Mechanika teoretyczna/Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Mechanika teoretyczna
Mechanika teoretyczna
Tensor napięć a w tym tensor tarcia, a prawo Hooke'a

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


(Rys. 11.1) Zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a

Będziemy się tutaj zajmować równaniami materiałowymi, które np. opisuje właściwości sprężyste sprężyny, a także zobaczmy jaka jest zależność tensora napięć od temperatury w przybliżeniu liniowym i na samym końcu podamy twierdzenie o zjawisku, które się nazywa tarciem. Rysunek obok pokazuje co się stanie z ciałem, gdy na niego działamy coraz większym naprężeniem.

Według rysunku obok zależność odkształceń od naprężeń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke'a dzielimy na zakres obowiązywania prawa Hooke'a, na nieliniowy zakres odkształceń nietrwałych, na zakres odkształceń plastycznych i na zakres symbolizujący zerwanie próbki.

Prawo Hooke'a[edytuj]

W zakresie sprężystym dla danego ciała tensor napięć jest wprost proporcjonalny do współczynnika , który określa deformację naszego badanego ciała. Jest to równanie określane według:

(11.1)

Współczynniki cijkl nazywamy modułami sprężystymi. Ponieważ tensor napięć i tensor deformacji z samej definicji są tensorami symetrycznymi względem przestawień wskaźników, z symetryczności tensora cijkl możemy powiedzieć:

(11.2)

Wprowadźmy teraz funkcję Φ, w taki sam sposób jak we wzorze (10.31) mającej te same właściwości, zatem na podstawie naszej definicji Φ możemy napisać tożsamość:

(11.3)

I jeszcze raz zróżniczkujmy tensor (11.3) względem tensora deformacji, ale ze wskaźnikami k i l, czyli liczymy drugie pochodne względem tensora deformacji εkl i εij, wtedy powiemy:

(11.4)

W obliczeniach (11.4) widzimy, że drugie pochodne z definicji przemienności liczenia pochodnych one są sobie równe, stąd wynika symetryczność modułu sprężystości względem przestawień wskaźników dwóch pierwszych z dwiema drugimi, więc mamy:

(11.5)

Napiszmy funkcję jako funkcję tensorów deformacji (9.41) (lub (9.42):

(11.6)

Sprawdźmy, czy zachodzi wzór (11.3) wykorzystując definicję funkcji (11.6) i wzór na przemienność wskaźników modułu sprężystości dwóch pierwszych z dwiema ostatnimi (11.5), wtedy:

(11.7)

Na podstawie obliczeń (11.7) dla funkcji (11.6) zachodzi (11.3). Będziemy się zajmować ciałami sprężystymi, które są izotropowe i mające pewne symetrie, będziemy rozpatrywać tensor cijkl, który jest niezmienniczy względem obrotów, a jedyną wielkością niezmienniczą jest delta Kroneckera δij, zatem tensor cijkl jest tensorem zbudowanym za pomocą wspomnianych delt w sposób:

(11.8)

Z własności symetrii tensora (11.2) i (11.5) wynika ν=μ, zatem:

(11.9)

Według wzoru (11.8) przy wykorzystaniu prawa Hooka dla tensora napięć (11.1) możemy wtedy napisać dysputę:

(11.10)

Z tożsamości (11.10) będziemy teraz wyznaczać tensor deformacji, ale przedtem policzmy ślad tensora napięć zapisanego przy pomocy wzoru (11.10), czyli wtedy możemy napisać następującą tożsamość:

(11.11)

Uzyskany końcowy wynik w punkcie (11.11) możemy podstawić do wzoru na tensor napięć (11.10), otrzymujemy:

(11.12)

Przepiszmy równanie (11.12) z nowymi współczynnikami μ i λ, otrzymujemy:

(11.13)
  • gdzie współczynniki μ' i λ', są to współczynniki określane:
(11.14)
(11.15)

Wydłużenie liniowe[edytuj]

(Rys. 11.2) Liniowe wydłużenie pręta pod działaniem naprężenia.

