzędnych cylindrycznego, że zawsze dla tego pierwszego zachodzi z=0, czyli w takim przypadku wzory (1.22), (1.23) i (1.24) dla układu radialnego możemy przepisać:

${\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{r}\;$

(1.25)

${\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{r}+\rho {\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\phi }\;$

(1.26)

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {e}}_{r}+(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}){\vec {e}}_{\theta }\;$

(1.27)

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych

Wektor wodzący w kulistym układzie współrzędnych określamy wedle planu:

${\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}\;$

(1.28)

Prędkością ciała w układzie kulistym nazywamy prędkość, która jest pochodną wektora wodzącego w tymże układzie, czyli wielkości (1.28):

${\vec {v}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {{\vec {e}}_{r}}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r\left({{\partial {\vec {e}}_{r}} \over {\partial \theta }}{{d\theta } \over {dt}}+{{\partial {\vec {e}}_{r}} \over {\partial \phi }}{{d\phi } \over {dt}}\right)={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r\left({\dot {\theta }}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\phi }}e_{\phi }\right)\;$

(1.29)

Przyspieszeniem w rozważanej tutaj układzie współrzędnych, która jest pochodną zupełną prędkości ciała (1.29), określamy wzorem:

${\vec {a}}={\ddot {r}}{\vec {e}}_{r}+{\dot {r}}{\dot {\vec {e}}}_{r}+{\dot {r}}\left({\dot {\theta }}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\phi }}e_{\phi }\right)+r\left[{\ddot {\theta }}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}\cos \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}\sin \phi {\dot {\vec {e}}}_{\theta }+{\ddot {\phi }}{\vec {e}}_{\phi }+{\dot {\phi }}{\dot {\vec {e}}}_{\phi }\right]=\;$
$={\ddot {r}}{\vec {e}}_{r}+{\dot {r}}\left({\vec {e}}_{\theta }{\dot {\theta }}\sin \phi +{\vec {e}}_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\dot {r}}\left({\dot {\theta }}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\phi }}e_{\phi }\right)+r{\Big [}{\ddot {\theta }}\sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}\cos \phi {\vec {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}\sin \phi \left(-{\vec {e}}_{r}\sin \phi {\dot {\theta }}-{\vec {e}}_{\phi }\cos \phi {\dot {\theta }}\right)+{\ddot {\phi }}{\vec {e}}_{\phi }+\;$
$+{\dot {\phi }}\left({\vec {e}}_{\theta }{\dot {\theta }}\cos \phi -{\vec {e}}_{r}{\dot {\phi }}\right){\Big ]}$

(1.30)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.30) możemy powiedzieć:

${\vec {a}}=\left({\ddot {r}}-r{\ddot {\phi }}-r{\dot {\theta }}^{2}\sin ^{2}\phi \right){\vec {e}}_{r}+\left(r{\ddot {\theta }}\sin \phi +2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\sin \phi +2r{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}\cos \phi \right){\vec {e}}_{\theta }+\left(r{\ddot {\phi }}+2{\dot {r}}{\dot {\phi }}-r{\dot {\theta }}^{2}\sin \phi \cos \phi \right){\vec {e}}_{\phi }$

(1.31)

Zasady dynamiki Newtona

Prawa te zostały sformułowane przez Isaaca Newtona w jego słynnym dziele Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Pierwsza zasada dynamiki Newtona sformułowana została przez Galileo Galilei, którą to Newton powtórzył. A zatem przestawmy trzy zasady sformułowane przez Newtona:

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Udowodnimy tutaj pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu liniowego i obrotowego.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego

Jeśli na ciało nie działają żadne siły, lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Dowód: Ale gdy na ciało nie działają żadne siły lub działające siły się równoważą, wtedy według prawa (1.32) ciało porusza się z przyśpieszeniem zerowym, zatem ciało porusza się z prędkością stałą lub jest w spoczynku.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Jeśli na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, to ciało nie obraca się lub obraca się ruchem jednostajnym obrotowym.

Dowód: Ale gdy na ciało nie działają żadne momenty sił lub działające momenty sił się równoważą przy stałym tensorowym memencie bezwładności, wtedy według prawa (1.40) ciało porusza się z przyśpieszeniem obrotowym zerowym, zatem ciało obraca się z prędkością obrotową stałą lub nie obraca się.

Druga zasada dynamiki Newtona

Wyprowadzimy tutaj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu liniowego i obrotowego.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu liniowego

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli mówiąc inaczej przyspieszenie, w której porusza się ciało jest wprost proporcjonalnie do działającej siły i odwrotnie proporcjonalna do masy tego ciała. Wielkość masy występujący we wzorze Newtona nazywamy masą bezwładnościową. Tą zasadę formujemy:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\wedge {\vec {p}}=m{\vec {v}}\;$

(1.32)

Dowód: Udowodnijmy prawo (1.32). Rozwińmy funkcję $f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$ względem czasu, położenia i prędkości według prawa różniczki zupełnej pisząc jego różniczkę, wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, i powinny być takie same dla każdej osi, tzn. druga zasada dynamiki Newtona, wtedy z definicji różniczki zupełnej zakładając, że wielkość $f_{\vec {v}}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$ dla prędkości nieskończenie małych jest w najprostszej postaci i jest pewną macierzą $M$ oraz stałą, a także niezmiennikiem transformacji charakteryzującą ciało, którą jak udowodnimy jest masą pomnożonej przez macierz jednostkową, i ${{df} \over {dt}}\;$ jest siłą, a także postać wzoru na siłę nie powinna zależeć od transformacji układu odniesienia jednego na drugi rozkładając funkcję $d{\vec {f}}\;$ w różniczkę zupełną z różniczką wektora położenia i różniczką wektora prędkości, wiedząc, że w definicji wektora siły te dodatkowe człony związane z dodatkowymi siłami będącymi tarciem i oporem, od ośrodka, a więc wzór na wektor siły napiszemy bez tego członu, a także pochodną wektora ${\vec {f}}\;$ względem czasu nazwijmy siłą:

$d{\vec {f}}={\vec {f}}_{t}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})dt+{\vec {f}}_{\vec {r}}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})d{\vec {r}}+{\vec {f}}_{\vec {v}}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})d{\vec {v}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {f}}} \over {dt}}={\vec {f}}_{t}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})+{\vec {f}}_{\vec {r}}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}}){\vec {v}}+M{\vec {a}}\Rightarrow {\vec {F}}=M{\vec {a}}\;$

(1.33)

W (1.33) pierwszy wyraz we wzorze na wektor siły ogólnie się nie zeruje, tak musi być nawet po uwzględnieniu symetrii, czyli ogólnie ${\vec {f}}_{\vec {r}}^{'}({\vec {r}},{\vec {v}})\neq 0\;$. Napiszmy transformacje siły z jednego układu inercjalnego w drugi:

${\vec {F}}^{'}=C_{p}{\vec {F}}=C_{p}M{\vec {a}}=C_{p}MC_{p}^{-1}C_{p}{\vec {a}}=C_{p}MC_{p}^{-1}{\vec {a}}^{'}\Rightarrow M=C_{p}MC_{p}^{-1}\Rightarrow M=mI\;$

(1.34)

Na podstawie (1.33) i (1.34) mamy drugie prawo Newtona dla ruchu liniowego:

${\vec {F}}=mI{\vec {a}}\Rightarrow {\vec {F}}=m{\vec {a}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(1.35)

Weźmy tarcie dynamiczne na podstawie pierwszego wyrazu w (1.33), zatem:

$Tdt={\vec {f}}_{t}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})dt\Rightarrow T={\vec {f}}_{t}^{'}(t,{\vec {r}},{\vec {v}})=-\mu N{\vec {e}}_{x}=-\mu N{{\vec {v}} \over {v}}\;$

(1.36)

• gdzie w (1.36) ${\vec {e}}_{x}\;$, to jest wektor jednostkowym w kierunku ruchu.

Zajmijmy się dodatkowym członem w (1.33) odpowiedzialnym za opór od ośrodka (zależnym od prędkości) i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej w postaci wektora siły, zakładając, że stała $B\;$ jest niezmiennicza przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego:

${\vec {F}}=B{\vec {v}}\Rightarrow {\vec {F}}^{'}=C_{p}{\vec {F}}=C_{p}B{\vec {v}}=C_{p}BC_{p}^{-1}C_{p}{\vec {v}}=C_{p}BC_{p}^{-1}{\vec {v}}^{'}\Rightarrow B=C_{p}BC_{p}^{-1}\Rightarrow B=-bmI\Rightarrow {\vec {F}}=-bm{\vec {v}}=-b{\vec {p}}\;$

(1.37)

Na podstawie (1.37) wektor siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora pędu. Wzory: (1.36) i (1.37), stawiamy po stronie wektorów sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona (1.33), czyli w takiej formie:

${{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {F}}=-\mu N{{\vec {v}} \over {v}}-b{\vec {p}}+{\vec {F}}_{z}\;$

(1.38)

Wzór (1.35) jest spełniony dokładnie matematycznie dla nieskończenie małych prędkości, a fizycznie dla prędkości $v<<c\;$. Zatem na podstawie (1.33) jest spełnione prawo (1.32). Ale siła jest wielkością wektorową, bo siła jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że $v_{i}\;$ jest i-tą prędkości z jakimi ciało by się poruszało, gdyby działa tylko i-ta siła z sił działających na to ciało, a zatem $f_{{\vec {v}}_{i}}^{'}({\vec {r}}_{j},{\vec {v}}_{j})\;$ powinna być taka sama niezależna od $i\;$ i równa masie rozważanego ciała pomnożonej przez macierz jednostkową dla rozważanych prędkości, ponieważ gdy by pozostałe siły były by równe zero inne niż i-ta siła, stąd dochodzimy do takiego wniosku, to ona spełnia wzór (1.35). Wiedząc, że jeśli nie uwzględniamy dodatkowych członów związanych z tarciem i oporem, od ośrodka jak w (1.33) w sile w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu liniowego, wtedy:

$d{\vec {f}}=\sum _{i}{\vec {f}}_{{\vec {v}}_{i}}^{'}({\vec {r}}_{j},{\vec {v}}_{j})d{\vec {v}}_{i}=\sum _{i}mI{\vec {a}}_{i}dt=\sum _{i}m{\vec {a}}_{i}\Rightarrow {{d{\vec {f}}} \over {dt}}=\sum _{i}m{\vec {a}}_{i}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\Rightarrow {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;$

(1.39)

Na podstawie (1.39) siła jest wielkością addytywną i zachowuje się jak wektor, a także jest spełniona zasada niezależności działania sił.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego przedstawia się w postaci:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}\;$

(1.40)

Co można udowodnić z drugiej zasady dynamiki Newtona (1.32). Moment sił jest wielkością addytywną i jest wielkością wektorową. Wzór (1.40) jest wyprowadzony dla punktu materialnego w rozdziale Zasada zachowania momentu pędu, w którym końcowy wynik jest w postaci prawa dla ruchu obrotowego (1.88).

