Ogólna teoria względności/Promieniowanie grawitacyjne

Promieniowanie grawitacyjne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj będziemy się zajmować falami grawitacyjnymi, tzn. co to są fale grawitacyjne, czy to jest fala poprzeczna czy podłużna, dlaczego prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej, jak można wykryć fale grawitacyjną za pomocą rezonatora grawitacyjnego, jak je wytwarzać.

Propagacja fal grawitacyjnych

Udowodnimy, że dla naszego pola grawitacyjnego niestacjonarnego w dużej odległości od źródła, pole grawitacyjne rozchodzi się na w sposób fali. Tensor Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych daleko od źródła grawitacyjnego przedstawia się wedle schematu (7.35) i daleko od źródła tensor gęstości energii znika T^αβ=0, bo w rozważanym punkcie gęstość jest już równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe. Z równania grawitacji Einsteina, dla zerowego tensora gęstości energii-pędu powyższego równania, oczywiste jest, że tensor Einsteina G^αβ=0.

Z zerowania się tensora gęstości energii i równanie grawitacji Einsteina (1.63) po pomnożeniu jego przez dwa i korzystając z definicji operatora d'Alemberta mamy z oczywistych powodów:

$0=\square {\overline {h}}_{\alpha \beta }\Rightarrow \left(-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right){\overline {h}}^{\alpha \beta }=0$

(9.1)

Końcowe równanie (9.1) jest równaniem falowym, a poniżej podamy jego rozwiązanie w postaci poniżej, którego to zapis zależy od czterowektora kontrawariantnego położenia x^μi czterowektora kowariantnego liczby falowej k^μ:

${\overline {h}}^{\alpha \beta }=A^{\alpha \beta }e^{ik_{\mu }x^{\mu }}$

(9.2)

Końcowe równanie falowe (9.1) po podstawieniu do niego rozwiązania falowego (9.2) i zakładając przy tym, że stała tensorowa A^αβ występująca w naszym wspomnianym rozwiązaniu jest stałą dowolną:

$\eta ^{\mu \nu }{{\overline {h}}^{\mu \nu }}_{,\mu ,\nu }=0\Rightarrow \eta ^{\mu \nu }k_{\mu }k_{\nu }{\overline {h}}^{\alpha \beta }=0\Rightarrow \eta ^{\mu \nu }k_{\mu }k_{\nu }=0\Rightarrow k_{\mu }k^{\mu }=0\;$

(9.3)

Wielkość występująca w ${\overline {h}}^{\alpha \beta }$ pod eksponensem zapisanej w punkcie (9.2) można rozpisać w zależności od czasu i wektora ${\vec {r}}\;$ wedle sposobów w zależności wprost proporcjonalnej od częstotliwości kołowej i zwykłej liczby falowej k.

$k_{\alpha }x^{\alpha }=k_{0}ct+\mathbf {k} {\vec {r}}$

(9.4)

Jeśli weżniemy, że zachodzi dla fotonu podróżującego wzdłuż wektora przestrzennego ${\vec {k}}\;$, którego elementy są to składowe czterowektora k^μ bez jej współrzędnej czasowej:

$x^{\alpha }(\lambda )=k^{\alpha }\lambda +l^{\alpha }\;$

(9.5)

Ależ wiadomo jednak, że l^λ jest stałym tensorem (wektorem). Możemy podstawić (9.5) do (9.4) i się przekonamy, że względem rozwiązania (9.5) wyrażenie (9.4) jest wielkością stałą na podstawie końcowego wyrażenia (9.3), że długość czterowektora $k^{\mu }\;$ w czasoprzestrzeni jest wielkością stałą:

$k_{\alpha }x^{\alpha }=k_{\alpha }k^{\alpha }\lambda +k_{\alpha }l^{\alpha }=\operatorname {const} \Rightarrow k_{\alpha }x^{\alpha }=k_{\alpha }l^{\alpha }$

(9.6)

Znając definicję częstotliwości kołowej i liczby falowej poprzez długość fali grawitacyjnej, które można zapisać te wielkości fizyczne wedle:

$k_{0}={{\omega } \over {c}}\;$

(9.7)

$k=|{\vec {k}}|={{2\pi } \over {\lambda }}\;$

(9.8)

Możemy wykorzystać z równości końcowej (9.3) i wykorzystując dwie tożsamości (9.7) oraz (9.8), wtedy to nasze wyrażenie rozpiszmy na część czasową i przestrzenną , wtedy możemy powiedzieć, że fala grawitacyjna rozchodzi się z prędkością fazową równą prędkości światła c:

$k_{\mu }k^{\mu }=0\Rightarrow k_{0}k_{0}-k_{i}k_{i}=0\Rightarrow k_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{3}k_{i}^{2}\Rightarrow {{\omega ^{2}} \over {c^{2}}}={\vec {k}}^{2}\Rightarrow \omega =\left|{\vec {k}}\right|c\Rightarrow \omega =kc\;$

(9.9)

Dla (9.7) (współrzędna czasowa liczby falowej) i (9.8) (długość liczby falowej w przestrzeni) przy k^μ, na którą składa się na jej część czasową i przestrzenną, wtedy równanie (9.2) piszemy:

${\overline {h}}^{\alpha \beta }=A^{\alpha \beta }e^{i\left({{\omega } \over {c}}ct+{\vec {k}}{\vec {r}}\right)}\Rightarrow {\overline {h}}^{\alpha \beta }=A^{\alpha \beta }e^{i\left(\omega t+{\vec {k}}{\vec {r}}\right)}\;$

(9.10)

Wykorzystując definicję prędkości fazowej i grupowej znanej z fizyki ogólnej i zależności końcowej (9.9):

$v_{f}={{\omega } \over {k}}={{kc} \over {k}}=c\;$

(9.11)

$v_{g}={{d\omega } \over {dk}}={{dkc} \over {dk}}=c\;$

(9.12)

Na podstawie obliczeń (9.11) i (9.12) udowodniliśmy, że prędkość grupowa i fazowa fal grawitacyjnych są sobie równe, ze względu na właściwości czterowektora falowego w czasoprzestrzeni.

Do naszego rozwiązania (9.2) należy dodać cechowanie pola grawitacyjnego (7.33), czyli wielkości ${\overline {h}}^{\alpha \beta }$, czyli z tego cechowania wynika końcowa tożsamość:

${{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }=0\Rightarrow A^{\alpha \beta }k_{\beta }e^{ik_{\alpha }x^{\alpha }}=0\Rightarrow A^{\alpha \beta }k_{\beta }=0$

(9.13)

Wedle powyższych rozważań udowodniliśmy, że fale grawitacyjne są falami poprzecznymi, bo iloczyn skalarny między czterowektorem liczby falowej i tensorem amplitudy fali grawitacyjnej (9.2) jest równy zero.

Bezśladowe cechowanie poprzeczne Lorentza

Mamy sobie nowy układ współrzędnych względem starego układu, w obu układach panuje cechowanie Lorentza (7.29), dla równości różniczkowej (7.28) znajdźmy sobie taki tensor ξ^α przy tych cechowaniach w starym i w nowym układzie współrzędnych, który spełnia równanie różniczkowe (7.28) tożsamościowo, zatem nasz wspomniany tensor musi zatem spełniać w takim przypadku równanie różniczkowe:

$\square \xi ^{\alpha }=0\;$

(9.14)

Rozwiązaniem równania (9.14) jest rozwiązaniem w postaci funkcji zależnej od czterowektora falowego k_μ wedle:

$\xi ^{\alpha }=B^{\alpha }e^{ik_{\mu }x^{\mu }}\;$

(9.15)

Mając rozwiązaniem równania falowego (9.2) i rozwiązanie w postaci funkcji ξ (9.15) równania (9.14), wtedy równość końcową (7.25) możemy zapisać na podstawie:

${A'}_{\alpha \beta }=A_{\alpha \beta }-iB_{\alpha }k_{\beta }-iB_{\beta }k_{\alpha }+i\eta _{\alpha \beta }B^{\mu }k_{\mu }\;$

(9.16)

Obierzmy sobie dodatkowe cechowania obowiązujące w nowym układzie współrzędnych wedle sposobów:

${{A'}^{\alpha }}_{\alpha }=0\;$

(9.17)

${A^{'}}_{\alpha \beta }U^{\beta }=0\;$

(9.18)

Przedstawmy teraz tożsamości wynikające z (9.17) oraz z (7.21), wtedy na podstawie tego otrzymujemy dwa poniższe warunki:

${\overline {h}}={{\overline {h}}^{\alpha }}_{\alpha }=0\;$

(9.19)

$h_{\alpha \beta }={\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$

(9.20)

Równość tensorową (9.16) na podstawie pierwszego cechowania (9.17) możemy napisać w postaci:

$0={A^{\alpha }}_{\alpha }-iB^{\alpha }k_{\alpha }-iB_{\alpha }k^{\alpha }+i{\delta ^{\alpha }}_{\alpha }B^{\mu }k_{\mu }\Rightarrow 0={A^{\alpha }}_{\alpha }+2iB^{\alpha }k_{\alpha }\;$

(9.21)

Mamy cztery wartości tensora B^α przy jakiś wartościach A_αβ, czyli mamy jedno tensorowe równanie więzów z czterema niewiadomymi. Weźmy sobie pod lupę cechowanie (9.17) na podstawie obrania nowego układu spełniającego to cechowanie, wtedy na podstawie (9.16) dostajemy znów inną tożsamość:

$0=A_{\alpha \beta }U^{\beta }-iB_{\alpha }k_{\beta }U^{\beta }-iB_{\beta }k_{\alpha }U^{\beta }+i\eta _{\alpha \beta }B^{\mu }k_{\mu }U^{\beta }\Rightarrow A_{\alpha \beta }U^{\beta }=iB_{\alpha }k_{\beta }U^{\beta }+iB_{\beta }k_{\alpha }U^{\beta }-i\eta _{\alpha \beta }B^{\mu }k_{\mu }U^{\beta }\;$

(9.22)

Jeśli pomnożyć końcowe równanie (9.22) przez k^α, to lewa strona tejże wspomnianej równości wedle warunku na poprzeczność fal grawitacyjnych wynikające z warunku cechowania Lorentza (9.13) co stąd wynika, że ta strona naszego równania jest zawsze równa zero, ale przy jakich B_α, zatem z (9.22) mamy:

$0=k^{\alpha }iB_{\alpha }k_{\beta }U^{\beta }+k^{\alpha }iB_{\beta }U^{\beta }k_{\alpha }-ik^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }U^{\beta }B^{\mu }k_{\mu }\Rightarrow 0=k^{\alpha }iB_{\alpha }k_{\beta }U^{\beta }-ik_{\beta }U^{\beta }B^{\mu }k_{\mu }\Rightarrow 0=0\;$

(9.23)