Ponieważ według rysunku obok jedynym napięciem działających na ciało, który się wydłuża, jest naprężenie P, zatem korzystając z definicji tensora napięć (10.5) jedynym niezerowym tensorem napięć jest tensor σ11, na podstawie wzoru (11.13) tensory deformacji są napisane:

(11.16)

Definicję modułu Younga na podstawie naprężenia P i tensora napięć σ11 piszemy wedle schematu poniżej, a także napiszmy czemu jest równa jego wartość:

(11.17)

A ilorazem Poissona nazywamy stosunek εx przez εy wziętej z minusem, jego definicja jest:

(11.18)

Wyznaczmy teraz moduł Younga (11.17) i iloraz Poissona (11.18) wykorzystując przy tym definicję λ' (11.14) i definicję μ' (11.15), wtedy te współczynniki E i ν piszemy:

(11.19)
(11.20)

Z tożsamości (11.19) wyznaczmy parametr λ, zatem przejdźmy do sedna sprawy:

(11.21)

Ze wzoru (11.20) wyznaczmy parametr λ, by potem przejść do wyznaczania parametru μ w zależności od modułu Younga E i ilorazu Poissona ν:

(11.22)

Porównujemy obie strony równań (11.21) i (11.22), w ten sposób spróbujmy wyznaczyć parametr μ:


(11.23)

Mając już wyliczony parametr μ wedle końcowego jego przestawienia (11.23), co to możemy podstawić do równości na parametr λ, dostajemy:

(11.24)

Moduł kompresji a rozszerzalność objętościowa[edytuj]

Wzory na parametr μ (11.23) i na parametr λ (11.24) są to końcowe wzory, które pozwalają wyznaczyć te parametry mając moduł Younga E (11.17) i parametr Poissona ν (11.18), które poniżej wykorzystamy. Dla tensora napięć (10.13) możemy wyrazić jego ślad, przy wykorzystaniu wzoru na tensor napięć dla materiałów (11.11), a także ze wzoru na współczynnik kompresji (9.64) biorąc, że tensor tarcia jest równy zero, zatem na podstawie tych rozważań dostajemy:


(11.25)

Wprowadźmy teraz moduł kompresji κ, który jest stosunkiem ciśnienia i współczynnika rozszerzalności objętościowej, który wedle wzoru (11.25) jest opisana:

(11.26)

Skręcenia[edytuj]

(Rys. 11.3) Siły naprężeń podczas skręcenia ciała sprężystego.

Niech mamy teraz tensor napięć σ12, który wedle jej definicji w punkcie (11.10) zapisujemy:

(11.27)

Wzór końcowy wynikowy (9.61) możemy wstawić do wzoru (11.27), otrzymujemy:

(11.28)

Współczynnik sprężystości G=μ możemy wyrazić przy pomocy wzoru na współczynnika μ (11.23), w sposób:

(11.29)

Rozszerzalność temperaturowa[edytuj]

Deformacje ciała mogą być zaburzone przez temperaturę, zatem do tensora napięć (11.10) należy dodać dodatkowy wyraz, który jest związany z temperaturą, zatem cała definicja tutaj rozważanego całkowitego tensora napięć jest przedstawiana:

(11.30)

We wzorze (11.30) występuje wielkość α, która jest to współczynnik rozszerzalności cieplnej objętościowej dla materiałów. Wprowadźmy iloczyn wielkości α i różnicy temperatur T i T0, którego to nazwiemy przez θ, którą definiujemy jako względną zmianę objętości:

(11.31)

Tensorowa postać prawa tarcia[edytuj]

Niech tensor tarcia Rij będzie napisany przy pomocy tensora prędkości za pomocą współczynników aikjl, który ten współczynnik tak samo się zachowuje jak współczynnik cikjl przy prawie Hooke'a, zatem prawo o tarciu:

(11.32)

A tensor tarcia możemy zdefiniować w postaci prawa zależnego od tensorów prędkości Νjl i współczynników η i η', które są nazywane współczynnikami lepkości.

(11.33)

Współczynnik lepkości, możemy policzyć, zakładając, że Rik=-δikp', wtedy możemy policzyć ślad tensora (11.33), który zarys obliczeń jest napisany wzorem poniżej:

(11.34)

Na ogół przyjmuje się, żeby nasz ślad tensora tarcia jest równy zero i za Stokesem prowadząc obliczenia dochodzimy do zależności pomiędzy współczynnikami lepkości:

(11.35)

Można powiedzieć, że również wielkość p' zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (9.68) w równaniu (11.34), dla której jak widzimy, że jest równa zero, gdy zachodzi (11.35), lub gdy dywergencja prędkości jest równa zero, jeśli będziemy rozpatrywać dany nieściśliwy płyn, który nie ma źródeł:

(11.36)