Mechanika teoretyczna/Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione[edytuj]

Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami:

(6.1)

Zatem mając równania więzów (6.1) możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów:

(6.2)
(6.3)

Wyznaczmy pochodną wielkości (6.3) względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać:

(6.4)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.2) zasadę d'Alemberta (4.8) dla "f" więzów przestawiamy:

(6.5)

Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

(6.6)

Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej (6.6) względem k-tej współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach.

(6.7)
(6.8)

Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli (6.8), do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie (6.4):

(6.9)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia (6.9) względem czasu:

(6.10)

Ostatni wyraz występujący w punkcie (6.10) po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie (6.7), wtedy powyższą równość zapisujemy:

(6.11)

Końcowy wzór wynikający z obliczeń (6.11) podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość:

(6.12)

Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę iloczynu funkcji siły Fa przez pochodną χa względem współrzędnej qk i ta całość sumowanych względem wskaźnika "a":

(6.13)

Równanie (6.12) jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej qk przy definicji siły uogólnionej (6.13):

(6.14)

Równanie (6.14) nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (1.91) możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem:

(6.15)

Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim Fa (6.15) wzór na siłę uogólnioną (6.13) w zalezności od siły potencjalnej i zewnętrznej przestawiamy:

(6.16)

Wzór na siłę uogólnioną (6.16) możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a (6.14) i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu:

(6.17)

Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:

(6.18)

Równość (6.17) na podstawie definicji funkcji Lagrange'a (6.18) możemy przepisać w postaci:

(6.19)

Układ równań (6.19) jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne qk w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie (6.19) stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a (6.19) możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogi do równania (6.19):

(6.20)

Funkcja Lagrange a zasady zachowania[edytuj]

Zasada zachowania energii i translacja w czasie[edytuj]

Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie (6.18) względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a (6.19):


(6.21)

Wyrazy w (6.21), które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie:

(6.22)

Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to:

(6.23)

Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych:

(6.24)

Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (6.22) pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (6.24):

(6.25)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.22) i (6.25) wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a[edytuj]

Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego:

(6.26)

Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor wedle schematu:

(6.27)

Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora , oraz przez współrzędne wektora (6.27):

(6.28)

Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji, zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero:

(6.29)

Jeśli wykorzystamy wzór (6.19) na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce (6.29), wtedy po dokonaniu tejże operacji:

(6.30)

Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie (6.30) możemy napisać:

(6.31)
(6.32)
(6.33)

Można wykazać, że pochodna jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa (6.31), (6.32) i (6.33) obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji (6.26) jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

Zasada zachowania momentu pędu[edytuj]

Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie (1.29), zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako:

(6.34)

Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej θ-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu (6.34) względem współrzędnej θ-owej jest równa zero:

(6.35)

Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy:




(6.36)

Na podstawie obliczeń (6.35), w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń (6.36), czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian nie zależy od współrzędnej uogólnionej qk, to spełniona jest zasada zachowania:

(6.37)

Czyli taką współrzędną dla której zachodzi (6.37) nazywamy współrzędną cykliczną.

Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych[edytuj]

Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez , gdzie przyrost położenia jest napisany:

(6.38)

Na podstawie (6.37) opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana:

(6.39)

Parametry są tak sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki (1.29), by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze (6.38):

(6.40)
(6.41)
(6.42)

Wektory tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo:

(6.43)

Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie (6.39), a także z własności ortogonalności wersorów (6.43), to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci:

(6.44)

Rozpatrzmy teraz wzór na drugie równanie Lagrange'a, które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej określany wzorem (6.14):

(6.45)

Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego w dowolnym układzie ortogonalnym współrzędnym:

(6.46)

Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy we wzorze (6.46) i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a (6.45):

(6.47)

Energia kinetyczną w układzie kulistym dla ciała, na którą nie działają żadne siły potencjalne jest określona na podstawie wzoru (1.29):

(6.48)

Jeśli podstawimy wzór (6.48) do wzoru (6.47) przy oznaczeniach (6.40), (6.41) i (6.42), zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru (1.31).

Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a[edytuj]

Weźmy sobie całkę działania, które określamy z pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie (6.18), zatem ta nasza całka:

(6.49)

Całkę działania (6.49) będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do Metod matematycznych fizyki określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w (6.49) spełnia wniosek (MMF-17.13), w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny (6.19) lub wzór wektorowy (6.20) dla przestrzeni kartezjańskiej w przypadku zerowania się uogólnionych sił zewnętrznych.

Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście[edytuj]

(Rys. 6.1) Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta δφ

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta θ i wariacji kata φ:

(6.50)

Wektor jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory i , wtedy wzór (6.51) możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta i wektora promienia :

(6.51)

Równość (6.52) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta i prędkości :

(6.52)

Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić:

(6.53)

Wykorzystamy teraz wzór (6.20), a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia (6.51) i wariację prędkości (6.52), w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z (6.53):

(6.54)

Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości (6.54) i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim:

(6.55)

Patrząc na równość (6.55) dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość:

(6.56)

Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy:

(6.57)

Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia:

(6.58)

Do wzoru końcowego (6.58) wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas (3.1):

(6.59)

Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.

  • Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.

Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy:

(6.60)

Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej:

(6.61)

Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym (6.61), wtedy moment sił zetowy (6.60) możemy zapisać jako:

(6.62)

Masa zredukowana układu dwóch cząstek[edytuj]

Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej:

(6.63)

Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania:

(6.64)
(6.65)

Z równań (6.64) i (6.65) możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej:

(6.66)
(6.67)

Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. (6.66) i (6.67) podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas (6.63):


(6.68)

W obliczeniach (6.68) wprowadziliśmy masę zredukowaną:

(6.69)

Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.