Dowód: Wzór (1.40) i addytywność momentów sił ${\vec {N}}\;$ wyprowadźmy. Rozwińmy różniczkę funkcji ${\vec {f}}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})\;$ względem czasu, położenia kątowego, prędkości obrotowej i tensora bezwładności wiedząc, że prawa fizyki nie powinny zależeć od położenia i czasu, zakładając, że pochodna ${\vec {f^{'}}}_{\omega }(t,{\vec {\alpha }},\omega ,{\hat {I}})\;$ jest w najprostszy postaci i jest tensorem momentu bezwładności (7.23) oraz ${\vec {f^{'}}}_{\hat {I}}(t,{\vec {\alpha }},\omega ,{\hat {I}})\;$ jest w najprostszy postaci i jest prędkością obrotową, co wynika ze wzoru na ruch obrotowy dla ruchu obrotowego (1.40) i definicji na moment pędu (7.21), a także ${{df} \over {dt}}\;$ jest momentem siły działającej na ciało, pamiętając o pominięciu dodatkowego członu, który jest momentem siły oporu i tarcia, np. od ośrodka, związany z wektorem kąta, w iloczynie momentu siły i różniczki czasu, wtedy:

${\vec {N}}dt={{d{\vec {f}}} \over {dt}}dt={{{\vec {f}}^{'}}_{t}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})}dt+{{{\vec {f}}^{'}}_{\vec {\alpha }}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})}d{\vec {\alpha }}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{\vec {\omega }}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})} _{\hat {I}}d{\vec {\omega }}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{\hat {I}}(t,{\vec {\alpha }},{\vec {\omega }},{\hat {I}})} _{\vec {\omega }}d{\hat {I}}\Rightarrow {\vec {N}}dt={\hat {I}}d{\vec {\omega }}+{\vec {\omega }}d{\hat {I}}=\;$
$={{d({\hat {I}}{\vec {\omega }})} \over {dt}}dt={{d({\hat {I}}\omega )} \over {dt}}dt={{d{\vec {K}}} \over {dt}}dt\Rightarrow {\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}\;$

(1.41)

Napiszmy transformacje momentu siły z jednego układu inercjalnego w drugi:

${\vec {N}}^{'}=C_{p}{\vec {N}}=C_{p}{{d{\vec {K}}} \over {dt}}={{d{\vec {K}}^{'}} \over {dt}}\Rightarrow {\vec {N}}^{'}={{d{\vec {K}}^{'}} \over {dt}}\;$

(1.42)

Zatem na podstawie (1.42) jest spełnione prawo (1.41). Napiszmy wzór na moment siły tarcia statycznego w równaniu (1.41), na podstawie:

${\vec {N}}_{T}=-\mu N{\vec {r}}\times {{\vec {v}} \over {v}}$

(1.43)

Udowodnijmy (1.45) przedstawiający opór od ośrodka (moment siły działający od ośrodka) dla ruchu obrotowego, wykorzystując wzór na wektor siły (1.37) przedstawiający opór (na siłę działająca na ciało) od ośrodka dla ruchu liniowego i definicję tensora momentu pędu jako (7.21), zatem:

$N=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}=-\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times b{\vec {p}}_{i}=-\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times b({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})=-b\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}\Rightarrow {\vec {N}}=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}=-b{\vec {K}}\;$

(1.44)

Zajmijmy się dodatkowym członem w (1.41) odpowiedzialnym za opór od ośrodka i udowodnijmy czemu jest on równy z teorii transformacji wektorowej momentu siły, zakładając, że macierz $B\;$ jest wprost proporcjonalna do tensora momentu bezwładności przy przejściu z jednego układu odniesienia do drugiego:

${\vec {N}}^{'}=C_{p}N\Rightarrow {\vec {N}}^{'}=C_{p}{\vec {N}}=C_{p}B{\vec {\omega }}=C_{p}BC_{p}^{-1}C_{p}{\vec {\omega }}=C_{p}BC_{p}^{-1}{\vec {\omega }}^{'}\Rightarrow B^{'}=C_{p}BC_{p}^{-1}\Rightarrow B=-b{\hat {I}}\Rightarrow {\vec {N}}=-b{\hat {I}}{\vec {\omega }}=-b{\vec {K}}\;$

(1.45)

Na podstawie (1.45) moment siły odpowiedzialny za opór od ośrodka jest wprost proporcjonalny do wektora momentu pędu. Wzory: (1.43) i (1.45), stawiamy po stronie wektorów momentu sił w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego (1.41), czyli w takiej formie:

${{d{\vec {K}}} \over {dt}}={\vec {N}}=-\mu N{\vec {r}}\times {{\vec {v}} \over {v}}-b{\vec {K}}+{\vec {N}}_{z}\;$

(1.46)

Ale moment siły jest wielkością wektorową, bo moment siły jest wektorem jak udowodnimy, więc zachowuje się jak wektor, zatem momenty siły działające na ciało dodają się jak wielkości wektorowe, wtedy dowód tego:

• Ale wiedząc, że ${\vec {\omega }}_{i}\;$ jest i-tą prędkością obrotową z jakim ciało się obraca, gdyby działa tylko i-ty moment sił z momentów sił działających na to ciało. Pochodna ${{\vec {f}}^{'}}_{{\vec {\omega }}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})\;$ jest tensorem bezwładności ${\hat {I}}_{i}\;$ i ${{\vec {f}}^{'}}_{{\hat {I}}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})\;$ jest prędkością obrotową ${\vec {\omega }}_{i}\;$, a więc te dwie wielkości są takie jak by tylko działał jeden i-ty moment sił, a więc tylko i-ta prędkość obrotowa i tensor bezwładności są takie jak we wzorze uwzględniające tylko i-ty moment sił (1.41), wtedy możemy napisać wiedząc, że nie uwzględniamy dodatkowego członu związanego z, np. oporem od ośrodka jak w (1.40) w wektorze momentu siły w drugiej zasadzie dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:

${\vec {N}}dt={{d{\vec {f}}} \over {dt}}dt=d{\vec {f}}=\sum _{i}\left(\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{{\vec {\omega }}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})} _{{\hat {I}}_{i}}d{\vec {\omega }}_{i}+\underbrace {{{\vec {f}}^{'}}_{{\hat {I}}_{i}}(t,{\vec {\alpha }}_{j},{\vec {\omega }}_{j},{\hat {I}}_{j})} _{{\vec {\omega }}_{i}}d{\hat {I}}_{i}\right)=\sum _{i}\left(t,{\hat {I}}_{i}d{\vec {\omega }}_{i}+{\vec {\omega }}_{i}d{\hat {I}}_{i}\right)=\sum _{i}d({\hat {I}}_{i}{\vec {\omega }}_{i})=\;$
$=\sum _{i}d{\vec {K}}_{i}=\sum _{i}{{d{\vec {K}}_{i}} \over {dt}}dt=\sum _{i}{\vec {N}}_{i}dt\Rightarrow {\vec {N}}=\sum _{i}N_{i}\;$

(1.47)

Więc to udowodniliśmy, stąd moment siły jest wektorem i jest spełniona zasada niezależności działania momentów sił. Udowodnijmy jaki jest związek między momentem siły, a siłą, a zatem dla punktu materialnego:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}={{d(mr^{2}{\vec {\omega }})} \over {dt}}={{d(mr{\vec {\omega }}r)} \over {dt}}={{d(m{\vec {r}}\times {\vec {v}}))} \over {dt}}={{d({\vec {r}}\times {\vec {p}})} \over {dt}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}\Rightarrow {\vec {N}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}\;$

(1.48)

A zatem według (1.48) moment siły jest iloczynem wektorowym położenia punktu materialnego i siły na nią działającej.

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Jeśli ciało B działa na ciało A z siłą ${\vec {F}}\;$ (momentem siły ${\vec {N}}\;$), to ciało B działa na ciało A z siłą (momentem siły) o takim samym kierunku i długości, ale o przeciwnym zwrocie, tzn. z siłą $-{\vec {F}}\;$ (momentem siły $-{\vec {N}}\;$).

Dowód: Prawa fizyki są takie same dla mniejszych ciał jak i dla ich środka masy, zatem wykorzystując definicję środka masy i zakładając, że masa środka masy jest sumą mas poszczególnych mas tych mniejszych ciał, wtedy otrzymujemy dla ruchu liniowego (obrotowego):

${\vec {F}}=m{\vec {A}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\Rightarrow {\vec {F}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\wedge {\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}=\sum _{i}{{d{\vec {K}}_{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\vec {N}}_{i}\Rightarrow {\vec {N}}=\sum _{i}{\vec {N}}_{i}\;$

(1.49)

Na podstawie (1.39), (1.47) i (1.49) oraz definicji środka masy siła (moment siły) działająca na ciało jest wielkością addytywną, a także siła działająca na środek masy ciała (moment siły działający na ciało) jest sumą całkowitych sił (momentów sił) pochodząca z wszystkich mniejszych ciał, ale siła działająca na środek masy jest sumą sił (moment siły działający na ciało jest sumą wszystkich momentów sił działający na mniejsze ciała) działających od zewnątrz na to ciało, zatem siły (momenty sił) wewnętrzne się zerują, a to jest możliwe gdy spełniona jest trzecia zasada dynamiki Newtona. Też możemy rozpatrzyć zasadę niezależności działania sił (momentów sił), która jest spełniona dla każdego podzbioru ciał, wtedy rozpatrzmy podzbiór dwóch ciał oddziaływujących ze sobą, stąd:

${\vec {F}}_{1ij}+{\vec {F}}_{2ji}=0\wedge {\vec {N}}_{1ij}+{\vec {N}}_{2ji}=0\;$

(1.50)

Zera w dwóch równaniach w (1.50) wynikają z symetrii, wtedy na podstawie przekształceń matematycznych na wektorach:

${\vec {F}}_{1ij}=-{\vec {F}}_{2ji}\wedge {\vec {N}}_{1ij}=-{\vec {N}}_{2ji}\;$

(1.51)

Wniosek (1.51) pierwszy wyraz koniunkcji (drugi wyraz koniunkcji) jest treścią trzeciej zasady dynamiki Newtona dla ruchu liniowego (obrotowego).

