Ogólna teoria względności/Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Tutaj będziemy się zajmować statystyczno-sferycznymi aspektami dla gwiazd. Właściwościami takich układów, że metryka ich nie zmienia się po zastąpieniu t przez -t, a reszta współrzędnych jest taka sama po przejściu z układu, tzn. K=(t,r,θ,φ) do K'=(-t,r,θ,φ).

Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych[edytuj]

Układem statycznym nazywamy układem, gdy po zamianie z t na -t, układ nie zmienia się, nazwijmy układem przed transformacją K(t,r,θ,φ), a układem po transformacji K'(-t,r,θ,φ). Transformacja wiążąca układy od K do K' jest przedstawiona wzorem:

(8.1)
  • gdzie qK'μ=(-t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w nowym układzie współrzędnych
  • qKν=(t,r,φ,θ) jest to zestaw współrzędnych w starym układzie współrzędnych.

Z własności układów K i K' mamy:

Następnym krokiem jest wyznaczenie elementów tensora metrycznego, wiedząc że po transformacji z K na K' elementy tensora metrycznego nie zmieniają się i na podstawie powyższych elementów tensora (macierzy) transformacji Λμν, dostajemy transformacje na nasz rozważany tensor:

(8.2)

Dochodzimy do wniosku, że nasza metryka dla naszego badanego układu i wedle obliczeń (8.2) metryka (kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego) przedstawia się według:

(8.3)

Ale w powyższym wzorze wyrażenie stojące się przy kwadracie promienia nazwijmy jako kwadrat różniczki pewnej funkcji:

(8.4)

A zatem naszą metrykę (8.3) wedle przedstawienia kwadratu różniczki pewnej funkcji (8.4) i wiedząc jeszcze, że naszej metryce występują funkcje Φ(r) i Λ(r), które są zależne od promienia r, zatem ostateczna forma naszej metryki, która ma kształt metryki Schwarzschilda z niewyznaczonymi jeszcze z naszymi funkcjami:

(8.5)

Naszym celem jest wyznaczenie funkcji Φ(r) i Λ(r) jako funkcje zależne tylko od promienia w układzie kulistym.

Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej[edytuj]

Macierz prosta i odwrotna tensora metrycznego w metryce statyczno-symetrycznej gwiazdy przedstawia się:

(8.6)
(8.7)

Ogólnie elementy 0,1,2,3 będziemy oznaczać przez nazwy odpowiednich zmiennych układu sferycznego i czasu, tzn. przez t,r,θ,φ.

Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki[edytuj]

Odległość radialną wedle (1.13) możemy policzyć z definicji interwału czasoprzestrzennego, gdzie za infinitezymalny czas i różniczek współrzędnych kątowych podstawiamy wartość zero, czyli , dostając wzór na odległość radialną:

(8.8)

Upływ czasu własnego wedle wzoru (1.12) w polu grawitacyjnym wyraża się w zależności od czasu współrzędnościowego wzorem:

(8.9)

Związek między czterowektorami pędu, a masą spoczynkową wyraża się wzorem (1.11), a dla cząstki ogólnie masowej, a w szczególności dla fotonu, oznaczając że jego energia wedle szczególnej teorii względności jest równa E=p0c, a energia zaobserwowana w układzie lokalnie płaskim jest wyrażona:

(8.10)
  • gdzie: jest to kwadrat długości pędu cząstki według jej długości przestrzennej (nie czasowej dla odróżnienia).

Na podstawie definicji (8.8) i definicji całkowitej energii cząstki poprzez kowariantny pęd cząstki pomnożonej przez prędkość światła, która jest wielkością stałą ze względu, że elementy tensora metrycznego (8.6) nie zależą od czasu, a więc energia cząstki jest zachowana na podstawie wzoru (6.36):


(8.11)

Bardzo daleko od źródła energia zaobserwowanego przez obserwatora jest napisana wedle wzoru (8.11), tzn. gdy założymy, gdy w układzie lokalnie inercjalnym zmierzymy energię: , czyli energia zarejestrowana przez układ lokalnie płaski jest równa prawdziwej energii posiadanej przez ciało dla r bardzo dużego praktycznie niekończonego.

