Mechanika teoretyczna/Teoria ciała sztywnego i giroskopu

Teoria ciała sztywnego i giroskopu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Kinematyka ciała doskonale sztywnego

Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez takie wielkości, którym jest wektorem kąta obrotu prostopadłego do płaszczyzny tego obrotu, a jego prędkość kątowa obrotu, która w zamierzeniu jest prostopadła do płaszczyzny tego obrotu ma zwrot ma taki, że jeśli dana bryła obraca się niezgodnie ze wskazówkami zegara, to zwrot jest do góry względem naszej płaszczyzny, w przypadku przeciwnym zwrot jest przeciwny. Weźmy sobie pewne dwie osie obrotu, względem których następuje obrót, zatem prędkości wektorowe danego punktu bryły sztywnej poruszającej się wokół osi pierwszej lub drugiej naszej bryły sztywnej są określane:

${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{T}+\omega \times {\vec {r}}_{i}\;$

(7.1)

${\vec {v}}_{i}^{'}={\vec {v}}_{T}^{'}+\omega ^{'}\times {\vec {r}}_{i}^{'}\;$

(7.2)

Wektory wodzące względem nowej osi pewnego punktu jest opisana przez wektor wodzący względem starej osi i jego definicja jest:

${\vec {r}}_{i}^{'}={\vec {r}}_{i}+{\vec {a}}\;$

(7.3)

Wektory prędkości (7.1) i (7.2) przestawiają tą samą prędkość, a także wykorzystując fakt transformacji położenia osi starej względem nowej:

${\vec {v}}_{T}+\omega \times {\vec {r}}_{i}={\vec {v}}_{T}^{'}+\omega ^{'}\times ({\vec {r}}_{i}+{\vec {a}})\Rightarrow {\vec {v}}_{T}+\omega \times {\vec {r}}_{i}={\vec {v}}_{T}^{'}+\omega ^{'}\times {\vec {r}}_{i}+\omega ^{'}\times {\vec {a}}\;$

(7.4)

Porównując obie strony równości (7.4) dochodzimy do wniosku, że jeśli prędkość kątowa danego punktu względem jednej osi wynosi ${\vec {\omega }}\;$, to względem drugiej jest wielkością taką samą, co wynika ze wspomnianego wzorze dla dowolności ${\vec {r}}\;$:

${\vec {\omega }}^{'}={\vec {\omega }}\;$

(7.5)

Biorąc tożsamość (7.5) do wzoru (7.4), wtedy możemy napisać równość na prędkość danego punktu ciała sztywnego względem drugiej osi znając prędkość ciała względem pierwszej osi i prędkość ruchu postępowego osi drugiej względem osi pierwszej:

${\vec {v}}={\vec {v}}_{T}^{'}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}}\;$

(7.6)

Sprawdźmy jakie jest złożenie obrotów powstały przy obrocie pierwszym z prędkością kątowa obrotu ${\vec {\omega }}_{1}\;$, i przy obrocie drugim z prędkością kątowej obrotu: ${\vec {\omega }}_{2}\;$, co można napisać najpierw wykonując pierwszy obrót, a potem drugi, wtedy przesunięcia powstałe w wyniku tychże dwóch obrotów jest napisane:

$d{\vec {r}}_{1}=({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}})dt\;$

(7.7)

$d{\vec {r}}_{2}={\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {r}}+d{\vec {r}}_{1})dt\;$

(7.8)

Suma dwóch obrotów, które są obrotami z różnymi prędkościami kołowymi obrotów, to w ten sposób z dokładnością do wyższych rzędów, jest przestawiana:

$d{\vec {r}}=d{\vec {r}}_{1}+d{\vec {r}}_{2}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}dt\;$

(7.9)

Kąty Eulera

(Rys. 7.1) Kąty Eulera

Ruch obrotowy ciała sztywnego może być opisany w nowym układzie współrzędnych (x',y'.z';), który można przejść z układu (x,y,z) do wspomnianego układu za pomocą kątów (φ,ψ,θ), zatem aby stworzyć kąty Eulera, a na je podstawie prędkości obrotów, należy wykonać czynności.

• Pierwszą czynnością jest obrót osi z o kąt θ w płaszczyźnie z=0, i z'=0, rozważana prędkość jest prostopadła do naszej płaszczyzny, jest ona skierowana wzdłuż osi "w":

${\vec {\omega }}(\theta )={\dot {\theta }}{\vec {e}}_{k}={\dot {\theta }}(\cos \psi {\vec {e}}_{x^{'}}-\sin \psi {\vec {e}}_{y^{'}})\;$

(7.10)

• Obrót wokół osi z, jego prędkość kątowa jest opisana:

${\vec {\omega }}(\varphi )={\dot {\varphi }}\left(\sin \theta \sin \psi {\vec {e}}_{x'}+\sin \theta \cos \psi {\vec {e}}_{y'}+\cos \theta {\vec {e}}_{z^{'}}\right)\;$

(7.11)

• I na samym końcu dokonajmy obrotu wokół osi z':

${\vec {\omega }}(\psi )={\dot {\psi }}{\vec {e}}_{z^{'}}\;$

(7.12)

Całkowita prędkość kątowa obrotu całego układu (osi współrzędnych) jest określana przez:

${\vec {\omega }}=p{\vec {e}}_{x^{'}}+q{\vec {e}}_{y'}+r{\vec {e}}_{z^{'}}\;$

(7.13)

W powyższym wzorze (7.13) występują współrzędne (p,q,r), ich definicje na podstawie (7.10), (7.11) i (7.12) są:

$p={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi \;$

(7.14)

$q={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi \;$

(7.15)

$r={\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\;$

(7.16)

Równania (7.14), (7.15) i (7.16) nazywamy kinematycznymi równaniami Eulera .

Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej

Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, czyli wzorem (7.1). Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracająca się, dla której oś obrotu porusza się z prędkością ${\vec {v}}_{T}\;$, przestawiamy:

$2T=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}=\sum _{i}m_{i}v_{T}^{2}+\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}+2\sum _{i}m_{i}\left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}\right){\vec {v}}_{T}\;$

(7.17)

Ostatni wyraz występujący się w punkcie jest wielkością zerową, bo zakładamy, że środek masy znajduje się w punkcie zerowym na osi układu, co wynika z definicji położenia środka masy (3.1), zatem dostajemy, że energia kinetyczna ruchu ciała jest suma energii środka masy i ruchu obrotowego (rotacyjnego), co wzór (7.17) przestawiamy przy wcześniejszych rozważaniach:

$T={{1} \over {2}}M{\vec {v}}_{T}^{2}+{{1} \over {2}}\sum _{i}m_{i}\left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}\right)^{2}=T_{trasl}+T_{rot}\;$

(7.18)

Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość opisana wzorem (MMF-1.19), z którego to skorzystamy przy obliczeniach nad energią kinetyczną ruchu rotacyjnego:

$2T_{rot}=\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}=\sum _{i}m_{i}{\vec {\omega }}^{2}{\vec {r}}_{i}^{2}-\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}{\vec {r}}_{i})^{2}=\;$
$=\sum _{i}m_{i}(\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2})(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\sum _{i}m_{i}\left(\omega _{x}x_{i}+\omega _{y}y_{i}+\omega _{z}z_{i}\right)^{2}=\;$
$=\sum _{i}m_{i}\left(\omega _{x}^{2}x_{i}^{2}+\omega _{x}^{2}y_{i}^{2}+\omega _{x}^{2}z_{i}^{2}+\omega _{y}^{2}x_{i}^{2}+\omega _{y}^{2}y_{i}^{2}+\omega _{y}^{2}z_{i}^{2}+\omega _{z}^{2}x_{i}^{2}+\omega _{z}^{2}y_{i}^{2}+\omega _{z}^{2}z_{i}^{2}\right)+\;$
$-\sum _{i}m_{i}\left(\omega _{x}^{2}x_{i}^{2}+\omega _{y}^{2}y_{i}^{2}+\omega _{z}^{2}z_{i}^{2}+2\omega _{x}\omega _{y}x_{i}y_{i}+2\omega _{x}\omega _{z}x_{i}z_{i}+\omega _{y}\omega _{z}y_{i}z_{i}\right)=\;$
$=\sum _{i}m_{i}\omega _{x}^{2}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\sum _{i}m_{i}\omega _{x}\omega _{y}x_{i}y_{i}-\sum _{i}m_{i}\omega _{x}\omega _{y}x_{i}z_{i}-\sum _{i}m_{i}\omega _{y}\omega _{x}y_{i}x_{i}+\sum _{i}m_{i}\omega _{y}^{2}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\sum _{i}m_{i}\omega _{y}\omega _{z}y_{i}z_{i}+\;$
$-\sum _{i}m_{i}\omega _{z}\omega _{y}z_{i}y_{i}-\sum _{i}m_{i}\omega _{z}\omega _{y}z_{i}y_{i}+\sum _{i}m_{i}\omega _{z}^{2}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})={\vec {\omega }}^{T}{\hat {I}}{\vec {\omega }}$

(7.19)

Napiszmy inne wyprowadzenie wzoru na moment pędu za pomocą momentu bezwładności i prędkości kątowej:

${\vec {K}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {v}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})=\sum _{i}m_{0i}\left[{\vec {r}}_{i}({\vec {\omega }}{\vec {r}}_{i}^{2}-{\vec {r}}_{i}({\vec {\omega }}{\vec {r}}_{i})\right]=\;$
$=\sum _{i}\left[-{\vec {r}}_{i}(x_{i}\omega _{x}+y_{i}\omega _{y}+z_{i}\omega _{z})+{\vec {\omega }}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\right]=\sum _{i}m_{i}{\Big [}{\vec {i}}\omega _{x}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})+{\vec {j}}\omega _{y}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})+\;$
$+{\vec {k}}\omega _{z}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-{\vec {i}}(x_{i}^{2}\omega _{x}+x_{i}y_{i}\omega _{y}+x_{i}z_{i}\omega _{z})-{\vec {j}}(x_{i}y_{i}\omega _{x}+y_{i}^{2}\omega _{y}+y_{i}z_{i}\omega _{z})-{\vec {k}}\left(z_{i}y_{i}\omega _{x}+y_{i}z_{i}\omega _{y}+z_{i}^{2}\omega _{z}\right){\Big ]}=$
$=\sum _{i}m_{i}\left[{\vec {i}}\omega _{x}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)+{\vec {j}}\omega _{y}\left(x_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)+{\vec {k}}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)-{\vec {i}}\left(x_{i}y_{i}+x_{i}z_{i}\right)-{\vec {j}}\left(x_{i}y_{i}+u_{i}z_{i}\right)-{\vec {k}}\left(x_{i}y_{i}+y_{i}z_{i}\right)\right]={\hat {I}}{\vec {\omega }}$

(7.20)

Moment pędu zdefiniujmy jako iloczyn tensora momentu pędu i wektora prędkości katowej, a energię kinetyczną definiujemy jako wektor transponowany wektora prędkości kątowej przez wektor momentu pędu, i co wszystko definiujemy wiedząc, że ${\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})\;$:

${\vec {K}}={\hat {I}}{\vec {\omega }}\;$

(7.21)

$T_{rot}={{1} \over {2}}{\vec {\omega }}^{T}{\vec {K}}={{1} \over {2}}{\vec {K}}^{T}{\vec {\omega }}={{1} \over {2}}{\vec {\omega }}^{T}{\hat {I}}{\vec {\omega }}\;$

(7.22)

Gdzie macierz ${\hat {I}}\;$ jest zdefiniowana wzorem poniżej, którego to wykorzystaliśmy do wyznaczania momentu pędu (7.21) i energii kinetycznej ruchu obrotowego (7.22):