Przykłady ruchów ciał w układzie współrzędnych jednowymiarowych

Ruch bez działania siły

Niech siła działająca na ciało jest równa zero, tzn. ${\vec {F}}=0\;$, zatem na podstawie (1.32) możemy napisać równanie ruchu:

$m{\ddot {x}}=0\Rightarrow {\dot {x}}=v\Rightarrow x=vt+a\;$

(1.52)

Spadek ciała tylko pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego

Z drugiej zasady dynamiki Newtona (1.32), w której siła jest napisana wzorem F=ma, i na to ciało działa siła grawitacji F=-mg, i która ta zasada jest sformułowana dla naszego przypadku:

$m{\ddot {x}}=-mg\;$

(1.53)

Prędkość ciała w zależności od czasu "t" opisujemy wychodząc od wzoru (1.53) jako:

${\dot {x}}=v=v_{0}-gt\;$

(1.54)

Wielkość występująca we wzorze (1.54), czyli v₀ jest prędkością początkową ciała, tzn. w chwili początkowej t=0. Wspomniane równanie możemy przecałkować jeszcze raz względem czasu dostając:

$x(t)=x_{0}+v_{0}t-{{gt^{2}} \over {2}}\;$

(1.55)

Ruch pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości

Drugą zasadę dynamiki Newtona dla naszego rozważanego przypadku, w których opory ruch odbywają się pod wpływem siły tarcia wprost proporcjonalnego do prędkości:

$m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}\;$

(1.56)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (1.56) jest rozwiązaniem, które jest w postaci wzoru x=e^λt, zatem podstawiając to rozwiązanie do wspomnianego równania dostajemy wzór, z którego wyznaczymy parametr λ.

$e^{\lambda t}\left(m\lambda ^{2}+\gamma \lambda \right)=0\Rightarrow m\lambda ^{2}+\gamma \lambda =0\Rightarrow \lambda (m\lambda +\gamma )=0\;$

(1.57)

Z końcowego równania wynikowego zapisanego w punkcie (1.57) otrzymujemy dwa równania na λ, które są zdefiniowane jako λ₁=0 lub λ₂=-γ/m, zatem rozwiązaniem równania (1.56) jest funkcja położenia iksowego:

$x(t)=A_{1}+A_{2}e^{-{{\gamma } \over {m}}t}\;$

(1.58)

Oscylator harmoniczny

Siłą harmoniczną działająca ze strony sprężynki na ciało jest siła wyrażona jako F=-kx, to w takim przypadku drugą zasadę dynamiki (1.32) możemy napisać:

$m{\ddot {x}}=-kx\;$

(1.59)

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego (1.59) w postaci funkcji x=e^λt, którego to podstawiamy do niego, wtedy dostajemy tożsamość, z którego wyznaczymy λ:

$m\lambda ^{2}+k=-0\Rightarrow \lambda =\pm i{\sqrt {{k} \over {m}}}=\pm i\omega _{0}\;$

(1.60)

Na podstawie końcowego wniosku wynikowego (1.60) możemy napisać położenie ciała znajdującego się na końcu sprężynki:

$x(t)=Ae^{i\omega _{0}t}+b_{2}e^{-i\omega _{0}t}=A\sin(\omega _{0}t+\phi )\;$

(1.61)

Tłumiony oscylator harmoniczny

W tłumionym oscylatorze harmoniczmym oprócz siły harmonicznej działającej ze strony sprężynki działa również siła tłumiąca ruch, która to zależy od prędkości ciała, zatem w takim przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32) piszemy:

$m{\ddot {x}}=-kx-2m\beta {\dot {x}}\;$

(1.62)

Gdzie w powyższym wzorze oznaczyliśmy β=γ(2m) i która zwana jest zredukowanym współczynnikiem tarcia. Wprowadźmy teraz definicję częstotliwości drgań, gdy nie występuje tłumienie.

$\omega _{0}={\sqrt {{k} \over {m}}}\;$

(1.63)

Widzimy, że częstotliwość własna układu ω₀ jest zależna od stałej sprężystości sprężyny, a także od masy ciała przypiętego do sprężyny. Równanie (1.62) przy oznaczeniach (1.63) piszemy jako:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+2\beta {\dot {x}}=0\Rightarrow {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0\;$

(1.64)

Do równania (1.64) podstawiamy rozwiązanie w postaci wzoru x=e^λt, otrzymujemy równanie kwadratowe:

$\lambda ^{2}+2\beta \lambda +\omega _{0}^{2}\;$

(1.65)

Rozwiązanie równania kwadratowego (1.65), wykorzystując wiadomości z algebry, piszemy:

$\lambda ={{-2\beta \pm {\sqrt {4\beta ^{2}-4\omega _{0}^{2}}}} \over {2}}=-\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\;$

(1.66)

Silne tłumienie β>ω₀ dla oscylatora tłumionego

Rozwiązaniem równania (1.64) przy pomocy (1.66) piszemy:

$x(t)=Ae^{\lambda _{1}t}+Be^{\lambda _{2}t}\;$

(1.67)

Słabe tłumienie drgań harmonicznych β<ω₀

Widzimy, ze we wzorze (1.66) otrzymujemy w ogólności liczbę zespoloną, ale nie rzeczywistą, wtedy rozwiązanie równania (1.62) przyjmuje postać:

$x(t)=Ae^{-\beta t}\sin \left({\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}t+\phi \right)\;$

(1.68)

Przypadek graniczny tłumionego oscylatora harmonicznego

Ten przypadek występuje, gdy stała tłumiona γ jest równa częstotliwości drań własnych oscylatora harmonicznego:

$x(t)=Ae^{-\beta t}(1+at)\;$

(1.69)

Ruch ciała pod wpływem dowolnej siły zależnej od położenia

Napiszmy wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), które ta siła niezrównoważona pochodzi od sił potencjalnych działających na ciało, które tak otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez współrzędną prędkość ciała i wykorzystując definicję energii potencjalnej ciała $U(x)=-\int F(x)dx\;$, wtedy tak otrzymaną tożsamość możemy przecałkować obustronnie względem czasu:

${{d} \over {dt}}\left({{m{\dot {x}}^{2}} \over {2}}\right)=-{{d} \over {dt}}U(x)\Rightarrow {{1} \over {2}}m{\dot {x}}^{2}=E-U(x)\;$

(1.70)

Równanie (1.70) możemy rozwiązać w postaci funkcji x=x(t) metodą rozdzielania zmiennych, w ten sposób otrzymując równanie na różniczkach, które przecałkujemy jego obie strony dostając:

$dt={{dx} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-U(x)\right)}}}\Rightarrow t-t_{0}=\int _{x_{0}}^{x}{{dx} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-U(x)\right)}}}\;$

(1.71)

Energię potencjalną pochodzącą od sił sprężystości, która jest siłą na siłę sprężystości F=-kx. wtedy energia potencjalna prędkości zapisujemy jako:

$U(x)=-\int Fdx=-\int (\underbrace {-kx} _{F})dx={{k} \over {2}}x^{2}\;$

(1.72)

Do równania (1.71) możemy wsadzić wzór na energię potencjalną zdefiniowaną wzorem (1.72), otrzymujemy:

$t=t_{0}+\int _{x_{0}}^{x}{{dx} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-{{1} \over {2}}kx^{2}\right)}}}=t_{0}+{\sqrt {{m} \over {k}}}\int _{x_{0}}^{x}{{dx{\sqrt {{k} \over {m}}}} \over {\sqrt {{{2E} \over {m}}-{{k} \over {m}}x^{2}}}}=t_{0}+{\sqrt {{m} \over {k}}}\operatorname {arcsin} \left({\sqrt {{k} \over {2E}}}x\right)\;$

(1.73)

Co równanie (1.73) możemy odwrócić i w ten sposób otrzymać równość, która jest zależnością położenia ciała w zależności od czasu t, i którego to wzór jest zależny od całkowitej energii E ciała w polu sił potencjalnych oscylatora harmonicznego, a także od stałej sprężystości k sprężyny, która jest współczynnikiem proporcjonalności dla siły sprężystości, a także zalezy ona od masy m przypiętej do naszej sprężyny:

$x={\sqrt {{2E} \over {k}}}\sin \left({\sqrt {{k} \over {m}}}(t-t_{0})\right)\;$

(1.74)

Określenie położenia maksymalnego na podstawie okresu drgań

Weźmy sobie pod uwagę różniczkę czasu określonej na podstawie jego zależności od różniczki położenia określonej wzorem (1.71), to okres drgań możemy określić jako podwojoną wartość czasu z jaką nasze badane ciało przechodzi z jednego maksymalnego położenia do drugiego, którą określamy poprzez:

$T(E)=2\int _{x_{1}(E)}^{x_{2}(E)}{{dx} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-U(x)\right)}}}={\sqrt {2m}}\int _{x_{1}(E)}^{x_{2}(E)}{{dx} \over {\sqrt {E-U(x)}}}\;$

(1.75)

Patrząc na wzór (1.75) okres drgań możemy określić na w sposób całkując go od E do zera i od zera do E, i w ten sposób po podziale naszej tożsamości w jego prawej strony na dwa jego składniki:

$T(E)={\sqrt {2m}}\int _{0}^{E}{{dx_{2}(U)} \over {dU}}{{dU} \over {\sqrt {E-U}}}+{\sqrt {2m}}\int _{E}^{0}{{dx_{1}(U)} \over {dU}}{{dU} \over {\sqrt {E-U}}}={\sqrt {2m}}\int _{0}^{E}\left[{{dx_{2}} \over {dU}}-{{dx_{1}} \over {dU}}\right]{{dU} \over {\sqrt {E-U}}}\;$

(1.76)

Dzielimy obie strony równości (1.76) przez wyrażenie zależne od α i energię całkowitą kulki ${\sqrt {\alpha -E}}\;$ i w ten sposób całkujemy tak otrzymane wyrażenie względem E od 0 do α, wtedy:

$\int _{0}^{\alpha }{{T(E)dE} \over {\sqrt {\alpha -E}}}={\sqrt {2m}}\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{E}\left[{{dx_{2}} \over {dU}}-{{dx_{1}} \over {dU}}\right]{{dUdE} \over {\sqrt {(\alpha -E)(E-U)}}}\;$

(1.77)

We wzorze (1.77) zmieniamy kolejność całkowania w całce podwójnej:

$\int _{0}^{\alpha }{{T(E)dE} \over {\sqrt {\alpha -E}}}={\sqrt {2m}}\int _{0}^{\alpha }\left[{{dx_{2}} \over {dU}}-{{dx_{1}} \over {dU}}\right]dU\int _{U}^{\alpha }{{dE} \over {\sqrt {(\alpha -E)(E-U)}}}\;$

(1.78)

Wyznaczmy teraz całkę występującą we wzorze (1.78) według praw analizy matematycznej, wykorzystując twierdzenia o równaniu kwadratowym, i pewną policzoną całkę ogólną $\int {{dx} \over {\sqrt {1-x^{2}}}}=\operatorname {arcsin} x\;$:

$\int _{U}^{\alpha }{{dE} \over {\sqrt {(\alpha -E)(E-U)}}}=\int _{U}^{\alpha }{{dE} \over {\sqrt {\alpha E-\alpha U-E^{2}+EU}}}=\int _{U}^{\alpha }{{dE} \over {\sqrt {-E^{2}+E(\alpha +U)-\alpha U}}}=\;$
$=\int _{U}^{\alpha }{{dE} \over {\sqrt {-\left(E-{{\alpha +U} \over {2}}\right)^{2}+{{((\alpha -U)^{2}} \over {2}}}}}=\int _{U}^{\alpha }{{d{{2E-\alpha -U} \over {\alpha -U}}} \over {\sqrt {1-\left({{2E-\alpha +U} \over {\alpha -U}}\right)^{2}}}}=\pi \;$

