Mechanika teoretyczna/Ruch ciał ograniczonych więzami

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Ruch ciał ograniczonych więzami

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy więzami, czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni:

(4.1)

Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn:

(4.2)
(4.3)

Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać reonomicznymi, a niezależne od czasu skleronomicznymi. Ruch swodobny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden, więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są napisane:

(4.4)

Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek:

(4.5)

I dalej patrząc na wzory (4.4) i (4.5), to możemy powiedzieć:

(4.6)
(4.7)

wtedy więzy spełniające warunek (4.5) na podstawie (4.4) nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, które nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć (4.5) nazywamy więzami anholonomicznymi.

Zasada d'Alemberta[edytuj]

Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę wymienioną w tytule tego podrozdziału:

  • Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co obrazujemy tą zasadą:
(4.8)

Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie (4.8) dla dowolnego przesunięcia wirtualnego , czyli przy dowolnych δx, δy i δz, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych:

(4.9)
(4.10)
(4.11)

Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju[edytuj]

Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniające dwa równania więzów:

(4.12)
(4.13)

Mając na uwadze równania więzów (4.12) i (4.13) możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięciach:

(4.14)
(4.15)

Możemy wykorzystać tożsamości (4.14) i (4.15) i pomnożyć je przez współczynniki λ1 i λ2, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta (4.8):

(4.16)

Siła reakcji więzów we wzorze (4.16) możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a λ1 i λ2:

(4.17)

Zatem równanie (4.16) przy dowolnych przesunięciach wirtualnych przestawiamy:

(4.18)

Równanie (4.18) nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami (4.12) i (4.13) stanowią jakoby układ równań, z którego nań możemy wyznaczyć parametry λ1 i λ2.

Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii[edytuj]

Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii.

Zasada zachowania pędu[edytuj]

Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych (4.17) do powierzchni, na której poruszało się ciało, piszemy:

(4.19)

Jeśli natomiast zachodzi , to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu.

Zasada zachowania momentu pędu[edytuj]

Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (1.86), gdy na to działa nań siła o wartości dla ciała znajdującego się w punkcie , przestawiamy jako:

(4.20)

Jeśli moment sił działającej na ciało jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną.

Zasada zachowania energii[edytuj]

Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rozdzaju (4.18) pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, mamy w postaci:

(4.21)

Z definicji różniczki zupełnej równań więzów (4.2) i (4.3) mamy:

(4.22)
(4.23)

Z równań (4.22) i (4.23) wyznaczmy gradienty funkcji (4.2) i (4.3) stosując je do wzoru (4.21) i wykorzystując definicję energii potencjalnej (1.91), otrzymujemy:

(4.24)

Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a[edytuj]

(Rys. 4.1) Ciało na równi pochyłej

Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisujących położenia ciała na równi pochyłej, którą to piszemy:

(4.25)

Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na stoczni jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją w postaci:

(4.26)

Możemy wyznaczyć gradient dla więzu (4.25), którego to przestawiamy w postaci wektora:

(4.27)

Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów (4.18), zatem napiszmy trzy równania opisujących ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej.

(4.28)
(4.29)
(4.30)

Zróżniczkujmy równana więzów, tzn. (4.25) i (4.26), to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości:

(4.31)
(4.32)

Równania (4.28), (4.29) i (4.30) możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów:

(4.33)
(4.34)
(4.35)

Następnie wyznaczmy parametr λ1 i parametr λ2 podstawiając wzory (4.33) i (4.34) do równań wynikłych z pierwszego równania więzów (4.31) i podstawiając też równanie (4.35) do równania wynikłego z drugiego równania więzów (4.32), wtedy otrzymujemy tożsamości, z których będziemy mogli wyliczyć wspomniane parametry:

(4.36)
(4.37)

Mając już wyliczone parametry λ1 (4.36) i parametr λ2 (4.37), to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała:

(4.38)
(4.39)
(4.40)

Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana:

(4.41)

Biorąc tożsamość (4.41) i podstawiając go do równania (4.38) i (4.39), w ten sposób dostajemy jedną równość z tych z dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową, opisującą ruch naszej kulki:

(4.42)
(4.43)

Zatem z końcowych równań, tzn. z (4.42) i (4.43) z które to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu:

(4.44)
(4.45)

Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów , na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. znając wartości parametrów λ1 (4.36) i λ2 (4.37):

(4.46)

Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju[edytuj]

Statyka[edytuj]

Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywająca się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła i siły reakcji więzów są sobie równe:

(4.47)

Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem:

(4.48)

Siłę reakcji więzów wedle definicji (4.17), który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów:

(4.49)

Widzimy, że równanie (4.37) może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=±c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy:

(4.50)

Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił[edytuj]

Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle:

(4.51)

Wtedy równanie na siłę więzów (4.17) określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy:

(4.52)

Moment sił (1.84) działający ze strony więzów (4.52), który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem (4.52), jest określony:

(4.53)

Z zerowania się momentu sił (4.53) możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą.

Ruch ciała po obracającej się linijce[edytuj]

(Rys. 4.2) Ruch ciała po obracającej się linijce.

Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracające się z prędkością kątową ω:

(4.54)
(4.55)

Wykorzystując definicję operatora ∇ we współrzędnych cylindrycznych (MMF-7.19), to możemy opisać gradienty funkcji (4.54) i (4.55) następująco:

(4.56)
(4.57)

Wykorzystując wzór (1.24) możemy napisać trzy równania więzów:

(4.58)
(4.59)
(4.60)

Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów (4.54) i (4.55), możemy napisać:

(4.61)
(4.62)
(4.63)

Równanie (4.61), która jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej ρ rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej ω z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka:

(4.64)

Z warunków początkowych dla t=0 mamy i , zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu (4.64):

(4.65)
(4.66)

Z równości (4.65) i (4.66) możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na ρ (4.64):

(4.67)

W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają się współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce.

(4.68)
(4.69)
(4.70)

Następny rozdział: Układ ciał ograniczonych więzami Poprzedni rozdział: Dynamika punktów masowych

Podręcznik: Mechanika teoretyczna