Mechanika teoretyczna/Teoria ciała sztywnego i giroskopu

Mechanika teoretyczna

Teoria ciała sztywnego i giroskopu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Kinematyka 2Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika 3Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Dynamika/Przykłady 4Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Zasady zachowania 5Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawa Keplera 6Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Siły centralne 7Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Prawo powszechnego ciążenia 8Kinematyka i dynamika klasyczna opisu punktu materialnego/Układy nieinercjalne 9Problem zderzenia cząstek 10Dynamika punktów masowych 11Ruch ciał ograniczonych więzami 12Układ ciał ograniczonych więzami 13Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona 14Teoria ciała sztywnego i giroskopu 15Kanoniczne metody mechaniki klasycznej 16Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny 17Zasady zachowania w mechanice materiałów 18Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a 19Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym 20Wprowadzenie do hydrodynamiki

Spis treści
1Kinematyka ciała doskonale sztywnego 2Kąty Eulera 3Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej 4Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a 5Diagonalizacja tensora momentu bezwładności 6Dynamiczne równania Eulera 7Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi 8Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego 8.1Równania ruchu giroskopu symetrycznego 8.2Równania drugiego rzędu 8.3Rozwiązania 8.4Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera 8.5Wektor momentu pędu równoległy do osi z' 8.6Ostateczne równania ruchu 8.7Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego 8.8Interpretacja fizyczna 9Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym 10Bąk całkowicie asymetryczny 10.1Energia i moment pędu bąka asymetrycznego 10.2Ograniczenia na wartość K² 10.3Eliminacja p² i r² 10.4Równanie różniczkowe dla q(t) 10.5Wprowadzenie zmiennych eliptycznych 10.6Prędkości kątowe 10.7Składowe momentu pędu 10.8Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego

Następny rozdział: Kanoniczne metody mechaniki klasycznej. Poprzedni rozdział: Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona.

Podręcznik: Mechanika teoretyczna.

Kinematyka ciała doskonale sztywnego

Obrót pewnego ciała o kąt jest opisywany przez wielkości, których reprezentacją jest wektor kąta obrotu prostopadły do płaszczyzny tego obrotu. Jego prędkość kątowa również jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej:

jeśli bryła obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to zwrot wektora prędkości kątowej jest „do góry”,
jeśli obrót jest zgodny ze wskazówkami zegara — zwrot jest przeciwny.

Rozpatrzmy teraz dwie osie obrotu ciała sztywnego. Prędkości wektorowe danego punktu bryły względem osi pierwszej oraz względem osi drugiej są dane wzorami:

{\vec{v}}_{i} = {\vec{v}}_{T} + \vec{ω} \times {\vec{r}}_{i}

(14.1)

\vec{v}'_{i} = \vec{v}'_{T} + {\vec{ω}}^{'} \times \vec{r}'_{i}

(14.2)

Wektor wodzący względem nowej osi jest opisany przez wektor wodzący względem starej osi oraz przesunięcie osi:

\vec{r}'_{i} = {\vec{r}}_{i} + \vec{a}

(14.3)

Ponieważ wektory prędkości (14.1) i (14.2) opisują tę samą prędkość fizyczną punktu, możemy napisać:

{\vec{v}}_{T} + \vec{ω} \times {\vec{r}}_{i} = \vec{v}'_{T} + {\vec{ω}}^{'} \times ({\vec{r}}_{i} + \vec{a}) = \vec{v}'_{T} + {\vec{ω}}^{'} \times {\vec{r}}_{i} + {\vec{ω}}^{'} \times \vec{a}

(14.4)

Porównując współczynniki przy dowolnym wektorze ${\vec{r}}_{i}$ , otrzymujemy fundamentalny wniosek:

{\vec{ω}}^{'} = \vec{ω}

(14.5)

Prędkość kątowa ciała sztywnego jest niezależna od wyboru osi odniesienia — jest własnością ruchu bryły, a nie układu współrzędnych.

Podstawiając (14.5) do (14.4), otrzymujemy zależność między prędkościami translacyjnymi dwóch osi:

{\vec{v}}_{T} = \vec{v}'_{T} + \vec{ω} \times \vec{a}

(14.6)

Wzór ten mówi, że prędkość osi pierwszej różni się od prędkości osi drugiej o człon wynikający z obrotu bryły i przesunięcia osi.

Złożenie dwóch obrotów bryły sztywnej

Rozpatrzmy teraz złożenie dwóch obrotów:

pierwszy obrót z prędkością kątową ${\vec{ω}}_{1}$ ,
drugi obrót z prędkością kątową ${\vec{ω}}_{2}$ .

Przesunięcie punktu bryły w wyniku pierwszego obrotu:

d {\vec{r}}_{1} = ({\vec{ω}}_{1} \times \vec{r}) d t

(14.7)

Przesunięcie w wyniku drugiego obrotu, działającego na już obrócony punkt:

d {\vec{r}}_{2} = {\vec{ω}}_{2} \times (\vec{r} + d {\vec{r}}_{1}) d t

(14.8)

Pomijając wyrazy wyższego rzędu (czyli iloczyny typu ${\vec{ω}}_{2} \times d {\vec{r}}_{1}$ , które są rzędu $d t^{2}$ ), otrzymujemy:

d \vec{r} = d {\vec{r}}_{1} + d {\vec{r}}_{2} = ({\vec{ω}}_{1} + {\vec{ω}}_{2}) \times \vec{r} d t

(14.9)

Wniosek fundamentalny

Prędkości kątowe dodają się wektorowo.

Złożenie dwóch obrotów o nieskończenie małych kątach jest równoważne jednemu obrotowi o prędkości kątowej:

\vec{ω} = {\vec{ω}}_{1} + {\vec{ω}}_{2}

To jest kluczowa własność kinematyki ciała sztywnego:

obroty nieskończenie małe są przemienne i addytywne, w przeciwieństwie do obrotów skończonych, które w ogólności nie są przemienne.

Kąty Eulera

Ruch obrotowy ciała sztywnego opisujemy za pomocą kątów Eulera $(φ, θ, ψ)$ , które pozwalają przejść z układu $(x, y, z)$ do nowego układu $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ . Każdy z trzech kolejnych obrotów generuje własną składową prędkości kątowej, a całkowita prędkość kątowa jest ich sumą.