${\hat {I}}={\begin{bmatrix}\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}&-\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}y_{i}x_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}y_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}z_{i}x_{i}&-\sum _{i}m_{i}z_{i}y_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\end{bmatrix}}$

(7.23)

Tensor czy macierz (7.23) nazywamy tensorowym momentem bezwładności.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a

Z zasady Lagrange'a drugiego rozdzaju (6.24) możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego (1.88), dla którego punktem wyjścia jest równanie Lagrange'a:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {\theta }}}}=0\;$

(7.24)

Lagrangian ruchu obrotowego możemy przestawić jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej (7.22) i energii potencjalnej bryły sztywnej, zatem pochodna cząstkowa lagrangianu L względem współrzędnej prędkości kątowej przestawiamy poprzez:

${{\partial L} \over {\partial \omega _{i}}}={{1} \over {2}}I_{ik}\omega _{k}+{{1} \over {2}}I_{ki}\omega _{k}=I_{ik}\omega _{k}\Rightarrow {{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={\hat {I}}{\vec {\omega }}={\vec {K}}\;$

(7.25)

Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu $\delta {\vec {\theta }}\;$ zmienia się o wartość określoną przez wzór poniżej, i w tej samej linijce określimy moment siły przez pochodną cząstkową Lagrangianu względem kata ${\vec {\theta }}\;$.

$\delta U=-\sum {\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}=-\sum {\vec {F}}\cdot (\delta {\vec {\theta }}\times {\vec {r}})=-\delta {\vec {\theta }}\sum ({\vec {r}}\times {\vec {F}})=-{\vec {N}}\cdot \delta {\vec {\theta }}\Rightarrow {\vec {N}}=-{{\partial U} \over {\partial {\vec {\theta }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\theta }}}}\;$

(7.26)

Możemy podstawić końcowe wzory moment sił (7.26) na moment sił i wzoru na moment pędu (7.25) do wzoru Lagrange'a (7.24), wtedy otrzymamy wzór na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, którą określamy:

${{d{\vec {K}}} \over {dt}}={\vec {N}}\;$

(7.27)

Diagonalizacja tensora momentu bezwładności

Patrząc na wzór (7.22), który jest energią kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, w której zdefiniujemy wektor ${\vec {n}}={{\vec {\omega }} \over {|{\vec {\omega }}|}}\;$, wtedy można napisać:

${{2T_{rot}} \over {\omega ^{2}}}=\sum _{k,m=1}^{3}I_{km}n_{k}n_{m}\;$

(7.28)

Momentem bezwładności ciała I nazywamy moment bezwładności, który jest ilorazem podwojonej energii całkowitej rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej , który to zapisujemy na podstawie tożsamości (7.28), co w którym wprowadzimy jednocześnie oznaczenie $x_{k}={{n_{k}} \over {I}}\;$, otrzymujemy:

$I=\sum _{j,m=1}^{3}I_{km}n_{k}n_{m}\Rightarrow 1=\sum _{k,m=1}^{3}I_{km}x_{k}x_{m}\;$

(7.29)

Końcowy wzór wynikowy zapisanej w punkcie (7.29) przestawia elipsoidę obrotową w trójwymiarowym układzie współrzędnych, wtedy możemy obrać pewne kąty (θ,φ,ψ), w których to w nowym układzie współrzędnych tensor bezwładności pozostaje tensorem diagonalnym, którego schemat w układzie własnym bryły sztywnej przestawiamy:

${\hat {I}}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}\;$

(7.30)

Wzór na całkowitą energie w ruchu obrotowym ciała w jego układzie własnym, w którym obowiązuje macierz tensora bezwładności (7.30), przestawiamy:

$2T_{rot}=A{\omega }_{x^{'}}^{2}+B{\omega }_{y^{'}}^{2}+C{\omega }_{z^{'}}^{2}\;$

(7.31)

Wielkości A,B, C nazywamy głównymi momentami bezwładności ciała. Moment pędu w układzie własnym bryły sztywnej określamy:

${\vec {K}}=(A\omega _{x^{'}},B\omega _{y'},C\omega _{z^{'}})=(Ap,Bq,Cr)\;$

(7.32)

Dynamiczne równania Eulera

Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (1.88) i wykorzystując, że pochodna dowolnego wektora obracającego się układu współrzędnych jest opisana wzorem (1.207), wtedy wzór opisujących dynamikę układu współrzędnych piszemy:

${\dot {\vec {K}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {K}}={\vec {N}}\;$

(7.33)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że zachodzi ${\vec {\omega }}=(p,q,r)\;$, a także biorąc jeszcze jeden fakt powiedziany punkcie (7.28), zatem na podstawie tego możemy powiedzieć (7.29), jako:

$A{\dot {p}}+(C-B)qr=N_{x^{'}}\;$

(7.34)

$B{\dot {q}}+(A-C)rp=N_{y^{'}}\;$

(7.35)

$C{\dot {r}}+(B-A)pq=N_{z^{'}}\;$

(7.36)

Równania (7.34), (7.35) i (7.36) są to dynamiczne równania Eulera.

Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi

Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na które nań nie działają żadne momenty sił i zakładając przy tym, że prędkość kątowa jest stała, jeśli prędkości kątowe względem czasu, tzn., pochodne zupełne wielkości p,q,r nie zmieniają się wcale, to na podstawie tego można napisać równość:

$(C-B)qr=(A-C)rp=(B-A)pq=0\;$

(7.37)

Powyższa równość przy różnych od siebie parametrach A, B, muszą być dwie wartości równe zero z trzech z wielkości p,q i r , co kończą się nasze rozważania na ten temat.

Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w której prędkość kątowa p=p₀ jest w przybliżeniu wielkością stałą, zaś funkcje q i r są bardzo małe, i z warunku nie działania momentów sił na nasz układ na podstawie tego wniosku możemy powiedzieć:

$A{\dot {p}}+(C-B)qr=0\;$

(7.38)

$B{\dot {q}}+(A-C)rp_{0}=0\;$

(7.39)

$C{\dot {r}}+(B-A)qp_{0}=0\;$

(7.40)

Równanie (7.38) na podstawie naszych rozważań jest tożsamościowo równe zero, zatem rozpatrzmy teraz dwa równania, tzn. równania (7.39) i (7.40), zatem różniczkując równanie (7.39) i podstawiając do równości (7.40), wtedy otrzymujemy pierwsze równanie na r, podobnie robimy to samo dla równania, z którego wyznaczać będziemy q, wtedy dostajemy dwie równości:

${\ddot {q}}=-Hq\;$

(7.41)

${\ddot {r}}=-Hr\;$

(7.42)

${\mbox{ gdzie: }}H={{A-C} \over {B}}{{A-B} \over {C}}p_{0}^{2}\;$

(7.43)

Rozwiązaniem równań (7.41) i (7.42) są równania określone jako:

$q=q_{0}e^{bt}\;$

(7.44)

$r=r_{0}e^{bt}\;$

(7.45)

$b^{2}=-H\;$

(7.46)

Gdy w rozwiązaniu (7.44) i (7.45) będziemy mieli takie H, by zachodziło H>0, co zachodzi na podstawie (7.43) dla przypadków A>C i A>B lub A<C i A<B, to wtedy te nasze dwa rozwiązania są równaniami oscylatora harmonicznego, natomiast gdy A>C i A<B lub A<C i A>B, to orbita po której porusza się nasza bryła sztywna jest orbitą niestabilną.

Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego

Załóżmy, że mamy do czynienia z giroskopem symetrycznym, dla którego zachodzi A=B i oś x' niech będzie osią symetrii, nasz giroskop znajduje się w polu sił ciężkości, nasz giroskop jest podparty w środku masy.

Na podstawie definicji środka masy (3.1) środek masy znajduje się w położeniu zerowym, tzn. jego moment siły tej siły ciężkości jest równy zero, czyli:

${\vec {N}}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times (m_{i}{\vec {g}})=(\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i})\times {\vec {g}}=0\;$

(7.47)

Równania ruchu giroskopu, czyli równania Eulera dla naszego przypadku piszemy:

$A{\dot {p}}=(C-A)qr=0\;$

(7.48)

$A{\dot {q}}+(A-C)rp=0\;$

(7.49)

$C{\dot {r}}=0\;$

(7.50)

Ż równania (7.50) otrzymujemy natychmiast, że r=r₀=const, zatem naszymi równaniami ruchu są to dwa pierwsze powyższe równania, ale z warunku stałości r możemy otrzymać warunki na ruch giroskopu:

${\dot {p}}-Rq=0\;$

(7.51)

${\dot {q}}+Rp=0\;$

(7.52)

${\mbox{ gdzie: }}R={{A-C} \over {A}}r_{0}\;$

(7.53)

(Rys. 7.2) Zakreskowany stożek jaki zakreśla giroskop symetryczny podczas swojego ruchu.

Równanie (7.48) możemy zróżniczkować względem czasu i wtedy równanie (7.51) podstawiamy do niego i w ten sposób otrzymujemy równanie drugiego stopnia, podobnie otrzymujemy inne równanie, które to (7.51) różniczkujemy względem czasu i podstawiamy do niego równość (7.48) i w ten sposób otrzymujemy drugie równanie, zatem te nasze dwa równania piszemy:

${\ddot {p}}+R^{2}p=0\;$

(7.54)

${\ddot {q}}+R^{2}q=0\;$

(7.55)

Rozważamy układu równań, tzn. (7.54) i (7.55), które są równaniami ruchu, z których wynikają rozwiązania harmoniczne:

$p=a\sin(Rt+\phi )\;$

(7.56)

$q=a\cos(RT+\phi )\;$

(7.57)

Prędkość kątowa giroskopu symetrycznego, wykorzystując przy tym rozwiązania (7.56) i (7.57), jest równa wartości:

${\vec {\omega }}^{2}=r^{2}+p^{2}+q^{2}=r_{0}^{2}+a^{2}=\operatorname {const} \;$

(7.58)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.58) rzut wektora ${\vec {\omega }}\;$ zakreśla okrąg o promieniu na płaszczyźnie (x',y'), którego kąt rozwarcia jest napisany:

$\gamma =\operatorname {arctg} {{a} \over {r_{0}}}\;$

(7.59)

Aby napisać dalszy tok obliczeń należy wykorzystać kinematyczne równanie Eulera (7.14), (7.15) i (7.16), wtedy wyznaczone prędkości kątowe p, q, r według wzorów (7.56) i (7.57) możemy napisać:

${\begin{cases}a\sin(Rt+\phi )={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi \\a\cos(Rt+\phi )={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi \\r_{0}={\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\\\end{cases}}\;$

(7.60)

Wybierzmy sobie teraz taki kierunek, w której wektor momentu pędu jest równoległy do osi zetowej, zatem współrzędne wektora momentu pędu we współrzędnych (x',y',z') piszemy wedle schematów poniżej:

${\begin{cases}K_{x'}=K\sin \theta \sin \psi \\K_{y'}=K\sin \theta \cos \psi \\K_{x'}=K\cos \theta \end{cases}}\;$

(7.61)

Jeśli weżniemy teraz wzór na moment pędu, dla macierzy bezwładności, w której występują diagonalne elementy tejże macierzy, zatem moment pędu liczonej wedle wzoru (7.32) przestawiamy jako:

${\begin{cases}K_{x'}=A\omega _{x'}=Ap=A({\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \theta )=K\sin \phi \sin \psi \\K_{y'}=B\omega _{y'}=Aq=A({\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \theta )=K\sin \phi \cos \psi \\K_{z'}=C\omega _{z'}=Cr_{0}=C({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\theta }})=K\cos \theta \\\end{cases}}\;$

(7.62)