Gdy rozważać będziemy fotony, czyli posiadających masę spoczynkowej równą zero, to energia fotonów wyemitowanych w miejscu określonym promieniem r jest napisana: , a jego energia określona w układzie lokalnie inercjalnym (układ lokalnie płaski) przedstawia się według wzoru :

(8.12)

Jeśli przedstawimy zamiast częstotliwości ν długość fali wedle wzoru , wtedy zależność między długościami fali fotonów wyemitowanych a zarejestrowanych przedstawia się:

(8.13)

Przesunięcie ku czerwieni między promieniowaniem wyemitowanym przez gwiazdę, a zarejestrowanym przez obserwatora lub przez detektor wyraża się:

(8.14)

Elementy tensora Christoffela[edytuj]

Wyznaczmy wszystkie elementy tensora Christofela:

(8.15)
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
(8.20)
(8.21)
(8.22)
(8.23)
  • gdzie powyżej znak prim('), oznacza pochodną po r.

Pozostałe tensory Christoffela są równe zero.

Elementy tensora krzywizny[edytuj]

Policzmy tylko potrzebne czterowskaźnikowe tensory krzywizny, przy czym elementy tensora krzywizny, które w sposób trywialny są równe zero pomijamy, bo są mało ciekawe, zatem:



(8.24)
(8.25)
(8.26)

(8.27)
(8.28)
(8.29)

Dalsze obliczenia tensorów krzywizny wynikającego z wcześniejszych obliczeń:

(8.30)
(8.31)
(8.32)
(8.33)
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
(8.38)
(8.39)
(8.40)
(8.41)

Następnym krokiem jest policzenie tensorów Ricciego:


(8.42)

(8.43)
(8.44)

(8.45)

Następnie policzymy skalar Ricciego:




(8.46)

Elementy tensora Einsteina[edytuj]

Wyznaczmy tylko diagonalne elementy tensora Einsteina, ponieważ wszystkie pozadiagonalne jego elementy znikają, że względu na to, że elementy tensora Ricciego i elementy tensora metrycznego mają diagonalne wyrazy, tzn.: niediagonalne wyrazy znikają.



(8.47)

(8.48)


(8.49)



(8.50)

Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym[edytuj]

Wyznaczmy elementy czterowektorów prędkości dla statycznego sferycznego doskonałego płynu, przy czym pamiętając że elementy przestrzenne tego tensora są zawsze równe zero, a element czasowy jest natomiast różny od zera:

(8.51)
(8.52)

Wyznaczmy wszystkie diagonalne elementy tensora gęstości energii w płynie doskonałym wedle sposobu:

(8.53)
(8.54)
(8.55)
(8.56)

Elementy niediagonalne podwójnie kowariantnego tensora gęstości energii jak można udowodnić są równe zero ze względu na to, że metryka posiada tylko diagonalne elementy tensora metrycznego i elementy czterowektora prędkości przestrzenne są zawsze równe zero.

Metryka na zewnątrz kulistej masy[edytuj]

Na zewnątrz kulistej masy mamy Tαβ=0, gęstość masy i ciśnienie w rozważanych punktach jest zaniedbywalnie małe, a zatem rozpatrzmy dwa równania wynikającego z równania tensorowego grawitacji Einsteina o dwóch takich samych wskaźnikach dolnych czasowych (tensor Einsteina jest zdefiniowany wedle (8.47) i radialnych (tensor Einsteina jest to wzór (8.48)), zatem nasze równania są w postaci:

(8.57)

W powyższym równaniu, w którym występują funkcję zależne od r, czyli Λ(r) i Φ(r), która tam występują pochodne pierwszego rzędu i na podstawie tego suma tych funkcji jest wielkością stałą niezależną od jakikolwiek parametru, zatem zachodzi:

Ponieważ rozpatrujemy początek układu współrzędnych w którym znajduje się nasza gwiazda, zatem ta nasza rozważana stała jest równa zero, zatem powinno mieć miejsce równość:

(8.58)

Obierzmy nową funkcję zależną od zmiennej r i zapisanej za pomocą parametru Λ i która ta funkcja jest zapisana wedle wzoru poniżej, i która jest zależna od promienia r od środka rozważanej gwiazdy:

(8.59)

Wyprowadźmy z równania (8.59) parametr Λ i wyznaczmy jego pochodną względem parametru współrzędnej radialnej r:

(8.60)

Z obliczeń (8.60) otrzymujemy pochodną parametru Λ względem jej argumentu czyli promienia sferycznego r, tzn. ona jest zależna od funkcji γ(r) i pochodnej funkcji γ(r) względem zmiennej r, a te funkcje natomiast zależą od promienia radialnego r, zatem ta nasza pochodna funkcji Λ(r) jest zapisana:

(8.61)

Rozpatrzmy równanie Einsteina (1.51), w której parametr κ jest zdefiniowany wedle sposobu (5.46), zatem równanie wspomniane w tym zdaniu jako pierwsze jest równaniem zapisywanej w postaci wzoru dla wskaźników dolnych czasowych naszego równania:

(8.62)

Po podstawieniu za Gtt wedle (8.47) i za Ttt wedle (8.53) w równaniu grawitacyjnym Einsteina dla wskaźników dolnych czasowych do (8.62), wtedy otrzymujemy tożsamość:

(8.63)

Ostatnie wyjściowe równanie pomnóżmy obustronnie przez wyrażenie r2, wtedy dostajemy równość z którego wyznaczymy wyrażenie związane z różniczkę funkcji γ(r) w zależności od różniczki promienia sferycznego r i gęstości gwiazdy panujące w odległości od środka masy przy tym samym promieniu co wcześniej:



(8.64)

Przecałkujmy obie strony ostatniego równania wynikowego względem promienia sferycznego r dla r>R i wiedząc, że zachodzi dla tego r (poza gwiazdą), tzn. ρ=0, zatem powinno dla jego całki zachodzić: , zatem funkcja γ(r), dla naszego rozważanego r>R jest funkcją stałą.

(8.65)

Korzystając z wyrażenia (8.60), wtedy do wyrażenia na Λ podstawiamy za funkcję γ(r), który jest wyrażeniem (8.65), wtedy funkcję e na podstawie już obliczonego wyrażenia na Λ przyjmuje bardzo prostą postać:

(8.66)

Wiedząc że zachodzi (8.58) (zależność na parametr Φ(r) w zależności od Λ(r)), a także ze wzoru na eksponens (8.66), którego wykładnikiem jest funkcja Λ(r), zatem w takim przypadku nasza metryka Schwarzschilda (8.5) przyjmuje bardzo prostą postać:

(8.67)
  • gdzie: i jest to promień Schwarzschilda, przy której prawa ogólnej teorii względności załamują się i taki obiekt staje się czarną dziurą, którego fotony lecące się z prędkością c, nie mogą pokonać grawitacji takiego obiektu, zatem nasza metryka Schwarzschilda jest zapisana:
(8.68)

Dla bardzo dużych odległości, tzn. r>>R, metryka powyższa przechodzi w coś podobnego do metryki słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że: oraz z podstaw o teorii grawitacji Newtona, wiemy że (5.58):

(8.69)

co jest bardzo podobne do metryki słabego pola grawitacyjnego dla teorii grawitacji dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego. Tylko jest mała różnica w trzecim składniku sumy w metryce (8.69). A wiec metryka Schwarzschilda dla dużych odległości od źródła pola grawitacyjnego zachowuje się prawie (z drobną różnicą powiedzianą wcześniej) jak metryka słabego pola grawitacyjnego pola Newtonowskiego.

Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda[edytuj]

Czas własny w polu grawitacyjnym wedle wzoru (8.9) na podstawie już obliczonych tensorów metrycznych, którego parametry grr=-eΛ i gtt=eΦ zawarte w macierzy tensora metrycznego (8.6):

(8.70)

Z powyższego rozważania, gdy rg=r wynika, że czas w polu grawitacyjnym w horyzoncie zdarzeń płynie nieskończenie powoli dla Δt skończonego. Odległość radialna w polu grawitacyjnym wedle wzoru (8.8) wedle już obliczonego parametru (8.66) wyraża się:

(8.71)

Z powyższego wzoru wynika, że dla r→ rg, ale r>rg, odległość radialna w polu grawitacyjnym jest nieskończenie duża względem układu lokalnie inercjalnego, którego odległość radialna współrzędnościowo jest skończona i wynosi Δ r. Widzimy, że czas (8.70) i odległość radialna (8.71), która jest mierzona przez obserwatora są równe czasowi i odległości współrzędnościowej dla bardzo dużego promienia współrzędnościowego.

Równania ruchu z płynem doskonałym[edytuj]

Zachowawczość tensora gęstości energii jest spełniona, gdy (1.50) rozpiszemy go z definicji pochodnej kowariantnej tensora energii-napięć:

(8.72)

Z diagonalizacji tensora gęstości energii, a także dla α≠ r, wynika, że powyższe prawo jest spełnione tożsamościowo, bo dla tych przypadków elementy tensora, który opisuje prawą stronę równania tensorowego (8.72) tożsamościowo są równe zero, ale dla przypadku α=r już tak nie jest, zatem zachodzi na podstawie takiego samego wspomnianego równania dla tego α:



(8.73)

Po przekształceniach równości (8.73), wtedy dochodzimy do wniosku, że funkcja w nawiasie we wspomnianej równości jest zawsze równa zero, zatem w tak otrzymanym wyrażeniu przenosimy w nim składniki w tym równaniu na przeciwne strony:

(8.74)

Powyższe równanie opisuje, że jeśli mamy zmianę ciśnienia w zależności od promienia r, to możemy obliczyć funkcję Φ, zakładając jej ciągłość dla granicy r=R, bo rozwiązanie dla r>R dla funkcji Φ jest już znane.

Wnioski wynikające z równania Einsteina[edytuj]

Z równań tensorowych grawitacji Einsteina możemy napisać tylko dla wskaźników dolnych erowych i otrzymać następne inne równanie różniczkowe niż (8.74):

(8.75)

Podstawiamy za Grr (8.48) i za Trr (8.54) do naszego równania grawitacji (8.75) dla obu wskaźników radialnych dolnych, które po tej operacji otrzymujemy tożsamość zapisaną:

.
(8.76)

Wedle końcowego równania (8.64) możemy przestawić funkcję γ(r), którego jest zależna od promienia gwiazdy R, którą to funkcję γ(r) przestawimy w zależności od masy gwiazdy zawarta w promieniu mniejszym niż r:

(8.77)

Mając równanie (8.66) na funkcja eksponesu funkcji Λ i podstawiając do niego wzór (8.77), wtedy nas wspomniany eksponens funkcji Λ(r) wygląda wedle:

(8.78)

Przekształcamy nasze równanie Einsteina (8.76), tak by mieć w jednym miejscu funkcję Λ, by potem łatwo można by było podstawić eksponens funkcji Λ:

(8.79)

Podstawmy do równania (8.79) wyrażenie na eΛ napisane w punkcie (8.78), którą jest funkcją tylko promienia od środka gwiazdy, które pod to podstawienie przygotowaliśmy nasze wspomniane równanie:


(8.80)

Z końcowych równanań (8.80) i z (8.74) i mając jakieś prawa równowagi danej gwiazdy statycznej możemy wyznaczyć Φ(r), p(r) i m(r), a na samym koniec obliczyć gęstość gwiazdy w zależności od jej promienia.