Ogólna teoria względności/Tensor gęstości energii-pędu

Tensor gęstości energii-pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tensor gęstości energii-pędu poznaliśmy w podpunktach: (1.48) (sygnatura dodatnia) i (1.49) (sygnatura ujemna), bez uzasadnienia jego definicji. Tutaj omówimy składowe tego tensora oraz jego właściwości.

Gęstość masy w danym punkcie zależna od prędkości

Gęstość materii w pewnym punkcie, a ściślej - w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu - jest zależna od prędkości materii względem obserwatora i rośnie wraz ze wzrostem prędkości. Gdy dane ciało spoczywa, to jego gęstość jest najmniejsza; gęstość tę nazywa się gęstością spoczynkową.

Wzrost gęstość w danym infinitezymalnym obszarze wraz z prędkością jest związany ze wzrostem masy tego obszaru oraz skróceniem długości l w kierunku, w którym ciało się porusza.

$\rho ={{m} \over {V}}={{m} \over {Sl}}={{m_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}{{1} \over {Sl_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}={{m_{0}} \over {Sl_{0}}}{{1} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\rho _{0}\gamma ^{2}\;$

(3.1)

Zatem gęstość zależy od gęstości spoczynkowej i od prędkości płynu w tym samym punkcie na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (3.1):

$\rho =\rho _{0}\gamma ^{2}\;$

(3.2)

• gdzie $\gamma ={{1} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$ jest to pewna wielkość, która jest zależna od wartości prędkości danej cząstki płynu (w danym punkcie), która często występuje w szczególnej teorii względności.

Koncentracja cząstek w danym punkcie zależna od prędkości

Koncentracja cząstek jest to liczba cząstek w jednostce objętości wyrażona jako iloraz liczby cząstek przez jej objętość zajmowaną przez nie. Tak jak zauważyliśmy przy liczeniu gęstości w danym punkcie, koncentracja cząstek w danym punkcie, który się porusza się z prędkością v jest:

$n={{N} \over {V}}={{N} \over {Sl}}={{N} \over {Sl_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}={{N} \over {Sl_{0}}}{{1} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=n_{0}\gamma$

(3.3)

Koncentracja cząstek w danym punkcie jest dana wzorem względem koncentracji spoczynkowej, tzn. gdy dana cząstka porusza się z prędkością zerową:

$n=n_{0}\gamma \;$

(3.4)

Definicja funkcji γ jest taka, że ona jest zależna od wartości prędkości cząstki, ale jego definicję już wcześniej pokazano w poprzednim rozdziale.

Prawo zachowania ilości cząstek

Prawo ciągłości dla koncentracji cząstek w zależności od prędkości danej cząstki płynu jest zdefiniowana wzorem podobnym do (3.5) dla ściśle określonego punktu:

${{\partial n} \over {\partial t}}+\operatorname {div} (n{\vec {v}})=0$

(3.5)

Jeśli zdefiniujemy współrzędną czasową jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy x₀=ct, to czterowektor koncentracji na podstawie wzoru (3.5) wyraża się wzorem poniżej. Widzimy, że element czasowy czterowektora prędkości jest równe koncentrancji cząsteczek z dokładnością do stałej, a elementy przestrzenne są równe iloczynowi koncentracji cząsteczek przez i-tą współrzędną danej prędkości w danym punkcie dla płynu:

$N^{\mu }=(nc,nv^{i})\;$

(3.6)

Po wprowadzeniu definicji współrzędnej czasowej i definicji tensora koncentracji (3.6), to równanie ciągłości (3.5) zapisujemy w sposób równoważny wedle:

${N^{\mu }}_{,\mu }=0$

(3.7)

Zdefiniujmy tensor koncentracji, poprzez koncentrację spoczynkową n₀ i przez czteroprędkość u^μ, wedle:

$N^{\mu }=cn_{0}u^{\mu }\;$

(3.8)

Udowodnijmy, że ta definicja jest równoważna z wcześniejszą definicją tensora koncentracji N^μ. Najpierw udowodnijmy przejście od (3.8) do (3.6) dla μ=0, czyli dla elementu czasowego wspomnianego tensora.

