Ogólna teoria względności/Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury

Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poniżej przedstawimy w prawie wszystko związane z geometrią Schwarzschilda jako ciąg dalszy z poprzedniego rozdziału, a także wnioski, które będziemy rozpatrywać o czarnych dziurach w tejże geometrii.

Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda

Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda ma tylko wyrazy diagonalne.

Tensor metryczny podwójnie kowariantny oraz podwójnie kontrawariantny, na podstawie (10.6) i (10.7) i przedstawienia funkcji Ψ(r) i Λ(r) na zewnątrz kulistosymetrycznej, jest napisany:

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1-{{2GM} \over {rc^{2}}}&0&0&0\\0&-{{1} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}\sin ^{2}\phi &0\\0&0&0&-r^{2}\end{bmatrix}}\;$

(12.1)

$g^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{{1} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}&0&0&0\\0&-\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)&0&0\\0&0&-{{1} \over {r^{2}\sin ^{2}\phi }}&0\\0&0&0&-{{1} \over {r^{2}}}\end{bmatrix}}$

(12.2)

Wielkości zachowawcze dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej

Będziemy korzystać z wyrażenia, które wynika z definicji kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego i definicji czteropędu wedle wzoru (1.13), które napiszemy:

$m_{0}^{2}c^{2}=p^{t}g_{tt}p^{t}+p^{r}g_{rr}p^{r}+p^{\theta }g_{\theta \theta }p^{\theta }\Rightarrow m_{0}^{2}c^{2}=p_{t}g^{tt}p_{t}+\left(p^{r}\right)^{2}g_{rr}+\left(p^{\theta }\right)^{2}g_{\theta \theta }\;$

(12.3)

Elementy tensora metrycznego prostego jak i odwrotnego (12.1) i (12.2) nie zależą od zmiennej czasowej jak i od zmiennej kątowej θ, wtedy kowariantny pęd czasowy i pęd θ-owy są wielkościami stałymi względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, bo wedle twierdzenia (8.36), te wielkości zapiszemy w postaci zredukowanej względem parametrów względem ich mas spoczynkowych:

$p_{t}c=E={\tilde {E}}m_{0}\;$

(12.4)

$p_{\theta }={\tilde {L}}m_{0}\;$

(12.5)

Element radialny czterowektora pędu zapisujemy z definicji czterowektora pędu (1.10), zapisanej w zależności od elementu radialnego czterowektora prędkości i masy spoczynkowej rozważanego ciała fizycznego, w postaci:

$p^{r}=m_{0}c{{dr} \over {ds}}\;$

(12.6)

A także element trzeci prawej strony wyrażenia (12.3) przy wykorzystaniu definicji stałej L, wiedząc jednocześnie że kowariantny θ-owy pęd ma charakter momentu pędu ruchu danej cząstki, którego to dowód, że tak jest, napisane jest przy punkcie (8.59), oznaczać je będziemy przez L_θ, a kowariantntny ψ-owy element czterowektora pędu jest równy zero, możemy zapisać jako całkowity moment pędu równy L=L_θ. Z własności elementów tensora metrycznego możemy zapisać ostatni wyraz wspomnianej równości (12.3) w postaci:

$\left(p^{\theta }\right)^{2}g_{\theta \theta }=\left(p_{\theta }g^{\theta \theta }\right)^{2}g_{\theta \theta }=\left(p_{\theta }\right)^{2}\left(g^{\theta \theta }\right)^{2}g_{\theta \theta }=\left(p_{\theta }\right)^{2}g^{\theta \theta }=-{{\left(p_{\theta }\right)^{2}} \over {r^{2}}}=-{{L^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.7)

Dochodzimy więc do wniosku że równość (12.3) dla cząstki, która ma masę spoczynkową nieznikającą, a także wedle definicji elementów tensora metrycznego (12.1) i (12.2), oraz korzystając ze wzorów (12.4) i (12.7), jest w postaci:

$m_{0}^{2}c^{2}=\left({{E} \over {c}}\right)^{2}\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-\left(m_{0}c{{dr} \over {ds}}\right)^{2}\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-{{L^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.8)

Z korzystajmy z definicji energii i momentu pędu zredukowanego wedle równości (12.4) (który jest zredukowaną energią cząstki) i (12.5) (która jest zredukowanym pędem danej cząstki fizycznej), wtedy wyrażenie (12.8) możemy zapisać jako:

$m_{0}^{2}c^{2}=m_{0}^{2}\left({{\tilde {E}} \over {c}}\right)^{2}\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-m_{0}^{2}c^{2}\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-{{m_{0}^{2}{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.9)

Następnym krokiem jest podzielenie obustronne powyższego równania przez niezerową masę spoczynkową cząstki m₀, oczywiście tutaj nie mamy na myśli fotonów, wtedy piszemy:

$c^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-c^{2}\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-{{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.10)

Wyznaczmy teraz coś w rodzaju wyrażenia $\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\;$ w równości (12.10), przenosząc tego typu wyrazy na lewą stronę omawianego równania, a pozostałe niech będą na prawej stronie naszego wzoru wraz z elementem stałym:

$c^{2}\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}}}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}-{{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}}}-c^{2}\;$

(12.11)

Następnym krokiem jest pomnożenie obustronnie równania (12.11) przez wyrażenie: $c^{2}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\;$, by pozostał tylko kwadrat pochodnej wyrażenia współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy mamy:

$\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-\left({{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}c^{2}}}+1\right)\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\;$

(12.12)

Określmy potencjał efektywny występujący w (12.12) po prawej jego stronie jako odjemnik, który jest zależny od położenia cząstki masowej na orbicie wokół statystyczno-kulistej masy według geometrii Schwarzschilda:

${\tilde {V}}\left(r\right)=\left({{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}c^{2}}}+1\right)\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\;$

(12.13)

Wykorzystując definicję potencjału efektywnego zdefiniowanego w punkcie (12.13) dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej, wtedy równość (12.12) możemy napisać:

$\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-{\tilde {V}}\left(r\right)\;$

(12.14)

Z różniczkujmy równanie (12.14) względem interwału czasoprzestrzennego, wtedy po prawej stronie tego równania wyraz, który jest odjemną znika, bo jest funkcją stałą, ale odjemnik pozostaje i jest różniczkowany względem powiedzianego parametru:

$2\left({{dr} \over {ds}}\right){{d^{2}r} \over {ds^{2}}}=-{{d{\tilde {V}}\left(r\right)} \over {dr}}{{dr} \over {ds}}\;$

(12.15)

Ponieważ jak zakładamy wyrażenie ${{dr} \over {ds}}\;$ jest różna od zera, jak na ogół mówimy, wtedy wyrażenie (12.15) po podzieleniu przez ten wyraz przyjmuje postać:

${{d^{2}r} \over {ds^{2}}}=-{{1} \over {2}}{{d{\tilde {V}}\left(r\right)} \over {dr}}\;$

(12.16)

Rozpatrzmy orbity stabilne, gdy mamy minimum energii efektywnej lub maksimum, wtedy pochodna wielkości (12.13) względem "r" przyrównanej do zera, z której to równości wyznaczymy wartość promienia współrzędnościowego:

$0={{d{\tilde {V}}\left(r\right)} \over {dr}}\Rightarrow$
$\Rightarrow 0={{d} \over {dr}}\left[\left({{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}c^{2}}}+1\right)\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\right]\Rightarrow 0=-2{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}r^{3}}}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)+\left({{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}c^{2}}}+1\right){{2GM} \over {c^{2}r^{2}}}$

(12.17)

Następnie opuszczamy wszystkie nawiasy występujące w równości końcowej (12.17), by potem po przegrupowaniu wszystkich wyrazów, które stoją tylko po prawej stronie równości, by otrzymać końcową równość:

$0=-2{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}r^{3}}}+{{4GM{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{4}c^{4}}}+{{2GM{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{4}c^{4}}}+{{2GM} \over {c^{2}r^{2}}}\Rightarrow 0={{6GM{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{4}c^{4}}}+{{2GM} \over {c^{2}r^{2}}}-2{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}r^{3}}}$

(12.18)

Pomnóżmy obustronnie równość napisanej w punkcie (12.18) przez czwartą potęgę współrzędnej radialnej, tzn. r⁴ przy założeniu, że r jest nie równe zero:

$0={{6GM{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{4}}}+{{2GM} \over {c^{2}}}r^{2}-2{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}r\Rightarrow 0={{2GM} \over {c^{2}}}r^{2}-2{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}r+{{6GM{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{4}}}$

(12.19)

Pomnóżmy dalej obustronnie równanie (12.19) przez czwartą potęgę prędkości światła, czyli przez c⁴, wtedy można to nasze wyrażenie napisać w postaci równoważnej do poprzedniego tutaj rozważanego równania:

$0=\underbrace {2GMc^{2}} _{a}r^{2}\underbrace {-2{\tilde {L}}^{2}c^{2}} _{b}r+\underbrace {6GM{\tilde {L}}^{2}} _{c}$

(12.20)

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym znanej z lekcji matematyki ze szkoły średniej, którego wyróżnik trójmianu jest równy wyrażeniu zapisanej wedle:

$\Delta =4{\tilde {L}}^{4}c^{4}-4\cdot 2GMc^{2}6GM{\tilde {L}}^{2}=4\left({\tilde {L}}^{4}c^{4}-12G^{2}M^{2}c^{2}{\tilde {L}}^{2}\right)=4{\tilde {L}}^{4}c^{4}\left(1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)$

(12.21)

Wtedy rozwiązanie równania kwadratowego (12.20), przy definicji wyróżnika tego samego wielomianu, przedstawiamy wedle:

$r={{2{\tilde {L}}^{2}c^{2}\pm {2{\tilde {L}}^{2}c^{2}}{\sqrt {1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}}}} \over {2\cdot 2GMc^{2}}}\Rightarrow r={{{\tilde {L}}^{2}} \over {2GM}}\left(1\pm {\sqrt {1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}}}\right)$

(12.22)

Jeśli mamy orbitę kołową, to musi być na pewno stały promień orbity, wtedy Δ zdefiniowanego wzorem (12.21) musi przyjmować wartość zero, bo (12.20) jako równanie kwadratowe musi mieć jedno podwójne rozwiązanie w postaci pewnego promienia radialnego, tzn.${\tilde {L}}^{2}={{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}}}$, to dla tego przypadku mamy orbitę kołową, ponieważ maksimum oddalenia jest równy minimum odchylenia od ciała o masie M, bo pierwiastek jest równy zero. Wtedy promień dla orbity kołowej jest równy:

$r={{{\tilde {L}}^{2}} \over {2GM}}={{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}2GM}}={{6GM} \over {c^{2}}}$

(12.23)

Jeśli ciało porusza się po okręgu, to jego promień orbity jest wyrażony wzorem (12.23).

Wielkości zachowawcze dla cząstek bezmasowych (fotonów)

Następnym naszym wyzwaniem są fotony w przeciwieństwie do masowych cząstek mają masę spoczynkową równą zero m₀=0. Wersję wzoru (1.13) dla rozważanych cząstek piszemy jako:

$p_{\mu }p^{\mu }=0\;$

(12.24)

Pęd radialny jako element czterowektora pędu jest wyrażony w zależności od masy cząstki i pochodnej czasowej wielkości radialnej. Mając już wyprowadzoną jego wersję w punkcie (8.51), co w którym zdefiniujemy nowy parametr λ, dzieki którego możemy wprowadzić odpowiednie przestawienia i wprowadzić z kolei ten nasz wspomniany parametr:

$p^{r}=m{{dr} \over {dt}}={{dr} \over {{{1} \over {m}}dt}}={{dr} \over {d\lambda }}\;$

(12.25)

• gdzie m to masa relatywistyczna fotonu.

Skorzystajmy ze wzoru (12.25) (na definicję elementu radialnego czterowektora pędu w zależności od parametru λ) oraz także korzystając ze wzoru (12.7), który jest zbudowany przy pomocy całkowitego kowariantnego θ-owego pędu, który spełnia rolę momentu pędu danego badanego fotonu, a także z definicji kowariantnego pędu czasowego, który jest energią fotonu podzielna przez prędkość światła, również z definicji dla elementów tensora metrycznego dla kulistosymetrycznej statystycznej geometrii Schwarzschilda równość (12.24) możemy napisać jako:

$\left(1-{{2MG} \over {cr^{2}}}\right)^{-1}\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}-{{L^{2}} \over {r^{2}}}=0\;$

(12.26)

Ze wzoru (12.26) wyznaczmy wyraz z pochodną wielkości radialnej względem parametru $\lambda \;$, otrzymujemy:

$\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=\left(1-{{2MG} \over {cr^{2}}}\right)^{-1}\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-{{L^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.27)

W celu wyznaczenia wielkości wyrażonej wzorem $\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}\;$ w równości (12.27) pomnóżmy to równanie przez wyrażenie napisane wzorem $1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\;$, co można to zrobić, jeśli nasz promień r kołowej orbity kulistosymetrycznej gwiazdy nie jest równy promieniowi Schwarzschilda, więc wtedy otrzymujemy dalszą równość po opisywanych tutaj operacjach:

$\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.28)

Wprowadźmy wielkość zwaną potencjałem efektywnym występującej we wzorze (12.28) jako odjemnik. Jest ona zależna od momentu pędu L, które to ten parametr charakteryzuje nasze rozważane ciało krążącej wokół naszej masy, jest ono oznaczane przez:

$V\left(r\right)=\left(1-{{2MG} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{2}}}\;$

(12.29)

Ostatecznie z uwzględnieniem definicji na potencjał efektywny zdefiniowany w punkcie (12.29) równość (12.28) zapisujemy w ostatecznej postaci jako kwadrat funkcji pochodnej wielkości radialnej charakteryzujących odległość ciała od środka masy M względem parametru λ:

$\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-V^{2}\left(r\right)\;$

(12.30)

Zróżniczkujmy obie strony naszego równania (12.30) względem wprowadzonego parametru λ dla cząstek bezmasowych, wiedząc, że w tej rozważanej równości po prawej jego stronie odjemna jest parametrem stałym, która znika przy różniczkowaniu:

$2{{dr} \over {d\lambda }}{{d^{2}r} \over {d\lambda ^{2}}}=-{{dV\left(r\right)} \over {d\lambda }}{{dr} \over {d\lambda }}\;$

(12.31)