Obrót o kąt $θ$ wokół osi $w$

Pierwszy obrót wykonujemy w płaszczyźnie $z = 0$ i $z^{'} = 0$ . Prędkość kątowa tego obrotu jest prostopadła do płaszczyzny obrotu i skierowana wzdłuż osi $w$ :

\vec{ω} (θ) = \dot{θ} {\vec{e}}_{k} = \dot{θ} (\cos ψ {\vec{e}}_{x^{'}} - \sin ψ {\vec{e}}_{y^{'}})

(14.10)

Obrót o kąt $φ$ wokół osi $z$

Drugi obrót wykonujemy wokół osi $z$ . Prędkość kątowa tego obrotu ma postać:

\vec{ω} (φ) = \dot{φ} (\sin θ \sin ψ {\vec{e}}_{x^{'}} + \sin θ \cos ψ {\vec{e}}_{y^{'}} + \cos θ {\vec{e}}_{z^{'}})

(14.11)

Obrót o kąt $ψ$ wokół osi $z^{'}$

Trzeci obrót wykonujemy wokół osi $z^{'}$ . Prędkość kątowa tego obrotu jest najprostsza:

\vec{ω} (ψ) = \dot{ψ} {\vec{e}}_{z^{'}}

(14.12)

Całkowita prędkość kątowa

Sumując trzy składowe otrzymujemy całkowitą prędkość kątową bryły sztywnej:

\vec{ω} = p {\vec{e}}_{x^{'}} + q {\vec{e}}_{y^{'}} + r {\vec{e}}_{z^{'}}

(14.13)

Współrzędne $(p, q, r)$ wyznaczamy z równań (14.10), (14.11) i (14.12):

p = \dot{φ} \sin θ \sin ψ + \dot{θ} \cos ψ

(14.14)

q = \dot{φ} \sin θ \cos ψ - \dot{θ} \sin ψ

(14.15)

r = \dot{φ} \cos θ + \dot{ψ}

(14.16)

Równania (14.14), (14.15) i (14.16) nazywamy kinematycznymi równaniami Eulera.

Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej

Prędkość danego punktu bryły sztywnej określamy jako sumę ruchu postępowego i obrotowego, zgodnie ze wzorem (14.1):

{\vec{v}}_{i} = {\vec{v}}_{T} + \vec{ω} \times {\vec{r}}_{i}

Wtedy podwojona energia kinetyczna ciała obracającego się, dla którego oś obrotu porusza się z prędkością ${\vec{v}}_{T}$ , ma postać:

2 T = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} = \sum_{i} m_{i} v_{T}^{2} + \sum_{i} m_{i} (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})^{2} + 2 \sum_{i} m_{i} (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i}) \cdot {\vec{v}}_{T}

(14.17)

Ostatni wyraz w (14.17) jest równy zero, ponieważ zakładamy, że środek masy znajduje się w początku układu współrzędnych, co wynika z definicji środka masy (10.1). W takim razie energia kinetyczna ruchu ciała jest sumą energii środka masy i energii ruchu obrotowego:

T = \frac{1}{2} M v_{T}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})^{2} = T_{trasl} + T_{rot}

(14.18)

Energia rotacyjna i tożsamość wektorowa

Korzystamy teraz z tożsamości wektorowej (MMF-1.19):

(\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})^{2} = {\vec{ω}}^{2} {\vec{r}}_{i}^{2} - (\vec{ω} \cdot {\vec{r}}_{i})^{2}

Stąd:

2 T_{rot} = \sum_{i} m_{i} (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})^{2} = \sum_{i} m_{i} {\vec{ω}}^{2} {\vec{r}}_{i}^{2} - \sum_{i} m_{i} (\vec{ω} \cdot {\vec{r}}_{i})^{2}

Po pełnym rozwinięciu składników otrzymujemy:

2 T_{rot} = {\vec{ω}}^{T} \hat{I} \vec{ω}

(14.19)

Moment pędu bryły sztywnej

Moment pędu definiujemy jako:

\vec{K} = \sum_{i} m_{i} {\vec{r}}_{i} \times {\vec{v}}_{i} = \sum_{i} m_{i} {\vec{r}}_{i} \times (\vec{ω} \times {\vec{r}}_{i})

Po rozwinięciu iloczynu potrójnego:

\vec{K} = \hat{I} \vec{ω}

(14.20)

Energia rotacyjna w postaci macierzowej

Energia kinetyczna ruchu obrotowego może być zapisana jako:

T_{rot} = \frac{1}{2} {\vec{ω}}^{T} \vec{K} = \frac{1}{2} {\vec{K}}^{T} \vec{ω} = \frac{1}{2} {\vec{ω}}^{T} \hat{I} \vec{ω}

(14.21)

Tensor momentu bezwładności

Macierz $\hat{I}$ jest zdefiniowana wzorem:

\hat{I} = [\begin{matrix} \sum_{i} m_{i} (y_{i}^{2} + z_{i}^{2}) & - \sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i} & - \sum_{i} m_{i} x_{i} z_{i} \\ - \sum_{i} m_{i} y_{i} x_{i} & \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + z_{i}^{2}) & - \sum_{i} m_{i} y_{i} z_{i} \\ - \sum_{i} m_{i} z_{i} x_{i} & - \sum_{i} m_{i} z_{i} y_{i} & \sum_{i} m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) \end{matrix}]

(14.22)

Tensor (14.22) nazywamy tensorowym momentem bezwładności bryły sztywnej.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego według funkcji Lagrange'a

Z zasady Lagrange'a drugiego rodzaju (13.24) możemy wyprowadzić drugie prawo dynamiki dla ruchu obrotowego (4.7). Punktem wyjścia jest równanie Lagrange’a zapisane dla współrzędnych kątowych:

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec{ω}} - \frac{\partial L}{\partial \vec{θ}} = 0

(14.23)

Pochodna Lagrangianu względem prędkości kątowej

Lagrangian ruchu obrotowego zapisujemy jako różnicę energii kinetycznej rotacyjnej (14.21) i energii potencjalnej bryły sztywnej:

