Mechanika teoretyczna/Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione[edytuj]

Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami:

(6.1)

Zatem mając równania więzów (6.1) możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów:

(6.2)
(6.3)

Wyznaczmy pochodną wielkości (6.3) względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać:

(6.4)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.2) zasadę d'Alemberta (4.8) dla "f" więzów przestawiamy:

(6.5)

Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

(6.6)

Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej (6.6) względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach.

(6.7)
(6.8)

Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli (6.8), do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie (6.4):

(6.9)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia (6.9) względem czasu:

(6.10)

Ostatni wyraz występujący w punkcie (6.10) po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie (6.7), wtedy powyższą równość zapisujemy:

(6.11)

Końcowy wzór wynikający z obliczeń (6.11) podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość:

(6.12)

Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę względem wskaźnika "a" iloczynu funkcji siły Fa przez pochodną χa względem współrzędnej qk:

(6.13)

W (6.13) wielkość , gdzie jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej i , więc:

(6.14)

Stąd wielkość jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona , bo zachodzi (6.14) (końcowy wniosek), jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami. Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało dział jakaś liczba sił uogólnionych, na podstawie addytywności sił zwykłych:

(6.15)

A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na ciała jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większych niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym. Równanie (6.12) jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej qk przy definicji siły uogólnionej (6.13):

(6.16)

Równanie (6.16) nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (1.91) możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem:

(6.17)

Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim Fa (6.17) wzór na siłę uogólnioną (6.13) w zalezności od siły potencjalnej i zewnętrznej przestawiamy:

(6.18)

Dla siły uogólnionej w (6.18) też zachodzi podobny związek (6.15) jak dla siły uogólnionej (6.13), bo na podstawie (6.15), mamy:

(6.19)

Wzór (6.18) spełnia zasadę rozpisu (6.19). Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie (6.18) i definicji siły uogólnionej (6.14), przedstawiamy:

(6.20)

Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej (6.15) to na podstawie (6.19) zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej lub co można sprawdzić bezpośrednio z definicji uogólnionej siły zewnętrznej (6.20), sprawdźmy to:

(6.21)

Wzór na siłę uogólnioną (6.18) możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a (6.16) i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu i prędkości uogólnionej:

(6.22)

Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:

(6.23)

Równość (6.22) na podstawie definicji funkcji Lagrange'a (6.23) możemy przepisać w postaci:

(6.24)

Układ równań (6.24) jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne qk w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie (6.24) stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a (6.24) możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogii do równania (6.24):

(6.25)

Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania[edytuj]

Zasada zachowania energii i translacja w czasie[edytuj]

Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie (6.23) względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a (6.24):


(6.26)

Wyrazy w (6.26), które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie:

(6.27)

Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to:

(6.28)

Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych:

(6.29)

Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (6.27) pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (6.29):

(6.30)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.27) i (6.30) wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a[edytuj]

Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego:

(6.31)

Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor wedle schematu:

(6.32)

Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora , oraz przez współrzędne wektora (6.32):

(6.33)

Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji , zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero:

(6.34)

Jeśli wykorzystamy wzór (6.24) na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce (6.34), wtedy po dokonaniu tejże operacji:

(6.35)

Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie (6.35) możemy napisać:

(6.36)
(6.37)
(6.38)

Można wykazać, że pochodna jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa (6.36), (6.37) i (6.38) obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji (6.31) jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

Zasada zachowania momentu pędu[edytuj]

Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie (1.29), zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako:

(6.39)

Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej θ-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu (6.39) względem współrzędnej θ-owej jest równa zero:

(6.40)

Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy:



(6.41)

Na podstawie obliczeń (6.40), w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń (6.41), czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian nie zależy od współrzędnej uogólnionej qk, to spełniona jest zasada zachowania:

(6.42)

Czyli taką współrzędną dla której zachodzi (6.42) nazywamy współrzędną cykliczną.

Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych[edytuj]

Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez , gdzie przyrost położenia jest napisany:

(6.43)

Na podstawie (6.42) opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana:

(6.44)

Parametry są tak np. sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki (1.29), by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze (6.43):

(6.45)
(6.46)
(6.47)

Wektory tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo:

(6.48)

Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie (6.44), a także z własności ortogonalności wersorów (6.48), to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci:

(6.49)

Rozpatrzmy teraz wzór dla jednego ciała na drugie równanie Lagrange'a (6.16), które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej, a wzór na siłę uogólnioną według (6.14), także wykorzystajmy drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), w takim razie dla układu ogólnie krzywoliniowego mamy:


(6.50)

Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, z (6.44) licząc pochodną zupełną względem czasu dla obu jego stron, zatem:

(6.51)

Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy we wzorze (6.51) i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a (6.50), stąd:

(6.52)

Równość (6.52) zachodzi, bo jak powiedzieliśmy dla (6.13) (tutaj wszystkie siły uwzględniono w , czyli , a więc ), że jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, wykorzystując wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), też wiedząc, że zachodzi w zależności od współrzędnych przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym:

(6.53)

Podstawiając (6.53) do pierwszego równania (6.52) dostajemy drugie równanie też tam. To co napisano w drugim równaniu (6.52) i z definicji ortonormalności wersorów (6.48) mamy trzecie równanie w (6.52), czyli równanie końcowe w (6.52) jest prawdziwe i przedstawia wzór na k-tą współrzędną przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym. Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru (1.29):

(6.54)

Jeśli podstawimy wzór (6.54) do wzoru (6.52) przy oznaczeniach (6.45), (6.46) i (6.47), zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru (1.31).

Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a[edytuj]

Weźmy sobie całkę działania, które określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie (6.23), zatem ta nasza całka:

(6.55)

Całkę działania (6.55) będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero, czyli przyjmujemy zasadę Hamiltona, czyli zasadę najmniejszego działania. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do Metod matematycznych fizyki określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w (6.55) spełnia wniosek (MMF-17.13), w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny (6.24) lub wzór wektorowy (6.25) dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy i wszystkie wnioski do tego, co zachodzą z teorii ruchu:

(6.56)

Przyjmijmy, że lagrangian jest sumą lagrangianu normalnego i odpowiedzialnego za siły zewnętrzne, które w szczególnym przypadku też w nim są siły oddziaływań, więc w przypadku lagrangianu w (6.56) zastępując według:

(6.57)

Na podstawie wynikającej z zasady wariacyjnej (6.56) i zastępowania (6.57) oraz zakładamy, że jest zależne od prędkości i położenia ciał, otrzymujemy:

(6.58)

A ponieważ zachodzi wynikająca z teorii ruchu (6.24) i wynikająca z teorii lagrangianu (6.58), mamy:

(6.59)

Wzór (6.59) jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych , która jest zależna od prędkości i położenia. Gdy nie jest zależne od prędkości, tylko od położenia, w takim razie wzór (6.59) przyjmuje formę:

(6.60)

Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną (6.59) wzór (6.58) przyjmuje formę o wyglądzie (6.24), aby dla jasności wykładu przepiszemy ten wzór:

(6.61)

Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej z teorii lagrangianu wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu (6.21), gdy na dane ciało działa jakaś ich liczba, zatem:

(6.62)

Na podstawie (6.62) siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, która występuje we wzorze (6.61). Czyli to co chcieliśmy na samym początku tego rozdziału udowodniliśmy. Wzory (6.61), (6.59) i (6.60) oraz (6.62) są słuszne, gdy , a dla innych przypadków też są słuszne, a my to chcemy udowodnić, dla tych przypadków mamy równania poniżej. Na podstawie tych wniosków też jest słuszny wzór (6.56) przed zamianą według (6.57). Zastępujmy w definicji siły uogólnionej w (6.59) w równaniu (6.61) według:

(6.63)

Wtedy na podstawie (6.63) wzór kocowy w (6.58) przyjmuje formę:


(6.64)

W (6.64) (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury , a my dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu, a ono nazwiemy drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej, a ono jest w postaci (6.65) (podobne do wzoru (6.24) i (6.61)), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako (6.66) (podobny do wzoru (6.59)) zależną od lagrangianu siły zewnętrznej , a gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siła uogólniona przedstawiamy jako (6.67) (podobny do wzoru (6.60)), a lagrangian całkowity (6.68) jest sumą lagrangianu i lagrangianu siły zewnętrznej , czyli te wzory piszemy:

(6.65)
(6.66)
(6.67)
(6.68)

Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla (6.66) i (6.67) oraz podobnego do (6.59) i (6.60) podobnym wzorem do (6.20), więc:

(6.69)

Czyli jak we wzorze (6.20) k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest według (6.69), bo tak jest na podstawie (6.63), że stara siła uogólniona zewnętrzna (stare ) wynikającego ze starego jest sumą siły uogólnionej z i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe ) z nowego , co uwidaczniamy na podstawie rachunku:

(6.70)

Stąd z (6.70) mamy (6.69) dla nowego , stąd na podstawie (6.21) k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym nowej siły uogólnionej zewnętrznej w (6.70) jest addytywny. To też można udowodnić z teorii lagrangianu:


(6.71)

W (6.71) z teorii lagrangianu wychodzi taki sam wniosek co z (6.70) z teorii ruchu, stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w (6.66) i (6.67) spełnia zasadę addytywności na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku (6.62) (teoria lagrangianu) oraz (6.21) (teoria ruchu).

Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście[edytuj]

(Rys. 6.1) Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta δφ

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta θ i wariacji kata φ:

(6.72)

Wektor jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory i , wtedy wzór (6.73) możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta i wektora promienia :

(6.73)

Równość (6.74) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta i prędkości :

(6.74)

Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić:

(6.75)

Wykorzystamy teraz wzór (6.25), a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia (6.73) i wariację prędkości (6.74), w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z (6.75):

(6.76)

Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości (6.76) i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim:

(6.77)

Patrząc na równość (6.77) dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość:

(6.78)

Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy:

(6.79)

Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia:

(6.80)

Do wzoru końcowego (6.80) wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas (3.1):

(6.81)

Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.

  • Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.

Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy:

(6.82)

Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej:

(6.83)

Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym (6.83), wtedy moment sił zetowy (6.82) możemy zapisać jako:

(6.84)

Masa zredukowana układu dwóch cząstek[edytuj]

Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej:

(6.85)

Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania:

(6.86)
(6.87)

Z równań (6.86) i (6.87) możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej:

(6.88)
(6.89)

Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. (6.88) i (6.89) podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas (6.85):

(6.90)

W obliczeniach (6.90) wprowadziliśmy masę zredukowaną:

(6.91)

Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.