Ogólna teoria względności/Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy rozważać ruch cząstki próbnej wokół masy o geometrii statycznie sferycznej, czyli według geometrii Schwarzchilda za pomocą równania na line geodezyjne. Tutaj pokażemy podejście ogólne dla rozwiązania równania geodezyjnego dla cząstki próbnej.

Równanie geodezyjne a geometria Schwarzchilda

Ruch cząstki próbnej będziemy rozważać przy pomocy równania (2.8). Poszczególne niezerowe elementy tensora Christofela dla geometrii Schwarzchilda w układzie współrzędnych (ct,r,θ,φ), które zostały napisane w poprzednim rozdziale:

${\Gamma ^{t}}_{tr}={{1} \over {2}}\Phi ^{'}\;$

(11.1)

${\Gamma ^{r}}_{tt}={{1} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }\Phi ^{'}\;$

(11.2)

${\Gamma ^{r}}_{rr}={{1} \over {2}}\Lambda ^{'}\;$

(11.3)

${\Gamma ^{r}}_{\theta \theta }=-re^{-\Lambda }\sin ^{2}\phi \;$

(11.4)

${\Gamma ^{r}}_{\phi \phi }=-re^{-\Lambda }\;$

(11.5)

${\Gamma ^{\theta }}_{r\theta }={\Gamma ^{\phi }}_{r\phi }={{1} \over {r}}\;$

(11.6)

${\Gamma ^{\theta }}_{\theta \phi }=\operatorname {ctg} \phi \;$

(11.7)

${\Gamma ^{\phi }}_{\theta \theta }=-\sin \phi \cos \phi \;$

(11.8)

Przyjmijmy że cząstka porusza się w płaszczyźnie dla $\phi ={{\pi } \over {2}}\;$, zatem wtedy na pewno zachodzi ${\dot {\phi }}=0\;$ i druga pochodna funkcji φ też ma postać zerową, co zapisujemy ${\ddot {\phi }}=0\;$, czyli cząstka porusza się cały czas w tej samej płaszczyźnie, w której są spełniane powyższe własności.

Rozważmy ruch cząstki próbnej według równania linii geodezyjnej (2.8) dla μ=t, wtedy powiemy:

$0={{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{t}}_{tr}{{d(ct)} \over {d\lambda }}{{dr} \over {d\lambda }}+{\Gamma ^{t}}_{rt}{{dr} \over {d\lambda }}{{d(ct)} \over {d\lambda }}\Rightarrow 0={{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}+2{\Gamma ^{t}}_{tr}{{d(ct)} \over {d\lambda }}{{dr} \over {d\lambda }}\;$

(11.9)

Zatem jeśli mamy równania (10.66), zatem wtedy ściśle określony element tensora Christoffela (11.1) możemy zapisać:

${\Gamma ^{t}}_{tr}={{1} \over {2}}\Phi ^{'}={{1} \over {2}}[\ln(1-{{r_{g}} \over {r}})]^{'}={{1} \over {2}}{{1} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}{{r_{g}} \over {r^{2}}}={{r_{g}} \over {2e^{\Phi }r^{2}}}\;$

(11.10)

A zatem nasze równanie na linie geodezyjne (11.9), przy definicji tensora Christofera Γ^t_tr wyprowadzone w punkcie (11.10), która jest zależna od promienia Schwarzchilda r_g czarnej dziury i funkcji Φ(r) wyprowadzonej w poprzednim module, możemy zapisać:

$0={{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}+2{{r_{g}} \over {2e^{\Phi }r^{2}}}{{d(ct)} \over {d\lambda }}{{dr} \over {d\lambda }}\Rightarrow 0={{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}+{{r_{g}} \over {e^{\Phi }r^{2}}}{{d(ct)} \over {d\lambda }}{{dr} \over {d\lambda }}\;$

(11.11)

Równanie (11.11) możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną stałego wyrażenia względem parametru λ, które jest równe zero, co piszemy je jako:

${{d} \over {d\lambda }}\left[e^{\Phi }{{d(ct)} \over {d\lambda }}\right]=0\;$

(11.12)

Co można udowodnić równoważność równości (11.12) i (11.11) rozpisując powyższe równanie oraz pochodną Φ^', która zawiera czynnik e^Φ, i dla którego Λ=-Φ, czyli do którego możemy wykorzystać równość (10.66), i w końcowej tożsamości (10.58) możemy udowodnić przejście równości (11.12) do równości (11.11).