Na podstawie (9.23) jest ona spełniona bez względu jakie wartości przyjmuje B_α, zatem dostajemy na podstawie wiadomości z algebry, że równość tensorowa (9.22) ma w sobie trzy niezależne równania z czterema niewiadomymi B_α. Jeśli połączymy równanie (9.22) z (9.21) dostajemy cztery niezależne równania z czteroma niewiadomymi, którymi są elementy tensora B_α, których jest cztery, zatem na podstawie znanych A_αβ możemy wyznaczyć właśnie elementy tensora B_α jednoznacznie. Dochodzimy do wniosku, że cechowania (9.17) i (9.18) są spełnione w jakimś tam układach odniesienia, których jest nieskończenie wiele jak przy cechowaniu Lorentza (7.33). Jeśli założymy, że cząstka spoczywa, to wtedy mamy U^β=δ^β₀, wtedy na podstawie równania (9.18) mamy 0=A_αβδ^β₀=A_{α 0}, zatem na podstawie symetryczności A_αβ pierwsza kolumna i wiersz są zerowymi wielkościami. Jeśli przyjąć, że cząstka porusza się w kierunku osi zetowej, czyli jego czterowektor liczby falowej jest:

$k^{\mu }=(k^{1}={{\omega } \over {c}},0,0,k)\;$

(9.24)

wtedy warunek (9.13) implikuje 0=A_αβk^β=k³A_α3, zatem na podstawie tego rozważania i symetryczności A_αβ dostajemy, że trzecia kolumna i wiersz są wielkościami zerowymi. Jeśli weźmiemy dodatkowo warunek (9.18), z poprzednimi rozważaniami: 0=A^α_α=A_xx+A_yy⇒A_yy=-A_xx, zatem naszą macierz A_αβ możemy zapisać:

$A_{\alpha \beta }^{TT}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&A_{xx}&A_{xy}&0\\0&A_{xy}&-A_{xx}&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$

(9.25)

Wpływ fal grawitacyjnych na swobodną cząstkę

Cząstka spoczywająca nie ma elementów przestrzennych czterowektora prędkości, wtedy wzór na linię geodezyjną (Niedopasowany uchwyt: 1.74), gdy parametr $\lambda \;$ jest interwałem czasoprzestrzennym, możemy zapisać:

${{du^{\alpha }} \over {ds}}=-{\Gamma ^{\alpha }}_{00}\;$

(9.26)

Do wzoru (9.26) bardzo nam są potrzebne elementy tensora Christoffela na podstawie (9.2) i na podstawie elementów amplitudy tensorowej A^αβ(9.25), które to Γ^α₀₀ następnie wyznaczymy, zatem do dzieła:

${\Gamma ^{\alpha }}_{00}={{1} \over {2}}\eta ^{\alpha \beta }\left(h_{\beta 0,0}+h_{0\beta ,0}-h_{00,\beta }\right)\;$

(9.27)

Zatem na podstawie równania na fale grawitacyjne przy obranym cechowaniu (9.17) i (9.18) oraz macierzy tensora amplitud (9.25), a także względem równania fali (9.2), przy obranym cechowaniu zachodziłoby (9.20) oraz że te amplitudy nie mają wierszy oraz kolumn o numerze zerowym oraz jego elementy nie zależą od czasu, zatem elementy tensora Christoffela (9.27) są wielkościami zerowymi, czyli znikają, zatem na podstawie (9.26) cząstka spoczywająca współrzędnościowo pozostanie nadal cząstką spoczywającą, ponieważ cząstka która ma czteroprędkość a właściwie jej część przestrzenną, która równa jest nadal zero, dalej będzie miała ten sam czteroprędkość, którego zmiana jest równa zero wedle naszej metryki przy przyjętych cechowaniu. Zatem dochodzimy do wniosku, że fala grawitacyjna wcale nie wpływa na ruch punktowej masy wedle współrzędnych czteropołożenia położenia, ale to nic nie znaczy. Fala grawitacyjna może zmieniać odległość właściwą między dwoma punktami w sposób wedle (1.16):

$\Delta l=\int \left|ds^{2}\right|^{{1} \over {2}}=\int \left|g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\right|^{{1} \over {2}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|g_{xx}\right|^{{1} \over {2}}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|\eta _{xx}+h_{xx}\right|^{{1} \over {2}}dx\simeq x_{2}-x_{1}-{{1} \over {2}}h_{xx}(x_{2}-x_{1})\;$

(9.28)

Również jak się przekonamy, że za pomocą zmiany długości właściwej Δl można wykryć budując pewne układu fizyczne, mimo że fala grawitacyjna nie działa na punktowe masy.

Równanie dewiacji a odległość wektorowa pomiędzy obydwa spoczywającymi współrzędnościowo cząstkami

Równanie dewiacji z którego będziemy korzystać jest to (Niedopasowany uchwyt: 1.90), i w nim zakładamy, że cząstka spoczywa współrzędnościowo, bo prędkości współrzędnościowe przestrzenne jako są równe zero, i będziemy badali odległość przestrzenną iksową odległości pomiędzy dwoma cząstkami, wtedy czterowektor prędkości i odległość początkowa pomiędzy dwoma cząstkami przestawiamy jako U^μ=(1,0,0,0),ξ^μ=(0,ε,0,0). W takim wypadku równanie dewiacyjne możemy napisać poniżej wykorzystując przy tym twierdzenie (MMF-2.108):

${{d^{2}\xi ^{\lambda }} \over {d\lambda ^{2}}}={{1} \over {c^{2}}}{{d^{2}\xi ^{\lambda }} \over {dt^{2}}}=\epsilon {R^{\alpha }}_{00x}=-\epsilon {R^{\alpha }}_{0x0}\;$

(9.29)

Dla słabego pola grawitacyjnego mamy (7.1), wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny R^α_0x0 (MMF-2.103) możemy napisać z definicji tensora fali grawitacyjnego (9.2) i definicji tensora amplitudy (9.25):

${\begin{cases}{R^{x}}_{0x0}=R_{x0x0}=-{{1} \over {2}}h_{xx,0,0}\\{R^{y}}_{0x0}=R_{y0x0}=-{{1} \over {2}}h_{xy,0,0}\\{R^{y}}_{0y0}=R_{y0y0}=-{{1} \over {2}}h_{yy,0,0}=-{R^{x}}_{0x0}\end{cases}}\;$

(9.30)

Wszystkie pozostałe elementy tensora krzywizny inne niż policzone powyżej są równe zero, i ich nie podaliśmy, bo dowód zerowania się ich jest trywialny. Równania dewiacyjne w kierunku osi iksowej piszemy jako:

${{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\xi ^{x}={{1} \over {2}}\epsilon {{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}h_{xx}\;$

(9.31)

${{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\xi ^{y}={{1} \over {2}}\epsilon {{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}h_{xy}\;$

(9.32)

Jeśli tensor ξ^α jest zdefiniowany w kierunku osi igrekowej, wtedy otrzymujemy dwa równania dewiacyjne:

${{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\xi ^{y}={{1} \over {2}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}h_{yy}=-{{1} \over {2}}\epsilon {{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}h_{xx}\;$

(9.33)

${{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}\xi ^{x}={{1} \over {2}}\epsilon {{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}h_{xy}\;$

(9.34)

Ścisła fala grawitacyjna wynikająca z praw grawitacji Einsteina

Wszystkie fale grawitacyjne, których chcemy zaobserwować na Ziemi są to fale, które są opisywane przy pomocy teorii zlinearyzowanej, ale chcemy opisać fale grawitacyjne przy pomocy teorii dokładnej, czyli opisywanej przy pomocy dokładnego równania grawitacji Einsteina. Obierzmy teraz dwie zmienne nowe zdefiniowane przy pomocy zmiennych t i z, których definicje są:

$u=ct-z\;$

(9.35)

$v=ct+z\;$

(9.36)

Mamy sobie zdefiniowany interwał czasoprzestrzenny w przestrzeni Minkowskiego (1.8) i wykorzystując równania na zmienne u (9.35) i (9.36), z których wyznaczmy wzory na zmienne "u" i "ct", co w ten sposób możemy napisać ten nasz interwał czasoprzestrzenny w tychże zmiennych:

$ds^{2}={{1} \over {4}}d(u+v)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-{{1} \over {4}}d(v-u)^{2}={{1} \over {4}}\left(du^{2}+dv^{2}+2dudv\right)-dx^{2}-dy^{2}-{{1} \over {4}}\left(du^{2}+dv^{2}-2dudv\right)=\;$
$=dvdu-dx^{2}-dy^{2}\;$

(9.37)

Zobaczymy, że fale grawitacyjne wpływają na odległości prostopadłe w stosunku do biegu fali grawitacyjnej przy jej opisie, która wynika z jej teorii dokładnej, czyli z równań grawitacji Einsteina. W tym celu napiszmy interwał czasoprzestrzenny, w których wprowadzimy funkcje f(u) i g(u), które są zależne od zmiennej "u":

$ds^{2}=dudv-f^{2}(u)dx^{2}-g^{2}(u)dy^{2}\;$

(9.38)

Napiszemy teraz wszystkie niezerowe elementy tensora Christoffela i niezerowe elementy tensory czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

${\Gamma ^{x}}_{xu}={{\dot {f}} \over {f}}\;$

(9.39)

${\Gamma ^{y}}_{yu}={{\dot {g}} \over {g}}\;$

(9.40)

${\Gamma ^{v}}_{xx}={{1} \over {2}}{\dot {f}}f\;$

(9.41)

${\Gamma ^{v}}_{yy}={{1} \over {2}}{\dot {g}}g\;$

(9.42)

${R^{x}}_{uxu}=-{{\ddot {f}} \over {f}}\;$

(9.43)

${R^{y}}_{uyu}=-{{\ddot {g}} \over {g}}\;$

(9.44)

$R=R_{uu}=-{{\ddot {f}} \over {f}}-{{\ddot {g}} \over {g}}\;$

(9.45)

Z powyższych wnioskach możemy napisać tensory Einsteina i dowiemy się, że tensor Einsteina G_μν posiada również elementy niediagonalne oprócz jej elementów diagonalnych:

$G_{uu}=R_{uu}-{{1} \over {2}}g_{uu}R=-{{\ddot {f}} \over {f}}-{{\ddot {g}} \over {g}}-{{1} \over {2}}\cdot 0\cdot R=-{{\ddot {f}} \over {f}}-{{\ddot {g}} \over {g}}\;$

(9.46)

$G_{uv}=R_{uv}=R_{vu}-{{1} \over {2}}g_{uv}R=-{{1} \over {2}}(-1)R=-{{1} \over {2}}{{1} \over {2}}\left(-{{\ddot {f}} \over {f}}-{{\ddot {g}} \over {g}}\right)={{1} \over {4}}\left({{\ddot {f}} \over {f}}+{{\ddot {g}} \over {g}}\right)\;$

(9.47)

Będziemy badać fale rozprzestrzeniające tam gdzie nie ma masy, wtedy z równania grawitacji Einsteina (1.63), gdy tensor napięć-energii jest równy zero, mamy:

${{\ddot {f}} \over {f}}+{{\ddot {g}} \over {g}}=0\;$

(9.48)

Jako funkcję f(u) możemy przyjąć jako dowolną funkcję i rozwiązać równanie dla g(u). Możemy funkcję f(u) w taki sposób napisać jako funkcję opisującą pewnego rodzaju falę podobną do (9.2) i zapytać siebie jaka jest funkcja przy tak postawionych warunkach, czyli g(u). Dla przypadku prawie liniowego funkcja f(u) jest bliska jedności:

$f\simeq 1+\epsilon (u)\;$

(9.49)

wtedy funkcja g(u) jest prawie liniowa i w zależności od funkcji prawie liniowej f(u) (9.47) możemy napisać jej rozwiązanie:

$g\simeq 1-\epsilon (u)\;$

(9.50)

Detekcja fal grawitacyjnych

(Rys. 9.1) Detektor rezonansowy dla wykrycia fal grawitacyjnych.