$N^{0}=cn_{0}u^{0}=cn_{0}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=c{{n_{0}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}=cn$

(3.9)

a teraz gdy 0≠ μ=i, udowodnijmy przejście od (3.8) do (3.6) dla tego ostatniego przypadku, czyli dla współrzędnych przestrzennych ostatnio wspomnianego czterowektora prędkości:

$N^{i}=cn_{0}u^{i}=cn_{0}{{dx^{i}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=cn_{0}v^{i}{{1} \over {c{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=n_{0}v^{i}\gamma =nv^{i}$

(3.10)

Na podstawie obliczeń (3.9) i (3.10) udowodniliśmy, że koncentracja wyrażona tymi wzorami są ze sobą równoważne. Co kończy dowód. Jeśli zachodzi warunek (3.7) przy definicji tensora koncentracji cząstek (3.8), to zachodzi również, gdy pominiemy stałą c:

$N^{\mu }=n_{0}u^{\mu }\;$

(3.11)

Definicję (3.11) przyjmijmy jako ostateczną definicję tensora koncentracji cząstek, który również spełnia warunek (3.7).

W przestrzeniach Minkowskiego prawo zachowania energii i pędu

Wyprowadzimy tutaj prawo zachowania lokalne energii i pędu, a także wyprowadzimy wzór ogólny na tensor gęstości energii-pędu.

Lokalne prawo zachowania masy relatywistycznej czy energii relatywistycznej

Prawo ciągłości ilości masy materii (energii) jest wyrażona poprzez wzór poniżej, którego tutaj nie wyprowadzamy, co jest tematem mechaniki teoretycznej. Przedstawia się w zależności od gęstości płyny w danym punkcie względem czasu i położenia, jeśli dany punkt, którego dotyczy lokalne prawo ciągłości porusza się z prędkości ${\vec {v}}\;$.

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=0\;$

(3.12)

• gdzie $\rho \;$ jest to gęstość cząstki płynu w danym punkcie wyrażona przez wzór (3.2) i która zależy od wartości prędkości i gęstości spoczynkowej masy.
• ${\vec {v}}\;$ to jej prędkość chwilowa danej cząstki.

Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

$j^{0\nu }=(\rho c^{2},c\rho v^{j})\;$

(3.13)

To prawo ciągłości (3.12) na podstawie definicji gęstości prądu (3.13) zapisujemy w bardzo prosty sposób:

$\partial _{\nu }j^{0\nu }=0\;$, lub jako:${j^{0\nu }}_{,\nu }=0\;$

(3.14)

Z definiujmy jako czterowektor prądu względem czterowektora prędkości jaki dany punkt posiada, i posiadający gęstość spoczynkową ρ₀:

$j^{0\nu }=c^{2}\rho _{0}u^{0}u^{\nu }\;$

(3.15)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (3.15) do (3.13) dla ν=0 czteroprądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

$j^{00}=c^{2}\rho _{0}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=c^{2}{{\rho _{0}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=c^{2}\rho _{0}\gamma ^{2}=c^{2}\rho \;$

(3.16)

A teraz udowodnijmy znów przechodniość przestawienia (3.8) do (3.6) dla elementów przestrzennych czteroprądu prądu j_μ , tzn. gdy jest spełnione 0≠μ=i:

$j^{0j}=c^{2}\rho _{0}u^{0}u^{j}=c^{2}\rho _{0}{{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}{{dx^{j}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=c^{2}{{\rho _{0}} \over {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{{v^{j}} \over {c}}=c\rho v^{j}\;$

(3.17)

Zatem elementy czterowektora według (3.9) (elementy czasowe) i (3.17) (elementy przestrzenne) czyli wzór na definicję czteroprądu (3.8), który jest przedstawiony w zależności od czteropędu cząstki i gęstości spoczynkowej jest równoważny z definicją początkową (3.13). Co kończy dowód.