L = T_{rot} - U

Energia kinetyczna rotacyjna ma postać:

T_{rot} = \frac{1}{2} {\vec{ω}}^{T} \hat{I} \vec{ω}

Zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu względem składowej prędkości kątowej $ω_{i}$ :

\frac{\partial L}{\partial ω_{i}} = \frac{1}{2} I_{i k} ω_{k} + \frac{1}{2} I_{k i} ω_{k} = I_{i k} ω_{k} \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \vec{ω}} = \hat{I} \vec{ω} = \vec{K}

(14.24)

Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu pędu bryły sztywnej:

\vec{K} = \hat{I} \vec{ω}

Pochodna Lagrangianu względem kąta obrotu

Energia potencjalna podczas nieskończenie małego obrotu $δ \vec{θ}$ zmienia się zgodnie z:

δ U = - \sum \vec{F} \cdot δ \vec{r} = - \sum \vec{F} \cdot (δ \vec{θ} \times \vec{r}) = - δ \vec{θ} \cdot \sum (\vec{r} \times \vec{F}) = - \vec{N} \cdot δ \vec{θ}

Stąd:

\vec{N} = - \frac{\partial U}{\partial \vec{θ}} = \frac{\partial L}{\partial \vec{θ}}

(14.25)

Otrzymaliśmy więc klasyczną definicję momentu siły jako pochodnej Lagrangianu względem kąta obrotu.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Podstawiając wyniki (14.24) i (14.25) do równania Lagrange’a (14.23), otrzymujemy:

\frac{d \vec{K}}{d t} = \vec{N}

(14.26)

Wniosek

Równanie (14.26) jest drugą zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego, wyprowadzoną w pełni z formalizmu Lagrange’a:

moment siły jest równy
pochodnej czasowej momentu pędu.

To jest obrotowy odpowiednik równania:

\frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{F}

dla ruchu postępowego.

W ten sposób formalizm Lagrange’a prowadzi do pełnej dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym.

Diagonalizacja tensora momentu bezwładności

Patrząc na wzór (14.21), który przedstawia energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym, wprowadzamy wektor jednostkowy kierunku prędkości kątowej:

\vec{n} = \frac{\vec{ω}}{| \vec{ω} |}

Wtedy energia rotacyjna przyjmuje postać:

\frac{2 T_{rot}}{ω^{2}} = \sum_{k, m = 1}^{3} I_{k m} n_{k} n_{m}

(14.27)

Momentem bezwładności ciała względem kierunku $\vec{n}$ nazywamy iloraz podwojonej energii rotacyjnej przez kwadrat prędkości kątowej. Wprowadzając oznaczenie:

x_{k} = \frac{n_{k}}{I}

otrzymujemy równanie elipsoidy bezwładności:

I = \sum_{k, m = 1}^{3} I_{k m} n_{k} n_{m} \Rightarrow 1 = \sum_{k, m = 1}^{3} I_{k m} x_{k} x_{m}

(14.28)

Równość (14.28) przedstawia elipsoidę bezwładności w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Możemy teraz obrać pewne kąty ( $θ$ , $ϕ$ , $ψ$ ), które definiują obrót układu współrzędnych do takiego układu, w którym tensor bezwładności staje się diagonalny.

W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności ma postać:

\hat{I} = [\begin{matrix} A & 0 & 0 \\ 0 & B & 0 \\ 0 & 0 & C \end{matrix}]

(14.29)

Energia rotacyjna w układzie własnym

W układzie własnym bryły sztywnej energia rotacyjna przyjmuje postać:

2 T_{rot} = A ω_{x^{'}}^{2} + B ω_{y^{'}}^{2} + C ω_{z^{'}}^{2}

(14.30)

Wielkości $A, B, C$ nazywamy głównymi momentami bezwładności ciała.

Moment pędu w układzie własnym bryły

W układzie własnym bryły sztywnej moment pędu jest równy:

\vec{K} = (A ω_{x^{'}}, B ω_{y^{'}}, C ω_{z^{'}}) = (A p, B q, C r)

(14.31)

gdzie $(p, q, r)$ są współrzędnymi prędkości kątowej w układzie własnym, zgodnie z równaniami kinematycznymi Eulera (14.14), (14.15), (14.16).

Wniosek

Diagonalizacja tensora bezwładności prowadzi do trzech fundamentalnych wielkości — głównych momentów bezwładności — które opisują bryłę w sposób najprostszy. W tym układzie:

tensor bezwładności jest diagonalny,
energia rotacyjna ma najprostszą postać,
moment pędu jest równoległy do prędkości kątowej tylko wtedy, gdy obrót odbywa się wokół jednej z osi głównych.

To jest pełna klasyczna teoria diagonalizacji tensora bezwładności.

Dynamiczne równania Eulera

Wykorzystując równanie opisujące drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (4.7), a także fakt, że pochodna dowolnego wektora w obracającym się układzie współrzędnych jest opisana wzorem (8.18), otrzymujemy równanie dynamiki bryły sztywnej:

\dot{\vec{K}} + \vec{ω} \times \vec{K} = \vec{N}

(14.32)

Wektor prędkości kątowej zapisujemy jako:

\vec{ω} = (p, q, r)

W układzie własnym bryły sztywnej tensor bezwładności jest diagonalny (14.29).

Moment pędu w tym układzie ma postać (14.31):

\vec{K} = (A p, B q, C r)

Podstawiając to do równania (14.32) i rozpisując składowe, otrzymujemy:

A \dot{p} + (C - B) q r = N_{x^{'}}

(14.33)

B \dot{q} + (A - C) r p = N_{y^{'}}

(14.34)

C \dot{r} + (B - A) p q = N_{z^{'}}

(14.35)

Równania (14.33), (14.34) i (14.35) nazywamy dynamicznymi równaniami Eulera.

Są one fundamentalnymi równaniami opisującymi ruch obrotowy bryły sztywnej w jej układzie własnym, w którym tensor bezwładności jest diagonalny. W szczególności:

jeśli bryła obraca się wokół jednej z osi głównych, równania upraszczają się do postaci liniowej,
jeśli nie działa moment sił $\vec{N} = 0$ , równania opisują swobodny ruch bryły sztywnej — prowadząc do zjawisk takich jak precesja i niestabilność obrotu wokół osi pośredniej.