Załóżmy, że mamy układ o współczynnik tłumienia ν i sprężyny o stałej sprężystości k, który jest oscylatorem harmonicznym tłumionym. Dla pierwszej i drugiej kulki rozważanego układu, równanie ruchu ma się:

${\begin{cases}mx_{1,0,0}=k(x_{2}-x_{1}-l_{0})-\nu (x_{1}-x_{2})_{,0}\\mx_{2,0,0}=-k(x_{2}-x_{1}-l_{0})-\nu (x_{2}-x_{1})_{,0}\end{cases}}\;\;$

(9.51)

Możemy odejmować dwa równania (9.51) od siebie w naszym układzie równań otrzymując wynikowe równanie, które należy rozwiązać:

$m(x_{2}-x_{1})_{,0,0}=-2k(x_{2}-x_{1}-l_{0})-2\nu ({\dot {x_{2}}}-{\dot {x_{1}}})\;\;$

(9.52)

Wprowadźmy nowe oznaczenia (parametry), które wykorzystamy do równania różniczkowego (9.52), tzn. parametr ξ (która jest zależna od położenia obu kulek i długości własnej użytej sprężynki), częstotliwości własnej układu ω₀ (zależna od stałej sprężystości sprężynki i masy tej sprężynki), a także od stałej γ (która jest zależna od stałej tłumienia γ i masy sprężynki), zatem te podstawienia:

$\xi =x_{2}-x_{1}-l_{0}\;\;$

(9.53)

$\omega _{0}^{2}={{2k} \over {m}}\;\;$

(9.54)

$\gamma ={{\nu } \over {m}}\;\;$

(9.55)

Na podstawie oznaczeń ξ (9.53), ω₀² (9.54) i γ (9.55), wtedy równanie (9.52) przechodzi przy tych nowych oznaczeniach w równoważną postać:

$\xi _{,0,0}+\omega _{0}^{2}\xi +2\gamma \xi _{,0}=0\;\;$

(9.56)

W równaniach ruchu dla dwóch kulek (9.51) zastosowaliśmy równania ruchu Newtona, bo mamy do czynienia z prędkościami bardzo małymi (o wiele mniejszymi od prędkości światła).

Ponieważ mamy do czynienia z ogólną teorią względności, czyli mamy do czynienia z teorią grawitacją Einsteina, to powyższe wywody nie są w ogólności spełnione i chwilową długość sprężyny jest inna niż zakładana, bo sprężyna jest w układzie dwóch kulek, których fala grawitacyjna zakłóca prawdziwą długość sprężyny, długość sprężyny według rozważanej metryki jest inna niż metryce Minkowskiego (czasoprzestrzeń płaska), jeśli sprężyna jest położona wzdłuż osi iksowej w przestrzeni, ma długość na podstawie (9.28) wyrażonej według:

$l(t)=x_{2}-x_{1}-{{1} \over {2}}h_{xx}(x_{2}-x_{1})\;\;$

(9.57)

Należy pamiętać, że długość l₀ jest bardzo mała w porównaniu z długością jakim światło może przebyć w ciągu jednej sekundy. Równania (9.51) możemy zapisać w bardziej ogólny sposób uwzględniając jako sprężynę w ruchu, który ma w tej chwili długość l i zapisać je nie jako różnica położeń dwóch kul z dokładnością do znaku, ale jako różnica aktualnej długości kulki l i jej długości początkowej, bo tutaj nie mamy przestrzeni płaskiej tylko przestrzeń zakrzywioną i uwzględniając jakoby fala grawitacyjna nie oddziaływuje współrzędnościowo z punktowymi masami jako osobno, co tutaj jest ważne, ale kulki oddziałują ze sobą tylko za pomocą sprężynki przez promieniowanie grawitacyjne, które to kulki były początkowo w spoczynku przed dotarciem do nich tej rozważanej fali:

${\begin{cases}mx_{1,0,0}=k(l-l_{0})+\nu (l-l_{0})_{,0}\\mx_{2,0,0}=-k(l-l_{0})-\nu (l-l_{0})_{,0}\end{cases}}\;$

(9.58)

Wprowadźmy nowe oznaczenia, która jest funkcją iksowych położeń kul, i poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego i długości początkowej sprężyny nierozciągniętej i jest oznaczona ona przez tożsamość:

$\xi =l-l_{0}=x_{2}-x_{1}-l_{0}-{{1} \over {2}}h_{xx}(x_{2}-x_{1})\;\;$

(9.59)

Na podstawie powyższej tożsamości możemy napisać przekształcenia wyznaczając różnicę współrzędnych iksowych dwóch rozważanych kulek:

$x_{2}-x_{1}\simeq \xi +l_{0}+{{1} \over {2}}h_{xx}l_{0}\;\;$

(9.60)

Powyżej przyjęliśmy, że zmiana długości własnej sprężynki stojąca przy h_xx dla słabego pola grawitacyjnego jest bardzo mała, zatem różnica położeń kulek jest w przybliżeniu równa długości sprężynki. Równość (9.51) z poprawką na chwilową długość sprężyny, która jest nie równa różnicy współrzędnych iksowych kulek w zakrzywionej czasoprzestrzeni:

$m(x_{2}-x_{1})_{,0,0}=-2k(l-l_{0})-2\nu (l-l_{0})_{,0}\;\;$

(9.61)

Wykorzystując oznaczenia na parametry ξ (9.59), oraz na ω₀² (9.54) i γ (9.55), to równanie różniczkowe (9.61) zapisujemy poniżej, który również zawiera poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego dla tychże rozważanych kulek, a także zawiera zmianę długości sprężyny l-l₀ zapisanej według (9.60):

$\xi _{,0,0}+\omega _{0}^{2}\xi +2\gamma \xi _{,0}=-{{1} \over {2}}h_{xx,0,0}l_{0}\;\;$

(9.62)

Powyższe równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego tłumionego z przyłożoną siłą, która zmienia się w sposób harmoniczny (w tym przypadku promieniowanie grawitacyjne, które działa na kule poprzez sprężynkę).

Fala kulista w dużej odległości od źródła jest falą w przybliżeniu płaską, a zatem jeśli ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;\;$ opisuje falę płaską wedle definicji tensora Einsteina (7.35) dla tensora gęstości energii równej zero, wtedy równania grawitacji Einsteina opisują ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$ wedle (9.2), jeśli częstotliwość tej fali jest jakaś tam, to częstotliwość fali $h_{xx}\;$, wedle równości (7.20) jest taka sama, zatem jeśli pierwsza zmienia się względem funkcji kosinus (dla ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$), to druga też, zatem niech będą funkcje $h_{xx}\;$ i $\xi \;$, która zmieniają się względem czasu z częstotliwością Ω:

$h_{xx}=A\cos(\Omega t)\;\;$

(9.63)

$\xi =R\cos(\Omega t+\varphi )\;\;$

(9.64)

Powyższe dwa równania są prawdziwe, bo można tak wybrać przesunięcie fazowe oraz Ω, by były spełnione równania ruchu dwóch kulek w polu grawitacyjnym, których drgania kulek maja się jak promieniowanie grawitacyjne.

Podstawiamy za h_xx równania fali grawitacyjnej (9.63) i przemieszczenia harmonicznego kulek (9.64), którego zmianę powoduje fala grawitacyjna (promieniowanie grawitacyjne) o takiej samej częstotliwości co fala grawitacyjna, do równości (9.62), co w rezultacie ono przyjmuje postać:

$-\Omega ^{2}R\cos(\Omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}R\cos(\Omega t+\varphi )-2\gamma R\Omega \sin(\Omega t+\varphi )={{1} \over {2}}l_{0}A\Omega ^{2}\cos(\Omega t)\;\;$

(9.65)

Co po krótkich przestawianiach wyrazów w tożsamości (9.65), czyli grupując wyrazy stojące przy funkcji sinus i kosinus:

$\cos(\Omega t+\varphi )R\left[-\Omega ^{2}+\omega _{0}^{2}\right]-2\gamma R\Omega \sin(\Omega t+\varphi )={{1} \over {2}}l_{0}A\Omega ^{2}\cos(\Omega t)\;\;$

(9.66)

Wykorzystując z własności kosinusów i sinusów sumy składników pod tymi funkcjami trygonometrycznymi możemy zapisać (9.66) rozwijając w odjemnej naszej tożsamości funkcji kosinus i odjemniku funkcję sinus:

$\left(\cos(\Omega t)\cos \varphi -\sin(\Omega t)\sin \varphi \right)R(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})-2\gamma R\Omega \left(\cos(\Omega t)\sin \varphi +\sin(\Omega t)\cos \varphi \right)=\;$
$={{1} \over {2}}l_{0}A\Omega ^{2}\cos(\Omega t)\;$

(9.67)

Grupujemy wyrazy z kosinusami i sinusami, których argumentem jest Ω t we wzorze (9.67) i aby ona zachodziła dla dowolnych chwili czasu t, to nasze wspomniane równanie przechodzi w dwa równania równoważne pierwotnemu.

