Ogólna teoria względności/Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Ogólna teoria względności

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Wprowadzenie do ogólnej teorii względności 2Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi 3Tensor gęstości energii-pędu 4Właściwości skalaru tensora metrycznego 5Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności 6Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne 7Słabe pola grawitacyjne 8Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach 9Promieniowanie grawitacyjne 10Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym 11Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne 12Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury 13Współrzędne Kruskala-Szekeresa 14Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina 15Współrzędne cylindryczne a tunel Einsteina-Rosena

Spis treści
1Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina 2Metryka Eddigtona-Finkelsteina 2.1Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U 2.2Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Następny rozdział: Współrzędne cylindryczne a tunel Einsteina-Rosena. Poprzedni rozdział: Współrzędne Kruskala-Szekeresa.

Podręcznik: Ogólna teoria względności.

Wiemy jednak, że w metryce Schwarzchilda występuje nieciągłość dla $r = r_{g} = \frac{2 G M}{c^{2}}$ , można go usunąć obierając pewien rodzaj współrzędnych. Tym razem rozważmy współrzędne Eddingtona-Finkelsteina.

Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina

Rozważmy promień świetlny biegnący radialnie, jeśli zachodzi dθ=dφ=0. Gdy spełniona jest tożsamość dla kwadratu interwału czasoprzestrzennego ds²=0, czyli interwał czasoprzestrzenny jest zerowy.

0 = d s^{2} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} - \frac{d r^{2}}{1 - \frac{r_{g}}{r}}

(14.1)

co można zapisać na podstawie (14.1), że kwadrat różniczki współrzędnościowego czasu jest wyrażony za pomocą kwadratu współrzędnościowego promienia:

c^{2} d t^{2} = \frac{d r^{2}}{{(1 - \frac{r_{g}}{r})}^{2}}

(14.2)

Co po z pierwiastkowaniu obustronnie równości na różniczkach (na infinitezymalnych zmianach) (14.2), ale gdy r≠ r_g, otrzymujemy:

c d t = \pm \frac{d r}{1 - \frac{r_{g}}{r}}

(14.3)

Całkujemy obustronnie tożsamość (14.3) lewostronnie względem czasu, a prawostronnie względem promienia kulistego r.

c t = \pm \int \frac{d r}{1 - \frac{r_{g}}{r}} \Rightarrow c t = \pm \int \frac{r d r}{r - r_{g}} \Rightarrow c t = \pm \int \frac{r d r}{r_{g} (\frac{r}{r_{g}} - 1)}

(14.4)

Ze wzoru (14.4) dostajemy zależność łącząca współrzędną czasu ze współrzędną położenia radialnego:

c t = \pm \int r_{g} {1 + \frac{1}{\frac{r}{r_{g}} - 1}} d \frac{r}{r_{g}} \Rightarrow c t = \pm r \pm \ln | \frac{r}{r_{g}} - 1 | + const

(14.5)

Pozostawiając stałą po prawej stronie równości (14.5) a pozostałe wielkości przenosimy na jej lewą stronę i ostatecznie odwracając stronami omawianą równość:

const = c t \mp r \mp \ln | \frac{r}{r_{g}} - 1 |

(14.6)

Zastępując naszą stałą zmienną U i wybierając znaki minus gdy r>r_g, a także stałą V ze znakiem plus gdy r<r_g, zatem ze względu na dowolność stałej całkowania mamy:

U = c t - r - r_{g} \ln (\frac{r}{r_{g}} - 1)

(14.7)

V = c t + r + r_{g} \ln (1 - \frac{r}{r_{g}})

(14.8)

Powyższe zmienne są to nowe zmienne, które obowiązują w rozważanej metryce.

Metryka Eddigtona-Finkelsteina

W zależności od zdefiniowanych współrzędnych U i V, można zdefiniować metrykę wedle zmiennej (14.6) lub (14.8) wedle:

d s^{2} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) d U^{2} + 2 d U d r - r^{2} d Ω^{2}

(14.9)

d s^{2} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) d V^{2} - 2 d V d r - r^{2} d Ω^{2}

(14.10)

Za pomocą poprzednio zdefiniowanych w zmiennych otrzymaliśmy dwa rodzaje metryk w zależności od zmiennej czy od U lub czy to V będziemy za pomocą ich pisali naszą metrykę, tzn. czy (14.9) lub (14.10).