To jest pełna postać dynamicznych równań Eulera.

Ruch bryły sztywnej wokół swobodnej osi

Tutaj będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej, na którą nie działają żadne momenty sił, czyli:

\vec{N} = 0

Zakładamy dodatkowo, że prędkość kątowa jest stała, tzn. jej składowe p,q,r nie zmieniają się w czasie:

\dot{p} = \dot{q} = \dot{r} = 0

Wtedy dynamiczne równania Eulera (14.33), (14.34), (14.35) przyjmują postać:

(C - B) q r = (A - C) r p = (B - A) p q = 0

(14.36)

Ponieważ zakładamy, że parametry A, B, C są różne, to z trzech iloczynów musi być co najmniej dwa równe zero, co oznacza, że tylko jedna składowa prędkości kątowej może być niezerowa. To kończy rozważania dla przypadku idealnie stałej prędkości kątowej.

Przypadek bardziej realistyczny: małe odchylenia od osi głównej

Rozpatrzmy teraz inny przypadek, w którym:

prędkość kątowa wokół osi głównej jest prawie stała:

p = p_{0} = const

składowe q i r są bardzo małe,
nadal nie działa moment sił:

\vec{N} = 0

Dynamiczne równania Eulera redukują się do:

A \dot{p} + (C - B) q r = 0

(14.37)

B \dot{q} + (A - C) r p_{0} = 0

(14.38)

C \dot{r} + (B - A) q p_{0} = 0

(14.39)

Ponieważ p=p₀ jest stałe, równanie (14.37) jest tożsamościowo równe zero. Pozostają dwa równania sprzężone dla q i r.

Wyprowadzenie równań dla q i r

Różniczkujemy równanie (14.38) i podstawiamy do (14.39). Otrzymujemy dwa równania drugiego rzędu:

\ddot{q} = - H q

(14.40)

\ddot{r} = - H r

(14.41)

H = \frac{A - C}{B} \frac{A - B}{C} p_{0}^{2}

(14.42)

Rozwiązania równań

q = q_{0} e^{b t}

(14.43)

r = r_{0} e^{b t}

(14.44)

b^{2} = - H

(14.45)

Interpretacja fizyczna

Przypadek stabilny — gdy $H > 0$

Warunek:

H > 0 \Rightarrow (A > C i A > B) lub (A < C i A < B)

Wtedy:

b^{2} = - H < 0 \Rightarrow b = \pm i \sqrt{H}

Rozwiązania są oscylacyjne:

q = q_{0} \cos (\sqrt{H} t), r = r_{0} \cos (\sqrt{H} t)

Bryła wykonuje stabilne oscylacje wokół osi głównej.

Przypadek niestabilny — gdy $H < 0$

Warunek:

H < 0 \Rightarrow (A > C i A < B) lub (A < C i A > B)

Wtedy:

b^{2} = - H > 0 \Rightarrow b = \pm \sqrt{- H}

Rozwiązania są wykładnicze:

q = q_{0} e^{\sqrt{- H} t}, r = r_{0} e^{\sqrt{- H} t}

Bryła wykonuje niestabilny ruch, w którym małe odchylenia rosną wykładniczo — jest to klasyczna niestabilność obrotu wokół osi pośredniej (tzw. efekt Dziewięciu Palców, znany z akrobacji kosmicznych).

Wniosek końcowy

Obrót wokół największego lub najmniejszego głównego momentu bezwładności jest stabilny.
Obrót wokół pośredniego momentu bezwładności jest niestabilny.

To jest jedno z najważniejszych twierdzeń dynamiki bryły sztywnej — wyjaśnia, dlaczego np. książka rzucona w powietrze nie chce obracać się wokół osi pośredniej.

Ruch bez udziału sił giroskopu symetrycznego

Rozpatrzmy giroskop symetryczny, czyli bryłę sztywną, dla której tensor momentu bezwładności posiada dwie równe wartości główne. Oznacza to, że bryła posiada jedną wyróżnioną oś symetrii, którą oznaczamy jako oś $x^{'}$ . W takim przypadku zachodzi zależność:

A = B

oraz trzeci moment bezwładności C jest momentem względem osi symetrii. Jest to klasyczny przypadek tzw. *bąka symetrycznego*, który stanowi najprostszy, lecz jednocześnie niezwykle ważny przykład ruchu bryły sztywnej.

W niniejszym rozdziale analizujemy ruch giroskopu w polu grawitacyjnym, lecz przy założeniu, że giroskop jest podparty dokładnie w swoim środku masy. Oznacza to, że siła ciężkości działa na środek masy, a więc nie wywołuje żadnego momentu względem tego punktu. Jest to sytuacja fizycznie bardzo istotna: giroskop nie „czuje” grawitacji, ponieważ jego środek masy jest punktem podparcia.

Z definicji środka masy (10.1) mamy:

\vec{N} = \sum_{i} {\vec{r}}_{i} \times (m_{i} \vec{g}) = (\sum_{i} m_{i} {\vec{r}}_{i}) \times \vec{g} = 0,

(14.46)

co oznacza, że moment siły ciężkości jest równy zero. W konsekwencji ruch giroskopu jest ruchem *swobodnym*, czyli takim, w którym nie działają żadne momenty zewnętrzne.

Równania ruchu giroskopu symetrycznego

Równania Eulera dla bryły sztywnej w przypadku A = B przyjmują postać:

A \dot{p} = (C - A) q r = 0

(14.47)

A \dot{q} + (A - C) r p = 0

(14.48)

C \dot{r} = 0

(14.49)

Z równania (14.49) natychmiast wynika:

r = r_{0} = const .

Oznacza to, że składowa prędkości kątowej wokół osi symetrii jest stała. Jest to fundamentalna własność giroskopu: obrót wokół osi symetrii nie zmienia się w czasie, ponieważ nie działa na niego żaden moment zewnętrzny.