$(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})R\cos \varphi -2\gamma R\Omega \sin \varphi ={{1} \over {2}}l_{0}A\Omega ^{2}\;$

(9.68)

$-(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})R\sin \varphi -2\gamma R\Omega \cos \varphi =0\;$

(9.69)

Z tożsamości uzyskanej w punkcie (9.69) możemy wyznaczyć tanges przesunięcia fazowego kulek względem fali promieniowania grawitacyjnego, który jak udowodnimy zależy tylko od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i częstotliwości własnej detektora fali grawitacyjnej:

$\operatorname {tg} (\varphi )={{2\gamma \Omega } \over {\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\;\;$

(9.70)

Pomnóżmy równanie (9.68) przez wyrażenie $2\gamma \Omega \;\;$, czyli podwojony iloczyn stałej tłumienia γ i częstotliwości drgań fali grawitacyjnej, wtedy dostajemy tożsamość:

$(\omega _{0}-\Omega ^{2})2\gamma \Omega R\cos \varphi -4R\gamma ^{2}\Omega ^{2}\sin \varphi =l_{0}A\gamma \Omega ^{3}\;\;$

(9.71)

a także wykorzystując również tożsamość (9.69), którą podstawiamy do tożsamości (9.71), wtedy oczywiście dostajemy wniosek:

$-(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})R\sin \varphi -4R\gamma ^{2}\Omega ^{2}\sin \varphi =l_{0}A\gamma \Omega ^{3}\Rightarrow \left[(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}\right]R\sin \varphi =-l_{0}A\gamma \Omega ^{3}\;$

(9.72)

Policzmy teraz czemu jest równa funkcja sinφ wyrażając kwadrat kotangensa względem kwadratu funkcji sinus φ, korzystając z definicji tangensa kąta, który jest ilorazem sinusa kąta φ przez jego kosinus tego samego kąta, i jeszcze korzystając z definicji jedynki trygonometrycznej, możemy napisać:

$\operatorname {ctg} ^{2}\varphi ={{\cos ^{2}\varphi } \over {\sin ^{2}\varphi }}={{1-\sin ^{2}\varphi } \over {\sin ^{2}\varphi }}=\sin ^{-2}\varphi -1\Rightarrow \sin ^{-2}\varphi =\operatorname {ctg} ^{2}\varphi +1\Rightarrow \sin ^{2}\varphi ={{1} \over {\operatorname {ctg} ^{2}\varphi +1}}\;$

(9.73)

Ze wzoru na $\sin ^{2}\varphi \;$ w ostatnim rozważanym wyrażeniu (9.73) przechodzimy do wzoru na funkcję trygonometryczną dla naszego zadania:

$\sin ^{2}\varphi ={{1} \over {1+({{\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})} \over {2\gamma \Omega }})^{2}}}={{1} \over {{4\gamma ^{2}\Omega ^{2}+(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}} \over {4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}}={{4\gamma ^{2}\Omega ^{2}} \over {(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}\;$

(9.74)

Równość (9.74) możemy spierwiastkować obustronnie, tak by po lewej stronie wspomnianego równania otrzymać sam sinus kata φ, wtedy otrzymujemy wyrażenie:

$\sin \varphi ={{2\gamma \Omega } \over {\sqrt {(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}}\;$

(9.75)

Wyznaczony wzór na funkcję sinφ zapisanej i udowodnionej w punkcie (9.75) podstawiamy do wzoru uzyskanego wcześniej w punkcie (9.72), wtedy można otrzymać tożsamość, którą poddamy dalszej obróbce:

$\left[(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}\right]R{{2\gamma \Omega } \over {\sqrt {(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}}=-l_{0}A\gamma \Omega ^{3}\Rightarrow 2\gamma \Omega R{\sqrt {(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}=-l_{0}A\gamma \Omega ^{3}\;$

(9.76)

Zatem amplituda drgań dla oscylatora harmonicznego tłumionego jest napisana wedle wzoru poniżej, która jest zależna od częstotliwości kołowej drgań fali grawitacyjnej Ω, częstotliwości własnej układu własnego ω₀ i współczynnika tłumienia γ:

$R=-{{{{1} \over {2}}l_{0}A\Omega ^{2}} \over {\sqrt {(\Omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\Omega ^{2}}}}\;$

(9.77)

Jest ona zależna od częstotliwości rezonansowej ω₀ i współczynnika pełniącego rolę współczynnika tłumienia γ. Energia układu (oscylatora harmonicznego tłumionego) jest zdefiniowana jako energia kinetyczna obu kulek i energii potencjalnej sprężyny w polu grawitacyjnym, bo tutaj sprężynka znajduje się w polu promieniowania grawitacyjne oddziałujące ze sprężynką.

$E={{1} \over {2}}m(x_{1,0})^{2}+{{1} \over {2}}m(x_{2,0})^{2}+{{1} \over {2}}k\xi ^{2}\;$

(9.78)

Jeśli dodamy do siebie dwa równania układu równań (9.58) do siebie, wtedy otrzymamy równanie różniczkowe poniżej i założymy że nasz układ był w spoczynku, zanim dodarła do naszego badanego układu fala grawitacyjna, czyli przyjmujemy, że C=0, który jest warunkiem brzegowym:

$(x_{2}+x_{1})_{,0,0}=0\Rightarrow x_{2,0}+x_{1,0}=C\Rightarrow x_{2,0}=-x_{1,0}+C\;$

(9.79)

Parametr (9.59) można zapisać, jeśli przyjmiemy założenie, że mamy do czynienia z słabym polem grawitacyjnym w postaci fal grawitacyjnym, wtedy czwarty człon w nim możemy pominąć:

$\xi =l-l_{0}=x_{2}-x_{1}-l_{0}-{{1} \over {2}}h_{xx}l_{0}\simeq \xi =x_{2}-x_{1}-l_{0}\Rightarrow \xi _{,0}\simeq x_{2,0}-x_{1,0}=2x_{2,0}$

(9.80)

zatem wedle obliczeń (9.80), które dokonaliśmy w tymże punkcie i dla naszych warunków brzegowych możemy napisać tożsamość między prędkościami dwóch kulek.

$x_{1,0}=-x_{2,0}=-{{1} \over {2}}\xi _{,0}\;$

(9.81)

Energia układu (9.78) po wykorzystaniu dwóch podstawień do którego będziemy wykorzystywali obliczenia (9.81), które wynika z punktu przestawionego wzorem (9.80), wtedy ową energię chwilową zapisujemy wedle schematu poniżej, która jest zależna od pochodnej zmiennej ξ względem czasu i samego przesunięcia ξ, którego to ξ jest to przesunięcie od położenia równowagi obu rozważanych w tym zadaniu kulek układu fizycznego:

$E={{1} \over {2}}m(-{{1} \over {2}}\xi _{,0})^{2}+{{1} \over {2}}m({{1} \over {2}}\xi _{,0})^{2}+{{1} \over {2}}\omega _{0}^{2}({{1} \over {2}}\xi )^{2}\Rightarrow E={{1} \over {4}}m\left(\xi _{,0}^{2}+\omega _{0}^{2}\xi ^{2}\right)\;$

(9.82)

Wykorzystujemy definicję parametru ξ napisanej w punkcie (9.64), które to podstawiamy do równości (9.82) na energię układu, wtedy owe równanie ma wygląd:

$E={{1} \over {4}}m\left(R^{2}\Omega ^{2}\sin ^{2}(\Omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}R^{2}\cos ^{2}(\Omega t+\varphi )\right)\;$

(9.83)

Wiemy jednak, że średnia wartość kwadratu kosinusa z definicji wartości średniej jest równa połowie jedynki względem czasu t, zatem co zapisujemy wzorem poniżej. Widzimy, że powyższa równość jest zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej Ω i przesunięcia fazowego φ.

$\langle \cos ^{2}(\Omega t+\varphi )\rangle =\langle \sin ^{2}(\Omega t+\varphi )\rangle ={{1} \over {2}}\;$

(9.84)

Średnia wartość energii oscylatora wedle wartości chwilowej (9.82), korzystając już z obliczonej wartości średniej kwadratu kosinusa, to średnią energię drgań układu dwóch kulek i sprężyny zapisujemy wedle:

$\langle E\rangle ={{1} \over {8}}mR^{2}(\Omega ^{2}+\omega _{0}^{2})\;$

(9.85)

Amplituda rezonansowa nazywamy takie R w tożsamości (9.77), dla które zachodzi, gdy ω₀=Ω, wtedy dochodzimy do wniosku, że mamy amplitudę rezonansową drgań przy udziale fal grawitacyjnych:

$R={{{{1} \over {2}}l_{0}\Omega ^{2}A} \over {\sqrt {4\Omega ^{2}\gamma ^{2}}}}={{{{1} \over {2}}l_{0}\Omega ^{2}A} \over {2\Omega \gamma }}={{1} \over {4}}l_{0}A{{\Omega } \over {\gamma }}\;$

(9.86)

Energia rezonansowa średnia (9.85) na podstawie amplitudy rezonansowej układu dwóch kulek połączonej sprężynką policzonej w punkcie (9.86), do której to podstawimy do wzoru na średnią energię:

$\langle E\rangle ={{1} \over {8\cdot 16}}ml_{0}^{2}A^{2}\left({{\Omega } \over {\gamma }}\right)^{2}2\Omega ^{2}={{1} \over {8\cdot 8}}ml_{0}^{2}A^{2}\Omega ^{2}\left({{\Omega } \over {\gamma }}\right)^{2}={{1} \over {64}}ml_{0}^{2}\Omega ^{2}A^{2}\left({{\Omega } \over {\gamma }}\right)^{2}\;$

(9.87)

Dobrocią oscylatora harmonicznego tłumionego nazywamy wielkość zdefiniowanej wedle sposobu poniżej, z której ją wyznaczymy dla częstotliwości rezonansowej, tzn. gdy $\Omega =\omega _{0}\;$

$Q={{\omega _{0}} \over {2\gamma }}\Rightarrow 2Q={{\Omega } \over {\gamma }}\;$

(9.88)

Energia średnia rezonansowa (9.87) w której podstawimy za stosunek ${{\Omega } \over {\gamma }}\;$ podwojoną dobroć Q, czyli z korzystamy ze wzoru (9.88), zatem tą pierwszą wielkość fizyczną możemy napisać sposobem:

${\langle E\rangle }_{rezonas}={{1} \over {16}}ml_{0}\Omega ^{2}A^{2}Q^{2}\;$

(9.89)

I co kończy nasze rozważania na temat detekcji fal grawitacyjnych.

Tensorowe twierdzenie wirialne a lokalna zasada zachowania energii

Naszym wzorem, które zechcemy udowodnić jest twierdzenie łączący tensor gęstości energii o wskaźnikach zerowych górnych (lewa strona) po przez wyrażenie z tensorem gęstości energii o wskaźnikach górnych o wartościach przestrzennych:

${{1} \over {c^{2}}}{{d^{2}} \over {dt^{2}}}\int T^{00}x^{l}x^{m}dV=2\int T^{lm}dV\;$

(9.90)

Powyższy wzór jest wzorem, w której jest dokonane całkowanie po pewnej objętości, której ogranicza pewna powierzchnia zamknięta, na której powierzchni tensor gęstości energii jest równa zero, bo tak zamknięta powierzchnia jest poza obszarem, w której tensor gęstości energii jest różny od zera. Dowód powyższego lematu opiera się na zasadzie zachowawczości tensora napięć-energii dla słabego pola grawitacyjnego (1.59):

${T^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\Rightarrow {T^{\mu 0}}_{,0}+{T^{\mu k}}_{,k}=0\Rightarrow {T^{\mu 0}}_{,0}=-{T^{\mu k}}_{,k}\;$

Zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu wiedząc, że T^μν jest równe zero na zewnątrz źródła i będziemy korzystać z symetryczności tensora gęstości energii.