(1.79)

Wzór na całkę (1.79) podstawiamy do (1.78), i dalej całkujemy go względem zmiennej U lewą stronę równości (1.78), i w ostatecznych rozrachunkach otrzymujemy bardziej uproszczoną tożsamość:

$\int _{0}^{\alpha }{{T(E)dE} \over {\sqrt {\alpha -E}}}=\pi {\sqrt {2m}}[x_{2}(\alpha )-x_{1}(\alpha )]\;$

(1.80)

Uwzględniając przypadek x₂(0)=x₁(0)=0 dla stanu równowagi, to dla α=U możemy jednocześnie zapisać x₁(U)=-x₂(U)=x(U), wtedy maksymalne położenie jest:

$x(U)={{1} \over {2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{{T(E)dE} \over {\sqrt {U-E}}}\;$

(1.81)

Zasada zachowania pędu, momentu pędu i energii

Równanie na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), można zapisać przy pomocy definicji pędu, która jest iloczynem masy ciała i jego prędkości, co to ostatnie jest określona przez wzór:

${\vec {p}}=m{\vec {v}}\;$

(1.82)

Zatem wtedy druga zasada dynamiki Newtona przejmuje postać przy definicji pędu określonej wzorem (1.82), wtedy tą zasadę piszemy według:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(1.83)

Zasada zachowania pędu

Równanie (1.83) opisuje ruch pojedynczej cząstki, zatem możemy dodać poszczególne równania ruchu do siebie stronami i korzystając z trzeciej zasady dynamiki Newtona, otrzymamy, że zmiana pędu całego układu podzielonej przez czas, w której ta zmiana nastąpiła jest ona równa sile całkowitej działających na nasz układ, których to wiadomo, że siły wewnętrzne działające między cząstkami nawzajem się równoważą w układzie jako całość. Jeśli na układ nie działa żadna niezrównoważona siła, do całkowity pęd układu jest wielkością stałą, co pęd tego układu dla n cząstek piszemy w postaci:

${\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\;$

(1.84)

Zasada zachowania momentu pędu

Zdefiniujmy wzór na moment pędu jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i pędu, a moment siły jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego i siły działających na dany punkt ciała.

${\vec {K}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}\;$

(1.85)

${\vec {N}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}\;$

(1.86)

Wyznaczając pochodną zupełną czasową momentu pędu zdefiniowanego w punkcie (1.85), a także korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona (1.32), a zatem do dzieła:

${{d{\vec {K}}} \over {dt}}=m{{d} \over {dt}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m{\vec {v}}\times {\vec {v}}+{\vec {r}}\times {{d{\vec {p}}} \over {dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {N}}\;$

(1.87)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.87) możemy napisać, że infitenizymalna zmiana momentu pędu względem czasu jest równa momentowi siły, piszemy:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}\;$

(1.88)

Rónanie (1.88) opisuje ruch dla jednej cząstki, ale można go uogólnić na przypadek wielu cząstek, sumując wspomniany wzór dla każdej z określonych cząstek, których dotyczy i wiedząc jednocześnie, że moment siły działający na ciało A ze strony ciała B oraz moment siły działający na ciało B ze strony na ciała A sumują się do zera, bo one działają wzdłuż tego samego kierunku i spełniają te siły trzecią zasadę dynamiki Newtona, jak tutaj zakładamy, zatem przy takim sumowaniu zostaje tylko sumowanie momentów sił, które są momentami sił pochodzących od ciał zewnętrznych.

Energia potencjalna

Wprowadźmy definicję siły potencjalnej w taki sposób, że praca siły potencjalnej nie zależy od konturu tylko od punktu początkowego i końcowego poruszania się ciała, co na podstawie tego można zapisać równanie, które zapisujemy po zamkniętym konturze C, co dochodzimy, że jej praca po niej jest równa zero:

$\oint _{L}{\vec {F}}d{\vec {r}}=0\;$

(1.89)

Z definicji rotacji możemy (1.89) zapisać w postaci:

$0=\oint _{L}{\vec {F}}d{\vec {r}}=\int _{S}\operatorname {rot} {\vec {F}}d{\vec {S}}\;$

(1.90)

Na podstawie wniosku przeprowadzonego w punkcie (1.90), powiemy że rotacja siły potencjalnej jest równa zero, co możemy przepisać:

$\operatorname {rot} {\vec {F}}=0\;$

(1.91)

Udowodnimy teraz korzystając ze wzoru (1.89), że dowolna całka całkowana w granicach od punktu A do punktu B, tzn. $\int _{A}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}\;$ jest niezależna od krzywej wzdłuż której liczymy tą całkę łącząca te dwa punkty:

$0=\oint {\vec {F}}d{\vec {r}}=\int _{A(1)}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}+\int _{B(2)}^{A}{\vec {F}}d{\vec {r}}=\int _{A(1)}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}-\int _{A(2)}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}\Rightarrow \int _{A(1)}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}=\int _{A(2)}^{B}{\vec {F}}d{\vec {r}}\;$

(1.92)

Widzimy że według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.92), co w końcowym obliczeniach w tymże punkcie dowiedzieliśmy się, że w przypadku sił potencjalnych dowolna całka łącząca dwa końcowe punkty, tutaj A i B jest niezależna od drogi całkowania, czyli definicja siły potencjalnej nie jest sprzeczna. Jeśli ustaliliśmy, że dana siła jest siłą potencjalną, tzn. spełniająca warunek (1.89) lub (1.91), to energią potencjalną w polu sił potencjalnych definiujemy wzorem pierwszym podanej poniżej, a także w tym samym punkcie określimy siłę pola potencjalnego w zależności od energii potencjalnej:

$U({\vec {r}})=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {F}}d{\vec {r}}\Rightarrow dU=-{\vec {F}}d{\vec {r}}\Rightarrow \operatorname {grad} Ud{\vec {r}}=-{\vec {F}}d{\vec {r}}\Rightarrow {\vec {F}}=-\operatorname {grad} U\;$

(1.93)

Ogólnie siły, które posiadają potencjał nazywamy siłami potencjalnymi , a te siły potencjalne nie zależące od czasu, nazywamy siłami konserwatywnymi , a te siły, które nie posiadają potencjału, nazywamy je siłami niepotencjalnymi .

Energia potencjalna ciała w polu sił ciężkości

Niech naszym wektorem sił ciężkości będzie siła zależna od przyspieszenia ziemskiego ${\vec {F}}\;$, ale o zwrocie przeciwnym niż ta wielkość:

${\vec {F}}=-m{\vec {g}}\;$

(1.94)

Zatem energia potencjalna według pierwszej równości(1.93) wektora sił ciężkości definiujemy:

$U=-\int (-m{\vec {g}})d{\vec {r}}=m\int _{0}^{\vec {r}}{\vec {g}}d{\vec {r}}=mgz\;$

(1.95)

Energia potencjalna oscylatora harmonicznego tłumionego

Równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego (1.62) możemy pomnożyć przez pochodną współrzędnej iksowej położenia, zatem ten sposób prowadzi do:

${{d} \over {dt}}\left({{m{\dot {x}}^{2}} \over {2}}+{{kx^{2}} \over {2}}\right)=-2m\beta {\dot {x}}^{2}\;$

(1.96)

Wyraz stojący po prawej stronie wzoru (1.96) jest mocą sił dysypatywnych, a lewa strona tego samego wzoru jest infinityzymalną zmianą całkowitej energii układu, w skład w której wchodzi sprężynka i ciało o masie "m", co całość podzielona jest przez nieskończenie mały czas dt.

Trójwymiarowy oscylator harmoniczny

Siłę harmoniczną w trójwymiarowym układzie współrzędnych definiujemy jako iloczyn stałej sprężystości "k' i wektora przemieszczenia od stanu równowagi ${\vec {r}}\;$, i to wszystko wzięte z minusem, czyli definicja jego jest:

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}\;$

(1.97)

Energią potencjalną (1.93) nazywamy energię, którą określamy jako całkę siły (1.97) względem infinizywalnego przesunięcia wziętej razem z minusem.

$U=k\int _{\vec {0}}^{\vec {r}}{\vec {r}}d{\vec {r}}=k\int _{0}^{x}xdx+\int _{0}^{y}ydy+\int _{0}^{z}zdz=k\left({{1} \over {2}}x^{2}+{{1} \over {2}}y^{2}+{{1} \over {2}}z^{2}\right)={{1} \over {2}}k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)={{1} \over {2}}k{\vec {r}}^{2}\;$

(1.98)

Zasada zachowania energii

Napiszmy drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), dla układu cząstek i rozdzielmy siły działające na układ na siły potencjalne (działające od wewnątrz układu ${\vec {F}}_{pij}\;$ i zewnątrz ${\vec {F}}_{pik}^{'}\;$) i dysypatywne (działające od wewnątrz układu ${\vec {F}}_{zij}\;$ i zewnątrz ${\vec {F}}_{zik}^{'}\;$), piszemy:

$m_{i}{\dot {\vec {v}}}_{i}=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}\;$

(1.99)

Równanie (1.99) pomnóżmy przez iloczyn prędkości ciała i infinitezymalnego czasu, otrzymujemy:

$m_{i}{\dot {\vec {v}}}_{i}{\vec {v}}_{i}dt=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow d{{m_{i}v_{i}^{2}} \over {2}}=\sum _{j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{k}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}\;$

(1.100)

Równanie (1.100) opisuje pojedynczą cząstkę, wraz z działającymi na siebie siłami, a więc to równania opisujące każdą cząstkę z osobna, które dodajemy je do siebie, i w ten sposób dostajemy równość dla pewnego zbioru cząstek oddziaływających między sobą wykorzystując wzór na różniczkę energii potencjalnej (1.93):

$dT=\underbrace {\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{zij}d{\vec {r}}_{i}} _{dW_{1}}+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+\underbrace {\sum _{ki}{\vec {F}}_{zik}^{'}d{\vec {r}}_{i}} _{dW_{2}}+\underbrace {\sum _{ki}{\vec {F}}_{pik}^{'}d{\vec {r}}_{i}} _{-dU_{2}}=dW_{1}+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+dW_{2}-dU_{2}=\;$
$=dW+\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}-dU_{2}\;$

(1.101)

Teraz rozpatrzmy siły działające na poszczególne cząstki układu, które są siłami potencjalnymi, zatem wtedy możemy powiedzieć na podstawie definicji różniczki energii potencjalnej (1.93) i z trzeciej zasady dynamiki Newtona:

$\sum _{ij,i\neq j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}+{\vec {F}}_{pji}d{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}\left({\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{i}-{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d\left({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\right)=\sum _{i,j,i<j}{\vec {F}}_{pij}d{\vec {r}}_{ij}=\;$
$=-\sum _{i,j,i<j}\left(-{\vec {F}}_{pij}\right)d{\vec {r}}_{ij}=-\sum _{i,j,i<j}dU_{ij}=-d\sum _{i,j,i<j}U_{ij}=-dU_{1}\;$

(1.102)

W obliczeniach (1.102) skorzystaliśmy z definicji różniczki zupełnej energii potencjalnej. Równanie (1.101) na podstawie obliczeń przeprowadzonych w ostatnich obliczeniach i oznaczając drugą sumę w tożsamości po prawej jego stronie jako pracę infinitezymalną sił zewnętrznych przez dW w tym naszym wzorze, wtedy to równanie przepisujemy w postaci:

$dT=dW-dU_{1}-dU_{2}\Rightarrow dT+d(U_{1}+U_{2})=dW\Rightarrow dT+dU=dW\Rightarrow d(T+U)=dW\Rightarrow dE=dW\;$

(1.103)

Całkowita energią układu E jest sumą energii kinetycznej i energii potencjalnej posiadanej przez dany układ (bo E=T+U), wtedy możemy powiedzieć, ze infinitezymalna zmiana energii układu mas jest równa infinitezymalnej pracy działających na nasz układ.