Pozostałe równania upraszczają się do:

\dot{p} - R q = 0

(14.50)

\dot{q} + R p = 0

(14.51)

R = \frac{A - C}{A} r_{0}

(14.52)

Wielkość R jest proporcjonalna do prędkości obrotowej wokół osi symetrii. Jest to tzw. częstość precesji swobodnej.

Równania drugiego rzędu

Różniczkujemy równanie (14.50):

\ddot{p} - R \dot{q} = 0.

Podstawiamy z (14.51):

\ddot{p} + R^{2} p = 0.

(14.53)

Analogicznie:

\ddot{q} + R^{2} q = 0.

(14.54)

Są to równania oscylatora harmonicznego o częstości R.

Rozwiązania

p = a \sin (R t + ϕ)

(14.55)

q = a \cos (R t + ϕ)

(14.56)

Oznacza to, że składowe prędkości kątowej p i q wykonują ruch kołowy na płaszczyźnie (x', y').

Prędkość kątowa giroskopu:

ω^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} = a^{2} + r_{0}^{2} = const .

(14.57)

Wektor prędkości kątowej zakreśla okrąg na płaszczyźnie (x', y'), a jego koniec porusza się po powierzchni stożka.

Kąt rozwarcia stożka:

γ = arctg \frac{a}{r_{0}} .

(14.58)

Powiązanie z kinematycznymi równaniami Eulera

Korzystamy z równań (14.14), (14.15), (14.16):

{\begin{matrix} p = a \sin (R t + ϕ) = \dot{φ} \sin θ \sin ψ + \dot{θ} \cos ψ \\ q = a \cos (R t + ϕ) = \dot{φ} \sin θ \cos ψ - \dot{θ} \sin ψ \\ r_{0} = \dot{φ} \cos θ + \dot{ψ} \end{matrix}

(14.59)

Są to równania kinematyczne, które łączą prędkości kątowe w układzie bryłowym z pochodnymi kątów Eulera.

Wektor momentu pędu równoległy do osi z'

Współrzędne momentu pędu:

{\begin{matrix} K_{x^{'}} = K \sin θ \sin ψ, \\ K_{y^{'}} = K \sin θ \cos ψ, \\ K_{z^{'}} = K \cos θ . \end{matrix}

(14.60)

Z definicji momentu pędu (14.31):

{\begin{matrix} K_{x^{'}} = A p = K \sin θ \sin ψ, \\ K_{y^{'}} = A q = K \sin θ \cos ψ, \\ K_{z^{'}} = C r_{0} = K \cos θ . \end{matrix}

(14.61)

Z ostatniego równania wynika: $θ = θ_{0} = const$ oraz $\dot{φ} = const$ .

Oznacza to, że oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy o stałym kącie nachylenia.

Ostateczne równania ruchu

Z układu (14.59) otrzymujemy:

ψ = R t + ϕ

(14.62)

\dot{φ} = \frac{a}{\sin θ_{0}}

(14.63)

Integracja:

φ = \frac{a}{\sin θ_{0}} t + φ_{0} .

(14.64)

Z równania na r₀:

(r_{0} - R) \tan θ_{0} = a \Rightarrow \tan θ_{0} = \frac{a A}{r_{0} C} .

(14.65)

Końcowy układ równań ruchu giroskopu symetrycznego

ψ = R t + ϕ

(14.66)

φ = \frac{a}{\sin θ_{0}} t + φ_{0}

(14.67)

θ_{0} = arctg \frac{a A}{r_{0} C}

(14.68)

Interpretacja fizyczna

Powyższe równania opisują ciało, którego oś obrotu:

porusza się z prędkością kątową $R$ wokół osi z',
jednocześnie wykonuje ruch obiegowy z prędkością kątową $\dot{φ}$ ,
a kąt nachylenia osi obrotu $θ_{0}$ pozostaje stały.

Jest to klasyczny opis precesji swobodnej giroskopu symetrycznego, znanej również jako *precesja Eulera*. Wektor prędkości kątowej zakreśla stożek Poinsota, natomiast wektor momentu pędu pozostaje stały w przestrzeni. Oś giroskopu wykonuje ruch stożkowy, a cały ruch jest w pełni okresowy.

Giroskop symetryczny szybko poruszający się w polu grawitacyjnym

Rozpatrzmy giroskop, którego ruch odbywa się w polu grawitacyjnym, a jego tensor momentu bezwładności jest diagonalny. Oznacza to, że bryła posiada jedną oś symetrii, a jej trzy główne momenty bezwładności przyjmują wartości A, B oraz C. W przypadku giroskopu symetrycznego zachodzi równość A = B, natomiast C jest momentem bezwładności względem osi symetrii. Dzięki temu opis ruchu znacznie się upraszcza, ponieważ prędkości kątowe w układzie związanym z bryłą przyjmują postać zależną jedynie od kątów Eulera.

Warto podkreślić, że giroskop symetryczny jest jednym z najważniejszych obiektów w klasycznej mechanice bryły sztywnej. Jego ruch jest podstawą działania żyroskopów, żyrokompasów, stabilizatorów, a także wielu urządzeń technicznych, w których wykorzystuje się własność zachowania momentu pędu. Giroskop symetryczny jest również jednym z najprostszych przykładów ruchu precesyjnego i nutacyjnego, które pojawiają się w wielu dziedzinach fizyki — od mechaniki klasycznej, przez mechanikę kwantową, aż po fizykę jądrową.

Energia rotacyjna giroskopu jest wyrażona wzorem (14.21), natomiast lagrangian otrzymujemy po podstawieniu zależności kinematycznych (14.14), (14.15) oraz (14.16):

L = T - U = \frac{A}{2} ω_{x^{'}}^{2} + \frac{B}{2} ω_{y^{'}}^{2} + \frac{C}{2} ω_{z^{'}}^{2} - U .

(14.69)

Po podstawieniu pełnych wyrażeń na składowe prędkości kątowej otrzymujemy rozwinięcie lagrangianu, w którym pojawiają się kombinacje trzech prędkości kątowych: $\dot{φ}$ , $\dot{θ}$ oraz $\dot{ψ}$ . Warto zauważyć, że składowa związana z momentem C jest szczególna, ponieważ odpowiada obrotowi wokół osi symetrii giroskopu.