${{1} \over {c^{2}}}{{d^{2}} \over {dt^{2}}}\int T^{00}x^{l}x^{m}dV={{1} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int {T^{00}}_{,0}x^{l}x^{m}dV=-{{1} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int {T^{0k}}_{,k}x^{l}x^{m}dV\;$

(9.91)

Rozwińmy tożsamość występująca we wzorze (9.91), zatem korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu trzech składników można napisać tożsamość:

$(T^{0k}x^{l}x^{m})_{,k}={T^{0k}}_{,k}x^{l}x^{m}+T^{0k}{x^{l}}_{,k}x^{m}+T^{0k}x^{l}{x^{m}}_{,k}={T^{0k}}_{,k}x^{l}x^{m}+T^{0k}{\delta ^{l}}_{k}x^{m}+T^{0k}x^{l}{\delta ^{m}}_{k}={T^{0k}}_{,k}x^{l}x^{m}+T^{0l}x^{m}+\;$
$+T^{0m}x^{l}\Rightarrow {T^{0k}}_{,k}x^{l}x^{m}=(T^{0k}x^{l}x^{m})_{,k}-T^{0l}x^{m}-T^{0m}x^{l}\;$

(9.92)

Wyrażenie końcowe zapisane w rozważanej powyżej w punkcie (9.92) możemy podstawić do tożsamości fizycznej (9.91) wynikającej z zachowalności energii i pędu, wtedy dostajemy równanie:

${{1} \over {c^{2}}}{{d^{2}} \over {dt^{2}}}\int T^{00}x^{l}x^{m}dV=-{{1} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int \left[(T^{0k}x^{l}x^{m})_{,k}-T^{0l}x^{m}-T^{0m}x^{l}\right]dV=-{{1} \over {c}}{{d} \over {dt}}\int T^{0k}x^{l}x^{m}dS_{k}+\int {T^{0l}}_{,0}x^{m}dV+\;$
$+\int {T^{0m}}_{,0}x^{l}dV=-\int {T^{kl}}_{,k}x^{m}dV-\int {T^{km}}_{,k}x^{l}dV\;$

(9.93)

W powyższym rozpisaniu korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zamiany całek objętościowych, w której jest całkowanej po ściśle określonej nam objętości, na całkę powierzchniową, w której jest całkowanie po powierzchni zamkniętej ograniczającą wcześniej wprowadzoną objętość. Następnym krokiem jest udowodnienie poniżej tożsamości korzystając z twierdzenia z pochodnej iloczynu znanej z analizy:

$(T^{kl}x^{m})_{,k}dV={T^{kl}}_{,k}x^{m}+T^{kl}{\delta ^{m}}_{k}={T^{kl}}_{,k}x^{m}+T^{ml}\;$

(9.94)

Możemy wykorzystać tożsamość (9.94) do dalszej części dowodu (9.93), wiedząc jednocześnie że pierwsza i trzecia ciałka jest równa zero przy wykorzystaniu twierdzenia Ostrogradzkiego-Gauusa, która jest całką po powierzchni zamkniętej, którego to T_αβ jest równa zero na tej powierzchni, wtedy dochodzimy do wniosku:

${{1} \over {c^{2}}}{{d^{2}} \over {dt^{2}}}\int T^{00}x^{l}x^{m}dV=-\int (T^{kl}x^{m})_{,k}dV+\int T^{ml}dV-\int (T^{km}x^{l})_{,k}dV+\int T^{lm}dV=\int T^{ml}dV+T^{lm}dV=2\int T^{ml}dV\;$

(9.95)

W powyższym dowodzie znów korzystaliśmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, w której na jej powierzchni całkowanej panuje zerowa wartość tensora gęstości energii. Co kończy dowód twierdzenia (9.90).

Wytwarzanie fal grawitacyjnych

Fala grawitacyjna rozchodząca się od niezerowego źródła, w której gęstość materii poza źródłem jest równa zero, a także ciśnienie jest zaniedbywalnie małe, zatem tensor gęstości energii dla punktu poza źródłem zapisujemy wedle:

$T^{\alpha \beta }=0\;$

(9.96)

Zatem biorąc to do równania grawitacji Einsteina (1.63) i z przybliżeniem słabości pola grawitacyjnego tensor Einsteina wedle końcowego przedstawienia (7.17), jeśli będziemy wykorzystywać (9.96), zapisujemy wtedy go łącząc to z prawem grawitacji Einsteina:

$G^{\alpha \beta }=\kappa T^{\alpha \beta }\Rightarrow G^{\alpha \beta }=0\Rightarrow {{1} \over {2}}\square {\overline {h}}_{\alpha \beta }=0\;$

(9.97)

Rozwiązaniem równań grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacji (9.97) jest wyrażenie ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$, która jest zależna od stałej częstotliwości kołowej Ω i czasu t:

${\overline {h}}_{\alpha \beta }=B_{\alpha \beta }e^{-i\Omega t}\;$

(9.98)

Aby sprawdzić jakie B_αβ spełnia równanie (9.97) dla odpowiedzi (9.98), to po podstawieniu naszego rozwiązania do rozważanego równania różniczkowego, mamy:

$\square B_{\alpha \beta }e^{-i\Omega t}=0\Rightarrow \left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+\nabla ^{2}\right)B_{\alpha \beta }e^{-i\Omega t}=0\Rightarrow \left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+\nabla ^{2}\right)B_{\alpha \beta }=0\;$

(9.99)

Można udowodnić, że rozwiązanie w $B_{\alpha \beta }\;$ równania różniczkowego (9.99) jest rozwiązanie w postaciach zależnych od dwóch niezależnych stałych występujące w dwóch składnikach osobno:

$B_{\alpha \beta }={{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}+{{Z_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}\;$

(9.100)

Sprawdźmy czy (9.100) jest rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (9.99), zatem jeśli obierzemy definicję kwadratu Δ=∇² we współrzędnych kulistych, zatem operator Δ zapisujemy w postaci:

$\Delta =\nabla ^{2}={{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda$

to policzmy, czy rozwiązanie (9.100) jest poprawnym rozwiązaniem dla równania różniczkowego (9.99) dla promienia od źródła, który się znajduje dla r=0, wtedy przejdźmy do właściwej idei dowodu:

$\left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+\nabla ^{2}\right)B_{\alpha \beta }=\left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)+{{1} \over {r^{2}}}\Lambda \right)\left({{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}+{{Z_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}\right)=\left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)\right){{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}+\;$
$+\left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r)\right){{Z_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}$

(9.101)

Wyznaczmy pierwszy składnik w (9.101), czyli ile jest on równy:

$\left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}(r)}\right){{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}={{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}{{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}+{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}\left(r{{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}\right)={{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}{{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}-{{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}{{1} \over {r}}A_{\alpha \beta }e^{i{{\Omega } \over {c}}r}=0$

(9.102)

zatem ten nasz pierwszy składnik w (9.101) wedle (9.102) jest równy zero, dla drugiego wyrazu mamy podobnie, a dowód przebiega analogicznie jak dla (9.102), zatem dochodzimy do wniosku, że rozwiązanie (9.100) jest rozwiązaniem (9.99) poprawnym. W rozwiązaniu w (9.100) wybierzmy tylko pierwszy wyraz, a w przypadku drugiego wyrazu stałą w nim występującą wyzerujmy, bo to równanie ma dwie niezależne stałe w dwóch niezależnych składnikach, bo tak robimy, że interesuje nasz rozwiązania rozchodzące się od źródła:

$B_{\alpha \beta }={{A_{\alpha \beta }} \over {r}}e^{i{{\Omega } \over {c}}r}\;$

(9.103)

Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które będą w przyszłości nam potrzebne. Obierzmy kulę, która ma promień ε, którego promień jest zaniedbywalnie mały. Zakładamy, że źródło jest niezerowe tylko wewnątrz sfery o promieniu podanym wyżej, zatem przejdźmy do dzieła.

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\oint {{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}B_{\alpha \beta }d^{3}x\leq {{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}(B_{\mu \nu })_{max}d^{3}x=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}(B_{\alpha \beta })_{max}{{4} \over {3}}\pi \epsilon ^{3}=0$

(9.104)

Pozostało nam jeszcze do obliczenia całkę z działania operatora ∇ względem infinitezymalnej objętości, którego to B_αβ jest zależna od trzech współrzędnych i czasu w kartezjańskim układzie współrzędnych, która jest przestrzenią zanurzoną w czasoprzestrzeni czterowymniarowej:

$\int \nabla ^{2}B_{\alpha \beta }d^{3}x=\oint \nabla B_{\alpha \beta }d{\vec {S}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\oint \nabla B_{\alpha \beta }d{\vec {S}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}4\pi \epsilon ^{2}{{d} \over {dr}}B_{\alpha \beta }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}4\pi \epsilon ^{2}{{d} \over {dr}}{{1} \over {r}}A_{\alpha \beta }e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}=\;$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}4\pi \epsilon ^{2}A_{\alpha \beta }\left[|-{{1} \over {r^{2}}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}-{{1} \over {r}}i{{\Omega } \over {c}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}r}|_{r=\epsilon }\right]=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\left(-4\pi \epsilon ^{2}A_{\alpha \beta }\right){{1} \over {\epsilon ^{2}}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}\epsilon }-4\pi \epsilon ^{2}{{1} \over {\epsilon }}i{{\Omega } \over {c}}e^{-i{{\Omega } \over {c}}\epsilon }\right]=\;$
$=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left(-4\pi -4\pi \epsilon i{{\Omega } \over {c}}\right)A_{\alpha \beta }e^{-i{{\Omega } \over {c}}\epsilon }=-4\pi A_{\alpha \beta }$

(9.105)

Następnym wyrażeniem pomocniczym, która korzysta z udowodnionych tożsamości, którego to pierwsza jest równa zero, a druga jest równa stałej tożsamości, czyli za pomocą tożsamości (9.104) i (9.105) możemy wyznaczyć wyrażenie:

$\int \left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+\nabla ^{2}\right)B_{\alpha \beta }dV=-4\pi A_{\alpha \beta }\;$

(9.106)

Równaniem grawitacji, którego to równanie jest zapisywane w punkcie (1.63), wewnątrz źródła jest opisane wedle wzoru ze stałą $\kappa \;$, która jest równa (7.46), którego to zapis jest za pomocą tensora napięć-energii i tensora ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$, dla słabego pola grawitacyjnego jest wyrażona:

${{1} \over {2}}\square {\overline {h}}_{\alpha \beta }={{8\pi G} \over {c^{4}}}T_{\alpha \beta }\Rightarrow \left({{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right){\overline {h}}_{\alpha \beta }={{16\pi G} \over {c^{4}}}T_{\alpha \beta }\Rightarrow \left({{\Omega ^{2}} \over {c^{2}}}+\nabla ^{2}\right){\overline {h}}_{\alpha \beta }={{16\pi G} \over {c^{4}}}T_{\alpha \beta }\;$

(9.107)

Przecałkujmy wyrażenie (9.107) obustronnie i wiedząc, że mamy definicję rozwiązania (9.98) i w nim stałej (9.103) dla rozmiarów kuli dążącej do prawie do zera, bo nasze źródło jest prawie punktowe:

$(-4\pi A_{\alpha \beta })e^{-i\Omega t}={{16\pi G} \over {c^{4}}}\int T_{\alpha \beta }dV\;$

(9.108)

zatem możemy powiedzieć, że tensor A_αβ jest zapisany jako całka z iloczynu tensora energii i napięć przez funkcję eksponencjalną , którego argumentem jest funkcja zależna od częstotliwości fali grawitacyjnej, a przed tą naszą rozważaną całką występują stałe mówiące o stałej grawitacji i prędkości światła c:

$A_{\alpha \beta }=-{{4G} \over {c^{4}}}\int T_{\alpha \beta }e^{i\Omega t}dV\;$

(9.109)

Jeśli oznaczymy definicję gęstości tensora energii poprzez amplitudę drgań tensora gęstości energii i częstotliwość kołowa tych drgań i całkę występującą po prawej stronie (9.109) poprzez definicję (9.110), to możemy zdefiniować wyrażenie na J_αβ jako całkę po pewnej objętości zamkniętej po amplitudzie drgać omawianego tensora gęstości energii:

$T_{\alpha \beta }=S_{\alpha \beta }e^{-i\Omega t}\;$

(9.110)

$J_{\alpha \beta }=\int T_{\alpha \beta }e^{i\Omega t}\Rightarrow J_{\alpha \beta }=\int S_{\alpha \beta }dV\;$

(9.111)

Wtedy stałą A_αβ (po lewej stronie w (9.109)) i wedle definicji tensora gęstości energii poprzez stałą amplitudy (9.110) i wykorzystując przy tym fakt, że w definicji tensora J_αβ zapisanej w punkcie (9.111), zatem tensor A_αβ jest zapisany na podstawie tychże danych w zależności od tensora J_αβ w postaci:

$A_{\alpha \beta }=-{{4G} \over {c^{4}}}J_{\alpha \beta }\;$

(9.112)

Jest to amplituda fal grawitacyjnych występująca we wyrażeniu (9.103) i wyrażona jest przez całkę z amplitudy drgań tensora gęstości energii. Rozwiązanie dla słabych pól grawitacyjnych wykorzystując wzór (9.112), przyjmuje postać:

${\overline {h}}_{\alpha \beta }=-{{4G} \over {c^{4}}}J_{\alpha \beta }{{e^{i({{\Omega } \over {c}}r-\Omega t)}} \over {r}}\;$

(9.113)

Jest to rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzanych przez źródła prawie punktowe i nierelatywistyczne, które wytwarzają te właśnie fale zwane promieniowaniem grawitacyjnym.

Właściwości fali grawitacyjnej dla jednego wskaźnika zerowego górnego

Jeśli wykorzystamy równanie (9.111), którego wielkość jest całką amplitudy po infinitezymalnej objętości tensora gęstości energii oraz korzystając z definicji tensora gęstości energii dla źródła fal grawitacyjnych (9.110), co można wykorzystać mnożąc (9.111) przez niezerowe wyrażenie $e^{-i\Omega t}\;$:

$J_{\mu \nu }e^{-i\Omega t}=\int T_{\alpha \beta }dV\;$

(9.114)

I jeśli zróżniczkujemy obie strony wyrażenia (9.114) względem czasu w sekundach, ale przedtem podnosząc wszystkie wskaźniki do góry i biorąc jednocześnie drugi wskaźnik jako zerowy, wtedy mamy:

$-i\Omega J^{\mu 0}e^{-i\Omega t}=\int {T^{\mu 0}}_{,0}dV=\int {T^{\mu k}}_{,k}dV=\oint T^{\mu k}n_{k}dS=0\;$

(9.115)

Powyższe równanie zachodzi, bo tensor gęstości energii po za źródłem fal grawitacyjnych jest równy zero, a my całkujemy po powierzchni, która otacza nasze źródło naszego promieniowania. W powyższych obliczeniach przyjęliśmy, że tensor gęstości energii na zewnątrz źródła jest równy zero na zewnątrz badanego źródła, bo wytwarzać fal grawitacyjnych jest bardzo mały, otrzymujemy:

$J^{\mu 0}=0\Rightarrow {\overline {h}}^{\mu 0}=0\;$

(9.116)

Dalsze zerowania się tensora metrycznego ${\overline {h}}^{\mu \nu }\;$ wynika stąd, gdy skorzystamy z symetryczności tensora (9.95), a także wynikającego z symetryczności tensora J^μν (9.111), wynika poprzez to (9.113) symetryczność tensora ${\overline {h}}^{\mu \nu }\;$.

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy

Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy definiujemy poprzez tensor gęstości energii o wskaźnikach dwóch górnych i zerowych i wyrazimy ją poprzez funkcję fali o częstotliwości kołowej Ω (eksponens z argumentu iΩt) i przez tensor D^lm:

$I^{lm}=\int T^{00}x^{l}x^{m}dV=D^{lm}e^{-i\Omega t}\;$

(9.117)

Jeśli zachodzi tożsamość (9.114), to na podstawie tożsamości zdefiniowanej w (9.90), możemy napisać, dokonując pewnych przekształceń i wykorzystania wzoru (9.117) dla wskażników l,m=1,2,3 w sposób:

$J^{lm}e^{-i\Omega t}=\int T^{lm}dV\Rightarrow J^{lm}e^{-i\Omega t}={{1} \over {2c^{2}}}{{d^{2}} \over {dt^{2}}}\int T^{00}x^{l}x^{m}dV\Rightarrow J^{lm}e^{-i\Omega t}=-{{\Omega ^{2}} \over {2c^{2}}}D^{lm}e^{-i\Omega t}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow J^{lm}=-{{\Omega ^{2}} \over {2c^{2}}}D^{lm}\Rightarrow J_{lm}=-{{\Omega ^{2}} \over {2c^{2}}}D_{lm}\;$

(9.118)

Rozwiązanie (9.113) na podstawie obliczeń (9.117), wykorzystując fakt (9.116), który mówi, że jedynymi elementami tensora poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego w postaci fal grawitacyjnych ${\overline {h}}_{\alpha \beta }\;$ są równe zero, gdy zachodzi dla α=0 lub β=0. Zatem wskaźniki przy naszym tensorze są równe 1,2,3, zatem dochodzimy wtedy do wniosku, że zachodzi ogólne rozwiązanie dla fal grawitacyjnych wytwarzane przez źródła prawie punktowe o niezerowych elementach:

${\overline {h}}_{lm}={{2G\Omega ^{2}} \over {c^{6}}}D_{lm}{{e^{i\left({{\Omega } \over {c}}r-\Omega t\right)}} \over {r}}\;$

(9.119)

Tensory poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy obliczyć ze wzoru (7.21), gdy mamy już policzone (9.119).

Układ dwóch kulek jako układ prostego oscylatora

Widzimy, że na podstawie wzorów (9.117), że gdy I^lm(t), to dla t=0 ono jest równe D^lm, to wtedy mając cechowanie, w której dwuwskaźnikowe tensory krzywizny fali grawitacyjnej (9.2), w której w pewnym cechowaniu tensor amplitudy jest równy (9.25), wtedy tensory (9.119) w tym cechowaniu możemy przepisać:

${\overline {h}}_{zi}^{TT}=0\;$

(9.120)

${\overline {h}}_{xx}^{TT}=-{\overline {h}}_{yy}^{TT}={{G\Omega ^{2}} \over {c^{6}}}\left(\not {I}_{xx}-\not {I}_{yy}\right){{e^{\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)}} \over {r}}\;$

(9.121)

${\overline {I}}_{xy}^{TT}=2{{G\Omega ^{2}} \over {c^{6}}}\not {I}_{xy}{{e^{\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)}} \over {r}}\;$

(9.122)

Przy powyższych uwagach wprowadziliśmy tensor bezśladowy z definiowany w oparciu o tensor I^lm (9.117):

$\not {I}_{lm}=I_{lm}-{{1} \over {3}}\delta _{lm}{I^{l}}_{l}\;$

(9.123)

Rozważmy teraz falę emitowaną przez prosty oscylator fal grawitacyjnych, których wykrywamy, za pomocą detektora pokazywanego w punkcie Detekcja fal grawitacyjnych. Ten detektor też wytwarza fale grawitacyjne, w których obie masy drgają z częstotliwością ω i z amplitudą A wokół średniego położenia równowagi. W tym przykładzie detektora fal mamy tylko składową I_xx nierównej zero, tą składową możemy policzyć mając na uwadze harmoniczne drgania:

$I_{xx}=mc^{2}\left[(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}\right]=mc^{2}\left[\left(-{{1} \over {2}}l_{0}-A\cos \omega t\right)^{2}+\left({{1} \over {2}}l_{0}+A\cos \omega t\right)^{2}\right]=\;$
$=mc^{2}{{1} \over {4}}l_{0}^{2}+A^{2}m\cos ^{2}\omega t+l_{0}mc^{2}Acos\omega t+{{1} \over {4}}ml_{0}^{2}+A^{2}mc^{2}\cos ^{2}\omega t+l_{0}Amc^{2}\cos \omega t=\;$
$={{1} \over {2}}mc^{2}l_{0}^{2}+2mA^{2}\cos ^{2}\omega t+2l_{0}Amc^{2}\cos \omega t={{1} \over {2}}mc^{2}l_{0}^{2}+2mA^{2}+mc^{2}A^{2}\cos 2\omega t+2l_{0}Amc^{2}\cos \omega t$

(9.124)

Zdefiniujmy teraz elementy tensora (9.123) mając na uwadze element tensora I_xx (9.124) przy częstotliwości kołowej ω, czyli wykorzystując czwarty wyraz powyższych końcowych obliczeń możemy zdefiniować elementy tensora (9.123):

${\begin{cases}\not {I}_{xx}=I_{xx}-{{1} \over {3}}{I^{l}}_{l}={{2} \over {3}}I_{xx}={{4} \over {3}}c^{2}ml_{0}Ae^{-i\omega t}\\\not {i}_{yy}={I}_{zz}-{{1} \over {3}}I_{xx}={{1} \over {3}}I_{xx}=-{{2} \over {3}}ml_{0}c^{2}Ae^{-i\omega t}\end{cases}}\;$