Wykorzystanie zasad zachowania do rozwiązywania równań ruchu

Załóżmy, że ciało porusza się w jednej płaszczyźnie, zatem z zasady zachowania momentu pędu i energii, a także definicji prędkości w układzie współrzędnych radialnych możemy napisać tożsamości:

$mr^{2}{\dot {\phi }}=L=\operatorname {const} \;$

(1.104)

${{m} \over {2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})+U(r)=E=\operatorname {const} \;$

(1.105)

Ze wzoru (1.104) możemy wyznaczyć pochodną czasową wielkości φ, a tą wielkość podstawiamy do wzoru na energię całkowitą układu (1.105), wtedy możemy powiedzieć:

${{m{\dot {r}}^{2}} \over {2}}+{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}+U(r)=E\;$

(1.106)

Równanie różniczkowe (1.106) możemy rozwiązać poprzez metodę rozdzielenia zmiennych, w tym celu to wspomnianą równość piszemy:

$dt=\pm {{dr} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-U(r)-{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}\right)}}}\;$

(1.107)

W powyższej tożsamości występuje znak plus, gdy położenie radialne cząstki maleje, a ma znak minus, a znak plus gdy położenie radialne rośnie. Ze wzoru (1.107) możemy wyznaczyć czas w zależności od położenia cząstki, która porusza się z punktu r₀ do r, w tym celu należy przecałkować ostatnio wspomniane równanie, otrzymujemy:

$t-t_{0}=\pm \int _{r_{0}}^{r}{{dr} \over {\sqrt {{{2} \over {m}}\left(E-U(r)-{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}\right)}}}\;$

(1.108)

Następnym krokiem jest wyznaczenie kąta obrotu ciała w zależności od położenia radialnego, zatem w tym celu należy skorzystać ze wzoru (1.104) i przestawić go w postaci wzoru na różniczkach, czyli różniczki kąta względem różniczki czasu:

$d\theta ={{L} \over {mr^{2}}}dt\;$

(1.109)

Do wzoru (1.109) podstawiamy wzór na różniczkę czasu otrzymanej w punkcie (1.107) i po przecałkowaniu jego obu stron, otrzymujemy:

$\theta -\theta _{0}=\pm \int _{r_{0}}^{r}{{Ldr} \over {r^{2}{\sqrt {2m\left[E-U(r)-{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}\right]}}}}\;$

(1.110)

W powyższym wzorze (1.110) lub we wzorze (1.108) występuje wielkość zwana energią efektywną, którego definicja jest:

$U_{ef}=U(r)+{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}\;$

(1.111)

Widzimy, że według (1.111) energia efektywna zależy od energii potencjalnej ciała w punkcie odległego o "r" od źródła pola grawitacyjnego, a także ona zależy od momentu pędu.

Empiryczne Prawa Keplera

Prawa Keplera dotyczą ruchu planet wokół gwiazdy lub planety, gdzie masa ciała m krążącego wokół ciała M, którego masa ciała m jest o wiele mniejsza niż masa ciała M.

Pierwsze Prawo Keplera

(Rys. 1.1) Graficzna interpretacja I Prawa Keplera

Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się w jednym z jej ognisk. Z własności elipsy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość znana z geometrii.

${\overline {F_{1}P_{1}}}+{\overline {P_{1}F_{2}}}={\overline {F_{1}P_{2}}}+{\overline {P_{2}F_{2}}}$

(1.112)

Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych zapisuje się wzorem zależnych od stałej e (mimośród elipsy) i stałej a i b, te stałe zależne są od wartości całkowitego momentu pędu i energii całkowitej układu, zatem w takim przypadku powiemy, że odległość od ogniska elipsy w zależności od kąta θ piszemy jako:

$\rho ={{p} \over {1+e\cos \psi }}$

(1.113)

• gdzie stałe występujące we wzorze (1.113), w których pierwsza jest stała p, drugą stała c, a trzecia stała jest to mimośród elipsy, gdzie stałe a i b są to długości , których przestawia najmniejszą i najdalszą odległość w elipsie od środka elipsy:

$p={{b^{2}} \over {a}}$

(1.114)

$c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

(1.115)

$e={{c} \over {a}}\leq 1$.

(1.116)

Drugie Prawo Keplera

(Rys. 1.2) Ilustracja II Prawa Keplera

Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola.

Z tego prawa wynika, że w peryhelium (w pobliżu gwiazdy), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od gwiazdy).

Trzecie Prawo Keplera

Drugie potęgi okresów obiegu planet wokół gwiazdy są wprost proporcjonalnie do trzecich potęg ich średnich odległości od gwiazdy, co to prawo zapisujemy:

${{T_{1}^{2}} \over {T_{2}^{2}}}={{a_{1}^{3}} \over {a_{2}^{3}}}$

(1.117)

Wyjaśnienie Drugiej Zasady Keplera

(Rys. 1.3) Graficzna interpretacja II Prawa Keplera

W prowadźmy pojęcie prędkości polowej, która to zależy od położenia danego ciała na elipsie, a także jego prędkości, co jego definicja:

${\vec {u}}={{1} \over {2}}\left({\vec {r}}\operatorname {x} {\vec {v}}\right)$

(1.118)

Długość wektora prędkości polowej (1.118) piszemy jako:

$u={{1} \over {2}}rv\sin \beta$

(1.119)

Udowodnijmy dwa powyższe wzory biorąc sobie pole elipsy zakreskowane w czasie Δt, którego to definicja jest:

$\Delta S={{1} \over {2}}rv\Delta t\sin(\pi -\beta )\Rightarrow \Delta S={{1} \over {2}}rv\Delta t\sin \beta$

(1.120)

Oznaczmy teraz wartość prędkości kątowej jako iloraz powierzchni zakreślanej przez ciało w czasie Δt krążącego wokół źródła pola grawitacyjnego po elipsie według:

$u={{\Delta S} \over {\Delta t}}\;$

(1.121)

Jeśli wzór (1.120) podstawimy do (1.121), to otrzymamy wzór (1.119) i wykorzystamy definicję długości iloczynu wektorowego, wtedy jego przestawienie wektorowe jest w postaci wzoru (1.118). Ale definicja momentu pędu, którą przestawimy w zależności od wektora prędkości polowej (1.118) ciała krążącego po elipsie wokół z jednego z ognisk z elipsy.

${\vec {K}}={\vec {r}}\operatorname {x} m{\vec {v}}=m{\vec {r}}\operatorname {x} {\vec {v}}=2m{\vec {u}}$

(1.122)

A zatem prędkość polowa jest równa momentowi pędu z dokładnością do czynnika stałego. A więc drugie prawo Keplera, to jest inne sformułowanie zasady zachowania momentu pędu.

Wyprowadzenie Prawa Grawitacji Newtona z zasad Keplera

(Rys. 1.4) Ruch ciała o masie m wokół ciała o masie M

(Rys. 1.5) Ilustracja trzech praw Kepler'a ustawień dwóch orbit planetarnych. (1) orbity są elipsy, z punktów ogniskowych F1 i F2 na pierwszej planecie i F1 i F3 na drugą planetę. Słońce jest umieszczony w punkt centralny F1. (2) Obie zacienione sektorów A1 i A2 mają taką samą powierzchnię i czas na planecie 1 na pokrycie segmencie A1 równa jest czas na pokrycie segmentu A2. (3) Całkowita liczba razy na orbicie planety 1 i planety 2 ma jak się stosunek stosunek 1 3 / 2: 2 3 / 2.

Prędkość polowa (1.118) jest wprost proporcjonalna do momentu pędu, a zatem zachowany jest moment pędu ciała, który to w naszym przypadku piszemy wzorem (1.104). Z prawa zachowania momentu pędu wynika, że na ciało od masy M działa siła wprost na ciało m radialnie. a więc siłę radialną wyznaczoną z definicji przyspieszenia w układzie współrzędnych radialnych (1.27) określamy:

$F_{r}=ma_{r}=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\phi }}^{2}\right)$

(1.123)

Jeśli ciało porusza się po elipsie, to odwrotność promienia r jest napisana w zależności od kąta φ

$r={{k} \over {1+\epsilon \cos \phi }}\Rightarrow {{1} \over {r}}={{1} \over {k}}\left(1+\epsilon \cos \phi \right)$

(1.124)

Różniczkując obustronnie ostatnie równanie wynikowe (1.124), wtedy otrzymujemy tożsamość:

${{\dot {r}} \over {r^{2}}}={{\epsilon } \over {k}}{\dot {\phi }}\sin \phi$

(1.125)

Z definicji momentu pędu (1.104) możemy napisać wielkość, która jest iloczynem kwadratu odległości radialnej i pochodnej kąta obrotu, co tutaj piszemy:

$r^{2}{\dot {\phi }}={{L} \over {m}}$

(1.126)

Tożsamość (1.125) możemy troszeczkę poprzekształcać, by później można było podstawiając do niego wzór (1.126):

${\dot {r}}={{\epsilon } \over {k}}r^{2}{\dot {\phi }}\sin \phi ={{\epsilon L} \over {km}}\sin \phi$

(1.127)

Jeszcze zróżniczkujmy raz wyrażenie (1.127) i znów wykorzystując (1.126), w ten sposób możemy napisać tożsamość:

${\ddot {r}}={{\epsilon L} \over {km}}{\dot {\phi }}\cos \phi ={{\epsilon L^{2}} \over {km^{2}r^{2}}}\cos \phi$

(1.128)

Ze wzoru (1.104) wyznaczmy po kolei iloczyn promienia radialnego i kwadratu pochodnej wielkości kątowej względem czasu, zatem w takim przypadku powiemy:

$L=mr^{2}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dot {\psi }}={{L^{2}} \over {mr^{2}}}\Rightarrow {\dot {\phi }}^{2}={{L^{2}} \over {m^{2}r^{4}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow r{\dot {\phi }}^{2}={{L^{2}} \over {m^{2}r^{3}}}$

(1.129)