Lokalne prawo zachowania pędu

Prawo ciągłości ilości jakieś współrzędnej pędu materii (energii) jest wyrażona poprzez wzór poniżej, którego tutaj nie wyprowadzamy, co jest tematem mechaniki teoretycznej. Przedstawia się w zależności od gęstości płyny w danym punkcie względem czasu i położenia, jeśli dany punkt, którego dotyczy lokalne prawo ciągłości porusza się z prędkości ${\vec {v}}\;$.

${{\partial {\mathfrak {p}}^{i}} \over {\partial t}}+\operatorname {div} ({\mathfrak {p}}^{i}{\vec {v}})=0\;$

(3.18)

• gdzie gęstość pędu $p^{i}\;$ jest to i-ta współrzędna gęstości pędu cząstki płynu w danym punkcie.
• ${\vec {v}}\;$ to jej prędkość chwilowa danej cząstki.

Zdefiniujmy współrzędną czasową x₀ jako iloczyn prędkości światła i czasu, co zapisujemy jako x₀=c t, a także zdefiniujmy gęstość prądu masy jako pewien tensor:

$j^{i}=({\mathfrak {p}}^{i}c,{\mathfrak {p}}^{i}{\vec {v}})\;$

(3.19)

To prawo ciągłości (3.18) na podstawie definicji gęstości prądu (3.19) zapisujemy w bardzo prosty sposób:

$\partial _{\nu }j^{i\nu }=0\;$, lub jako:${j^{i\nu }}_{,\nu }=0\;$

(3.20)

Z definiujmy jako czterowektor prądu względem:

$j^{i\nu }=c^{2}\rho _{0}u^{i}u^{\nu }\;$

(3.21)

Udowodnijmy przechodniość przestawienia (3.21) do (3.19) dla ν=0 czteroprądu kontrawariantnego czasowego (zerowego):

$j^{i0}=c^{2}\rho u^{i}=c{\mathfrak {p}}^{i}\;$

(3.22)

$j^{ij}=\rho v^{i}v^{j}={\mathfrak {p}}^{i}{\vec {v}}\;$

(3.23)

Zatem na podstawie (3.22) i (3.23) wzór (3.21) jest prawdziwy i równoważny wzorowi (3.19).

Tensor gęstości energii-pędu i jego lokalna zachowawczość

Zdefiniujmy tensor gęstości energii-pędu przy pomocy czterowektora prądu (3.15) (wynikający z zasady zachowania energii relatywistycznej) i (3.21) (wynikający z zasady zachowania współrzędnej pędu):

$T^{\mu \nu }=j^{\mu \nu }=\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\;$

(3.24)

Jeśli prawo ciągłości zachodzi dla j^νμ (3.14) dla energii relatywistycznej i (3.20) dla pędu relatywistycznego, to również zachodzi dla T^νμ (3.24), a zatem mamy lokalną zasada zachowania dla tensora gęstości energii-pędu:

${T^{\mu \nu }}_{,\nu }=0\;$

(3.25)

Tensor gęstości energii definiujemy jako strumień czteropędu względem powierzchni stałego x^α. Zobaczymy, czy nasza definicja tensora energii-pędu opowiedziana przed chwilą jest zgodna z naszymi oczekiwaniami, zatem:

• T⁰⁰ jest strumieniem gęstości energii przepływająca przez powierzchnię t=const, co jest gęstością energii.
• a T^0j jest strumieniem gęstości energii przepływająca przez powierzchnię x^j.
• Tⁱ⁰ jest i-tą współrzędną strumienia gęstości pędu przepływająca przez powierzchnię t=const, co jest i-tą współrzędną gęstości pędu.
• a T^ij jest strumieniem i-tą gęstości pędu przepływająca przez powierzchnię x^j.