$e^{\Phi }\Phi ^{'}{{d(ct)} \over {d\lambda }}+e^{\Phi }{{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}=0\Rightarrow \Phi ^{'}{{d(ct)} \over {d\lambda }}+{{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}=0\Rightarrow {{r_{g}} \over {e^{\Phi }r^{2}}}{{dr} \over {d\lambda }}{{d(ct)} \over {d\lambda }}+{{d^{2}(ct)} \over {d\lambda ^{2}}}=0\;$

(11.13)

Równanie (11.12) można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą K.

$e^{\Phi }{{d(ct)} \over {d\lambda }}=K\Rightarrow {{d(ct)} \over {d\lambda }}=Ke^{-\Phi }$

(11.14)

A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej (2.8) dla parametru przestrzennego μ=φ, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffela, a mianowicie jak wcześniej wyznaczonej definicji (11.6), piszemy:

${{d^{2}\theta } \over {d\lambda ^{2}}}+2{\Gamma ^{\phi }}_{t\phi }{{dr} \over {d\lambda }}{{d\theta } \over {d\lambda }}=0\Rightarrow {{d^{2}\theta } \over {d\lambda ^{2}}}+{{2} \over {r}}{{dr} \over {d\lambda }}{{d\theta } \over {d\lambda }}=0\;$

(11.15)

Równanie (11.15) możemy zwinąć do postaci bardzo skróconej licząc pochodną współrzędnej radialnej względem parametru λ, które są równa zero (pierwsza i druga pochodna), co rysujemy:

${{d} \over {d\lambda }}\left[r^{2}{{d\theta } \over {d\lambda }}\right]=0\;$

(11.16)

Co można udowodnić równoważność równości (11.15) i (11.16) rozpisując powyższe równanie do postaci poniżej i przekształcają je w taki sposób, by dokonać przejścia jego do postaci (11.15).

$2r{{dr} \over {d\lambda }}{{d\theta } \over {d\lambda }}+r^{2}{{d^{2}\theta } \over {d\lambda ^{2}}}=0\Rightarrow {{2} \over {r}}{{dr} \over {d\lambda }}{{d\theta } \over {d\lambda }}+{{d^{2}\theta } \over {d\lambda ^{2}}}=0\;$

(11.17)

Równanie (11.16) można przedstawić w postaci po z całkowaniu go względem parametru λ otrzymując, że wyrażenie pod pochodna jest wielkością stałą i równą h.

$r^{2}{{d\theta } \over {d\lambda }}=h\Rightarrow {{d\theta } \over {d\lambda }}={{h} \over {r^{2}}}$

(11.18)

A teraz rozważmy równanie ruchu dla linii geodezyjnej (2.8) dla parametru przestrzennego μ=r, wtedy to nasze równanie w przestawieniu przy niezerowych wartościach tensora metrycznego Chrstoffera, a mianowicie jej wcześniej wyznaczonej definicji Γ^r_tt (11.2), Γ^r_rr (11.3), Γ^r_θθ (11.4) oraz Γ^r_φφ (11.5), co całe równanie przedstawiamy wedle:

${{d^{2}r} \over {d\lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{r}}_{tt}\left({{d(ct)} \over {d\lambda }}\right)^{2}+{\Gamma ^{r}}_{rr}\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}+{\Gamma ^{r}}_{\theta \theta }\left({{d\theta } \over {d\lambda }}\right)^{2}+{\Gamma ^{r}}_{\phi \phi }\left({{d\phi } \over {d\lambda }}\right)^{2}=0\;$

(11.19)

Podstawiając za odpowiednie Γ^α_βγ, należy pamiętać o ograniczeniu na odpowiednie φ co wspomniano wcześniej w tym rozdziale. Najpierw policzmy odpowiednie elementy tensora Christoffela wedle (11.2) i (11.3) występujące we wzorze na linię geodezyjne (11.19).