Wykorzystując wzór na drugą pochodną promienia radialnego (1.128) oraz korzystając wzór (1.129) możemy napisać wzór na siłę radialną siły działających wzdłuż linii łączącej jedno z ognisk elipsy:

$F_{r}={{L} \over {mr^{2}}}\left({{\epsilon } \over {k}}\cos \phi -{{1} \over {r}}\right)$

(1.130)

Wzór (1.124) możemy podstawić do wzoru na radialną siłę F_r (1.130), w takim razie otrzymujemy wzór na siłę radialną określoną:

$F_{r}=-{{L^{2}} \over {kmr^{2}}}$

(1.131)

Wykorzystując fakt o definicji momentu pędu możemy napisać drugie prawo Keplera, co uwidoczniamy wzorem poniżej, z którego wyznaczymy wzór na okres okrążania orbity masy wokół z jednej z ognisk:

$\pi ab=T{{dS} \over {dt}}=T{{r^{2}{\dot {\phi }}} \over {2}}=T{{L^{2}} \over {2m}}\Rightarrow T={{\pi ab} \over {{L^{2}} \over {2m}}}\Rightarrow T^{2}={{2\pi abm} \over {L^{2}}}$

(1.132)

Napiszmy teraz stosunek kwadratu okresu obiektu wokół jednego z ognisk elipsy podzielonej przez trzecią potęgę długości a, zatem w takim przypadku jeszcze raz wykorzystując fakt, że ${{b^{2}} \over {a}}=k\;$, w takim razie trzecie prawo Keplera piszemy w postaci:

${{T^{2}} \over {a^{3}}}={{4\pi ^{2}a^{2}b^{2}m^{2}} \over {L^{2}a^{3}}}\Rightarrow {{T^{2}} \over {a^{3}}}={{4\pi ^{2}km^{2}} \over {L^{2}}}=const$

(1.133)

Obierzmy teraz stałą f, która zależy od momentu pędu masy ciała krążącego po elipsie i stałej k, a także od stałej z definiowanej wzorem: $f={{L^{2}} \over {km^{2}}}$, a zatem wzór na siłę radialną (1.123) piszemy jako:

$F_{r}=-{{fkm^{2}} \over {kmr^{2}}}=-{{fm} \over {r^{2}}}$

(1.134)

Jeśli równanie na siłę grawitacyjną ma być symetryczne ze względu na ciało znajdujących się z jednej z ognisk i ciała krążącego wokół elipsy, zatem w takim razie, możemy powiedzieć, że zachodzi $f\sim M\Rightarrow f=GM$, mając wszystko na uwadze możemy napisać wzór na siłę grawitacji Newtona:

$F_{r}=-{{GMm} \over {r^{2}}}$

(1.135)

Uogólnienie trzeciej zasady Keplera

Siła dośrodkowa, nazywamy siłę definiowana wzorem $F={{mv^{2}} \over {r}}$, zatem łącząc tą siłę z prawem grawitacji Newtona (1.135), wtedy otrzymamy dwa równania, które opisują ruch tychże ciał krążące po okręgach:

$G{{Mm} \over {R^{2}}}={{Mv_{1}^{2}} \over {r_{1}}}$

(1.136)

$G{{Mm} \over {R^{2}}}={{Mv_{2}^{2}} \over {r_{2}}}$

(1.137)

Równania (1.136) i (1.137) możemy tak poprzekształcać, by otrzymać następną parę równań w taki sposób, by wyznaczyć czemu jest równe R²r₁ i R²r₂:

$R^{2}r_{1}=Gm{{r_{1}^{2}} \over {v_{1}^{2}}}$

(1.138)

$R^{2}r_{2}=GM{{r_{2}^{2}} \over {v_{2}^{2}}}$

(1.139)

Ale z drugiej strony wiadomo, że zachodzi tożsamość $v={{2\pi r} \over {T}}\Rightarrow T={{2\pi r} \over {v}}\Rightarrow {T \over {2\pi }}={{r} \over {v}}$, wtedy przy tak otrzymanych wzorach, które podstawimy dla par równań (1.138) i (1.139), co otrzymamy następną parę równań określonych:

$R^{2}r_{1}={{T^{2}} \over {4\pi ^{2}}}Gm$

(1.140)

$R^{2}r_{2}={{T^{2}} \over {4\pi ^{2}}}GM$

(1.141)

Ale wiadomo, że suma promieni r₁ i r₂ jest równa odległości R dla obu ciał krążących wokół środka masy, wtedy tożsamość:

$T^{2}(m+M)=R^{3}{{4\pi ^{2}} \over {G}}$

(1.142)

Dzieląc obustronnie równania opisującą jedną i drugą orbitę dla dwóch ciał, krążącej wokół dwóch gwiazd, wtedy zachodzi:

${{T_{1}^{2}(M_{1}+m_{1})} \over {T_{2}^{2}(M_{2}+m_{2})}}={{a_{1}^{3}} \over {a_{2}^{3}}}$

(1.143)

Gdy dwa ciała krążą wokół jednej gwiazdy i weżniemy M₁>>m₁ oraz M₂>>m₂, a także M₁=M₂=M, to otrzymujemy trzecie prawo Keplera:

${{T_{1}^{2}} \over {T_{2}^{2}}}={{a_{1}^{3}} \over {a_{2}^{3}}}$

(1.144)

Równanie toru dla ciała w polu sił centralnych

Pole sił centralnych

Pole sił centralnych, jest to pole, w którym linie pola sił centralnych spotykają się we wspólnym punkcie, w którym znajduje się ciało wytwarzające to pole. Określmy teraz pole sił centralnych według wzoru zależnego od wektora wodzącego ${\vec {r}}\;$ działający od ciała pierwszego na ciało drugie, zatem ten nasz wzór przepisujemy w postaci:

${\vec {F}}=-\kappa {{1} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}$

(1.145)

Gdzie κ jest to dodatnia stała, którego określa właściwości ciał oddziaływających ze sobą.

Energia potencjalna w polu sił centralnych

Policzmy teraz energię potencjalną ciała korzystając przy tym ze wzoru na energię potencjalną (1.93) znajdującego się w polu sił centralnych, którego to pole sił jest określone przez wzór (1.145), w takim przypadku:

$E_{p}=W=-\int \limits _{\infty }^{r}{\vec {F}}d{\vec {r}}=\int \limits _{\infty }^{r}\left(\kappa {{1} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}\right)d{\vec {r}}=\kappa \int \limits _{\infty }^{r}{{1} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}d{\vec {r}}=\kappa \int \limits _{\infty }^{r}{{1} \over {r^{2}}}dr=\kappa \left(-1{{1} \over {r}}\right){\bigg |}_{\infty }^{r}=-\kappa \left({{1} \over {r}}-{{1} \over {\infty }}\right)=-\kappa {{1} \over {r}}$

(1.146)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.146) możemy napisać wzór na energię potencjalną, która jest zależna od promienia, czyli od odległości od pewnego ciała do ciała, dla którego liczymy energię potencjalną danego ciała fizycznego:

$E_{p}=-\kappa {{1} \over {r}}$

(1.147)

Wyprowadzenie ruchu ciał w polu sił centralnych w dwóch wymiarach

Energia mechaniczna ciała znajdującej się w ruchu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w układzie współrzędnych radialnym i wykorzystując fakt, że energia potencjalna danego ciała jest wyrażona wzorem (1.147), zatem całkowita energia:

$E={{m{\dot {r}}^{2}} \over {2}}+{{mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}} \over {2}}-{{\kappa } \over {r}}$

(1.148)

Moment pędu ciała poruszająca się wokół pewnego ciała wytwarzającego pewne pole sił, z którego wyznaczamy pochodną zupełną kąta φ względem czasu, jest:

$L=mr^{2}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dot {\phi }}={{L} \over {mr^{2}}}$

(1.149)

Do wzoru na energią całkowitą ciała (1.147) podstawimy do niego wzoru na pochodną zupełną wielkości kątowej względem czasu (1.148):

$E={{m{\dot {r}}^{2}} \over {2}}+{{L^{2}} \over {2mr^{2}}}-{{\kappa } \over {r}}$

(1.150)

A teraz weźmy podstawienie: $r={{1} \over {s}}$, w której współrzędna radialna jest równa odwrotności zmiennej s, zatem pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu określamy:

${\dot {r}}=-{{1} \over {s^{2}}}{{ds} \over {d\phi }}{\dot {\phi }}=-{{1} \over {s^{2}}}{{ds} \over {d\phi }}{{L} \over {mr^{2}}}=-{{1} \over {s^{2}}}{{ds} \over {d\phi }}{{L} \over {m}}s^{2}=-{{L} \over {m}}{{ds} \over {d\phi }}\Rightarrow {\dot {r}}=-{{L} \over {m}}s'$

(1.151)

Wykorzystując końcowy fakt napisanego w punkcie (1.151) na pochodną zupełną zmiennej radialnej względem czasu w zależności od zmiennej s względem czasu, wtedy określamy wzór na całkowitą energię potencjalną, którą określamy wedle:

$E={{m} \over {2}}{{L^{2}} \over {m^{2}}}s'^{2}+{{L^{2}} \over {2m}}s^{2}-\kappa s\Rightarrow E={{L^{2}} \over {2m}}\left(s'^{2}+s^{2}\right)-\kappa s$

(1.152)

Teraz zróżniczkujmy równanie końcowe (1.152) względem względem czasu, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$0={{L^{2}} \over {2m}}\left(2s's''+2ss'\right)-\kappa s'$

(1.153)

Ostatnie równanie jest spełnione, gdy s'=0, to mamy okrąg, ale nie oto chodzi, zatem podzielmy przez s' równanie (1.153), z którego możemy wyznaczyć sumę drugiej i zerowej pochodnej zupełnej względem czasu:

${{L^{2}} \over {m}}\left(s''+s\right)=\kappa \Rightarrow s''+s={{\kappa m} \over {L^{2}}}$

(1.154)

Zgadujemy teraz rozwiązanie równanie różniczkowego (1.154) w postaci funkcji zależnych od stałych A i B:

$s=A\sin \phi +B\cos \phi +{{\kappa m} \over {L^{2}}}$

(1.155)

Wyznaczmy teraz stałe A,B, w tym celu policzmy pochodną zupełną wielkości s w peryferium, czyli pochodną ${{ds} \over {d\phi }}|_{\phi }=0\;$, co dla tego punktu wykorzystując fakt (1.155), stąd otrzymujemy, że stała A jest równa zero, bo zachodzi:

$A\cos \phi +B\sin \phi |_{\phi =0}=0\;$

(1.156)

Ostateczne równanie na wielkość s zapisaną w punkcie (1.155) piszemy:

$s={{1} \over {r}}={{1} \over {k}}(1+\epsilon \cos \phi )\;$

(1.157)

Stała k odpowiada stałej charakteryzującej nasz dany ruch.