Ponieważ lagrangian nie zależy jawnie od czasu, zgodnie z zasadą Hamiltona (13.27), energia całkowita układu pozostaje stała:

E = \frac{A}{2} ({\dot{φ}}^{2} \sin^{2} θ + {\dot{θ}}^{2}) + \frac{C}{2} (\dot{φ} \cos θ + \dot{ψ})^{2} + M g s \cos θ .

(14.70)

Współrzędne $φ$ oraz $ψ$ są cykliczne, co oznacza, że odpowiadające im pędy są stałe w czasie. Jest to konsekwencja symetrii układu — brak jawnej zależności lagrangianu od tych współrzędnych:

\frac{\partial L}{\partial \dot{φ}} = A \dot{φ} \sin^{2} θ + C (\dot{ψ} + \dot{φ} \cos θ) \cos θ = α

(14.71)

\frac{\partial L}{\partial \dot{ψ}} = C (\dot{ψ} + \dot{φ} \cos θ) = β

(14.72)

Warto zauważyć, że wielkości α i β mają jasną interpretację fizyczną: są to składowe momentu pędu związane odpowiednio z ruchem precesyjnym oraz ruchem wokół osi symetrii giroskopu.

Podstawiając równanie (14.72) do (14.71), otrzymujemy zależność na prędkość precesji:

\dot{φ} = \frac{α - β \cos θ}{A \sin^{2} θ} .

(14.73)

Po podstawieniu tych zależności do równania energii otrzymujemy równanie ruchu dla kąta nutacji θ:

\frac{A}{2} {\dot{θ}}^{2} + \frac{(α - β \cos θ)^{2}}{2 A \sin^{2} θ} + \frac{β^{2}}{2 C} + M g s \cos θ = E .

(14.74)

Warunki początkowe przyjmujemy w postaci:

θ (0) = \frac{π}{2}

(14.75)

φ (0) = 0

(14.76)

ψ (0) = 0

(14.77)

\dot{θ} (0) = 0

(14.78)

\dot{φ} (0) = 0

(14.79)

\dot{ψ} (0) = {\dot{ψ}}_{0}

(14.80)

Warunki te prowadzą do wartości stałych ruchu:

α = 0

(14.81)

β = C {\dot{ψ}}_{0}

(14.82)

E = \frac{C}{2} {\dot{ψ}}_{0}^{2}

(14.83)

Wprowadzamy podstawienie:

θ = \frac{π}{2} - χ,

(14.84)

co pozwala uprościć równanie energii dla małych wartości χ (sinχ ≈ χ):

\frac{A}{2} {\dot{χ}}^{2} + \frac{β^{2}}{2 A} χ^{2} + \frac{β^{2}}{2 C} + M g s χ = E .

(14.85)

Różniczkując otrzymujemy równanie ruchu:

A \ddot{χ} + \frac{β^{2}}{A} χ + M g s = 0.

(14.86)

Jest to równanie oscylatora harmonicznego z przesunięciem równowagi. Jego rozwiązanie ma postać:

χ (t) = c_{1} \cos (\frac{β}{A} t + c_{2}) - \frac{M g s A}{β^{2}} .

(14.87)

Warunki początkowe:

χ (0) = 0

(14.88)

\dot{χ} (0) = 0

(14.89)

pozwalają wyznaczyć stałe całkowania i otrzymać rozwiązanie:

θ (t) = \frac{π}{2} + \frac{M g s A}{β^{2}} (1 - \cos \frac{β}{A} t) .

(14.90)

Widzimy, że bryła wykonuje nutacje wokół kąta $θ = \frac{π}{2}$ , a amplituda tych drgań zależy od stosunku MgsA/β².

Dla małych odchyleń:

\sin θ ≃ 1

(14.91)

oraz:

\cos θ ≃ \frac{M g s A}{β^{2}} (1 - \cos \frac{β}{A} t) .

(14.92)

Sprzężone pędy:

α ≃ A \dot{φ} + β \cos θ = 0

(14.93)

β = C (\dot{ψ} + \dot{φ} \cos θ)

(14.94)

Prędkość precesji:

\dot{φ} = - \frac{β}{A} \cos θ \Rightarrow φ (t) = \frac{M g s}{β} [t - \frac{A}{β} \sin (\frac{β}{A} t)] .

(14.95)

Oś giroskopu zatacza koło z prędkością: $\dot{φ} = \frac{M g s}{β}$ , co nazywamy precesją, natomiast niewielkie oscylacje — nutacjami.

Na koniec:

\dot{ψ} = \frac{β}{C} = {\dot{ψ}}_{0} .

(14.96)

Bąk całkowicie asymetryczny

Rozpatrzmy bąk (bryłę sztywną), który posiada trzy różne, wzajemnie niezależne i diagonalne elementy tensora momentu bezwładności. Oznacza to, że bryła nie posiada żadnej osi symetrii — jest to przypadek najbardziej ogólny, nazywany bąkiem całkowicie asymetrycznym. Przyjmujemy, że główne momenty bezwładności spełniają relację: $A > B > C$ , co odpowiada klasycznemu uporządkowaniu momentów bezwładności w mechanice bryły sztywnej. W takim przypadku ruch obrotowy jest najbardziej złożony, a równania opisujące dynamikę bąka prowadzą do funkcji eliptycznych Jacobiego.

W przeciwieństwie do bąka symetrycznego (gdzie dwa momenty bezwładności są równe) lub bąka osiowego (gdzie dwa momenty są równe i większe od trzeciego), bąk asymetryczny nie posiada żadnej osi, wokół której ruch byłby prosty lub jednorodny. Oznacza to, że ruch jest w pełni trójwymiarowy, a wektor prędkości kątowej nie pozostaje równoległy do wektora momentu pędu. W konsekwencji ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego, w którym pojawiają się funkcje eliptyczne.