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (14.6) przy metryce (14.9). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

\frac{\partial U}{\partial t} = c

(14.11)

A także też wyznaczmy pochodną funkcji U względem położenia radialnego r:

\frac{\partial U}{\partial r} = - 1 - r_{g} \frac{1}{\frac{r}{r_{g}} - 1} \frac{1}{r_{g}} = - 1 - {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1}

(14.12)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej można napisać różniczkę zmiennej U, korzystając z policzonych pochodnych cząstkowych przestawionych w punkcie (14.11) oraz w punkcie (14.12):

d U = \frac{\partial U}{\partial t} d t + \frac{\partial U}{\partial r} d r = c d t + (- 1 - {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1}) d r

(14.13)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę (14.9) tzn.: przy zmiennej U, wyznaczając wyrażenie:

(1 - \frac{r_{g}}{r}) d U^{2} + 2 d U d r = (1 - \frac{r_{g}}{r}) {[c d t + (- 1 - {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1}) d r]}^{2} + 2 d r [c d t + (- 1 - {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1}) d r] =

$= (1 - \frac{r_{g}}{r}) [c^{2} d t^{2} + {(1 + {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1})}^{2} d r^{2} - 2 c d t d r (1 + {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1})] + 2 d r c d t - 2 d r^{2} (1 + {(\frac{r}{r_{g}} - 1)}^{- 1}) =$
$= (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} [\frac{r - r_{g}}{r} {(1 + \frac{r_{g}}{r - r_{g}})}^{2} - 2 (1 + \frac{r_{g}}{r - r_{g}})] + 2 c d t d r [- \frac{r - r_{g}}{r} (1 + \frac{r_{g}}{r - r_{g}}) + 1] =$
$= (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} (\frac{r - r_{g}}{r} \frac{r^{2}}{(r - r_{g})^{2}} - 2 \frac{r}{r - r_{g}}) + 2 c d t d r (- \frac{r - r_{g}}{r} \frac{r}{r - r_{g}} + 1) =$

= (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} (\frac{r}{r - r_{g}} - 2 \frac{r}{r - r_{g}}) = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} - d r^{2} \frac{r}{r - r_{g}} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} - \frac{d r^{2}}{1 - \frac{r_{g}}{r}}

(14.14)

Na podstawie (14.14) i definicji metryki Eddigtona-Finkelsteina ze zmienną U (14.9) metryka ta przechodzi w metrykę Schwarzchilda (10.67), a więc nasza metryka jest poprawna dla pola sferycznie symetrycznego.

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (14.8) przy metryce (14.10). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

\frac{\partial V}{\partial t} = c

(14.15)

a teraz wyznaczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego współrzędnościowego:

\frac{\partial V}{\partial r} = 1 + r_{g} \frac{1}{1 - \frac{r}{r_{g}}} (- 1) \frac{1}{r_{g}} = 1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1}

(14.16)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej znanej z analizy można napisać różniczkę zmiennej V korzystając z (14.15) i (14.16) w postaci:

d V = \frac{\partial V}{\partial t} d t + \frac{\partial V}{\partial r} d r = c d t + (1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1}) d r

(14.17)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę tzn.: przy zmiennej V, wyznaczając wyrażenie:

(1 - \frac{r_{g}}{r}) d V^{2} - 2 d r d V = (1 - \frac{r_{g}}{r}) {[c d t + (1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1}) d r]}^{2} - 2 d r [c d t + (1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1}) d r] =

$= (1 - \frac{r_{g}}{r}) [c^{2} d t^{2} + {(1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1})}^{2} d r^{2} + 2 c d t d r (1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1})] - 2 d r c d t - 2 d r^{2} (1 - {(1 - \frac{r}{r_{g}})}^{- 1}) =$
$= (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} [(1 - \frac{r_{g}}{r}) {(1 - \frac{r_{g}}{r_{g} - r})}^{2} - 2 (1 - \frac{r_{g}}{r_{g} - r})] + 2 c d t d r [(1 - \frac{r_{g}}{r}) (1 - \frac{r_{g}}{r_{g} - r}) - 1] =$

= (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} [\frac{r - r_{g}}{r} \frac{r^{2}}{(r_{g} - r)^{2}} + 2 \frac{r}{r_{g} - r}] + 2 c d t d r [\frac{r - r_{g}}{r} \frac{- r}{r_{g} - r} - 1] = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} +

+ d r^{2} [- \frac{r}{r_{g} - r} + 2 \frac{r}{r_{g} - r}] = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} + d r^{2} \frac{r}{r_{g} - r} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} - d r^{2} \frac{r}{r - r_{g}} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) c^{2} d t^{2} - \frac{d r^{2}}{1 - \frac{r_{g}}{r}}

(14.18)

Czyli doszliśmy, że metryka Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V (14.10) przechodzi w metrykę Schwarzchilda (10.67), czyli otrzymaliśmy wniosek, że ta nasza metryka dla pola sferycznie symetrycznego jest poprawnie zdefiniowana.