${\Gamma ^{r}}_{tt}={{\Phi ^{'}} \over {2}}e^{\Phi -\Lambda }={{\Phi ^{'}} \over {2}}e^{2\Phi }={{1} \over {2}}\left[\ln \left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\right]^{'}\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)^{2}={{1} \over {2}}{{1} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}{{r_{g}} \over {r^{2}}}\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)^{2}={{r_{g}} \over {2r^{2}}}e^{\Phi }$
${\Gamma ^{r}}_{rr}={{\Lambda ^{'}} \over {2}}=-{{\Phi ^{'}} \over {2}}=-{{1} \over {2}}\left[\ln \left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\right]^{'}=-{{1} \over {2}}{{1} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}{{r_{g}} \over {r^{2}}}=-{{r_{g}} \over {2r^{2}e^{\Phi }}}$

(11.20)

Dla Γ^r_φφ w (11.5) nie rozważamy, bo ${\dot {\phi }}={\ddot {\phi }}=0$, idąc dalej element tensora Christoffela (11.4) zapisujemy przy pomocy funkcji Φ wedle sposobu:

${\Gamma ^{r}}_{\theta \theta }=-r\sin {{\pi } \over {2}}e^{-\Lambda }=-re^{\Phi }$

(11.21)

A zatem nasze rozważane równanie (11.19) na linię geodezyjną, do którego to podstawiamy równania na tensory Christoffela (11.3) i na samym końcu równania uzyskane w punkcie, tzn.: (11.20) i (11.21), którego to rozważane równanie na linie geodezyjne możemy przestawić wedle:

${{d^{2}r} \over {d\lambda ^{2}}}+{{r_{g}} \over {2r^{2}}}e^{\Phi }\left({{d(ct)} \over {d\lambda }}\right)^{2}-{{r_{g}} \over {2r^{2}e^{\Phi }}}\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}-re^{\Phi }\left({{d\theta } \over {d\lambda }}\right)^{2}=0$

(11.22)

Jest to równanie na linię geodezyjną poruszającej się cząstki wokół kulistosymetrycznej masy podlegającej geometrii Schwarzschilda.

Dowolny ruch cząstki próbnej wokół sferyczno-statycznej masy

Długość stycznego czterowektora do linii geodezyjnej ruchu cząstki próbnej, znając jednocześnie elementy podwójnie kowariantnego tensora metrycznego g_μν, przedstawia się jako:

$C={{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}g_{\mu \nu }{{dx^{\nu }} \over {d\lambda }}$

(11.23)

jest wielkością stałą i zależy od masy cząstki próbnej według (1.13), dla cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera to C>0, wtedy parametr λ jest to interwał czasoprzestrzenny, a dla fotonów C=0, wtedy λ jest dowolnym parametrem, ale nie interwałem czasoprzestrzennym, którym jego różniczka w tym przypadku zawsze wynosi zero.

Dla cząstki poruszającej się po naszej płaszczyźnie dla $\phi ={{\pi } \over {2}}$, znając elementy tensora metrycznego, które są zawsze diagonalne przy pomocy funkcji Φ, równanie (11.23) możemy zapisać:

$C=e^{\Phi }\left({{d(ct)} \over {d\lambda }}\right)^{2}-e^{-\Phi }\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}-r^{2}\left({{d\theta } \over {d\lambda }}\right)^{2}$

(11.24)

Następnym krokiem jest podstawienie za wielkość pochodnej wielkości współrzędnej czasowej ct względem parametru λ, czyli ${{d(ct)} \over {d\lambda }}$ wedle wyrażenia (11.14) a za pochodną wielkości kątowej θ względem parametru λ, czyli ${{d\theta } \over {d\lambda }}$ podstawiamy wyrażenie (11.18), a zatem równość (11.24) przechodzi w tożsamość:

$C=e^{\Phi }K^{2}e^{-2\Phi }-e^{-\Phi }\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}-r^{2}{{h^{2}} \over {r^{4}}}\Rightarrow C=e^{-\Phi }K^{2}-e^{-\Phi }\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}-{{h^{2}} \over {r^{2}}}\Rightarrow e^{-\Phi }\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=-C+e^{-\Phi }K^{2}-{{h^{2}} \over {r^{2}}}$

(11.25)

Następnym krokiem jest pomnożenie ostatniego wynikowego równania (11.25) przez eksponens funkcji Φ(r), czyli e^Φ, wtedy otrzymujemy, że kwadrat pochodnej funkcji r względem parametru λ jest zapisywany:

$\left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=-Ce^{\Phi }+K^{2}-{{h^{2}} \over {r^{2}}}e^{\Phi }\Rightarrow \left({{dr} \over {d\lambda }}\right)^{2}=K^{2}-(C+{{h^{2}} \over {r^{2}}})e^{\Phi }$

(11.26)

Równanie (11.26) podzielmy obustronnie przez kwadrat ostatniej równości wynikowej (11.18), tak by wyeliminować zupełnie parametr λ ze wspomnianej równości, wtedy to owe równanie różniczkowe zapisujemy wedle:

$\left({{dr} \over {d\theta }}\right)^{2}={{K^{2}-(C+{{h^{2}} \over {r^{2}}})e^{\Phi }} \over {{h^{2}} \over {r^{4}}}}\Rightarrow \left({{dr} \over {d\theta }}\right)^{2}=r^{4}\left({{K} \over {h}}\right)^{2}-{r^{4}}{{C} \over {h^{2}}}e^{\Phi }-r^{2}e^{\Phi }$

(11.27)

Dokonajmy podstawień w równaniu (11.27) w celu uproszczenia końcowego wspomnianego równania, które to stałe i zmienne (tzn. zmienna u) są wyrażone w poniższych wzorach wedle:

$\left({{K} \over {h}}\right)=A\;$

(11.28)

$-{{C} \over {h^{2}}}=B\;$

(11.29)

$u={{1} \over {r}}\;$

(11.30)

$e^{\Phi }=1-{{r_{g}} \over {r}}=1-r_{g}u$

(11.31)

Policzymy pochodną funkcji "r" względem zmiennej kątowej θ i wyznaczmy ją w funkcjach "u" wedle podstawienia (11.30):

${{dr} \over {d\theta }}={{du^{-1}} \over {d\theta }}=-u^{-2}{{du} \over {d\theta }}$

(11.32)

Równanie różnikczkowe (11.27) na podstawie podstawień (11.28) (stała A w zalezności od stałej K i h), (11.29) (stała B w zalezności od stałej C i h), (11.30) (definicja zmiennej u względem zmiennej r, która jest odległoscią radialną od środka gwiazdy) i (11.31) (definicji eksponesu funkcji Φ) i przedstawienia pochodnej promienia radialnego (11.30) względem współrzędnej kątowej, która ta pochodna zapisywana jest wedle (11.32), zatem ostateczny wzór na (11.27) przyjmuje postać:

$u^{-4}\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}=u^{-4}A+(1-r_{g}u)(u^{-4}B+u^{-2})$

(11.33)

Równanie (11.33) pomnóżmy przez wyrażenie będące czwartą potęgę u, czyli zdefiniowanej w punkcie (11.30), czyli u, wiedząc że jednocześnie ta zmienna nigdy nie przyjmuje wartości zero, zatem oczywiste jest:

$\left({{du} \over {d\theta }}\right)^{2}=A+(1-r_{g}u)(B-u^{2})$

(11.34)

Zróżniczkujmy równanie (11.34) względem zmiennej kątowej θ, wtedy oczywiste jest, że z wiadomości o pochodnej z analizy otrzymujemy równość, która jest zależnością od drugiej pochodnej zmiennej u względem parametru θ:

$2{{du} \over {d\theta }}{{d^{2}u} \over {d\theta ^{2}}}=-r_{g}{{du} \over {d\theta }}(B-u^{2})-(1-r_{g}u)2u{{du} \over {d\theta }}$

(11.35)

