Ogólna teoria względności/Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wiemy jednak, że w metryce Schwarzchilda występuje nieciągłość dla , można go usunąć obierając pewien rodzaj współrzędnych. Tym razem rozważmy współrzędne Eddingtona-Finkelsteina.

Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina[edytuj]

Rozważmy promień świetlny biegnący radialnie, jeśli zachodzi dθ=dφ=0. Gdy spełniona jest tożsamość dla kwadratu interwału czasoprzestrzennego ds2=0, czyli interwał czasoprzestrzenny jest zerowy.

(12.1)

co można zapisać na podstawie (12.1), że kwadrat różniczki współrzędnościowego czasu jest wyrażony za pomocą kwadratu współrzędnościowego promienia:

(12.2)

Co po z pierwiastkowaniu obustronnie równości na różniczkach (na infinitezymalnych zmianach) (12.2), ale gdy r≠ rg, otrzymujemy:

(12.3)

Całkujemy obustronnie tożsamość (12.3) lewostronnie względem czasu, a prawostronnie względem promienia kulistego r.

(12.4)

Ze wzoru (12.4) dostajemy zależność łącząca współrzędną czasu ze współrzędną położenia radialnego:

(12.5)

Pozostawiając stałą po prawej stronie równości (12.5) a pozostałe wielkości przenosimy na jej lewą stronę i ostatecznie odwracając stronami omawianą równość:

(12.6)

Zastępując naszą stałą zmienną U i wybierając znaki minus gdy r>rg, a także stałą V ze znakiem plus gdy r<rg, zatem ze względu na dowolność stałej całkowania mamy:

(12.7)
(12.8)

Powyższe zmienne są to nowe zmienne, które obowiązują w rozważanej metryce.

Metryka Eddigtona-Finkelsteina[edytuj]

W zależności od zdefiniowanych współrzędnych U i V, można zdefiniować metrykę wedle zmiennej (12.6) lub (12.8) wedle:

(12.9)
(12.10)

Za pomocą poprzednio zdefiniowanych w zmiennych otrzymaliśmy dwa rodzaje metryk w zależności od zmiennej czy od U lub czy to V będziemy za pomocą ich pisali naszą metrykę, tzn. czy (12.9) lub (12.10).

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U[edytuj]

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (12.6) przy metryce (12.9). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

(12.11)

A także też wyznaczmy pochodną funkcji U względem położenia radialnego r:

(12.12)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej można napisać różniczkę zmiennej U, korzystając z policzonych pochodnych cząstkowych przestawionych w punkcie (12.11) oraz w punkcie (12.12):

(12.13)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę (12.9) tzn.: przy zmiennej U, wyznaczając wyrażenie:





(12.14)

Na podstawie (12.14) i definicji metryki Eddigtona-Finkelsteina ze zmienną U (12.9) metryka ta przechodzi w metrykę Schwarzchilda (8.67), a więc nasza metryka jest poprawna dla pola sferycznie symetrycznego.

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V[edytuj]

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (12.8) przy metryce (12.10). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

(12.15)

a teraz wyznaczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego współrzędnościowego:

(12.16)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej znanej z analizy można napisać różniczkę zmiennej V korzystając z (12.15) i (12.16) w postaci:

(12.17)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę tzn.: przy zmiennej V, wyznaczając wyrażenie:





(12.18)

Czyli doszliśmy, że metryka Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V (12.10) przechodzi w metrykę Schwarzchilda (8.67), czyli otrzymaliśmy wniosek, że ta nasza metryka dla pola sferycznie symetrycznego jest poprawnie zdefiniowana.