Patrząc na ostatni wzór występujący w układzie równań (7.62), wtedy dochodzimy do wniosku, że stałymi wielkościami są $\theta \;$, a także ${\dot {\varphi }}\;$. Biorąc powyższe uwagi dla układ równań (7.62), wtedy dostajemy inny układ równań:

${\begin{cases}a\sin(Rt+\phi )={\dot {\varphi }}\sin \theta _{0}\cos \psi \\a\cos(Rt+\phi )={\dot {\varphi }}\sin \theta _{0}\cos \psi \\r_{0}={\dot {\varphi }}\cos \theta _{0}+{\dot {\psi }}\end{cases}}\;$

(7.63)

Z równania pierwszego i drugiego układu równań (7.63) od razu wynika dla dowolności zmiennej "t" związek na zmienną kątową ψ w zależności od zmiennej kątowej Φ i czasu, a także tożsamość na pochodną zmiennej kątowej φ:

$\psi =Rt+\phi \;$

(7.64)

$A{\dot {\varphi }}\sin \theta _{0}\Rightarrow {\dot {\varphi }}={{a} \over {\sin \theta _{0}}}\;$

(7.65)

Ż równości końcowej i wynikowej (7.65) od razu wynika, że zachodzi warunek na $\varphi \;$, z którego wzór w zależności od "t" przestawiamy w sposób liniowy od czasu:

$\varphi ={{a} \over {\sin \theta _{0}}}t+\varphi _{0}\;$

(7.66)

Z końcowego układu równań dla ostatniego równania (7.63) i wniosku (7.64), a także (7.65) i z definicji R (7.53) wynika tożsamość na tangens kąta początkowego w chwili początkowej θ₀:

$r_{0}={{a} \over {\sin \theta _{0}}}\cos \theta _{0}+R\Rightarrow (r_{0}-R)\operatorname {tg} \theta _{0}=a\Rightarrow \operatorname {tg} \theta _{0}={{a} \over {r_{0}-R}}={{a} \over {r_{0}-{{A-C} \over {A}}r_{0}}}={{aA} \over {r_{0}C}}\;$

(7.67)

Z rozważań wynikłych z udowodnionych tożsamości (7.64), (7.66) i na samym końcu z (7.67) wynikają trzy równania ruchu, które przestawiamy układem równań:

$\psi =Rt+\phi \;$

(7.68)

$\varphi ={{a} \over {\sin \theta _{0}}}t+\varphi _{0}\;$

(7.69)

$\theta _{0}=\operatorname {arctg} {{aA} \over {r_{0}C}}\;$

(7.70)

Powyższe obliczenia przestawiają ciało, którego oś obrotu porusza się z pewną prędkością kątową wokół osi zetowej, a nasze ciało okrąża daną poruszającą się oś z prędkością kątową ω.

Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym

Rozpatrzmy giroskop szybko poruszający się, którego tensor moment bezwładności jest macierzą diagonalną, zatem w takim przypadku energia rotacyjna jest wyrażona wzorem (7.22) , który to lagrangian takiego ciała sztywnego, przy wykorzystaniu wzorów według (7.14), (7.15) i (7.16), jest przestawiany jako:

$L=T-U={{A} \over {2}}\omega _{x^{'}}^{2}+{{B} \over {2}}\omega _{y^{'}}^{2}+{{C} \over {2}}\omega _{z^{'}}^{2}-U={{A} \over {2}}\left[\left({\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi \right)+\left({\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi \right)^{2}\right]+\;$
$+{{C} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}-Mgs\cos \theta ={{A} \over {2}}{\Bigg [}{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\psi +{\dot {\theta }}^{2}\cos ^{2}\psi +2{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\sin \theta \sin \psi \cos \psi +{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\psi +{\dot {\theta }}^{2}\sin 62\theta +\;$
$-2{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}\sin \theta \cos \psi \sin \psi {\Bigg ]}+{{C} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}-Mgs\cos \theta ={{A} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}\right)^{2}+{{C} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}-Mgs\cos \theta$

(7.71)

Według warunku zapisanego w punkcie (6.27) dla Lagrangianu nasza energia nie zależy od czasu, wtedy całkowita energia układu pozostaje w czasie stała, a Lagrangian (7.71) też nie zależy od czasu:

$E=T+U={{A} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}\right)+{{C} \over {2}}\left({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}\right)^{2}+Mgs\cos \theta \;$

(7.72)

Dodatkowo zauważamy, że pochodne Lagrangianu (7.61) w względem współrzędnych $\varphi \;$ i $\psi \;$ przyjmuje wartość zawsze zero, zatem te współrzędne są to współrzędne cykliczne, zatem dwie wielkości, które podamy poniżej, przyjmują wartość zero:

${{\partial L} \over {\partial {\dot {\varphi }}}}=A{\dot {\varphi }}\sin ^{2}\theta +C({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta )\cos \theta =\alpha =\operatorname {const} \;$

(7.73)

${{\partial L} \over {\partial {\dot {\psi }}}}=C({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta )=\beta =\operatorname {const} \;$

(7.74)

Do wzoru napisanego w punkcie (7.73) możemy podstawić wzór (7.74), wtedy otrzymujemy równość:

$A{\dot {\varphi }}\sin ^{2}\theta +\beta \cos \theta =\alpha \Rightarrow {\dot {\varphi }}={{\alpha -\beta \cos \theta } \over {A\sin ^{2}\theta }}\;$

(7.75)

I ostatecznie wzory (7.74) i (7.65) podstawiamy do wzoru na energie całkowitą mechaniczną (7.72), otrzymujemy:

${{A} \over {2}}{\dot {\theta }}^{2}+{{\left(\alpha -\beta \cos \theta \right)^{2}} \over {2A\sin ^{2}\theta }}+{{\beta ^{2}} \over {2C}}+Mgs\cos \theta =E\;$

(7.76)

Określmy teraz warunki brzegowe, które to piszemy wedle schematów:

$\theta =\theta _{0}={{\pi } \over {2}}\;$

(7.77)