Podzielmy obustronnie tożsamość (11.35) przez wyrażenie będące pochodną wyrażenia u względem parametru θ i zakładając, że to wyrażenie nie jest równe zero, bo w takim przypadku możemy wykonać dzielenie obustronne otrzymując tożsamość fizyczną:

$2{{d^{2}u} \over {d\theta ^{2}}}=-r_{g}(B-u^{2})-2(1-r_{g}u)u\;$

(11.36)

Po prawej stronie równania (11.36) wymnażamy wszystkie wyrazy, tak by nie było nawiasu, tylko same składniki w tej sumie, po tej czynności dostajemy równoważny wzór:

$2{{d^{2}u} \over {d\theta ^{2}}}=-r_{g}B+r_{g}u^{2}-2u+2r_{g}u^{2}\Rightarrow 2{{d^{2}u} \over {d\theta ^{2}}}=-r_{g}B-2u+3r_{g}u^{2}$

(11.37)

Dzielimy obustronnie tożsamość (11.37) przez liczbę dwa, zatem otrzymujemy równość, która jest równaniem toru ruchu cząstki, tzn. zależności promienia radialnego r względem jej współrzędnej kątowej θ:

${{d^{2}u} \over {d\theta ^{2}}}=-u-{{1} \over {2}}r_{g}B+{{3} \over {2}}r_{g}u^{2}$

(11.38)

Ostatnie równanie przedstawia obraz ruchu dowolnej cząstki czy to są fotony, czy inne cząstki o niezerowej masie spoczynkowej, czyli w tym przypadku cząstek o dowolnych masach spoczynkowych.

Ruch cząstki po orbicie kołowej

Będziemy mieć tutaj do czynienia z równaniem różniczkowym (11.21), który przedstawia ruch cząstki po pewnej orbicie i jeśli mamy do czynienia z ruchem po okręgu, to oczywiście:

${{d^{2}r} \over {d\lambda ^{2}}}={{dr} \over {d\lambda }}=0$

(11.39)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie (11.21), gdy cząstka porusza się po okręgu (11.39), w której zmiana współrzędnej radialnej względem parametru λ jest równa zero:

${{r_{g}} \over {2r^{2}}}e^{\Phi }\left({{d(ct)} \over {d\lambda }}\right)^{2}-re^{\Phi }\left({{d\theta } \over {d\lambda }}\right)^{2}=0\Rightarrow {{r_{g}} \over {2r^{3}}}\left({{d(ct)} \over {d\lambda }}\right)^{2}=\left({{d\theta } \over {d\lambda }}\right)^{2}$

(11.40)

Równanie napisane w punckie (11.40) mnożymy obustronnie przez wyrażenie napisane w punkcie $\left({{d\lambda } \over {dt}}\right)^{2}\;$, wtedy otrzymamy wzór w zależności czasu i współrzędnej kątowej θ względem parametru, którym jest czas t.

${{r_{g}c^{2}} \over {2r^{3}}}=\left({{d\theta } \over {dt}}\right)^{2}\Rightarrow {{2GMc^{2}} \over {c^{2}2r^{3}}}=\left({{d\theta } \over {dt}}\right)^{2}\Rightarrow {{GM} \over {r^{3}}}=\left({{d\theta } \over {dt}}\right)^{2}\Rightarrow {{d\theta } \over {dt}}={\sqrt {{GM} \over {r^{3}}}}$

(11.41)

Naszym ostatnim celem jest wyznaczenie czasu obiegu po okręgu cząstki w zależności od innych parametrów, w tym celu równanie (11.41) rozłóżmy by na jednej stronie, by była różniczka czasu, a po drugiej różniczka kąta, przy kątowej w którym znajdowała się cząstka poruszająca się na okręgu, i potem obie jego strony przecałkujmy:

$\int _{0}^{2\pi }d\theta =\int _{0}^{T}{\sqrt {{GM} \over {r^{3}}}}dt\Rightarrow 2\pi ={\sqrt {{GM} \over {r^{3}}}}T\Rightarrow 2\pi ={\sqrt {{T^{2}GM} \over {r^{3}}}}\Rightarrow {{4\pi ^{2}} \over {GM}}={{T^{2}} \over {r^{3}}}$

(11.42)

Powyższe równanie jest bardzo podobne do trzeciego równania Keplera, czyli iloraz okresu obiegu cząstki do kwadratu przez sześcian współrzędnej położeniowej danej cząstki jest wielkością stałą.