Następnym naszym krokiem jest podzielenie równania (12.31) obustronnie przez wyrażenie $2{{dr} \over {d\lambda }}\;$, który jak zakładamy jest na ogół różna od liczby zero, co jest spełnione w prawie większości przypadków dla orbit niekołowych:

${{d^{2}r} \over {d\lambda ^{2}}}=-{{1} \over {2}}{{dV\left(r\right)} \over {dr}}\;$

(12.32)

Rozpatrzmy minimum lub maksimum potencjału efektywnego (12.29), czyli: ${{dV\left(r\right)} \over {dr}}=0\;$, a zatem mamy:

$0={{d} \over {dr}}\left[\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{2}}}\right]\Rightarrow 0={{2GM} \over {r^{2}c^{2}}}{{L^{2}} \over {r^{2}}}-2\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{3}}}\;$

(12.33)

Pomnóżmy obie strony ostatniego równania (12.33) przez czwartą potęgę promienia sferycznego r⁴ i zakładając przy tym że ten promień jest nie równy zero, i dalej skorzystajmy, że stała podczas ruchu na całej orbicie jako parametr L jest wielkością niezerową:

$0={{2GM} \over {c^{2}}}L^{2}-2rL^{2}+2{{2GM} \over {c^{2}}}L^{2}\Rightarrow 3{{2GM} \over {c^{2}}}L^{2}=2rL^{2}\Rightarrow r={{3GM} \over {c^{2}}}\;$

(12.34)

Dochodzimy do wniosku, że cząstka bezmasowa (foton), ma orbitę kołową o promieniu r bardziej zbliżoną środka statycznej masy niż orbita kołowa cząstki o niezerowej masie spoczynkowej.

Okres obrotu a promień współrzędnościowy

Skorzystajmy ze wzoru (12.22), który przedstawia minimalny i maksymalny promień orbity cząstki masowej, z czego wyznaczymy wyrażenie na kwadrat zredukowanego momentu pędu$_{{\tilde {L}}^{2}}\;$ w dalszych obliczeniach, ale najpierw przekształćmy trochę nasz wzór by po prawej stronie był pierwiastek:

$r={{{\tilde {L}}^{2}} \over {2MG}}\left(1\pm {\sqrt {1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}}}\right)\Rightarrow r{{2MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-1=\pm {\sqrt {1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}}}$

(12.35)

Z równości ostatniej wynikowej (12.35) podnieśmy go do drugiej potęgi, aby zlikwidować pierwiastek występujący po prawej stronie równości:

$\left(r{{2MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)^{2}=1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\Rightarrow r^{2}{{4M^{2}G^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}+1-2r{{2MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}=1-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\Rightarrow r^{2}{{4M^{2}G^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}-2r{{2MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}=-{{12G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}$

(12.36)

Równanie (12.36) podzielmy obustronnie przez wyrażenie zależne od masy źródła pola grawitacyjnego ${{4MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}$, by potem otrzymać równość pierwszą poniżej, by zaraz ją pomnożyć przez wyrażenie ${{{\tilde {L}}^{2}} \over {r-{{3GM} \over {c^{2}}}}}$, by dostać następnie wyrażenie na ${\tilde {L}}^{2}\;$ (ostatnia równość zaraz poniżej), których schemat tych czynności przedstawiamy tutaj:

$r^{2}{{MG} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-r=-{{3GM} \over {c^{2}}}\Rightarrow r^{2}{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}=r-{{3GM} \over {c^{2}}}\Rightarrow {\tilde {L}}^{2}={{r^{2}GM} \over {r-{{3GM} \over {c^{2}}}}}={{GMr} \over {1-{{3MG} \over {rc^{2}}}}}$

(12.37)

Jasne jest, że dla orbity kołowej, które mamy wedle równości (12.14), gdzie zawsze zachodzi: $\left({{\tilde {E}} \over {c^{2}}}\right)^{2}={\tilde {V}}\left(r\right)$, bo mamy ponadto: ${{dr} \over {ds}}=0$, bo promień orbity nie zmienia się, i dlatego pochodna promienia radialnego względem dowolnego parametru charakteryzującej ten ruch (tutaj mamy interwał czasoprzestrzenny) jest równa zero:

${{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}=\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\left(1+{{{\tilde {L}}^{2}} \over {r^{2}c^{2}}}\right)\Rightarrow {{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}=\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\left(1-{{1} \over {r^{2}c^{2}}}{{GMr} \over {1-{{3MG} \over {rc^{2}}}}}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}=\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{1-{{3MG} \over {rc^{2}}}-{{GM} \over {rc^{2}}}} \over {1-{{3MG} \over {rc^{2}}}}}\Rightarrow {{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}}}=\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{1-{{2GM} \over {rc^{2}}}} \over {1-{{3GM} \over {rc^{2}}}}}$

(12.38)

Co ostatecznie w (12.38) dokonujemy odpowiednie działania w tymże wspomnianym wzorze, co potem możemy otrzymać wyrażenie, które jest wyrażeniem wymiernym licznika przez mianownik, które są z osobna różnymi wyrażeniami:

${{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}={{\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{2}} \over {1-{{3GM} \over {rc^{2}}}}}$

(12.39)

Gdy cząstka porusza się w jednej płaszczyźnie, co zachodzi gdy obierzemy płaszczyznę, by ${\vec {L}}$ było prostopadłe do tej płaszczyzny, to prędkość kątowa na podstawie elementów tensora metrycznego (12.2) przedstawiana jest:

${{d\theta } \over {ds}}=u^{\theta }={{p^{\theta }} \over {m_{0}c}}=g^{\theta \theta }{{p_{\theta }} \over {m_{0}c}}=g^{\theta \theta }{{L} \over {m_{0}c}}=g^{\theta \theta }{{\tilde {L}} \over {c}}={{\tilde {L}} \over {cr^{2}}}$

(12.40)

Następnie policzmy element zerowy czterowektora prędkości, korzystając z elementu podwójnie kontrawariantnego podwójnie zerowego tensora metrycznego (12.2):

${{cdt} \over {ds}}=u^{0}={{p^{0}} \over {m_{0}c}}=g^{00}{{p_{0}} \over {m_{0}c}}=g^{00}{{E} \over {m_{0}c^{2}}}=g^{00}{{\tilde {E}} \over {c^{2}}}={{{\tilde {E}}c^{-2}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}$

(12.41)

Podzielmy obustronnie wyrażenie (12.41) przez (12.40), by potem dobrze wykorzystać wzór (12.39) (wyrażenie na ${\tilde {E}}\;$) i (12.37) (wyrażenie na ${\tilde {L}}\;$), wtedy otrzymamy jako pochodną czasową względem kąta θ, czyli otrzymamy końcowe wyrażenie, która nas interesuje:

${{cdt} \over {d\theta }}={{{cdt} \over {ds}} \over {{d\theta } \over {ds}}}={{{{\tilde {E}}c^{-2}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}} \over {{\tilde {L}} \over {cr^{2}}}}={{\tilde {E}} \over {\tilde {L}}}{{c^{-1}r^{2}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}={{{c^{-1}}{r^{2}}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}{{\tilde {E}} \over {\tilde {L}}}={{{c^{-1}}{r^{2}}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}c^{2}{\sqrt {{{\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{2}} \over {1-{{3GM} \over {rc^{2}}}}} \over {{GMr} \over {1-{{3MG} \over {rc^{2}}}}}}}={{cr^{2}} \over {1-{{2GM} \over {rc^{2}}}}}{{1-{{2GM} \over {rc^{2}}}} \over {\sqrt {GMr}}}={{c{\sqrt {r^{3}}}} \over {\sqrt {GM}}}=\;$
$=c{\sqrt {{r^{3}} \over {GM}}}\Rightarrow {{dt} \over {d\theta }}={\sqrt {{r^{3}} \over {GM}}}$

(12.42)

Okres jest to powrót do tego samego punktu w ciągu jednego pełnego obrotu, zatem różniczka czasu względem różniczki kątowej θ jest napisana wzorem poniżej przy pomocy tożsamości końcowej wynikowej (12.42), i która po scałkowaniu jego obustronnie wyraża okres obiegu cząstki w ciągu jego okrążenia wokół kulistosymetrycznej masy o kąt 2π.