Zatem w ogólnym przypadku T^μν definiujemy jako strumień μ-tej współrzędnej tego gęstości pędu przez powierzchnię ν. Tensor gęstości energii w postaci bez-wskaźnikowej definiujemy jako iloczyn tensora pędu cząstki relatywistycznej i tensora strumienia cząstek (3.6)(lub (3.8)) w sposób:

$\mathbf {T} =\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} \;$

(3.26)

Biorąc za definicję czteropędu (1.10), a także definicję tensora koncentracji (3.8), zatem tensor (3.26) definiujemy w postaci wskaźnikowej przez:

$T^{\mu \nu }=m_{0}cu^{\mu }cn_{0}u^{\nu }=m_{0}n_{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }=\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu }\;$

(3.27)

Równanie ciągłości dla gęstości energii (pędu), przy stałym pierwszym wskaźniku w tensorze energii-pędu T^μν, piszemy wedle zasady:

${{\partial } \over {\partial t}}{{T^{\mu 0}} \over {c}}+\nabla _{i}T^{\mu i}=0\;$

(3.28)

Równość (3.28) możemy zapisać w postaci rozwiniętej zapisanej przy pomocy różniczkowania względem każdej zmiennej kontrawariantnej:

${{\partial T^{\mu 0}} \over {d(ct)}}+{{\partial T^{\mu 1}} \over {dx^{1}}}+{{\partial T^{\mu 2}} \over {dx^{2}}}+{{\partial T^{\mu 3}} \over {dx^{3}}}=0\;$

(3.29)

Równość (3.29) może być zapisana w sposób ogólny zapisanej w sposób tensorowy korzystając przy tym z definicji tensora położenia (1.2) w sposób (3.25). Tensor gęstości energii jest symetryczny ze względu na kontrawariantne wskaźniki (u góry tensora) przy definicji podwójnie kontrawariantnego tensora gęstości energii (3.27), zatem ma miejsce własność:

$T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }\;$

(3.30)

Równanie (3.25) zawiera w sobie równanie obrazujące lokalną zasadę zachowania energii i pędu.

Ogólny wzór na tensor gęstości energii-pędu w układach płaskich (lokalnie płaskich) z lokalnością stałego ciśnienia i prędkości

Skorzystajmy ze wzoru (3.24) na tensor energii-pędu i lokalnej zachowawczości tensora energii-pędu (3.25) wiedząc, że ciało porusza się po linii prostej w układzie płaskim, bo (2.1), a także wiedząc, że pochodne ciśnienia względem współrzędnych tensora położenia są równe zero w układzie o lokalnie stałym ciśnieniu, bo w nim ciśnienie nie wpływa na ruch ciała. W poniższych obliczeniach znak u góry to sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna. Oznaczając (3.24) primem, wtedy:

$0={T^{'\mu \nu }}_{,\nu }=(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{\nu })_{,\nu }=\left[(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }\right]_{,\nu }+(\pm p\eta ^{\nu \mu }-pu^{\mu }u^{\nu })_{,\nu }=\;{T^{\mu \nu }}_{,\nu }+p_{,\nu }(\pm \eta ^{\mu \nu }-u^{\mu }u^{\nu })-p(u^{\mu }u^{\nu })_{,\nu }=$
$={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+p_{,\nu }(\pm \eta ^{\mu \nu }-u^{\mu }u^{\nu })={T^{\mu \nu }}_{,\nu }$

(3.31)

Zatem na podstawie obliczeń (3.31) tensor gęstości energii-pędu jest równy wzorowi:

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp p\eta ^{\mu \nu }$

(3.32)

Zatem tensor energii-pędu podany wzorem (3.32) spełnia lokalność zachowawczość energii-pędu (3.25), która jak widzimy spełnia też (3.30) w obranym układzie.

Przejście od układu współrzędnych lokalnie płaskiego do zakrzywionej czasoprzestrzeni

Tensor gęstości energii w układzie krzywoliniowym w zależności od tensora energii w przestrzeni Minkowskiego zapisujemy wedle rachunku tensorowego, w których względem zmiany układu współrzędnych czasoprzestrzeni z układu lokalnie płaskiego do krzywoliniowego wiedząc, że tylko on zależy od tensora położenia i również tensora metrycznego, zapisujemy w sposób:

${\overline {T}}^{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }\;$

(3.33)

Wyznaczmy pochodną kowariantną lewej strony wyrażenia (3.33), korzystając przy tym z lokalnego zachowania energii (1.59), zatem wtedy:

${{\overline {T}}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{T}^{\alpha \beta }}_{;\gamma }{{\Lambda }^{\gamma }}_{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }={{T}^{\alpha \beta }}_{,\gamma }{{\Lambda }^{\gamma }}_{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }={{T}^{\alpha \beta }}_{,\gamma }\left({{\Lambda }^{\gamma }}_{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }\right){{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }={{T}^{\alpha \beta }}_{,\gamma }{\delta ^{\gamma }}_{\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }={{T}^{\alpha \beta }}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }=0\cdot {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{\overline {T}}^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\;$

(3.34)

Tensor gęstości energii (literka z górnym podkreśleniem) jest tensorem w krzywoliniowym układzie współrzędnym, a nie z pokreśleniem w lokalnie płaskiej przestrzeni Minkowskiego, skorzystaliśmy tutaj, że w układzie lokalnie płaskim pochodna kowariantna jest równa zwykłej pochodnej cząstkowej dla tensora gęstości bez podkreślenia i dlatego zastąpiliśmy średnik przez przecinek. Również skorzystaliśmy, że zwykła pochodna cząstkowa ta w układzie Minkowskiego tensora gęstości energii jest równa zero, stąd udowodniliśmy twierdzenie o zasadzie zachowania energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych (1.60). Tensor gęstości energii (1.48), ale dla przestrzeni Minkowskiego, w który obowiązuje tensor metryczny Minkowskiego bez zaniedbania ciśnienia p, go piszemy wzorem (1.48). I udowodnijmy, że ten tensor dla układów lokalnie płaskich przechodzi w tensor gęstości energii dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych) (3.35) i oznaczmy ten tensor z podkreśleniem (znak u góry to sygnatura dodatnia, a u dołu sygnatura ujemna):

${\overline {T}}^{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }=\left[\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }\mp \eta ^{\alpha \beta }p\right]{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }u^{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }u^{\beta }\mp p\eta ^{\alpha \beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\beta }=\;$
$=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){\overline {u}}^{\mu }{\overline {u}}^{\nu }\mp {\overline {g}}^{\mu \nu }p\;$

(3.35)

Zatem udowodniliśmy, że tensor gęstości energii (3.35) jest również słuszny nie tylko dla płaskiej przestrzeni Minkowskiego, ale również dla przestrzeni krzywoliniowych (zakrzywionej). Udowodnimy również, że jeśli (3.27) spełnia warunek jako lokalną zasadę zachowania energii wedle (1.59) (co udowodniliśmy dla układów posiadających ciśnienie o zaniedbywalnej wartości dla tensora gęstości energii-pędu (3.27), który to spełnia warunek (3.25)) w układzie lokalnie płaskim, to również tensor gęstości energii-pędu napisanej w układzie krzywoliniowym (zakrzywionym) spełnia warunek (3.34) na podstawie dowodu przejścia z układu Minkowskiego (który jest układem lokalnie płaskim) do układu krzywoliniowego (zakrzywionego).

Płyny z uwzględnieniem zasad termodynamiki

Aby posługiwać wzorami opisującymi płyn, należy się posłużyć pierwszą zasadą termodynamiki, która przedstawia zmianę energii wewnętrznej układu w zależności od zmiany ciepła dostarczającego do ciała i pracy wykonanej nad układem przez zmianą objętości układu, przedstawiając je wzorem, z którego wyprowadzimy zmianę ciepła dostarczonego do ciała:

$\Delta U=\Delta Q-p\Delta V\Rightarrow \Delta Q=\Delta U+p\Delta V\;$

(3.36)

Wiadomo jednak, co jest oczywiste dla nas z definicji, że koncentracja cząsteczek wyrażona przez n napisaną poprzez liczbę cząstek należącej do układu N przez objętość V (w którym znajdują się cząstki), z którego wyznaczmy objętość układu zajmowanego przez nie w zależności od liczby cząstek i koncentracji. A potem wyznaczmy, jeśli zmiana koncentracji cząsteczek jest równa Δ n, to jaka jest zmiana objętości tego ciała przy stałej ilości cząsteczek N jakie układ zawiera.