$k={{L^{2}} \over {\kappa m}}\;$

(1.158)

Mimośród a energia cząstki w dwóch wymiarach

Wyznaczmy teraz pochodną zmiennej s względem czasu wyrażenia określonego wzorem (1.157), w ten sposób otrzymujemy tożsamość określonego względem zmiennej kątowej φ, która jest kątem między promieniem wodzącym łączących jedno z ognisk elipsy z ciałem poruszających się po elipsie:

$s'=-{{\epsilon } \over {k}}\sin \phi$

(1.159)

Do pochodnej zmiennej radialnej względem czasu przedstawioną w punkcie (1.151) podstawiamy wzór na pochodną zmiennej "s" względem miary kąta φ, mamy:

${\dot {r}}=-{{L} \over {m}}s'={{L\epsilon } \over {mk}}\sin \phi ={{L\epsilon \kappa m} \over {mL^{2}}}\sin \phi ={{\epsilon \kappa } \over {L}}\sin \phi$

(1.160)

A teraz policzmy całkowitą energię cząstki wyrażoną w punkcie (1.150), do którego podstawiamy pochodną zmiennej radialnej w względem czasu (1.160), która z kolei zależy od zmiennej kątowej:

$E={{m\epsilon ^{2}\kappa ^{2}} \over {2L^{2}}}\sin ^{2}\phi +{{L^{2}} \over {2m}}{{\kappa ^{2}m^{2}} \over {L^{4}}}(1+\epsilon ^{2}\cos ^{2}\phi +2\epsilon \cos \phi )-{{\kappa ^{2}m} \over {L^{2}}}(1+\epsilon \cos \phi )$
$E={{m\epsilon ^{2}\kappa ^{2}} \over {2L^{2}}}\sin ^{2}\phi +{{m\kappa ^{2}} \over {2L^{2}}}\left(1+\epsilon ^{2}\cos ^{2}\phi +2\epsilon \cos \phi \right)-{{\kappa ^{2}m} \over {L^{2}}}(1+\epsilon \cos \phi )$
$E=-{{\kappa ^{2}m} \over {2L^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)$

(1.161)

Rozpatrzmy teraz trzy przypadki wartości ε i ocenimy dla jakich wartości tego parametru jaki jest kształt toru.

• Gdy $\epsilon <1\Rightarrow E<0$ - to równaniem toru jest elipsa.
• Gdy $\epsilon =1\Rightarrow E=0$ - to równaniem toru jest parabola
• Gdy $\epsilon >1\Rightarrow E>1$ - to równaniem toru jest hiperbola

Pole grawitacyjne

Wzór na prawo grawitacji w słabym polu grawitacyjnym na wektor siły ${\vec {F}}\;$, którego siła radialna jest określona wzorem (1.128), piszemy w postaci wektorowej:

${\vec {F}}=-G{{mM} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}$

(1.162)

Masa grawitacyjna i bezwładna

Masą bezwładną nazywamy wielkość fizyczną występująca w drugim prawie Newtona ${\vec {F}}=m_{b}{\vec {a}}\;$, nazwijmy ją: $m_{b}\;$, a masą grawitacyjną nazwijmy ją jako:$m_{g}\;$, nazywamy wielkość fizyczną występującym w prawie grawitacji Newtona. Stwierdzono na podstawie doświadczeń, że obie te masy są proporcjonalne do siebie, tzn.: $m_{g}=km_{b}\;$, gdzie k- to jest stała proporcjonalności. Można przyjąć, że k=1, w każdym bądź razem można tą stałą uwzględnić w prawie grawitacji przy stałej $G\;$ równej: $G=6,67\cdot 10^{-11}{{Nm^{2}} \over {kg^{2}}}\;$. A zatem, nie ma potrzeby rozróżniać miedzy oba masami, i należy przyjąć $m_{b}=m_{g}=m\;$, czyli oznaczać je będziemy jako $m\;$.

Natężenie pola grawitacyjnego

Natężenie pola grawitacyjnego określamy jako iloraz siły grawitacyjnej działających ze strony mas grawitacyjnych przez masę ciała znajdującego się na orbicie:

${\vec {E}}={{\vec {F}} \over {m}}$

(1.163)

Korzystając z definicji siły grawitacyjnej (1.162), to natężenie pola grawitacyjnego przestawionych według (1.163) piszemy:

${\vec {E}}=-G{{M} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}$

(1.164)

Energia ciała w polu grawitacyjnym

Przesuńmy ciało po linii krzywoliniowej od nieskończoności do położenia ${\vec {r}}$, czyli do odległości r od ciała centralnego. Wiemy, że pole grawitacyjne jest polem centralnym. Czyli linie pola grawitacyjnego zaczynają się w środku ciężkości źródła pola i kończą się w nieskończoności. Pracę określona według wzoru poniżej na podstawie jej definicji:

$W=\int \limits _{\infty }^{r}(-{\vec {F}}d{\vec {r}})$

(1.165)

Określmy sobie układ współrzędnych radialnych, zatem siła radialna i wektor położenia określamy:

${\vec {F}}=F{\vec {e}}_{r}$

(1.166)

${\vec {r}}=r{\vec {e}}_{r}$

(1.167)

A zatem energia pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z nieskończoności wyraża się:

$E_{p}=W=-\int \limits _{\infty }^{r}Fdr=\int \limits _{\infty }^{r}{{GMm} \over {r^{2}}}dr=GMm\int \limits _{\infty }^{r}r^{-2}dr=\lim _{r_{0}\rightarrow \infty }GMm\left[-{{1} \over {r}}\right]_{r_{0}}^{r}=\lim _{r_{0}\rightarrow \infty }GMm\left(\left(-{{1} \over {r}}\right)-\left(-{{1} \over {r_{0}}}\right)\right)=\;$
$=-{{GMm} \over {r}}$

(1.168)

Potencjał ciała w polu ciężkości

Potencjałem grawitacyjnym nazywamy stosunek energii potencjalnej grawitacyjnej danego ciała poruszającego się po orbicie przez masę próbną znajdującej się na orbicie, dla energii potencjalnej pola centralnego określonego w punkcie (1.168), jest ona określona jako:

$\phi ={{E_{p}} \over {m}}={{-{{GMm} \over {r}}} \over {m}}=-{{GM} \over {r}}$

(1.169)

Zależności między potencjałem a natężeniem pola grawitacyjnego

Określmy teraz pochodną kierunkową wielkości potencjału grawitacyjnego zdefiniowanego w punkcie (1.169), co piszemy:

${{d\phi } \over {d{\vec {a}}}}=\nabla \phi {\vec {a}}$

(1.170)

Jeśli wektor ${\vec {a}}\;$ jest wektorem jednostkowym mających kierunek wzdłuż sił pola centralnego i co różniczkowanie lewej strony wyrażenia (1.170) będziemy wykonywali jako pochodna kierunkowa wielkości potencjału grawitacyjnego (1.169) i wykorzystywać będziemy fakt przy tym, że natężenie pola grawitacyjnego jest określona wzorem (1.164), co po tych rozważaniach wzór (1.170) przyjmuje postać:

${\vec {E}}{\vec {a}}=-\operatorname {grad} \phi {\vec {a}}\Rightarrow {\vec {E}}=-\operatorname {grad} \phi$

(1.171)

Potencjał pola i energia ciała w polu jednorodnym

Wiemy jednak, że w polu grawitacyjnym możemy określić przyspieszenie grawitacyjne ${\vec {g}}\;$ poprzez natężenie pola grawitacyjnego określonego w punkcie (1.164), zatem napiszmy promień od środka planety, które wyrazimy jako sumę promienia tejże naszej planety R₀ i wysokości nad tą planetą h, dzięki której liczyć będziemy potencjał pola grawitacyjnego dla punktu R=R₀,

$\varphi =-{{GM} \over {R}}=-{{GM} \over {R_{0}+h}}=-{{GM} \over {R_{0}\left(1+{{h} \over {R_{0}}}\right)}}\simeq -{{GM} \over {R_{0}}}\left(1-{{h} \over {R_{0}}}\right)=-{{GM} \over {R_{0}}}+{{GM} \over {R_{0}^{2}}}h=\varphi _{0}+gh$

(1.172)

Stąd energia grawitacyjna ciała o masie m umieszczonego w polu grawitacyjnym w przybliżeniu jednorodnym na małym wycinku planety jest określona:

$E_{p}=m\varphi =m\varphi _{0}+mgh=mgh+const\;$

(1.173)

A zatem z dokładnością do stałej energia grawitacyjna ciała o masie m w polu jednorodnym wynosi:

$E_{p}=mgh\;$

(1.174)

Prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego

Teraz udowodnijmy korzystając z twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa dla pola grawitacyjnego, to z tego prawa możemy napisać tożsamość:

$\oint _{S}{\vec {E}}d{\vec {S}}=\oint _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}dV$

(1.175)

Wybierzmy powierzchnię kulistą, ponieważ nie jest zależne jaką powierzchnię zamkniętą do całkowania wybierzemy, bo całkowanie nie jest zależne od wyboru powierzchni. Wektorem powierzchni infinitezymalnnej $d{\vec {S}}\;$ nazywamy wektor, którego kierunek jest prostopadły do tej powierzchni o zwrocie na zewnątrz tej powierzchni, i wiedząc że dla kuli mamy ${\vec {r}}||d{\vec {S}}\;$, wtedy piszemy dla pola grawitacyjnego:

$\oint _{S}{\vec {E}}d{\vec {S}}=\oint _{S}-G{{M} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}d{\vec {S}}\Rightarrow \oint _{S}{\vec {E}}d{\vec {S}}=-\oint _{S}G{{M} \over {r^{2}}}dS=GM4\pi {r^{2} \over {r^{2}}}=-GM4\pi =-4\pi GM$

(1.176)

Wersją całkowa prawa Gaussa określamy wzór wynikających przeprowadzonych w punkcie (1.176) obliczeń:

$\oint _{S}{\vec {E}}d{\vec {S}}=-4\pi GM\;$

(1.177)

Jeśli wykorzystamy wzór (1.177), którego lewą stronę przestawiamy wykorzystując fakt (1.165), to:

$\oint _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}dV=-4\pi GM$

(1.178)

Masę ciała znajdującą się w pewnej powierzchni piszemy jako całkę gęstości materii w danym punkcie przestrzeni całkowalną względem objętości:

$M=\oint _{V}\rho dV$

(1.179)

• gdzie $\rho$ to jest gęstość naszego ciała w punkcje (x,y,z).