Energia i moment pędu bąka asymetrycznego

Całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego oraz kwadrat całkowitego momentu pędu bąka wyrażają się równaniami:

{\begin{matrix} A p^{2} + B q^{2} + C r^{2} = 2 E, \\ A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2} + C^{2} r^{2} = K^{2} . \end{matrix}

(14.97)

Wielkości p, q, r są składowymi prędkości kątowej w układzie związanym z bryłą, natomiast E jest energią kinetyczną, a K — wartością całkowitego momentu pędu. Równania te można również zapisać w postaci zależnej od składowych momentu pędu:

{\begin{matrix} \frac{K_{x}^{2}}{A} + \frac{K_{y}^{2}}{B} + \frac{K_{z}^{2}}{C} = 2 E, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} + K_{z}^{2} = K^{2} . \end{matrix}

(14.98)

Pierwsze równanie opisuje elipsoidę energii, drugie — sferę momentu pędu. Ich przecięcie wyznacza możliwe trajektorie wektora momentu pędu w przestrzeni. Elipsoida energii ma półosie: $\sqrt{2 E A}$ , $\sqrt{2 E B}$ , $\sqrt{2 E C}$ .

Geometria tych powierzchni jest kluczowa: sfera momentu pędu jest powierzchnią o stałym promieniu K, natomiast elipsoida energii jest powierzchnią o trzech różnych półosiach. Wektor momentu pędu musi leżeć jednocześnie na obu powierzchniach, co oznacza, że jego ruch jest ograniczony do krzywej przecięcia tych dwóch powierzchni. Krzywa ta jest zamknięta, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną, co prowadzi do funkcji Jacobiego.

Ograniczenia na wartość K²

Z równań (14.98) otrzymujemy istotne ograniczenia na wartość K²:

{\begin{matrix} K_{x}^{2} \frac{C}{A} + K_{y}^{2} \frac{C}{B} + K_{z}^{2} = 2 E C \Rightarrow K^{2} < 2 E C, \\ K_{x}^{2} + K_{y}^{2} \frac{A}{B} + K_{z}^{2} \frac{A}{C} = 2 E A \Rightarrow K^{2} > 2 E A . \end{matrix}

(14.99)

Oznacza to, że wartość całkowitego momentu pędu musi leżeć w przedziale: $2 E A < K^{2} < 2 E C$ .

Interpretacja fizyczna jest następująca: bąk asymetryczny nie może obracać się z dowolnie dużym momentem pędu przy zadanej energii. Istnieją ograniczenia wynikające z geometrii elipsoidy bezwładności. Wartość K² jest „ściśnięta” pomiędzy dwoma granicami, które odpowiadają ruchowi wokół osi o największym i najmniejszym momencie bezwładności.

Eliminacja p² i r²

Aby wyznaczyć zależności między składowymi prędkości kątowej, eliminujemy kolejno p² oraz r² z układu (14.97). Mnożąc pierwsze równanie przez C i odejmując od drugiego, otrzymujemy:

(A C - A^{2}) p^{2} + (B C - B^{2}) q^{2} = 2 E C - K^{2} \Rightarrow p^{2} = \frac{1}{A (C - A)} [(2 E C - K^{2}) - B (C - B) q^{2}] .

(14.100)

Analogicznie, mnożąc pierwsze równanie przez A i odejmując od drugiego:

(B A - B^{2}) q^{2} + (C A - C^{2}) r^{2} = 2 E A - K^{2} \Rightarrow r^{2} = \frac{1}{C (C - A)} [(K^{2} - 2 E A) - B (B - A) q^{2}] .

(14.101)

Równania te pokazują, że p² i r² są liniowymi funkcjami q². Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego można sprowadzić do jednego równania różniczkowego dla q(t). Jest to kluczowy krok w analizie ruchu bąka asymetrycznego — redukcja trzech równań do jednego równania eliptycznego.

Równanie różniczkowe dla q(t)

Korzystając z równania Eulera:

\dot{q} = \frac{C - A}{B} p r,

(14.102)

i podstawiając do niego zależności (14.100) oraz (14.101), otrzymujemy:

\dot{q} = \frac{1}{B \sqrt{A C}} \sqrt{(2 E C - K^{2} - B (C - B) q^{2})} \sqrt{(K^{2} - 2 E A - B (B - A) q^{2})} .

(14.103)

Jest to równanie typu: $\dot{q} = \sqrt{(a - b q^{2}) (c - d q^{2})}$ , które prowadzi do funkcji eliptycznych Jacobiego. Jest to klasyczny przykład równania różniczkowego, którego rozwiązanie nie jest trygonometryczne, lecz eliptyczne.

Wprowadzenie zmiennych eliptycznych

Wprowadzamy zmienne pomocnicze, które pozwalają sprowadzić równania ruchu bąka asymetrycznego do postaci równań eliptycznych. Zmienne te są tak dobrane, aby równanie różniczkowe opisujące ewolucję współrzędnej q(t) przyjęło postać kanoniczną równania funkcji Jacobiego.

Pierwszą zmienną jest przeskalowany czas:

τ = t \sqrt{\frac{(C - B) (K^{2} - 2 E A)}{A B C}}

(14.104)

Zmienna τ jest czasem „eliptycznym”, czyli czasem przeskalowanym tak, aby równanie ruchu miało postać standardową dla funkcji Jacobiego.

Drugą zmienną jest przeskalowana współrzędna q:

s = q \sqrt{\frac{B (C - B)}{2 E C - K^{2}}}

(14.105)

Zmienna s jest bezwymiarową zmienną eliptyczną, która przyjmuje wartości w przedziale od −1 do 1. Dzięki temu równanie ruchu sprowadza się do równania funkcji sn(τ).

Wprowadzamy również parametr eliptyczny k², który określa „kształt” funkcji Jacobiego:

k^{2} = \frac{(B - A) (2 E C - K^{2})}{(C - B) (K^{2} - 2 E A)}

(14.106)

Parametr k² decyduje o okresie funkcji Jacobiego oraz o charakterze oscylacji. Dla k² bliskiego 0 funkcje Jacobiego zachowują się jak funkcje trygonometryczne, natomiast dla k² bliskiego 1 zachowują się jak funkcje hiperboliczne.