$\varphi =0\;$

(7.78)

$\psi =0\;$

(7.79)

${\dot {\theta }}=0\;$

(7.80)

${\dot {\varphi }}=0\;$

(7.81)

${\dot {\psi }}={\dot {\psi }}_{0}\;$

(7.82)

Wykorzystując warunki (7.77), (7.78), (7.79) i (7.80), (7.81) i (7.82) i na samym końcu wzory (7.73) i (7.74), wtedy stałe α i β i całkowita energia rozważanego układu (7.76) przyjmują wartości:

$\alpha =0\;$

(7.83)

$\beta =C{\dot {\psi }}_{0}=\operatorname {const} \;$

(7.84)

$E={{C} \over {2}}{\dot {\psi }}_{0}^{2}=\operatorname {const} \;$

(7.85)

Do równanie (7.76) możemy dokonać podstawienia za θ, która jest zależna od kąta θ i od kata χ:

${\theta ={{\pi } \over {2}}-\chi }\;$

(7.86)

W tak powstałym wyrażeniu na E (7.76) zakładamy, że mamy do czynienia z małymi katami (wtedy zachodzi sinχ≈χ), wtedy to równanie możemy przepisać przy warunku brzegowym (7.83) do postaci:

${{A} \over {2}}{\dot {\chi }}^{2}+{{\beta ^{2}} \over {2A}}\chi ^{2}+{{\beta ^{2}} \over {2C}}+Mgs\chi =E\;$

(7.87)

W równości (7.87) różniczkujemy obie jego strony, i w ten sposób dostajemy równanie różniczkowe wynikające z powyższego:

$A{\ddot {\chi }}+{{\beta ^{2}} \over {A}}\chi +Mgs=0\;$

(7.88)

W równaniu (7.88) widzimy, że występuje w nim pewna stała występująca w równaniu, czyli Mgs, którą to uwzględnimy w jego rozwiązaniu:

$\chi =c_{1}\cos \left({{\beta } \over {A}}t+c_{2}\right)-{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\;$

(7.89)

Możemy dalej wykorzystać warunki brzegowe (7.77) i (7.80), a także tożsamości między kątem θ, a χ (7.86), w ten sposób dla t=0 przy równaniu różniczkowym (7.88) dla jego rozwiązania (7.89) przy jego warunkach brzegowych, tzn. sama funkcja i jej pochodna, przyjmujących kształt:

$\chi (t=0)=c_{1}\cos c_{2}-{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}=0\;$

(7.90)

${\dot {\chi }}(t=0)=-c_{1}{{\beta } \over {A}}\sin c_{2}=0\;$

(7.91)

Na podstawie warunków brzegowych (7.90) i (7.91) i podstawienia (7.86) możemy napisać rozwiązanie na kąt θ, który to całkowite równanie na rozwiązania θ możemy przepisać w postaci:

$\theta ={{\pi } \over {2}}-\chi ={{\pi } \over {2}}+{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\left(1-\cos {{\beta } \over {A}}t\right)\;$

(7.92)

Widzimy, że według równania (7.92) następuje kiwanie bryły sztywnej wokół kąta $\theta ={{\pi } \over {2}}\;$, który określamy przez $\theta ={{\pi } \over {2}}+{{2MgsA} \over {\beta ^{2}}}\;$. Załóżmy, że teraz mamy równość (7.92), którego sinus jest zawsze bliski jedności, zatem na podstawie tego dla małych odchyleń od katą ${{\pi } \over {2}}\;$ możemy powiedzieć, że zachodzi poniższa równość na sinus kąta θ:

$\sin \theta =\sin \left[{{\pi } \over {2}}+{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\left(1-\cos {{\beta } \over {A}}t\right)\right]\simeq 1\;$

(7.93)

Jeśli wykorzystamy wzór na kąt θ według wzoru (7.92) dla przybliżenia małych kątów, to jego kosinus:

$\cos \theta =\cos \left[{{\pi } \over {2}}+{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\left(1-\cos {{\beta } \over {A}}t\right)\right]=\sin \left[{{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\left(1-\cos {{\beta } \over {A}}t\right)\right]\simeq {{MgsA} \over {\beta ^{2}}}\left(1-\cos {{\beta } \over {A}}t\right)\;$

(7.94)

Mając warunek (7.93) napiszmy czemu są równe wyrażenia na stałą α (7.73) oraz β (7.74):

$\alpha =A{\dot {\varphi }}+C\left({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta \right)\cos \theta \simeq A{\dot {\varphi }}+\beta \cos \theta =0\;$

(7.95)

$\beta =C({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta )\;$

(7.96)

Wykorzystując równość (7.95), z której możemy policzyć pochodną wielkości φ względem czasu, by potem wyznaczyć samą tą wielkość:

${\dot {\varphi }}=-{{\beta } \over {A}}\cos \theta \Rightarrow \varphi ={{Mgs} \over {\beta }}\left[t-{{A} \over {\beta }}\sin \left({{\beta } \over {A}}t\right)\right]\;$

(7.97)

Patrząc na wzór (7.97) możemy powiedzieć, że oś symetrii giroskopu zatacza koło na płaszczyźnie (x,y) w przybliżeniu prędkością kątową ${\dot {\varphi }}={{Mgs} \over {\beta }}\;$, ten ruch nazywamy precesją , a niewielkie jego odchylenia noszą nazwę nutacjami . Na sam koniec rozważmy tożsamość na β, czyli:

$\beta =C{\dot {\psi }}_{0}=C({\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta )\simeq C{\dot {\psi }}\Rightarrow {\dot {\psi }}={{\beta } \over {C}}={\dot {\psi }}_{0}=\operatorname {const} \;$

(7.98)

Bąk całkowicie asymetryczny

Obierzmy sobie bąk, który posiada tylko diagonalne elementy tensora momentu pędu, a relacja między tymi składowymi jak można założyć jest A>B>C. Równości na całkowitą energię i moment pędu bąka możemy przestawić poprzez równania:

${\begin{cases}Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2}=2E\\A^{2}p^{2}+B^{2}q^{2}+C^{2}r^{2}=K^{2}\end{cases}}\;$

(7.99)

Równości (7.99) możemy przestawić poprzez definicje składowych momentu pędu przestawionych według wzoru (7.32) zdefiniowanej poprzez definicję elementów zdiagnozalizowanego tensora momentu bezwładności (7.30) i trzech prędkości kątowych (p,q,r) bąka asymetrycznego:

${\begin{cases}{{K_{x}^{2}} \over {A}}+{{K_{y}^{2}} \over {B}}+{{K_{z}^{2}} \over {C}}=2E\\K_{x}^{2}+K_{y}^{2}+K_{z}^{2}=K^{2}\end{cases}}\;$

(7.100)

Elipsoida obrodowa pierwszego równania (7.101) ma półosie elipsoidy o następujących wartościach:${\sqrt {2EA}}\;$, ${\sqrt {2EB}}\;$,${\sqrt {2EC}}\;$. Z równań (7.100) możemy napisać inny wynikający wniosek na kwadrat całkowitego momentu pędu bąka K², znając A i C, a także całkowitą jego energię E:

${\begin{cases}K_{x}^{2}{{C} \over {A}}+K_{y}^{2}{{C} \over {B}}+K_{z}=2EC\Rightarrow K_{x}^{2}+K_{y}^{2}+K_{z}^{2}<2EC\Rightarrow K^{2}<2EC\\K_{x}^{2}+K_{y}^{2}{{A} \over {B}}+K_{z}^{2}{{A} \over {C}}=2EA\Rightarrow K_{x}^{2}+K_{y}^{2}+K_{z}^{2}>2EA\Rightarrow K^{2}>2EA\end{cases}}\;$

(7.101)

Wyznaczmy teraz kwadraty zmiennych "p' i "r" z układu równań (7.99) w zależności od kwadratu prędkości katowej q. Aby wyznaczyć p² w zależności od zmiennej q² należy pierwsze równanie pomnożyć przez C i odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność:

$(AC-A^{2})p^{2}+(BC-B^{2})q^{2}=2EC-K^{2}\Rightarrow p^{2}={{1} \over {A(C-A)}}\left[(2EC-K^{2})-B(C-B)q^{2}\right]\;$

(7.102)

By wyznaczyć równość na zmienną r² w zależności od zmiennej q² należy pierwszą równość (7.99) pomożyć przez A i tak otrzymany układ równań odejmujemy je od siebie, stąd możemy wyznaczyć poszukiwaną zależność:

$(BA-B^{2})q^{2}+(CA-C^{2})r^{2}=2EA-K^{2}\Rightarrow r^{2}={{1} \over {C(C-A)}}\left[(K^{2}-2EA)-B(B-A)q^{2}\right]\;$

(7.103)

Skorzystamy z równości (7.35), by podstawić do niego wzory wynikłe z (7.102), (7.103), co potem otrzymujemy:

${\dot {q}}={{C-A} \over {B}}pr={{1} \over {B{\sqrt {AC}}}}{\sqrt {\left[(2EC-K^{2})-B(C-B)q^{2}\right]\left[(K^{2}-2EA)-(B(B-A)q^{2}\right]}}\;$

(7.104)

Aby znaleźć funkcję q od t, należy zdefiniować wzory na τ (który przestawimy w zależności od zmiennej t), i s (który przestawimy w zależności od zmiennej t), które oba te podstawienia będą zależeć od diagonalnych elementów zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, tzn. A,B,C, a także od całkowitej energii bąka asymetrycznego E i jego wartości całkowitego momentu pędu K, czyli należy dokonać podstawień:

$\tau =t{\sqrt {{(C-B)(K^{2}-2EA)} \over {ABC}}}\;$

(7.105)

$s=q{\sqrt {{B(C-B)} \over {2EC-K^{2}}}}\;$

(7.106)

a także dodatni parametr k²<1, który zależy od tych samych parametrów co zmienne τ i "s".

$k^{2}={{(B-A)(2EC-K^{2})} \over {(C-B)(K^{2}-2EA)}}\;$

(7.107)

Wyznaczmy teraz pochodną funkcji "s" (7.106) względem τ (7.105), przy zdefiniowanym parametrze k² (7.107) i przy istniejącym wzorze (7.104), otrzymujemy:

${{ds} \over {d\tau }}={{dq} \over {dt}}{\sqrt {{AB^{2}C(C-B)} \over {(2EC-K^{2})(C-B)(K^{2}-2EA)}}}={{1} \over {B{\sqrt {AC}}}}{\sqrt {\left[(2EC-K^{2})-B(C-B)s^{2}{{2EC-K^{2}} \over {B(C-B)}}\right]}}\cdot$
$\cdot {\sqrt {\left[(K^{2}-2EA)-(B(B-A)s^{2}{{2EC-K^{2}} \over {B(C-B)}}\right]}}{\sqrt {{AB^{2}C(C-B)} \over {(2EC-M^{2})(C-B)(K^{2}-2EA)}}}=\;$
${{\sqrt {2EC-K^{2}}} \over {B{\sqrt {AC}}}}{\sqrt {1-s^{2}}}{\sqrt {K^{2}-2EA}}{\sqrt {1-{{(B-A)(2EC-K^{2})} \over {(C-B)(K^{2}-2EA)}}}}{\sqrt {{AB^{2}C(C-B)} \over {(2EC-K^{2})(C-B)(K^{2}-2EA)}}}=\;$
$={\sqrt {(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}$

(7.108)

Równość końcowa uzyskana z równania (7.108) możemy przestawić w postaci całki τ zależnej od zmiennej s przy parametrze k² zdefiniowanej w punkcie (7.107):

$\tau =\int _{0}^{s}{{ds} \over {\sqrt {(1-s^{2})(1-k^{2}s^{2})}}}\;$

(7.109)

Szukana funkcja jest to odwrotność do funkcji uzyskanej z postaci jej wersji całkowej (7.109), wiemy jednak, że ta zależność jest jedną z funkcji eliptycznych Jacobiego.