(9.125)

Zdefiniujmy teraz tensory (9.120), (9.121) i (9.122) w oparciu o tensor (9.125):

${\overline {h}}_{xx}=-{\overline {h}}_{yy}={{2mG\omega ^{2}l_{0}A} \over {c^{4}}}{{e^{i\omega \left({{r} \over {c}}-t\right)}} \over {r}}\;$

(9.126)

${\overline {h}}_{xy}=0\;$

(9.127)

Jeśli uwzględnimy człon trzeci w końcowych obliczeniach (9.124), wtedy wzór na tensor ${\overline {I}}_{xx}\;$ i ${\overline {I}}_{yy}\;$, który powstaje z (9.121) po zastąpieniu Ω przez 2ω, wtedy otrzymujemy:

${\overline {h}}_{xx}^{TT}=-{\overline {h}}_{yy}^{TT}={{4mG\omega ^{2}A^{2}} \over {c^{4}}}{{e^{2i\omega \left({{r} \over {c}}-t\right)}} \over {r}}\;$

(9.128)

${\overline {h}}_{xy}^{TT}=0\;$

(9.129)

Całkowite promieniowanie wytwarzane przez prosty oscylator jest częścią rzeczywistą sumy składników, tzn. (9.126) i (9.128):

${\overline {h}}_{xx}^{TT}={{2mG\omega ^{2}l_{0}} \over {c^{4}}}{{\cos \omega \left({{r} \over {c}}-t\right)} \over {r}}+{{4mG\omega ^{2}A^{2}} \over {c^{4}}}{{\cos 2\omega \left({{r} \over {c}}-t\right)} \over {r}}\;$

(9.130)

Układ podwójny gwiazd o jednakowych masach

Wygodniejszym przykładem jest podwójmy układ gwiezdny dwóch jednakowych gwiazd, które krążą po orbicie o promieniu ${{1} \over {2}}l_{0}\;$, czyli wokół wspólnego środka masy, wtedy równanie ruchu z drugiej zasady dynamiki dynamiki Newtona jest:

$G{{m^{2}} \over {l_{0}^{2}}}=m\omega ^{2}\left({{l_{0}} \over {2}}\right)\Rightarrow \omega =\left({{2Gm} \over {l_{0}^{3}}}\right)^{{1} \over {2}}\;$

(9.131)

Położenia układu dwóch gwiazd opiszemy przy odpowiednich wyborze współrzędnych, przy czym oznaczamy przez jedynkę pierwszą gwiazdę, a przez dwójkę drugą gwiazdę:

${\begin{cases}x_{1}(t)={{1} \over {2}}l_{0}\cos \omega t&y_{1}(t)={{1} \over {2}}l_{0}\sin \omega t\\x_{2}(t)=-x_{1}(t)&y_{2}(t)=-y_{1}(t)\end{cases}}\;$

(9.132)

Wiedząc, ze tensor kwadrupolowy definiujemy sposobem I_ik=mc²x_ix_k według (9.117), wtedy te elementy tego tensora możemy napisać dla podwójnego układu gwiazd, których ich współrzedne zdefiniowane są sposobem (9.132):

${\begin{cases}I_{xx}=mc^{2}(x_{1}^{2}(t)+x_{2}^{2}(t))={{1} \over {2}}mc^{2}l_{0}^{2}\cos ^{2}\omega t={{1} \over {4}}mc^{2}l_{0}^{2}\cos 2\omega t+\operatorname {const} \\I_{yy}=mc^{2}(y_{1}^{2}(t)+y_{2}^{2}(t))={{1} \over {2}}mc^{2}l_{0}^{2}\sin ^{2}\omega t=-{{1} \over {4}}mc^{2}l_{0}^{2}\cos 2\omega t+\operatorname {const} \\I_{xy}=mc^{2}x_{1}(t)y_{1}(y)={{1} \over {8}}c^{2}ml_{0}^{2}\sin 2\omega t\\\end{cases}}\;$

(9.133)

Napiszmy teraz czemu są równe tensory $\not {I}_{lm}\;$ dla naszego badanego układu wykorzystując jego definicję (9.22), do którego wykorzystamy już policzone elementy tensora I_lm, czyli I_xx, I_yy i I_xy, wiedząc, że I^l_l=0 na podstawie definicji elementów I_lm (9.133):

${\begin{cases}\not {I}_{xx}=-\not {I}_{yy}={{1} \over {4}}mc^{2}l_{0}^{2}e^{-2i\omega t}\\\not {I}_{xy}={{1} \over {4}}imc^{2}l_{0}^{2}e^{-2i\omega t}\\\end{cases}}\;$

(9.134)

Patrząc na wzory (9.121) i (9.122) dla Ω=2ω i na elementy tensora $\not {I}_{lm}\;$ (9.134), wtedy można zapisać wzory na promieniowanie rozchodzące się wzdłuż kierunku zetowego:

${\begin{cases}{\overline {h}}_{xx}^{TT}=-{\overline {h}}_{yy}={{2mGl_{0}^{2}} \over {c^{4}}}\omega ^{2}{{e^{2i\omega \left({{r} \over {c}}-t\right)}} \over {r}}\\{\overline {h}}_{xy}^{TT}={{2imGl_{0}^{2}\omega ^{2}} \over {c^{4}}}{{e^{2i\omega ({{r} \over {c}}-t)}} \over {r}}\end{cases}}\;$

(9.135)

Równanie falowe i jego ścisłe rozwiązanie

Ścisłe rozwiązanie falowe dla fali grawitacyjnej dla źródła punktowego jest (9.113), weźmy sobie pewne źródło składające się ze źródeł punktowych, i w ten sposób fala grawitacyjna dociera pokolei do kolejnych punktów tego ośrodka w czasie t'=t-R/c, wtedy mamy wzór na elementy tensora ${\overline {h}}_{\mu \nu }\;,$ dla tego niepunktowego źródła:

${\overline {h}}_{\mu \nu }=-{{4G} \over {c^{4}}}\int J_{\mu \nu }({\vec {r}},t^{'}){{e^{i\Omega \left({{R} \over {c}}-t\right)}} \over {R}}dV=-{{4G} \over {c^{4}}}\int {{T_{\mu \nu }(t^{'},x^{i})} \over {R}}e^{i\Omega t^{'}}e^{i\Omega \left({{R} \over {c}}-t\right)}dV=-{{4G} \over {c^{4}}}\int {{T_{\mu \nu }\left(t-{{R} \over {c}},x^{i}\right)} \over {R}}d^{3}x\;$

(9.136)

Weźmy sobie punkt w którym będziemy obserwować falę grawitacyjną, który jest bardzo daleko od źródła fali grawitacyjnej, wtedy powiemy:

$\left[\sum _{i}(y^{i})^{2}\right]^{{1} \over {2}}\equiv r>>\left[\sum _{i}(x^{i})^{2}\right]^{{1} \over {2}}\;$

(9.137)

Przy tak zachodzącym warunku (9.137) możemy napisać, pod którą pod całką występuje tensor napięć energii a przed całką jest odwrotność promienia r, która wyszła z całki, która była pod postacią R, bo dla małego źródła r i R praktycznie się nie różnią:

${\overline {h}}_{\mu \nu }\simeq -{{4G} \over {c^{4}r}}\int T_{\mu \nu }d^{3}x\;$

(9.138)

Do wzoru (9.138) możemy wykorzystać (9.90) i definicję tensora kwadrupolowego (9.117), wtedy tensor fali grawitacyjnej przyjmuje wtedy kształt:

${\overline {h}}_{lm}=-{{2G} \over {c^{4}r}}I_{lm,0,0}\left(t-{{r} \over {c}}\right)\;$

(9.139)

Jeśli w prowadzimy cechowanie TT, to wtedy wzór na elementy tensora fali grawitacyjnej są:

${\overline {h}}_{xx}^{TT}=-{{G} \over {c^{4}r}}\left[\not {I}_{xx,00}\left(t-{{r} \over {c}}\right)-\not {I}_{yy,00}\left(t-{{r} \over {c}}\right)\right]\;$

(9.140)

${\overline {h}}_{xy}^{TT}=-{{2G} \over {c^{4}r}}\not {I}_{xy,00}\left(t-{{r} \over {c}}\right)\;$

(9.141)

Energia przenoszona przez fale grawitacyjne wytwarzane przez układ oscylatorów grawitacyjnych

Przy pomocy wcześniejszych rozważań zorientowaliśmy się, że fale grawitacyjne przenoszą energię. Fale grawitacyjne unoszą energię od swych źródeł zabierając im energię. Rozważmy teraz ciało próbne, który nie wpływa na pole fali grawitacyjnej, czyli jego wpływ jest zaniedbywalny, wtedy takie podejście jest niekonsystentne, zatem jeśli przez ciało przechodzi fala grawitacyjna, to po przejściu jego przez układ mas, to fala grawitacyjna powinna być słabsza, tzn. układ ciał przez które przechodzi się fala grawitacyjna, sama staje się jego źródłem. Rozważmy teraz falę padającą o częstotliwości kołowej ω, to fala wyemitowana przez ciało jest emitowana z tą samą częstotliwością, więc fale przechodząca przez układ mas jest zatem sumą dwóch fal, tzn. fali padającej i fali wyemitowanej. Zobaczymy, że te dwie fale interferują one ze sobą dekonstruktywnie, obniżając wypadkową fali w tym kierunku. W innych kierunkach nie ma interferencji, i fale przechodzą jedno koło drugiej.