Po obliczeniu pochodnej ds/dτ otrzymujemy równanie różniczkowe:

\frac{d s}{d τ} = \sqrt{(1 - s^{2}) (1 - k^{2} s^{2})}

(14.107)

Jest to klasyczne równanie różniczkowe funkcji eliptycznych Jacobiego. Zawiera dwa czynniki: pierwszy odpowiada oscylacjom sinusoidalnym, drugi — oscylacjom eliptycznym zależnym od parametru k².

Całkując równanie (14.107), otrzymujemy:

τ = \int_{0}^{s} \frac{d s}{\sqrt{(1 - s^{2}) (1 - k^{2} s^{2})}}

(14.108)

Całka ta jest standardową postacią całki eliptycznej pierwszego rodzaju. Jej rozwiązaniem jest funkcja Jacobiego sn(τ):

s = sn τ

(14.109)

Pozostałe funkcje Jacobiego definiujemy analogicznie:

cn τ = \sqrt{1 - {sn}^{2} τ}

(14.110)

dn τ = \sqrt{1 - k^{2} {sn}^{2} τ}

(14.111)

Funkcje Jacobiego opisują ruch bąka asymetrycznego w sposób naturalny. Funkcja sn(τ) opisuje oscylacje q(t), funkcja cn(τ) opisuje oscylacje p(t), a funkcja dn(τ) opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy.

Funkcje Jacobiego stanowią więc naturalny język matematyczny do opisu ruchu bąka asymetrycznego, ponieważ uwzględniają zarówno oscylacje sinusoidalne, jak i eliptyczne, wynikające z asymetrii momentów bezwładności.

Prędkości kątowe

Prędkości kątowe wyrażają się następująco:

q = \sqrt{\frac{2 E C - K^{2}}{B (C - B)}} sn τ,

(14.112)

p = \sqrt{\frac{2 E C - K^{2}}{A (C - A)}} cn τ,

(14.113)

r = \sqrt{\frac{K^{2} - 2 E A}{C (C - A)}} dn τ .

(14.114)

W granicy k² → 0 funkcje eliptyczne przechodzą w trygonometryczne: snτ → sinτ, cnτ → cosτ, dnτ → 1. Oznacza to, że ruch bąka asymetrycznego przechodzi w ruch bąka symetrycznego, gdy A → B lub B → C.

Składowe momentu pędu

Składowe momentu pędu bąka asymetrycznego wyrażają się równaniami zależnymi od kątów Eulera oraz od składowych prędkości kątowych p, q, r. Zależności te wynikają z definicji momentu pędu w układzie związanym z bryłą oraz z transformacji między układem laboratoryjnym a układem własnym bryły:

{\begin{matrix} K \sin θ \sin ψ = A p, \\ K \sin θ \cos ψ = B q, \\ K \cos θ = C r . \end{matrix}

(14.115)

Pierwsze dwa równania wiążą składowe momentu pędu w płaszczyźnie prostopadłej do osi trzeciej, natomiast trzecie równanie wiąże składową wzdłuż osi trzeciej z prędkością kątową r. Zależności te są podstawą do wyznaczenia kątów Eulera w funkcji czasu.

Z trzeciego równania (14.115) otrzymujemy zależność na cosinus kąta nutacji θ:

\cos θ = \frac{C r}{K} = \sqrt{\frac{C (K^{2} - 2 E A)}{K^{2} (C - A)}} dn τ

(14.116)

\tan ψ = \frac{A p}{B q} = \sqrt{\frac{A (C - B)}{B (C - A)}} \frac{cn τ}{sn τ}

(14.117)

Pierwsza zależność (14.116) pokazuje, że kąt nutacji θ(t) jest funkcją eliptyczną typu dn(τ). Oznacza to, że oś bryły wykonuje oscylacje o amplitudzie zależnej od parametrów A, B, C oraz od energii E i momentu pędu K.

Druga zależność (14.117) pokazuje, że kąt precesji własnej ψ(t) jest funkcją ilorazu cn(τ)/sn(τ), czyli funkcją eliptyczną typu cotangensowego. Oznacza to, że precesja własna jest modulowana przez oscylacje nutacji.

Kąt φ wyznaczamy z zależności:

\dot{φ} = \frac{p \sin ψ + q \cos ψ}{\sin θ} = K \frac{A p^{2} + B q^{2}}{K^{2} - C^{2} r^{2}} = K \frac{A p^{2} + B q^{2}}{A^{2} p^{2} + B^{2} q^{2}}

(14.118)

Wyrażenie to jest równaniem różniczkowym dla kąta φ(t). Po scałkowaniu względem czasu otrzymujemy funkcję φ(t), która jest funkcją eliptyczną zależną od τ(t), a więc od czasu. Całka ta jest złożona, ponieważ zawiera funkcje Jacobiego sn(τ), cn(τ), dn(τ), które modulują prędkość precesji.

W rezultacie ruch bąka asymetrycznego jest quasi‑okresowy: kąt nutacji θ(t) oscyluje z okresem zależnym od parametru eliptycznego k², kąt ψ(t) wykonuje oscylacje modulowane przez funkcje Jacobiego, a kąt φ(t) rośnie w sposób eliptyczny, z prędkością zależną od energii i momentu pędu. Jest to pełny opis ruchu bąka asymetrycznego w języku funkcji eliptycznych Jacobiego.

Interpretacja fizyczna ruchu bąka asymetrycznego

Ruch bąka asymetrycznego jest jednym z najbardziej klasycznych przykładów ruchu quasi-okresowego. Wektor prędkości kątowej wykonuje złożony ruch na powierzchni elipsoidy bezwładności, natomiast wektor momentu pędu wykonuje ruch po krzywej przecięcia sfery momentu pędu z elipsoidą energii. Ruch ten jest zamknięty, lecz nie jest okręgiem — jest krzywą eliptyczną.

Funkcje Jacobiego opisują ten ruch w sposób naturalny: sn opisuje oscylacje q(t), cn opisuje oscylacje p(t), a dn opisuje oscylacje r(t). Są to funkcje okresowe, lecz ich okres zależy od parametru k², co oznacza, że ruch bąka asymetrycznego jest quasi-okresowy.

W granicy A → B lub B → C ruch przechodzi w ruch bąka symetrycznego, który jest znacznie prostszy i opisany funkcjami trygonometrycznymi.