$dt={\sqrt {{r^{3}} \over {GM}}}d\theta \Rightarrow \int _{0}^{T}dt=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{r^{3}} \over {GM}}}d\theta \Rightarrow T=2\pi {\sqrt {{r^{3}} \over {GM}}}$

(12.43)

I otrzymaliśmy taki sam wzór co (11.42), tylko innym sposobem, pierwszy z praw ruchu cząstki po prostej w przestrzeni czerowymiarowej (czasoprzestrzeni), wedle ruchu po stycznej do tej prostej, a drugi ze wzoru obrazujący związek czteropędu z jej masą spoczynkową dla cząstki masowej.

Przesunięcie peryferium

Mając wzór na pochodną położenia radialnego względem interwału czasoprzestrzennego $\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\;$, czyli wyrażona wzorem (12.12), oraz na pochodną zmiennej kątowej względem interwału czasoprzestrzennego ${{d\theta } \over {ds}}\;$ (12.40), ostatni wzór obustronnie podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie pierwszy wzór przez drugi, wtedy znika różniczka interwału czasoprzestrzennego w końcowym równaniu:

$\left({{dr} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\left(1+{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}r^{2}}}\right)} \over {{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}r^{4}}}}\;$

(12.44)

Dokonajmy podstawienia w wyrażeniu (12.44) wielkością zdefiniowaną poniżej, czyli dokonując zamiany zmiennych wedle schematu, tzn. u musi być odwrotnością promienia radialnego:

$u={{1} \over {r}}\;$

(12.45)

Na podstawie wzoru (12.45) mamy również ${{1} \over {u}}=r\;$, wtedy możemy policzyć pochodną położenia radialnego r względem położenia kątowego θ:

${{dr} \over {d\theta }}={{d} \over {d\theta }}u^{-1}=-u^{-2}{{du} \over {d\theta }}\;$

(12.46)

Po podstawieniu za pochodną promienia względem wielkości kątowej ${{dr} \over {d\theta }}\;$ (12.46), a także podstawiając za odwrotność położenia radialnego u (12.45) do równania (12.44), dostajemy:

${{1} \over {u^{4}}}\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-\left(1-u{{2GM} \over {c^{2}}}\right)\left(1+{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}u^{2}\right)} \over {{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}u^{4}}}\;$

(12.47)

Pomnóżmy obustronnie wzór (12.47) przez niezerowe wyrażenie u⁴, które na podstawie (12.45) nigdy nie przyjmuje wartości równej zero, otrzymujemy:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-\left(1-u{{2GM} \over {c^{2}}}\right)\left(1+{{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}u^{2}\right)} \over {{{\tilde {L}}^{2}} \over {c^{2}}}}\Rightarrow \left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}-\left(1-u{{2GM} \over {c^{2}}}\right)\left({{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+u^{2}\right)$

(12.48)

Zróbmy trochę przekształceń w końcowym wyrażeniu (12.48) w celu usunięcia ostatnich nawiasów, wtedy:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-\left({{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+u^{2}-u{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-u^{3}{{2GM} \over {c^{2}}}\right)\Rightarrow \left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-u^{2}+u{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+u^{3}{{2GM} \over {c^{2}}}\;$

(12.49)

Co po uporządkowaniu wyrazów z prawej strony równania (12.49) względem parametru u (12.45):

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+u{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-u^{2}+u^{3}{{2GM} \over {c^{2}}}\;$

(12.50)

Równanie (12.50) jest równaniem ruchu dla cząstki posiadającej masę spoczynkową różną od zera, gdy jego promień wodzący jest określony za pomocą u (12.45).

Przesunięcie peryferium według Newtona

We wzorze, który otrzymaliśmy z ogólnej teorii względności (12.50) zaniedbajmy wyrazy występujące ze sześcianem zmiennej u, czyli u³, jest to tzw. przybliżenie Newtona, mamy:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+u{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-u^{2}$

(12.51)

Dokonajmy podstawienia we wzorze (12.51), za funkcję zmienną zmiennej u (12.45) wyrażając ją w zmiennych y:

$y=u-{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}$

(12.52)

Ze wzoru (12.52) wynika, że pochodna wyrażenia y względem zmiennej kątowej, bo ruch masowego ciała odbywa się w jednej płaszczyźnie, można zapisać jako pochodną zmiennej u (12.45) względem zmiennej kątowej:

${{dy} \over {d\theta }}={{d} \over {d\theta }}\left(u-{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right)={{du} \over {d\theta }}$

(12.53)

Dokonajmy teraz podstawień przy pomocy odpowiednich dwóch wyrażeń (12.52) (definicja zmiennej y względem zmiennej u) i (12.53) (pochodna zmiennej y względem położenia kątowego θ) do równania różniczkowego zapisanej w punkcie (12.51), mamy:

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+\left(y+{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right){{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-\left(y+{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{2}$

(12.54)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń w równaniu (12.54), by potem dokonać odpowiednich grupowań wyrazów względem wzrastającej potęgi zmiennej u (12.45), by dalej otrzymać:

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+y{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+{{2G^{2}M^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}-y^{2}-2y{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-{{G^{2}M^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}\Rightarrow \left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+{{G^{2}M^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}-y^{2}$

(12.55)

Zdefiniujemy zmienną y zdefiniowanego wedle wzoru poniżej, który na razie podamy jako podstawienie, która jest planowanym rozwiązaniem równania różniczkowego (12.55):

$y=\left({{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}\cos \left(\theta +B\right)$

(12.56)

Musimy dokonać odpowiedniego podstawienia przypuszczalnego rozwiązania (12.56) do równania różniczkowego (12.55), wtedy otrzymamy prawdziwą tożsamość obu jego stron wspomnianego równania, co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Widzimy, że według teorii Newtona, nie występują takie zjawiska jak przesunięcie peryferium, jeśli nie uwzględnimy wpływu innych ciał na orbitę rozważanego ciała. Ostateczne rozwiązanie wedle (12.52) (definicja zmiennej y w zależności od zmiennej u) i (12.45) (definicja zmiennej u w zależności od zmiennej r) jest to równanie, po którym porusza się ciało o niezerowej masie spoczynkowej, która jest rozwiązaniem w postaci:

${{1} \over {r}}={{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+\left({{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}\cos \left(\theta +B\right)$

(12.57)

Rozwiązanie (12.57) możemy zapisać troszeczkę w innej postaci biorąc odwrotność obu stron:

$r={{{{\tilde {L}}^{2}} \over {GM}} \over {1+{{{\tilde {L}}^{2}} \over {GM}}\left({{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}\cos \left(\theta +B\right)}}$

(12.58)

Rozwiązanie (12.58) jest rozwiązaniem jakie otrzymał Izaak Newton podczas analizowania klasycznej cząstki podczas ruchu danego ciała (planety) wokół gwiazdy według teorii grawitacji, którą stworzył Newton.