$s=\operatorname {sn} \tau \;$

(7.110)

Jak widzimy na podstawie przestawienia całki na τ (7.109) wartość bezwzględna parametru s jest mniejsza niż jeden, bo tylko wtedy funkcja podcałkowa ma sens. Definicje innych funkcji Jacobiego opartych o funkcje eliptyczne s=snτ (7.109) i o definicję parametru k² (7.107) (o ten współczynnik jest oparty dnτ) są to funkcje zdefiniowane jako:

$\operatorname {cn} \tau ={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\tau }}\;$

(7.111)

$\operatorname {dn} \tau ={\sqrt {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}\tau }}\;$

(7.112)

Prędkość kątową q możemy policzyć ze wzoru (7.106) przy wykorzystaniu funkcji eliptycznej (7.109), która τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.105), zatem funkcja q jest zależna od czasu:

$q={\sqrt {{2EC-K^{2}} \over {B(C-B)}}}\operatorname {sn} \tau \;$

(7.113)

Dalszym krokiem jest wyliczenie kwadratu prędkości kątowej p² ze wzoru (7.102) wykorzystując definicję funkcji eliptycznej cnτ (7.111), której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.105), zatem funkcja p jest zależna od czasu:

$p^{2}={{1} \over {A(C-A)}}\left[(2EC-K^{2}-B(C-B){{2EC-K^{2}} \over {B(C-B)}}\operatorname {sn} ^{2}\tau \right]={{2EC-K^{2}} \over {A(C-A)}}{\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\tau }}={{2EC-K^{2}} \over {A(C-A)}}\operatorname {cn} ^{2}\tau \;$

(7.114)

Dalszym krokiem jest wyliczenie prędkości kątowych r² ze wzoru (7.103) wykorzystując definicję funkcji eliptycznej dnτ (7.112), której τ jest zależna liniowo od czasu według podstawienia (7.105), zatem funkcja r jest zależna od czasu:

$r^{2}={{1} \over {C(C-A)}}\left[(K^{2}-2EA)-B(B-A){{2EC-K^{2}} \over {B(C-B)}}\operatorname {sn} ^{2}\tau \right]={{K^{2}-2EA} \over {C(C-A)}}\left(1-{{(B-A)(2EC-K^{2}} \over {(C-B)(K^{2}-2EA)}}\operatorname {sn} ^{2}\tau \right)=\;$
$={{K^{2}-2EA} \over {C(C-A)}}\left(1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}\tau \right)={{K^{2}-2EA} \over {C(C-A)}}\operatorname {dn} ^{2}\tau$

(7.115)

Na podstawie obliczeń (7.114) i (7.115) wyznaczymy wartości prędkości kątowych p i r, które są zależne od funkcji eliptycznych cnτ (7.111), i dnτ (7.112), których to zmienna τ jest zależna liniowo od czasu wedle (7.105):

$p={\sqrt {{2EC-K^{2}} \over {A(C-A)}}}\operatorname {cn} \tau \;$

(7.116)

$r={\sqrt {{K^{2}-2EA} \over {C(C-A)}}}\operatorname {dn} \tau \;$

(7.117)

Jak widzimy na podstawie całki (7.109), gdy k²→0, wtedy dwie pierwsze funkcji eliptyczne przechodzą w funkcje trygonometryczne, a ostatnia dąży do jedynki, tzn. snτ→sinτ, cnτ→cosτ, dnτ→1. Mając poszczególne składowe momentu pędu (7.61), a także składowe momentu pędu poprzez ich prędkości kątowe (7.32), wtedy możemy je napisać w związkach:

${\begin{cases}K\sin \theta \sin \psi =Ap\\K\sin \theta \cos \psi =Bq\\K\cos \theta =Cr\end{cases}}\;$

(7.118)

Z trzeciego równania (7.118) możemy wyznaczyć cosθ, a dzieląc równość pierwszą przez drugą otrzymamy równość na tgψ. Wykorzystując związki (7.113), (7.116) i (7.117) możemy napisać związki na cosθ i tgθ w zależności od τ i elementów bezwładności zdiagonalizowanej macierzy bezwładności, a także od całkowitej energii E i momentu pędu bąka K:

$\cos \theta ={{Cr} \over {K}}={\sqrt {{C(K^{2}-2EA)} \over {M^{2}(C-A)}}}\operatorname {dn} \tau \;$

(7.119)

$\operatorname {tg} \psi ={{Ap} \over {Bq}}={\sqrt {{A(C-B)} \over {B(C-A)}}}{{\operatorname {cn} \tau } \over {\operatorname {sn} \tau }}\;$

(7.120)

Pozostało jeszcze nam obliczyć kąt φ, w tym celu wyznaczmy go z dwóch tożsamości (7.14) (który mnożymy obustronnie przez sinθ), i (7.15) (który mnożymy przez cosφ), wtedy w ostatecznych rozrachunkach:

${\dot {\varphi }}={{p\sin \psi +q\cos \psi } \over {\sin \theta }}={{p\sin \theta \sin \psi +q\sin \theta \cos \theta } \over {\sin ^{2}\theta }}=K{{Ap^{2}+Bq^{2}} \over {K^{2}-C^{2}r^{2}}}=K{{Ap^{2}+Bq^{2}} \over {A^{2}p^{2}+B^{2}q^{2}}}\;$

(7.121)

By otrzymać tożsamość na związek φ w zależności od czasu "t" należy równość (7.121) obustronnie scałkować względem czasu, bo p i q są zależne od funkcji eliptycznych, które natomiast zależą od τ, a to pośrednio według wzoru (7.105) od czasu, a więc całka po prawej stronie jest w sensie stricto zapisana względem czasu.