Radialny ruch swobodny ciała próbnego wokół kulistosymetrycznej masy według geometrii Schwarzchilda

Różniczka kwadratu interwału Schwarzchilda (10.66) (metryka Schwarzchilda) dla przyjętych zmienności parametrów kątowych dφ=dθ=0, czyli one są równe zero:

$ds^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(11.43)

Podzielmy obie strony równania na metrykę Schwarzschilda (11.43), które opisuje ruch cząstki bez zmiany współrzędnych radialnych przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego ds², wtedy otrzymujemy inne równoważne równanie (ale nie dla fotonu):

$1=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left({{d(ct)} \over {ds}}\right)^{2}-\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}{{1} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(11.44)

Wykorzystując zależność (11.14) i wykorzystując zależność wedle (10.58) i (10.66), wtedy równanie (11.44) przyjmuje inną równoważną postać zależną od pochodnej współrzędnej radialnej względem interwału czasoprzestrzennego, którego to postać jest:

$1=e^{\Phi }K^{2}e^{-2\Phi }-e^{-\Phi }\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\Rightarrow 1=e^{-\Phi }K^{2}-e^{-\Phi }\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\Rightarrow e^{\Phi }=K^{2}-\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}$

(11.45)

Jeśli zaczniemy od takiego r₀, przy którym zachodzi: ${\dot {r}}=0$, to wtedy równanie (11.45) przyjmuje postać, z której możemy wyznaczyć kwadrat stałej K, który jest zależny od promienia początkowego r₀ i promienia r_g występującej w równaniu na K²:

$e^{\Phi (r_{0})}=K^{2}\Rightarrow K^{2}=(1-{{r_{g}} \over {r_{0}}})$

(11.46)

Czyli nasze końcowe wynikowe równanie (11.45), po uwzględnieniu K² wedle równości (11.46) i uwzględnieniu funkcji eksponencjalnej e^Φ w zależności od położenia radialnego r i promienia Schwarzschilda, przedstawiamy:

$\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)=\left(1-{{r_{g}} \over {r_{0}}}\right)-\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}\Rightarrow \left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r_{0}}}\right)-\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\Rightarrow \left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}=r_{g}\left({{1} \over {r}}-{{1} \over {r_{0}}}\right)$

(11.47)

Biorąc definicję r_g z geometrii metryki Schwarzchilda, którego definicja jest $r_{0}={{GM} \over {c^{2}}}\;$, zatem dochodzimy więc do wniosku, że równanie (11.47) jest zapisane:

$\left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{2GM} \over {c^{2}}}\left({{1} \over {r}}-{{1} \over {r_{0}}}\right)$

(11.48)

Praktycznie można przyjąć, że r₀→∞, czyli r₀>>r_g, a więc mamy tak jak wedle zasady zachowania energii w polu grawitacyjnym, tylko zamiast czasu mamy interwał czasoprzestrzenny dla cząstki masowej podzielonej przez prędkość światła:

${{m_{0}({\dot {r}})^{2}} \over {2}}-{{GMm_{0}} \over {r}}=0\Rightarrow {\dot {r}}^{2}={{2GM} \over {r}}\Rightarrow \left({{dr} \over {ds}}\right)^{2}={{2GM} \over {c^{2}}}{{1} \over {r}}$

(11.49)

Rozwiązanie oparte na ogólnej teorii względności jest takie same jak w teorii Newtona dla toru hiperbolicznego poruszającego się z nieskończoności.