Przesunięcie peryferium według ogólnej teorii względności

Dokonajmy dalszych podstawień stosując wzór na zmienną y (12.52), a także wzór na pochodną zmiennej y względem współrzędnej kątowej θ(12.53) do wzoru różniczkowego dla poruszających się cząstek masowych (12.50):

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-{{c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+\left(y+{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right){{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-\left(y+{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{2}+\left(y+{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{3}{{2GM} \over {c^{2}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+y{{2GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}+{{2G^{2}M^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}-y^{2}-2y{{GM} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-{{G^{2}M^{2}} \over {{\tilde {L}}^{4}}}+y^{3}{{2GM} \over {c^{2}}}+3y^{2}{{2G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}+3y{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}\;$

(12.59)

Następnym krokiem w ostatnim wynikowym równaniu (12.59) jest pominięcie wyrazów z potęgami y³, bo orbita jest prawie kołowa, wtedy przechodzimy do równości:

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}+y{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)y^{2}\;$

(12.60)

Zaproponujmy rozwiązanie równania (12.60) zależne od pewnych stałych, które wyznaczymy później:

$y=y_{0}+A\cos \left(k\theta +B\right)\;$

(12.61)

Podstawmy rozwiązanie (12.61) do równania różniczkowego (12.60), wtedy otrzymamy tożsamość, z którego wyznaczamy stałe y₀, A i k, a B jest dowolną stałą:

$A^{2}k^{2}\sin ^{2}\left(k\theta +B\right)={{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}+\left[y_{0}+A\cos \left(k\theta +B\right)\right]{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+\left[y_{0}+A\cos \left(k\theta +B\right)\right]^{2}\cdot \;$
$\cdot \left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)\Rightarrow A^{2}k^{2}-A^{2}k^{2}\cos ^{2}\left(k\theta +B\right)={{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}+y_{0}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+A\cos \left(k\theta +B\right){{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+\;$
$+y_{0}^{2}\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)+2y_{0}A\cos \left(k\theta +B\right)\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)+A^{2}\cos ^{2}\left(k\theta +B\right)\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)\;$

(12.62)

Porównujemy wyrazy zapisane w punkcie (12.62), a właściwie obydwie jej strony, tzn. wyrazy związane z wyrażeniem A²cos²θ, otrzymujemy:

$-k^{2}=\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}}}-1\right)\Rightarrow k^{2}=\left(1-{{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}}}\right)\Rightarrow k={\sqrt {1-{{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}}}}}\;$

(12.63)

Następnie weźmy wyrazy występujące z czynnikiem cos(kθ+B) w zapisanej tożsamości (12.62), by je potem przyrównać do zera dla dowolności θ, stąd:

${{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}+2y_{0}\left({{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}-1\right)=0\Rightarrow {{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}=2y_{0}\left(1-{{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)\Rightarrow y_{0}={{3G^{3}M^{3}} \over {k^{2}{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}\;$

(12.64)

Dalej na ostatku porównajmy wyrazy wolne występujące w rozważanej tożsamości (12.64):

$A^{2}k^{2}={{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}-y_{0}^{2}k^{2}+y_{0}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow A={{1} \over {k}}{\sqrt {{{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}-y_{0}^{2}k^{2}+y_{0}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}}}\;$

(12.65)

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze występujące w tożsamości (12.65) jako dwa składniki razem wzięte, które występują sumie występującej pod jego pierwiastkiem:

$-y_{0}^{2}k^{2}+y_{0}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}=-y_{0}^{2}k^{2}+y_{0}^{2}k^{2}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}y_{0}k^{2}}}=-y_{0}^{2}k^{2}+y_{0}^{2}k^{2}{{6G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{4}c^{2}k^{2}{{3G^{3}M^{3}} \over {k^{2}{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}}}=-y_{0}^{2}k^{2}+2y_{0}^{2}k^{2}=y_{0}^{2}k^{2}\;$

(12.66)

Reasumując nasze rozwiązanie (12.61) jest tak zdefiniowane, by w nim występowały trzy stałe zdefiniowane poniżej, które można zapisać za pomocą stałych charakteryzującego nasze źródło pola grawitacyjnego:

$k={\sqrt {1-{{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}}}}}\;$

(12.67)

$y_{0}={{3G^{3}M^{3}} \over {k^{2}{\tilde {L}}^{4}c^{2}}}\;$

(12.68)

$A={{1} \over {k}}{\sqrt {{{{\tilde {E}}^{2}+{{G^{2}M^{2}c^{2}} \over {{\tilde {L}}^{2}}}-c^{4}} \over {{\tilde {L}}^{2}c^{2}}}+{{2G^{3}M^{3}} \over {{\tilde {L}}^{6}c^{2}}}+y_{0}^{2}k^{2}}}\;$

(12.69)

Ale y jest takie jak we wzorze (12.61), to kθ, może zmieniać się od kΔθ=0 do kΔθ=2π i wtedy ciało może niecałkowicie obiec elipsę, czyli można udowodnić, że ta elipsa się obraca o kąt Δθ, którą opiszemy poniżej:

$k\Delta \theta =2\pi \;$

(12.70)

Wtedy Δθ oznacza przesunięcie peryferium orbity cząstki masowej, co możemy wyznaczyć z równania (12.70), która jest oczywiście zależna tylko od stałej opisującej orbitę prawie Newtonowską k.

$\Delta \theta ={{2\pi } \over {k}}$

(12.71)

Wstawiamy definicję stałej k napisanej w punkcie (12.67) do równania (12.71), wtedy wielkość Δθ:

$\Delta \theta =2\pi \left(1-{{6G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\simeq 2\pi \left(1+{{3G^{2}M^{2}} \over {c^{2}{\tilde {L}}^{2}}}\right)$

(12.72)

Ze wzoru (12.37) mamy wzór na kwadrat zredukowanego momentu pędu, z którego można dokonać przybliżenia dla dużych r, w tym równaniu mianownik możemy przybliżyć do jedynki, stąd:

${\tilde {L}}^{2}={{GMr} \over {1-{{3GM} \over {rc^{2}}}}}\simeq GMr$

(12.73)

Wynik uzyskany w punkcie dla dużych r (12.73) podstawiamy do (12.72), i ten sposób otrzymujemy wzór na przesunięcie peryhelium.

$\Delta \theta =2\pi \left(1+{{3G^{2}M^{2}} \over {c^{2}GMr}}\right)=2\pi \left(1+{{3GM} \over {c^{2}r}}\right)=2\pi +6\pi {{GM} \over {rc^{2}}}$

(12.74)

We wzorze (12.74) pierwszy składnik jest równy 2π, co jest tym samym kątem co bez niego wedle praw trygonometrii, więc to samo przesunięcie kątowe peryferium co (12.74) określone jest dla orbit prawie newtonowskich wzorem:

$\Delta \theta =6\pi {{GM} \over {rc^{2}}}$

(12.75)

Jest to wzór określający przesunięcie peryferium dla orbit prawie Newtonowskich dla orbit, których efekty relatywistyczne odgrywają dużą rolę.