$n={{N} \over {V}}\Rightarrow V={{N} \over {n}}\Rightarrow \Delta V=-{{N} \over {n^{2}}}\Delta n\;$

(3.37)

Tutaj skorzystamy z postulatu Einsteina, o równoważności masy i energii ciała w postaci E=m c², to energia układu w zależności od gęstości ciała i jego objętości wyrazimy wedle wzoru poniżej, z którego wyznaczymy zmianę energii całkowitej ciała:

$E=\rho _{0}c^{2}V\Rightarrow \Delta E=\rho _{0}c^{2}\Delta V+c^{2}V\Delta \rho _{0}\;$

(3.38)

Wykorzystując wzór na zmianę energii wewnętrznej ciała wedle końcowych obliczeń w wynikowym wzorze (3.38), i podstawiamy to do wzoru (3.36), wtedy zmiana ciepła dostarczonego do ciała jest wyrażona:

$\Delta Q=\rho _{0}c^{2}\Delta V+c^{2}V\Delta \rho _{0}+p\Delta V\Rightarrow \Delta Q=c^{2}V\Delta \rho _{0}+(\rho _{0}c^{2}+p)\Delta V\;$

(3.39)

Teraz skorzystamy z definicji koncentracji (3.37) i podstawimy go do końcowego wzoru w drugim wyrazie za zmianę objętości ciała, wtedy dostajemy wzór na tą samą zmianę ciepła:

$\Delta Q=c^{2}{{N} \over {n}}\Delta \rho _{0}-(\rho _{0}c^{2}+p){{N} \over {n^{2}}}\Delta n\;$

(3.40)

Z definiujmy ciepło przypadająca na jeden cząstkę, który jest stosunkiem ciepła dostarczonego do ciała przez liczbę cząstek posiadanej przez ciało:

$q={{Q} \over {N}}\;$

(3.41)

Wykorzystując definicję ciepła przypadającego na jedną jednostkę czyli parametru q z definiowanego w punkcie (3.41), przy stałej ilości cząstek w układzie, wtedy mamy wedle wzoru (3.40) następną równoważną równość:

$N\Delta q=c^{2}{{N} \over {n}}\Delta \rho _{0}-(\rho _{0}c^{2}+p){{N} \over {n^{2}}}\Delta n\;$

(3.42)

Poprzednie równanie mnożymy przez ${{n} \over {N}}\;$, wtedy dostajemy inną postać równania (3.42):

$n\Delta q=c^{2}\Delta \rho _{0}-(\rho _{0}c^{2}+p){{\Delta n} \over {n}}\;$

(3.43)

Obierzmy z definicji, że nΔ q=TΔ S, czyli zmiana ciepła dostarczonego do ciała jest równa iloczynowi temperatury i zmiany entropii posiadanej przez ciało, ależ mamy układy quasistatyczne w którym entropia pozostaje stała, to dochodzimy do wniosku, że zmiana entropii ciała jest równa zero, czyli zachodzi Δ S=0, a zatem ostateczny wzór ma się, jak po uwzględnieniu wzoru (3.43) dla układów izotropowych (brak zmiany entropii całkowitej układu):

$c^{2}\Delta \rho _{0}-(\rho _{0}c^{2}+p){{\Delta n} \over {n}}=0\;$

(3.44)

Ten wzór będziemy wykorzystywać podczas dowodu lokalnej zasady zachowania energii-pędu (1.59) dla definicji tensora metrycznego (1.48).

Dowód poprawności tensora gęstości energii-pędu

Weźmy pod lupę wzór na tensor gęstości energii-pędu (1.48) słuszny w szczególnej teorii względności i wykorzystajmy lokalną zachowawczość energii-pędu (1.59) i wstawiając ten pierwszy wzór do tego drugiego, dostajemy równość (tutaj niezależnie jaka sygnatura to wyjdzie to samo, bo sygnaturę ujemną można otrzymać z jej dodatniej z zwykłego podstawienia $\eta ^{\mu \nu }\rightarrow -\eta ^{\mu \nu }\;$):

$\left[(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\alpha }u^{\beta }-\eta ^{\alpha \beta }p\right]_{,\beta }=0\;$.