Fala grawitacyjna i jego strumień energii

Załóżmy, że mamy falę grawitacyjną wytwarzaną przez układ oscylatorów, który jest układem mas znajdujących się w pewnej płaszczyźnie, wtedy bardzo wygodnie jest rozważanie nie jako oscylatora harmonicznego wytwarzającego fale grawitacyjne, ale układ oscylatorów znajdujących się w płaszczyźnie dla z=0. Oscylatory w rozważanej płaszczyźnie są bardzo blisko siebie, więc je możemy uważać jako układ ciągły oscylatorów, i wprowadźmy przez σ jako liczbę oscylatorów przez jednostkę powierzchni. Fala padająca na układ oscylatorów znajdujących się na płaszczyźnie przy cechowaniu (9.25) określamy przez wzory:

${\overline {h}}_{xx}^{TT}=A\cos \Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)\;$

(9.142)

${\overline {h}}_{yy}^{TT}=-{\overline {h}}_{xx}^{TT}\;$

(9.143)

Przy przejściu fali grawitacyjnej przez naszą rozważaną płaszczyznę układu oscylatorów, wtedy ten układ odpowie stabilną oscylacją:

$\xi =R\cos(\Omega t+\phi )\;$

(9.144)

Wielkości R i φ są to wielkości opisane poprzez wzory na φ (9.70) i na R (9.77). Nasz rozważany ruch jest stabilny ponieważ energia dostarczana przez przechodzącą falę grawitacyjną poprzez sprężynkę jest rozpraszana w wyniku tarcia w oscylatorach w których energia jest kompensowana przez pracę wykonywaną na sprężynkach przez pływowe siły fali grawitacyjnej. Fala grawitacyjna dostarcza energii każdemu oscylatorowi równą:

${{dE} \over {dt}}=\nu \left({{\partial \xi } \over {\partial t}}\right)^{2}=m\gamma \left({{\partial \xi } \over {\partial t}}\right)^{2}\;$

(9.145)

Uśrednienie energii dostarczanej przez falę w ciągu jednego okresu równej T=2π/Ω dla wyrażenia (9.139), w wyniku tego mamy uśrednioną energię z definicji wartości średniej:

$\left\langle {{dE} \over {dt}}\right\rangle ={{1} \over {{2\pi } \over {\Omega }}}\int _{0}^{{2\pi } \over {\Omega }}m\gamma \Omega ^{2}R^{2}\sin ^{2}(\Omega t+\phi )dt={{m\gamma \Omega ^{3}R^{2}} \over {2\pi }}\int _{0}^{{2\pi } \over {\Omega }}{{1} \over {2}}(1-\cos \left(2\Omega t+2\phi )\right)={{m\gamma \Omega ^{3}R^{2}} \over {2\pi }}{{1} \over {2}}{{2\pi } \over {\Omega }}={{1} \over {2}}m\gamma \Omega ^{2}R^{2}\;$

(9.146)

Wzór (9.146) przestawia energię dostarczaną do układu oscylatorów przez falę grawitacyjną, przy σ oscylatorach energia fali zmniejsza się przy przejściu przez płaszczyznę o wartość:

$\delta F=-{{1} \over {2}}\sigma m\gamma \Omega ^{2}R^{2}\;$

(9.147)

Każdy oscylator ma tensor kwadrupolowy zapisanej przez wzór (9.124), w której zastąpimy ω t przez Ωt+φ, a A przez R/2. Ponieważ w naszym przypadku R jest niewielkie, to człon jego trzeci możemy pominąć, i w ten sposób otrzymujemy tensor kwadrupolowy:

$I_{xx}=mc^{2}l_{0}R\cos(\Omega t+\phi )\;$

(9.148)

Według wzoru (9.119) każdy oscylator wytwarza falę grawitacyjną:

$\delta {\overline {h}}_{xx}={{2G\Omega ^{2}ml_{0}R} \over {c^{4}}}{{\cos \left[\Omega ({{r} \over {c}}-t)-\phi \right]} \over {r}}\;$

(9.149)

(Rys. 9.2) Geometria płaszczyzny potrzebna do obliczenia poprawki dla fali grawitacyjnego

Ilość oscylatorów na powierzchni $\pi {\tilde {\omega }}^{2}\;$ jest $\pi {\tilde {\omega }}^{2}\sigma \;$, a ilość oscylatorów znajdujących się na powierzchni pomiędzy ${\tilde {\omega }}\;$, a ${\tilde {\omega }}+d{\tilde {\omega }}\;$ jest wyrażona przez $2\pi \sigma {\tilde {\omega }}d{\tilde {\omega }}\;$, wtedy całkowity tensor ${\overline {h}}_{xx}\;\;$ możemy wyrazić przez:

$\delta {\overline {h}}_{xx}^{all}={{2G\Omega ^{2}ml_{0}R} \over {c^{4}}}2\pi \int _{0}^{\infty }\sigma \cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]{{{\overline {\omega }}d{\overline {\omega }}} \over {r}}\;$

(9.150)

Z rysunku obok należy zauważyć, że $r^{2}=z^{2}+{\tilde {\omega }}^{2}\Rightarrow rdr={\tilde {\omega }}d{\tilde {\omega }}\;$, i w ten sposób wykorzystując to do wzoru (9.150):

$\delta {\overline {h}}_{xx}^{all}={{2G\Omega ^{2}ml_{0}R} \over {c^{4}}}2\pi \int _{z}^{\infty }\sigma \cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr\;$

(9.151)

Całka (9.151) jest całką rozbieżną, gdy przyjmować będziemy σ jako stałą, więc σ możemy uczynić jako funkcję σ(z)e^{ε r} i pozwoleniu by przy scałkowaniu dla ε dążyło do zera, i w ten sposób mamy całkę do policzenia:

$\delta {\overline {h}}_{xx}^{all}={{4\pi G\Omega ^{2}ml_{0}R} \over {c^{4}}}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{z}^{\infty }\sigma (z)e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr\;$

(9.152)

Wyznaczmy teraz dokładną całkę występującą we wzorze (9.152) po prawej jego stronie:

$\int _{z}^{\infty }e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr=-{{1} \over {\epsilon }}e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]{\Bigg |}_{z}^{\infty }-{{\Omega } \over {c\epsilon }}\int _{z}^{\infty }e^{-\epsilon r}\sin \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr=\;$
$={{1} \over {\epsilon }}e^{-\epsilon z}\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]-{{\Omega } \over {c\epsilon ^{2}}}e^{-\epsilon r}\sin \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\psi \right]-{{\Omega ^{2}} \over {c^{2}\epsilon ^{2}}}\int _{z}^{\infty }e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{c^{2}\epsilon ^{2}+\Omega ^{2}} \over {c^{2}\epsilon ^{2}}}\int _{z}^{\infty }e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr={{1} \over {\epsilon }}e^{-\epsilon z}\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]-{{\Omega } \over {c\epsilon ^{2}}}e^{-\epsilon z}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \int _{z}^{\infty }e^{-\epsilon r}\cos \left[\Omega \left({{r} \over {c}}-t\right)-\phi \right]dr={{c^{2}\epsilon } \over {c^{2}\epsilon ^{2}+\Omega ^{2}}}e^{-\epsilon z}\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]-{{c\Omega } \over {c^{2}\epsilon ^{2}+\Omega ^{2}}}e^{-\epsilon z}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]$

(9.153)

Całkę policzoną w punkcie (9.153) podstawiamy do wzoru (9.152), i w ostatecznych rozrachunkach dostajemy:

$\delta {\overline {h}}_{xx}^{all}=-{{4\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]\;$

(9.154)

Aby porównać pole (9.154) z falą padającą (9.136) należy to przedostatnie napisać w cechowaniu TT, bo ono pierwotnie nie było w tym cechowaniu, otrzymujemy:

$\delta {\overline {h}}_{xx}^{TT}=-\delta {\overline {h}}_{yy}^{TT}=-{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]\;$

(9.155)

Wypdadkowa fala grawitacyjna piszemy jako sumę fali grawitacyjnej padającej (9.136) na układ oscylatorów fali grawitacyjnej wytwarzanej przez układ oscylatorów w płaszczyźnie (9.155) i w rezultacie otrzymujemy:

${\overline {h}}_{xx}^{wypadkowe}={\overline {h}}_{xx}^{TT}+\delta {\overline {h}}_{xx}^{TT}=A\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)\right]-{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\phi \right]=\;$
$=A\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi +\psi \right]-{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi +\psi -\phi \right]=\;$
$=A\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\cos \psi -A\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\sin \psi -\;$
$-{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}{\Bigg \{}\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\underbrace {\cos(\psi -\phi )} _{\cos \psi \cos \phi +\sin \psi \sin \phi }+\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\underbrace {\sin(\psi -\phi )} _{\sin \psi \cos \phi -\cos \psi \sin \phi }{\Bigg \}}\;$

(9.156)

Powyższe obliczenia będziemy przeprowadzali dla małych wielkości R, czyli z dokładnością wyrazów pierwszego rzędu względem R, wtedy według powyższych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (9.156) możemy napisać :

${\overline {h}}_{xx}^{wypadkowe}\simeq A\cos \psi \left(1+{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \phi \right)\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right]-\psi \right)+\;$
$+\sin \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\left(A\sin \psi -{{2\pi G\Omega \sigma l_{0}R} \over {c^{3}}}\cos \psi \cos \phi \right)$

(9.157)

W powyższych obliczeniach należy przyjąć zachodzący warunek na kąt ψ:

$A\sin \psi -{{2\pi G\Omega \sigma l_{0}R} \over {c^{3}}}\cos \psi \cos \phi =0\Rightarrow \operatorname {tg} \psi ={{2\pi G\Omega \sigma l_{0}R} \over {Ac^{3}}}\cos \phi \;$

(9.158)

W ten sposób otrzymujemy zależność na tensor ${\overline {h}}_{xx}^{wypadkowe}\;$, który przepisujemy z (9.157) przy zachodzącej tożsamości (9.158):

${\overline {h}}_{xx}^{wypadkowe}\simeq A\left(1+{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \phi \right)\cos \left[\Omega \left({{z} \over {c}}-t\right)-\psi \right]\;$

(9.159)

Wypadkowym efektem przy przejściu fali grawitacyjnej jest zmniejszenie jego amplitudy patrząc na (9.159) o wartość (R ujemne według (9.77)):

$\delta A={{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \phi \;$

(9.160)

Zmniejszenie amplitudy o wartość (9.160) towarzyszy temu zmiana strumienia energii opisanej przez (9.141), po skorzystaniu wzorów (9.77) i z (9.75), co w rezultacie daje mam zastanawiający wynik:

${{\delta F} \over {\delta A}}={{-{{1} \over {2}}\sigma m\gamma \Omega ^{2}R^{2}} \over {{{2\pi G\Omega \sigma ml_{0}R} \over {c^{3}}}\sin \phi }}=-{{\gamma \Omega Rc^{3}} \over {4\pi Gl_{0}\sin \phi }}=-{{\gamma \Omega c^{3}} \over {4\pi Gl_{0}}}{{R} \over {\sin \phi }}={{\gamma \Omega c^{3}} \over {4\pi Gl_{0}}}{{l_{0}A\Omega ^{2}} \over {4\gamma \Omega }}={{c^{3}} \over {16\pi G}}\Omega ^{2}A\;$

(9.161)

Wzór (9.161) możemy przecałkować względem argumentu A, i w ten sposób otrzymujemy całkowity strumień energii F w zależności od amplitudy fali A i częstości Ω:

$F={{c^{3}} \over {32\pi G}}\Omega ^{2}A^{2}\;$

(9.162)

Średnią po kwadracie dla amplitudy A możemy napisać wzorem poniżej, a także po podstawieniu tego do (9.162) mając na myśli tylko dwie niezależne składowe rozważanego tensora:

$\langle {{\overline {h}}_{xx}^{TT}}^{2}\rangle ={{1} \over {2}}A^{2}\;$

(9.163)

$F={{c^{3}} \over {32\pi G}}\Omega ^{2}\langle {\overline {h}}_{\mu \nu }^{TT}{{\overline {h}}^{\mu \nu }}^{TT}\rangle \;$

(9.164)