Odchylenie grawitacyjne światła

Dla cząstek bezmasowych rozważmy pęd θ-owy jako element czterowektora pędu, dla którego jego przestawienie jest podobne jak we wzorze dla pędu radialnego (12.25), przy czym parametr λ definiujemy poprzez masę relatywistyczną fotonu (foton nie ma masy spoczynkowej), ale korzystając z definicji kontrawariantnego czterowektora pędu (8.52), a więc wtedy możemy wyrazić nasz pęd względem pochodnej wielkości θ względem parametru λ, co zapisujemy:

$p^{\theta }=m{{d\theta } \over {dt}}={{d\theta } \over {{{1} \over {m}}dt}}={{d\theta } \over {d\lambda }}\;$

(12.76)

Z drugiej jednak strony elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennej kątowej, a także od zmiennej czasowej, więc wedle twierdzenia (8.36) zmienna p_θ, która jest pędem kowariantnym jest wielkością stałą względem zmiany interwału czasoprzestrzennego, które spełnia rolę znaną z mechaniki klasycznej momentu pędu, która w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego staje się dokładną wartością momentu pędu znaną z mechaniki Newtona.

$L=p_{\theta }=p^{\theta }g_{\theta \theta }={{d\theta } \over {d\lambda }}r^{2}\Rightarrow {{d\theta } \over {d\lambda }}={{L} \over {r^{2}}}\;$

(12.77)

Mamy sobie wzór (12.28), która jest równaniem ruchu cząstki względem parametru λ i końcowy wzór wynikowy (12.77), wtedy weźmy oba te wzory, który ten drugi podnosimy do kwadratu i dzielimy obustronnie przez siebie dostając równość:

$\left({{d\theta } \over {dr}}\right)^{2}=\left({{{d\theta } \over {d\lambda }} \over {{dr} \over {d\lambda }}}\right)^{2}={{{L^{2}} \over {r^{2}}} \over {\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{2}}}}}\Rightarrow \left({{d\theta } \over {dr}}\right)^{2}={{{L^{2}} \over {r^{4}}} \over {\left({{E} \over {c}}\right)^{2}-\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){{L^{2}} \over {r^{2}}}}}\Rightarrow$
$\Rightarrow \left({{d\theta } \over {dr}}\right)^{2}={{1} \over {r^{4}\left[\left({{E} \over {Lc}}\right)^{2}-{{1} \over {r^{2}}}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\right]}}\;$

(12.78)

Wprowadźmy nowy parametr b, który jest zależny od wielkości L, która w analogi do mechaniki klasycznej nazwijmy momentem pędu, a także jest zależna ona od energii tegoż fotonu E, a także od prędkości światła w próżni.

$b={{Lc} \over {E}}\;$

(12.79)

Zastosowanie definicji nowego parametru (12.79) do równości (12.78) w rezultacie daje nam:

$\left({{d\theta } \over {dr}}\right)^{2}={{1} \over {r^{4}}}{{1} \over {\left[{{1} \over {b^{2}}}-{{1} \over {r^{2}}}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\right]}}\;$

(12.80)

Obierzmy nową zmienną u, to wtedy zmienna radialna w układzie kulistym r jest wyrażona poprzez u w sposób:

$u={{1} \over {r}}\Rightarrow r={{1} \over {u}}\;$

(12.81)

Różniczka położenia radialnego wyrażona względem zmiennej u, która jest zdefiniowana w punkcie (12.81), którą rozpiszemy ją, by otrzymać zależność różniczkową zmiennej u (12.81), wtedy:

$dr=d{{1} \over {u}}=du^{-1}=-{{1} \over {u^{2}}}du\;$

(12.82)

Po wykorzystaniu definicji na różniczkę wielkości radialnej dr (12.82) i na promień radialny r (12.81), to wtedy podstawiając je do tożsamości (12.80), które podzielimy potem przez zawsze niezerowe wyrażenie u⁴ (bo zachodzi (12.81)), dostajemy:

$\left({{d\theta } \over {du}}\right)^{2}u^{4}={{u^{4}} \over {\left[{{1} \over {b^{2}}}-u^{2}\left(1-u{{GM} \over {c^{2}}}\right)\right]}}\Rightarrow \left({{d\theta } \over {du}}\right)^{2}={{1} \over {\left[{{1} \over {b^{2}}}-u^{2}+u^{3}{{GM} \over {c^{2}}}\right]}}\;$

(12.83)

Odwróćmy wzór (12.83) obustronnie na wyrażenie typu 1/coś=1/coś, wtedy dostajemy ostatecznie inne równoważne do poprzedniego wyrażenie:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-u^{2}+u^{3}{{GM} \over {c^{2}}}\;$

(12.84)

Powyższy wzór jest wzorem relatywistycznym toru dla bezmasowego fotonu, którego położenie radialne jest określone wedle (12.81).

Ruch światła po zaniedbaniu efektów relatywistycznych związanego z masą

Jeśli pominiemy wyrazy z u³ w równaniu (12.84), bo G jest małe oraz c² jest bardzo duże, to otrzymamy:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-u^{2}\;$

(12.85)

czyli dokonaliśmy pominięcia ze wszystkich efektów relatywistycznych związanych ze źródłem oddziaływania grawitacyjnego.

Rozwiązanie równania (12.85) jest w postaci:

$u=\sin \left(\theta -\theta _{0}\right)b^{-1}\;$

(12.86)

Podstawmy rozwiązanie (12.86) do naszego równania (12.85), stąd mamy:

$\cos ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)b^{-2}={{1} \over {b^{2}}}-b^{-2}\sin ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)\Rightarrow \cos ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)b^{-2}=b^{-2}\cos ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)\;$

(12.87)

Otrzymujemy wniosek, że po zaniedbaniu efektów z związanych z masą M światło będzie się poruszało się linii prostej, czyli rozwiązaniem jego przy uwzględnieniu definicji na u, zdefiniowanej w punkcie (12.81), jest wzór:

$r\sin \left(\theta -\theta _{0}\right)=b\;$

(12.88)

Ruch fotonów po niecałkowitym zaniedbaniu relatywistycznym

Mamy sobie równanie ruchu rządzące ruchem trajektoriami fotonów (12.84) i obierzmy sobie nową zmienną y w zależności od stałej zmiennej (12.81), z którego wyznaczmy zmienną u, zatem zdefiniujmy zmienną y jako:

$y=u\left(1-{{GM} \over {c^{2}}}u\right)\Rightarrow u={{y} \over {1-{{GM} \over {c^{2}}}u}}\Rightarrow u\simeq y\left(1+{{GM} \over {c^{2}}}u\right)\Rightarrow u\simeq y\left(1+{{GM} \over {c^{2}}}y\right)\;$

(12.89)

co jest z dokładnością do wyrazów pierwszego stopnia. Korzystając z końcowego wyrażenia wynikowego policzmy pochodną zmiennej u (12.81) względem położenia kątowego θ:

${{du} \over {d\theta }}={{dy} \over {d\theta }}{{du} \over {dy}}={{dy} \over {d\theta }}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)\;$

(12.90)

Podstawmy wyrażenie na pochodną wyrażenia u względem zmiennej kątowej θ (12.90) i zmienną u (12.89) do równości (12.84), mamy:

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-\left(y\left(1+{{GM} \over {c^{2}}}y\right)\right)^{2}+\left(y\left(1+y{{GM} \over {c^{2}}}\right)\right)^{3}{{GM} \over {c^{2}}}\Rightarrow \;$

$\Rightarrow \left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-\left(y+y^{2}{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{2}+\left(y+y^{2}{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{3}{{GM} \over {c^{2}}}\Rightarrow \;$

$\Rightarrow \left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-\left(y^{2}+y^{4}{{G^{2}M^{2}} \over {c^{4}}}+2y^{3}{{GM} \over {c^{2}}}\right)+\left(y^{3}+y^{6}{{G^{3}M^{3}} \over {c^{6}}}+3y^{2}y^{2}{{GM} \over {c^{2}}}+3yy^{2}{{G^{2}M^{2}} \over {c^{4}}}\right){{GM} \over {c^{2}}}\;$

(12.91)

Pomijamy wyrazy rzędu większego niż w przypadku potęg zmiennej y o wykładniku większym niż dwa w równaniu różniczkowym (12.91), wtedy z oczywistych powodów mamy prawo myśleć:

$\left({{dy} \over {d\theta }}\right)^{2}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)^{2}={{1} \over {b^{2}}}-y^{2}\;$

(12.92)

Pierwiastkujemy obie strony równania (12.92), w tym celu po dokonaniu tej operacji należy pamiętać, że z lewej strony naszego wspomnianego wyrażenia pojawia się znak plus lub minus, zatem dostajemy dwa poniższe wzory z tymi znakami zapisanej w jednym równaniu ogólnie:

$\pm {{dy} \over {d\theta }}\left(1+2y{{GM} \over {c^{2}}}\right)={\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}\Rightarrow \pm {{1+2y{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}}dy=d\theta \;$

(12.93)

Przecałkujmy obie strony równania różniczkowego (12.93), dostajemy:

$\pm \int _{y_{1}}^{y_{2}}{{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}}dt=\theta -\theta _{0}\;$

(12.94)

Policzmy pomocniczą całkę nieoznaczoną potrzebną do zrobienia dalszych obliczeń, która to całka występuje z lewej strony równania (12.94), stąd:

$\int {{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}}dt=b\int {{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}=b\int {{1} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}dt+2b{{GM} \over {c^{2}}}\int {{t} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}dt=\;$
$=\int {{1} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}d\left(bt\right)+2{{1} \over {b}}{{GM} \over {c^{2}}}\int {{bt} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}d\left(bt\right)=\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-{{GM} \over {c^{2}b}}\int {{\left(1-\left(bt\right)^{2}\right)^{'}} \over {\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}}d\left(bt\right)=\;$
$=\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-{{GM} \over {bc^{2}}}\int x^{-{{1} \over {2}}}dx=\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-2{{GM} \over {bc^{2}}}{\sqrt {1-\left(bt\right)^{2}}}=\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}+C\;$

(12.95)

Ostatecznie na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.95) dostajemy ogólny wzór na naszą całkę nieoznaczoną:

$\int {{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}}dt=\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}+C\;$

(12.96)

Wyznaczmy kąt odchylenia fotonu θ w zależności od y, (r→∞⇒ u=0)⇒ y=0, oczywiście korzystając z definicji u i y. Początkowe y jest równe zero. Zakładamy, że cząstka przebywa z nieskończoności i będziemy rozpatrywać ruch tej właśnie cząstki aż do punktu w którym y ma wartość $y={{1} \over {b}}\;$, czyli wybieramy znak plus (12.94) (bo cząstka zbliża się do kulistosymetrycznej masy). Całka oznaczona wygląda wtedy:

$\int _{0}^{y}{{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}}dt=\left[\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}\right]_{0}^{y}=\operatorname {arcsin} \left(by\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}\;$

(12.97)

Rozwiązanie równania różniczkowego (12.92) przedstawiamy je w zależność od zmiennej y i kąta θ:

$\operatorname {arcsin} \left(by\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}=\theta -\theta _{0}\;$

(12.98)

Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania różniczkowego (12.98) dla naszego przypadku jest funkcja kąta θ w zależności od zmiennej y:

$\theta =\theta _{0}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+\operatorname {arcsin} \left(by\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}\;$

(12.99)

Foton osiąga swe najniższe położenie, gdy $y={{1} \over {b}}\;$, co można policzyć ze wzoru (12.99), a zatem odchylenie fotonu przy ruchu z nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia do masywnej gwiazdy względem położenia w nieskończoności jest określone:

$\theta _{1}=\theta _{0}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+{{\pi } \over {2}}\;$

(12.100)

Następny rozpatrzmy ruch fotonu z $y={{1} \over {b}}$ od y=0 do nieskończoności od jej najbliższego zbliżenia, a zatem foton porusza się od odległości, gdy foton znajduje się najbliżej masy $M$ (przy kącie (12.100)), do celu należącym w drodze do nieskończoności, wtedy wybieramy znak minus przed całką po lewej stronie równania (12.94) (bo foton oddala się do nieskończoności), wtedy:

$-\int _{y={{1} \over {b}}}^{y}{{1+2t{{GM} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}}dt=-\left[\operatorname {arcsin} \left(bt\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-t^{2}}}\right]_{{1} \over {b}}^{y}=-\left[\operatorname {arcsin} \left(by\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}-{{\pi } \over {2}}\right]=-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+\;$
$+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{\pi } \over {2}}$

(12.101)

Rozwiązaniem równania (12.92) w postaci drugiego rozwiązania od chwili jej najbliższego zbliżenia jest równanie w postaci wzoru poniżej, którego całka została obliczona w punkcie (12.101):

$-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{\pi } \over {2}}=\theta -\theta _{1}\Rightarrow \theta =-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{\pi } \over {2}}+\theta _{1}$
$\theta =-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{\pi } \over {2}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+{{\pi } \over {2}}+\theta _{0}\Rightarrow \theta =-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+\pi +\theta _{0}$

(12.102)

Ogólne rozwiązanie przedstawia się wzorami (12.99) i (12.102), którego to odchylenie θ jest zapisywane ogólnym wzorem dla ruchu cząstki od nieskończoności do jej najbliższego zbliżenia, oraz od jej najbliższego zbliżenia do ruchu do nieskończoności, które oba te równania są zależne od zmiennej y zdefiniowanej wzorem (12.89), a zmienna u jest zdefiniowana wzorem (12.45), wtedy położenie kątowe zmienia się według:

$\theta ={\begin{cases}\theta _{0}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+\operatorname {arcsin} \left(by\right)-2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}&{\mbox{ dla }}y\in \left(0,{{1} \over {b}}\right)\\-\operatorname {arcsin} \left(by\right)+2{{GM} \over {c^{2}}}{\sqrt {{{1} \over {b^{2}}}-y^{2}}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+\pi +\theta _{0}&{\mbox{ dla }}y\in \left({{1} \over {b}},0\right)\end{cases}}$

(12.103)

Policzmy odchylenie cząstki, jeśli położenie początkowe w nieskończoności wynosiło θ₀ (gdy cząstka porusza się do kulistosymetrycznej masy), to po odchyleniu też w nieskończoność, gdy y=0 (po odbyciu tej całej podróży od tej masy od nieskończoności do nieskończoności), wynosi:

$\theta ={{2GM} \over {c^{2}b}}+{{2GM} \over {c^{2}b}}+\pi +\theta _{0}\Rightarrow \theta ={{4GM} \over {c^{2}b}}+\pi +\theta _{0}\Rightarrow \Delta \theta ={{4GM} \over {c^{2}b}}+\pi$

(12.104)

Jeśli foton poruszał się początkowo po prostej, to odchylenie względem tej prostej bez uwzględnienia efektów relatywistycznych wynosiło π, to po uwzględnieniu tych efektów poprawka do tego odchylenia jest napisana:

$\Delta \theta _{P}={{4GM} \over {c^{2}b}}$

(12.105)

Wpadające cząstki w kierunku radialnym do horyzontu zdarzeń czarnej dziury

Rozpatrzmy spadanie radialne cząstki masowej na powierzchnię o promieniu $r=2{{GM} \over {c^{2}}}\;$, wtedy zachodzi dθ=0 i wedle definicji czterowektora pędu θ-owego pęd kontrawariantny jest równy zero, a na podstawie tego wedle (12.7) ten pęd kowariantny jest stały (bo elementy tensora metrycznego nie zależą od zmiennych kątowych) i nie zmienia swojej wartości, ta wielkość jest odpowiednikiem momentu pędu znanej z mechaniki klasycznej, a więc nasze równanie ruchu wedle (12.12) jest przedstawione:

$\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)\Rightarrow \left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-1+{{2GM} \over {rc^{2}}}$

(12.106)

Różniczka interwału czasoprzestrzennego wynikającego z równania (12.106) można napisać w postaci wzoru, który zależy od różniczki promienia radialnego cząstki spadającej do czarnej dziury:

$ds=-{{dr} \over {\sqrt {{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-1+{{2GM} \over {rc^{2}}}}}}$

(12.107)

W powyższym wyrażeniu mamy znak minus, bo rozpatrywane ciało porusza się z pewnego punktu o położeniu radialnym R radialnie i ono porusza się do horyzontu zdarzeń o promieniu r_g Schwarzchilda, czyli wedle zmniejszającego się promienia. Jeśli zachodzi ${{\tilde {E}} \over {c^{2}}}=1$ (wedle tego warunku ciało w nieskończoności spoczywa), to mamy całkę na zmianę interwału czasoprzestrzennego (12.107):

$\Delta s=\int _{R}^{r_{g}={{2GM} \over {c^{2}}}}{{dr} \over {\sqrt {{2GM} \over {rc^{2}}}}}=-{\sqrt {{c^{2}} \over {2GM}}}\int _{R}^{{2GM} \over {c^{2}}}r^{{1} \over {2}}dr=-{\sqrt {{c^{2}} \over {2GM}}}{{2} \over {3}}\left[r^{{3} \over {2}}\right]_{R}^{{2GM} \over {c^{2}}}={\sqrt {{c^{2}} \over {2GM}}}{{2} \over {3}}\left[R^{{3} \over {2}}-\left({{2GM} \over {c^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}\right]=\;$
$={{2} \over {3}}{\sqrt {{{c^{2}} \over {2GM}}\cdot {{8G^{3}M^{3}} \over {c^{6}}}}}\left(\left({{c^{2}R} \over {2GM}}\right)^{{3} \over {2}}-1\right)={{2} \over {3}}{\sqrt {{4G^{2}M^{2}} \over {c^{4}}}}\left[\left({{c^{2}R} \over {2GM}}\right)^{{3} \over {2}}-1\right]$

(12.108)

Wynik uzyskany ze wzoru (12.108) jest wielkością skończoną natomiast, gdy energia zredukowana spełnia warunek ${\tilde {E}}<c^{2}\;$, to cząstka może posiadać maksymalne położenia radialne z warunku (12.106) spełniającego równanie:

$0={{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-1+{{2MG} \over {rc^{2}}}\Rightarrow 1-{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}={{2GM} \over {rc^{2}}}\;$

Wykorzystajmy teraz element zerowy czterowektora prędkości, czyli pochodną iloczynu czasu i prędkości światła względem interwału czasoprzestrzennego, co poniżej przestawimy:

${{cdt} \over {ds}}=u^{0}={{p^{0}} \over {m_{0}c}}=g^{00}{{p_{0}} \over {m_{0}c}}=g^{00}{{p_{0}c} \over {m_{0}c^{2}}}=g^{00}{{E} \over {m_{0}c^{2}}}=\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)^{-1}{{\tilde {E}} \over {c^{2}}}$

(12.109)

Z równania (12.109) otrzymujemy wzór na różniczkę czasu współrzędnościowego w zależności od różniczki interwału czasoprezestrzennego:

$cdt={{ds{\tilde {E}}} \over {c^{2}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right)}}$

(12.110)

Do równania różniczkowego (12.110) dokonajmy podstawienia za ds opisywanej wzorem (12.107), zatem w takim przypadku to pierwsze równanie na cdt przyjmuje w zależności od różniczki współrzędnej radialnego położenia cząstki w układzie kulistym postać:

$cdt=-{{dr{\tilde {E}}} \over {c^{2}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){\sqrt {{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-1+{{2GM} \over {rc^{2}}}}}}}\Rightarrow dt=-{{dr{\tilde {E}}} \over {c^{3}\left(1-{{2GM} \over {rc^{2}}}\right){\sqrt {{{{\tilde {E}}^{2}} \over {c^{4}}}-1+{{2GM} \over {rc^{2}}}}}}}$

(12.111)

Rozważmy przypadek, gdy cząstka spoczywa w nieskończoności, to wtedy: ${{\tilde {E}} \over {c^{2}}}=1$, jeśli dokonamy podstawienia: $\gamma =r-2{{GM} \over {c^{2}}}$, to ostatecznie ze wzoru (12.111) można dojść do wzoru wynikowego:

$dt=-{{drr^{{3} \over {2}}} \over {c\left({r-{{2GM} \over {c^{2}}}}\right)\left({{2GM} \over {c^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}}}\Rightarrow dt=-{{\left(\gamma +{{2GM} \over {c^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}d\gamma } \over {c\gamma \left({{2GM} \over {c^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}}}{\xrightarrow[{\gamma \rightarrow 0}]{}}-{{2GM} \over {c^{3}}}{{1} \over {\gamma }}d\gamma \;$

(12.112)

Z powyższego wzoru na dt, wynika, że gdy γ→ +0, z stąd wynika, że funkcja ma granicę prawostronną w postaci ${{1} \over {\gamma }}\rightarrow \infty$, jeśli przecałkować obustronnie wyrażenie (12.112), to prawa strona zawiera całkę rozbieżną do nieskończoności (dla cząstki, która podróżuje do horyzontu zdarzeń), zatem na podstawie wspomnianego wyrażenia cząstka osiągnie powierzchnie o promieniu Schwarzchilda dopiero po nieskończonym długim czasie współrzędnościowym mimo skończonego czasu własnego.

Gdy cząstka znajduje się nieskończenie bliskiego promienia Schwarzschilda, w którym cząstka znajdowała się początkowo, a przebyła z odległości o promieniu wodzącym R, wtedy w takim przypadku czas współrzędnościowy jest nieskończony mimo skończonego czasu własnego, co ta wielkość musi zachowywać się źle, co świadczy o załamaniu się Ogólnej Teorii Względności.