Rozciąganie w pobliżu czarnej dziury

Możemy wziąć równanie (11.49) i go pierwiastkując obustronnie, i dostajemy równanie na pochodną położenia radialnego współrzędnościowego względem interwału czasoprzestrzennego w zależności od położenia radialnego, w której dana cząstka się znajduje od środka czarnej dziury, w którym siły rozciągające, wtedy nasze rozważane równanie przyjmuje postać:

${{dr} \over {ds}}=-{\sqrt {{2GM} \over {c^{2}}}}r^{-{{1} \over {2}}}$

(11.50)

W powyższym wyrażeniu pochodna radialna jest ujemna, bo przyjęliśmy, że nasze ciało porusza się do horyzontu zdarzeń (do środka czarnej dziury).

Wyznaczmy pochodną (11.50), korzystając przy okazji z tego samego równania, dochodzimy więc do wniosku, że:

${{d^{2}r} \over {ds^{2}}}=-{\sqrt {{2GM} \over {c^{2}}}}\left(-{{1} \over {2}}\right)r^{-{{3} \over {2}}}{{dr} \over {ds}}=-{\sqrt {{2GM} \over {c^{2}}}}\left(-{{1} \over {2}}\right)r^{-{{3} \over {2}}}{\sqrt {{2GM} \over {c^{2}}}}r^{-{{1} \over {2}}}=-{{GM} \over {c^{2}r^{2}}}$

(11.51)

Załóżmy, że mamy ciało o długości l, to różnica wielkości (11.50) przyspieszeń radialnych na obu końcach rozważanego ciała, a zarazem sił wpływowych jest przedstawiona jako różnica wielkości (11.51) dla r+l i r:

$\Delta a=a(r)-a(r+l)={{GM} \over {c^{2}(r+l)^{2}}}-{{GM} \over {c^{2}r^{2}}}={{GM} \over {c^{2}}}\left({{1} \over {(r+l)^{2}}}-{{1} \over {r^{2}}}\right)={{GM} \over {c^{2}}}{{r^{2}-(r+l)^{2}} \over {(r+l)^{2}r^{2}}}={{GM} \over {c^{2}}}{{r^{2}-r^{2}-2rl-l^{2}} \over {(r+l)^{2}r^{2}}}\simeq \;$
$\simeq -{{GM} \over {c^{2}}}{{l^{2}+2rl} \over {r^{4}}}=-{{GM} \over {c^{2}}}{{{{l^{2}} \over {r^{2}}}+2{{l} \over {r}}} \over {r^{2}}}\simeq -{{2lGM} \over {c^{2}r^{3}}}$

(11.52)

Załóżmy, że do czarnej dziury spada pewien patyk, którego jego przestrzenna orientacja jest wzdłuż promienia do środka masy M. Nasz patyk porusza się cały czas do środka kulistosymetrycznego źródła pola, co jest powiedziane wartością ujemną w (11.50), dla końca patyka najbardziej oddalanego od środka, ten punkt porusza się z mniejszą wartością przyspieszenia, niż jego koniec najbardziej zbliżony, a więc patyk w kulistosymetrycznym polu statycznie sferycznej próbuje być rozciągnięty, czym mniejsza odległość od środka masy kulistosymetrycznej tym bardziej jest większe rozciąganie wpływowe. Przy wyznaczaniu końcowego wyniku w (11.52) korzystaliśmy, że $\left({{l} \over {r}}\right)^{2}<<{{l} \over {r}}<1\;$, czyli wyrazy w liczniku naszego wyrażenia pomijamy wedle podanych przybliżeń jakie powiedzieliśmy. W geometrii Schwarzchilda mamy promień nazywamy jego imieniem $r=r_{g}={{2GM} \over {c^{2}}}$, to dochodzimy do wniosku, że wyrażenie (11.52) dla promienia Schwarzchilda, tam gdzie prawa fizyki przestają być spełnione, różnica przyspieszeń radialnych rozchodzi się według:

$\Delta a=-{{2lGM} \over {c^{2}{{8G^{3}M^{3}} \over {c^{6}}}}}=-{{c^{4}l} \over {4G^{2}M^{2}}}$

(11.53)

Dochodzimy, że czym większa jest masa źródła pola grawitacyjnego, to jest czym mniejsze rozciąganie pływowe na jej powierzchni przy promieniu granicznym (horyzoncie zdarzeń).