Wiadomo, że zachodzi na pewno z (1.179):

$-4\pi GM=\oint _{V}4\pi G\rho dV=-4\pi G\oint _{V}\rho dV$

(1.180)

Wzór (1.180) możemy podstawić do lewej strony równości (1.178), w ten sposób:

$\oint _{V}\operatorname {div} {\vec {E}}dV=-4\pi G\oint _{V}\rho dV$

(1.181)

Powyższe równanie jest spełnione dla dowolnej objętości, po której dokonujemy całkowanie, w ten sposób wspomniane równanie przechodzi w jego postać różniczkową opisujący grawitację:

$\operatorname {div} {\vec {E}}=-4\pi G\rho$

(1.182)

Równanie Poissona dla pola grawitacyjnego

Napiszmy sobie dywergencję natężenia pola grawitacyjnego, co do niego podstawimy wzór na natężenie pola grawitacyjnego w zależności od potencjału grawitacyjnego (1.163), w wyniku obliczeń mamy:

$\operatorname {div} {\vec {E}}=-\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi =-\Delta \varphi$

(1.183)

Gdy obliczenia przeprowadzone w punkcie (1.183) podstawimy do lewej strony wzoru (1.182), to w ostatecznych rozrachunkach:

$-\Delta \varphi =-4\pi G\rho \Rightarrow \Delta \varphi =4\pi G\rho$

(1.184)

Cyrkulacja pola grawitacyjnego

Obieżmy okrąg wokół źródła pola, tutaj mamy ${\vec {E}}\perp d{\vec {l}}$ i policzmy jego cyrkulację, zatem na podstawie wcześniejszych wspomnień dostajemy:

$\oint _{L}{\vec {E}}d{\vec {l}}=0$

(1.185)

Do wzoru (1.185) zastosujemy prawo Stokesa, wtedy dostajemy inny do niego równoważny wzór:

$\oint _{L}\operatorname {rot} {\vec {E}}d{\vec {S}}=0\;$

(1.186)

Ponieważ równanie (1.186) jest równaniem określoną dla dowolnej powierzchni, która ogranicza ściśle określony kontur, zatem równoważny do niego wzór jest:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=0$

(1.187)

Gdy wzór (1.171), który łączy natężenie pola grawitacyjnego z potencjałem grawitacyjnym, podstawimy do (1.187), to w rezultacie otrzymujemy:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=\operatorname {rot} \operatorname {grad} \varphi =\nabla \times (\nabla \cdot \varphi )=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\varphi ={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}+\epsilon _{ikj}\nabla _{k}\nabla _{j}\right)\varphi ={{1} \over {2}}\left(\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}-\epsilon _{ijk}\nabla _{k}\nabla _{j}\right)\varphi =0\;$

(1.188)

Definicja natężenia pola grawitacyjnego (1.171) załatwia prawo (1.187), który staje się tożsamością dla naszego przypadku.

Potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

(Rys. 1.6) Wykres na potencjał efektywny ciała w polu grawitacyjnym

Potencjałem efektywnym nazywamy potencjał (1.111) dla przypadku, gdy energia potencjalna jest określona wzorem (1.168), zatem na podstawie tego możemy określić wzór na energię efektywną w postaci:

$U_{ef}={{L^{2}} \over {2mr^{2}}}-{{GMm} \over {r}}\;$

(1.189)

Widzimy, że na rysunku obok potencjał efektywny ma pewne minimum, które to dla ciała krążącego wokół masywnej gwiazdy stanowi pewnego rodzaju orbitę stabilną.

Układy inercjalne i nieinercjalne w dynamice klasycznej

Transformacje Galileusza

Zakładamy, że mamy dwa układy odniesienia, przy czym ten drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V wzdłuż osi iksowej, i ten drugi układ względem pierwszego w chwili początkowej t=0 zajmowały te same położenie, wtedy te transformacje zwane transformacjami Galileusza są wyrażone poprzez:

${\begin{cases}x^{'}=x-Vt\\y^{'}=y\\z^{'}=z\\t^{'}=t\end{cases}}$

(1.190)

Jak widzimy transformacje Galileusza opisują inercjalne układu odniesienia.

Prędkości z jednego układu odniesienia do drugiego zmieniają się według:

${\begin{cases}v_{x}^{'}=v_{x}-V\\v_{y}^{'}=v_{y}\\v_{z}^{'}=v_{z}\end{cases}}\;$

(1.191)

Jak widzimy, że transformacje Galileusza są takie, że współrzędne prędkości oprócz iksowej transformują się tożsamościowo, tylko współrzędna iksowa transformuje się w taki sposób dla którego nowa współrzędna iksowa prędkości w nowym układzie odniesienia powstaje przesz odjęcie od prędkości opisywanego względem starego układu odniesienie prędkości iksowej V nowego układu odniesienia.

Wirująca karuzela

Siła radialna i kątowa działająca na ciało krążącego po orbicie, dla której określamy siły radialną i kątową, jest wyrażona:

$F_{\rho }=m\left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}\right)\;$

(1.192)

$F_{\phi }=m\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)\;$

(1.193)

Określmy teraz sama funkcję położenia kątowego φ i jego pochodną pierwszą i drugą w zależności od prędkości obracania się układu ω, te wzory napisane są:

$\phi =\omega t+\phi ^{'}\;$

(1.194)

${\dot {\phi }}=\omega +{\dot {\phi ^{'}}}\;$

(1.195)

${\ddot {\phi }}={\ddot {\phi ^{'}}}\;$

(1.196)

Zajmijmy się teraz siłą radialną w starym układzie odniesienia określoną wzorem (1.192) przy wykorzystaniu wzoru (1.194):

$F_{r}=m\left[{\ddot {\rho }}^{'}-\rho ^{'}(\omega +{\dot {\phi ^{'}}})^{2}\right]\Rightarrow m\left({\ddot {\rho }}^{'}-\rho ^{'}{\dot {\phi ^{'}}}\right)=F_{r}^{'}+2m\omega \rho ^{'}{\dot {\phi }}^{'}+m\omega ^{2}\rho ^{'}\;$

(1.197)

A teraz zajmować się będziemy siłą kątową określoną wzorem (1.193) przy wykorzystaniu wzorów (1.195) i (1.196):

$F_{\phi }=m\left[\rho ^{'}{\ddot {\phi }}^{'}+2{\dot {\rho }}^{'}{\dot {\phi }}^{'}\right]\Rightarrow m\left(\rho ^{'}{\ddot {\phi }}^{'}+2{\dot {\rho }}^{'}{\dot {\phi }}^{'}\right)=F_{\phi }^{'}-2m\omega {\dot {\rho }}^{'}\;$

(1.198)

We wzorze (1.197) i we wzorze (1.197) pojawiły się po prawej stronie tychże wzorów dodatkowe człony, które nazwiemy siłą Coriolisa i siłą dośrodkową, jak pokazaliśmy są to siły pozorne, tzn. te siły nie istnieją w rzeczywistości.

Przypadek dowolnego układu nieinercjalnego

Wektorem wodzącym nazywamy wektor, który jest zdefiniowany przy pomocy współrzędnych (x,y,z),a także przy pomocy wersorów charakteryzujących dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych, którego ta transformacja z nowego układu odniesienia do starego opisujemy schematem:

${\vec {r}}^{*}={\vec {r}}_{0}+{\vec {r}}\;$

(1.199)

Wektor położenia danego ciała w starym układzie współrzędnych określamy:

${\vec {r}}={\vec {i}}x+{\vec {j}}y+{\vec {k}}z\;$

(1.200)

Wtedy wzór na prędkość ciała w starym układzie współrzędnych, na podstawie (1.199) i definicji położenia w nowym układzie odniesienia (1.200), określamy:

${\vec {v}}^{*}={\vec {v}}_{0}+{{dx} \over {dt}}{\vec {i}}+{{dy} \over {dt}}{\vec {j}}+{{dz} \over {dt}}{\vec {k}}+x{{d{\vec {i}}} \over {dt}}+y{{d{\vec {j}}} \over {dt}}+z{{d{\vec {k}}} \over {dt}}\Rightarrow {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {v}}_{w}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\;$

(1.201)

W powyższych obliczeniu skorzystaliśmy, że zachodzą tożsamości:

${{d{\vec {i}}} \over {dt}}=\omega \times {\vec {i}}\;$

(1.202)

${{d{\vec {j}}} \over {dt}}=\omega \times {\vec {j}}\;$

(1.203)

${{d{\vec {k}}} \over {dt}}=\omega \times {\vec {k}}\;$

(1.204)

Możemy policzyć również przyspieszenie w starym układzie odniesienia, korzystając przy tym ze związków (1.202), (1.203) i (1.204), zatem na podstawie tego tą wspomnianą wielkość piszemy:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {a}}_{w}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{w}+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{w}+{{d{\vec {\omega }}} \over {dt}}\times {\vec {r}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {a}}_{w}+2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{w}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{{d{\vec {\omega }}} \over {dt}}\times {\vec {r}}\;$

(1.205)

Przyspieszeniem Coriolisa, unoszenia nazywamy przyspieszenia, które piszemy:

${\vec {a}}_{c}=2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{w}\;$

(1.206)

${\vec {a}}_{u}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{{d{\vec {\omega }}} \over {dt}}\times {\vec {r}}\;$

(1.207)

Widzimy, że wzór na przyspieszenie w starym układzie odniesienia możemy podzielić na przyspieszenie unoszenia układu odniesienia (1.207), Coriolisa (1.206), a także na przyspieszenie względne w nowym układzie współrzędnych.

Pochodna czasowa w dowolnym układzie współrzędnych

Dowolny wektor możemy przestawić w układzie kartezjańskim prostokątnym, w której panują jednostkowe i prostopadłe do siebie wersory:

${\vec {A}}=A_{x}{\vec {i}}+A_{y}{\vec {j}}+A_{z}{\vec {k}}\;$

(1.208)

Wyznaczmy teraz pewną pochodną czasowa wielkości (1.208) wykorzystując przy tym fakt (1.202), (1.203), (1.204), a także twierdzenie o pochodnej iloczynu:

${{d{\vec {A}}} \over {dt}}={{dA_{x}} \over {dt}}{\vec {i}}+{{dA_{y}} \over {dt}}{\vec {j}}+{{dA_{z}} \over {dt}}{\vec {k}}+{{d{\vec {i}}} \over {dt}}A_{x}+{{d{\vec {j}}} \over {dt}}A_{y}+{{d{\vec {k}}} \over {dt}}A_{z}={{dA_{x}} \over {dt}}{\vec {i}}+{{dA_{y}} \over {dt}}{\vec {j}}+{{dA_{z}} \over {dt}}{\vec {k}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {i}}A_{x})+{\vec {\omega }}\times ({\vec {i}}A_{y})+\;$
$+{\vec {\omega }}\times ({\vec {i}}A_{z})={\dot {\vec {A}}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {i}}A_{x}+{\vec {j}}A_{y}+{\vec {k}}A_{z})={\dot {\vec {A}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {A}}\;$

(1.209)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (1.209) możemy napisać pochodną czasową wielkości ${\vec {A}}\;$ przepisując końcowy wynik obliczeń:

${{d{\vec {A}}} \over {dt}}={\dot {\vec {A}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {A}}\;$

(1.210)

Widzimy, że licząc pochodną wektorową wielkości (1.208) należy skorzystać ze wzoru (1.210), gdy wektor ${\vec {A}}\;$ jest równoległy do prędkości kątowej ${\vec {\omega }}\;$ dla obracającego ciała, czyli w tym przypadku zachodzi ${{d{\vec {A}}} \over {dt}}={\dot {\vec {A}}}\;$.