(3.45)

Z korzystamy tu z definicji tensora koncentracji zdefiniowanej w punkcie (3.11) i tożsamości określającej lokalną zasadę zachowania liczby cząstek (3.7), wtedy lewą stronę wzoru (3.45) możemy poprzekształcać:

$\left[(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\alpha }u^{\beta }\right]_{,\beta }=\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }n_{0}u^{\beta }\right]_{,\beta }=\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }n_{0}u^{\beta }+{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\underbrace {(n_{0}u^{\beta })_{,\beta }} _{=0}=\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }n_{0}u^{\beta }\;$

(3.46)

Ponieważ η^αβ jest macierzą, którego elementy są stałymi elementami tensora metrycznego, to jego pochodna zupełna względem jakikolwiek zmiennej jest równa zero:

$(p\eta ^{\alpha \beta })_{,\beta }=p_{,\beta }\eta ^{\alpha \beta }+p{\eta ^{\alpha \beta }}_{,\beta }=p_{,\beta }\eta ^{\alpha \beta }\;$

(3.47)

Wykorzystując tożsamość (3.47), a także wniosek wynikający z obliczeń (3.46), to wtedy lokalną zasada zachowania energii-pędu (3.45) możemy zapisać:

$n_{0}u^{\beta }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\eta ^{\alpha \beta }=0\;$

(3.48)

Pomnóżmy obie strony ostatniego równania (3.48) przez element czerowektora prędkości kowariantnego u_α, i wykorzystując własności tensora metrycznego Minkowskiego, otrzymujemy:

$n_{0}u^{\beta }u_{\alpha }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\eta ^{\alpha \beta }u_{\alpha }=0\Rightarrow n_{0}u^{\beta }u_{\alpha }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }-p_{,\beta }u^{\beta }=0\;$

(3.49)

Wydzielmy przed nawias tensor czterowekora prędkości u^β w wyrażeniu (3.49) i potem wykorzystując z wiadomości analizy matematycznej o pochodnej iloczynu, dochodzimy do:

$u^{\beta }\left[n_{0}u_{\alpha }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{\alpha }\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\right]=0\Rightarrow u^{\beta }\left[n_{0}u_{\alpha }{u^{\alpha }}_{,\beta }{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}+n_{0}u_{\alpha }u^{\alpha }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\right]=0\;$

(3.50)

Wiadomo jednak, że zachodzi w ogólnej teorii względności, że z tożsamości (1.11) i definicji czterowektora prędkości (1.9) otrzymujemy wzór poniżej, z którego wyznaczymy jej pochodną cząstkową obu stron względem parametru x^β:

$u_{\alpha }u^{\alpha }=1\Rightarrow u_{\alpha }{u^{\alpha }}_{,\beta }=0\;$

(3.51)

Na podstawie zachodzących tożsamości (3.51), wtedy równość (3.50) przechodzi w bardziej uproszczoną równość:

$u^{\beta }\left[n_{0}\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\right]=0\Rightarrow u^{\beta }\left[n_{0}{{((\rho _{0})_{,\beta }c^{2}+p_{,\beta })n_{0}-(\rho _{0}c^{2}+p)(n_{0})_{,\beta }} \over {n_{0}^{2}}}-p_{,\beta }\right]=0\;$

(3.52)

Po dalszych dokonanych przekształceniach i grupowaniach wyrazów w równości (3.52), dochodzimy do bardziej zgrabnej równości wynikowej:

$u^{\beta }\left[(\rho _{0})_{,\beta }c^{2}+p_{,\beta }-{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}(n_{0})_{,\beta }-p_{,\beta }\right]=0\Rightarrow u^{\beta }\left[(\rho _{0})_{,\beta }c^{2}-{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}(n_{0})_{,\beta }\right]=0\;$

(3.53)

Zakładamy, że czterowektor u^β jest wielkością, którego składowe są w ogólności niezerowe, wtedy wyrażenie w nawiasie równości (3.53) równa się zero.

$(\rho _{0})_{,\beta }c^{2}-{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}(n_{0})_{,\beta }=0\;$

(3.54)

Ostatecznie wzór (3.54) zapiszmy w postaci różniczek upuszczając w nim różniczkę ∂x^β, która leży w mianowniku tego równania:

$d\rho _{0}c^{2}-(\rho _{0}c^{2}+p){{dn_{0}} \over {n_{0}}}=0\;$

(3.55)

Widzimy, że taki sam wzór otrzymaliśmy rozpatrując z zasad termodynamiki (3.44) biorąc w tym wzorze zamiast różnic różniczki, i mamy pierwszy powód ze tensor gęstości energii-pędu jest poprawny. Wykonajmy obliczenia pomocnicze na tensorach czteroprędkości dla $0\neq \alpha =i\;$, i gdy prędkość cząstki w układzie szczególnej teorii względności jest o wiele mniejsza niż prędkość światła dla małych prędkości, zatem można powiedzieć, że można napisać dwie tożsamości przybliżone na współrzędne czterowektora prędkości i pochodną części przestrzennej czterowektora prędkości względem parametru x^β, które są zapisane warunkami przybliżonymi poniżej. Należy pamiętać że pierwsza z tych tożsamości jest w ogólności nierówna zero.

$u^{i}={{dx^{i}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\simeq {{v} \over {c}}\simeq 0\;$

(3.56)

${u^{i}}_{,\beta }\simeq {{v_{,\beta }} \over {c}}\;$

(3.57)

Przybliżenie (3.56) jest słuszne gdy zachodzi ${{v} \over {c}}<<1\;$, wtedy wyrażenie (3.48), korzystając z udowodnionych własności, możemy zapisać:

$n_{0}u^{\beta }\left[{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}u^{i}\right]_{,\beta }-p_{,\beta }\eta ^{i\beta }=0\Rightarrow n_{0}u^{\beta }\left({{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}\right)_{,\beta }u^{i}+n_{0}u^{\beta }{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}{u^{i}}_{,\beta }-p_{,\beta }\eta ^{i\beta }=0\;$

(3.58)

Jeśli weźmiemy przybliżenie, którego napisaliśmy w dowodzie (3.56), to na podstawie tego końcowy wzór w punkcie (3.58) przechodzi w bardziej uproszczoną przybliżoną tożsamość:

$n_{0}u^{\beta }{{\rho _{0}c^{2}+p} \over {n_{0}}}{u^{i}}_{,\beta }-p_{,\beta }\eta ^{i\beta }=0\Rightarrow (\rho c^{2}+p){u^{i}}_{,\beta }u^{\beta }-p_{,\beta }\eta ^{i\beta }=0\;$

(3.59)

Policzmy pewne wyrażenie, które występuje w punkcie (3.59), wyrażając je poprzez pochodne zupełne prędkości vⁱ względem czasu rzeczywistego t.

${u^{i}}_{,\beta }u^{\beta }\simeq {{{v^{i}}_{;\beta }} \over {c}}u^{\beta }=c^{-1}{{\partial v^{i}} \over {\partial x^{\beta }}}{{dx^{\beta }} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}\simeq {{1} \over {c^{2}}}{{dv^{i}} \over {dt}}\;$

(3.60)

Znając elementy przestrzenne tensora metrycznego Minkowskiego wyrażone poprzez równość (3.60), dostajemy:

$\left(\rho _{0}c^{2}+p\right){{a^{i}} \over {c^{2}}}+p_{,i}=0\Rightarrow \left(\rho _{0}+{{p} \over {c^{2}}}\right)a_{i}=-p_{,i}\;$

(3.61)

Ostatnie równanie równanie, czyli (3.61) jest znane z nierelatywistycznej dynamiki płynów, tzn. gdy zachodzi warunek ${{p} \over {c^{2}}}<<1\;$, czyli ciśnienie panujące w danym punkcie w przestrzeni jest o wiele mniejsza niż kwadrat wartości prędkości światła.

Udowodniliśmy, że tensor gęstości energii-pędu $T^{\alpha \beta }\;$ (1.59), ma taką postać jaką podaliśmy wcześniej, a na podstawie (3.34) jest słuszny w dowolnym układzie współrzędnym co jest zasadą zachowania w geometrii zakrzywionej, która wynika z lokalnej zachowawczości energii-pędu (1.59) wedle (3.25), co kończy dowody dotyczące własności tensora gęstości energii-pędu.