Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu • Jak edytować artykuły

Ogólna teoria względności według Hilberta polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a.

Równania grawitacji Einsteina-Hilberta

Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$ liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej.

$S=\int {\mathfrak {L}}d{x^{'}}^{4}\;$

(5.1)

Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu (4.9) podstawiając go do całki Lagrange'a (5.1):

$S=\int \underbrace {{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} _{{\mathfrak {L}}^{'}}dx^{4}\;$

(5.2)

Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru φ i ∂_μφ jest.

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}-{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial \varphi }}=0\;$

(5.3)

Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{g}+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.4)

Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu (5.4) rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić:

${\mathfrak {L}}_{g}=a+bR+cR^{2}+...\;$

(5.5)

Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną Λ i przez stałą κ występującego w prawie grawitacji Einsteina (1.63).

$a=-{{\Lambda } \over {\pm \kappa }}\;$

(5.6)

$b={{1} \over {\pm 2\kappa }}\;$

(5.7)

• Znak w (5.6) i (5.7) jest dla znaku na górze dla przyciągania grawitacyjnego, a ujemna na dole dla odpychania grawitacyjnego. Tzn. gdy chcermy opisywać przyciąganie grawitacyjne, to stała $\kappa \;$ jest dodatnia, a jeśli odpychanie, to zamiast $\kappa \;$ wstawiamy $-\kappa \;$, a ta stała $\kappa \;$ w nim jest dodatnia, a więc tak mozna przejść od przyciągania do odpychania we stałych (5.6) i (5.7), tzn. zamieniając w nich $+\;$ na $-\;$, i dlatego tam piszemy dla obu rodzajów oddziaływań grawitacyjnych $\pm \;$.

Część przestrzenna Lagrangianu (5.5) wedle oznaczeń (5.6) i (5.7) po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać.

${\mathfrak {L}}_{g}={{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(5.8)

Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania (5.2), wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian (5.4), która jest sumą Lagrangianu przestrzennego (5.8) i masowego, jest napisana wzorem:

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(5.9)

• gdzie:$g=-\operatorname {\det } (g_{\alpha \beta })\;$

Ale ${\sqrt {-g}}\;$ jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego.

Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu (5.9) w stosunku do (5.4) jest zdefiniowana:

${\mathfrak {L}}^{'}={\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(5.10)

Równanie Eulera Einsteina (5.3) względem nowego Lagrangianu ${\mathfrak {L}}^{'}\;$, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego ${\mathfrak {L}}\;$ przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy $\varphi =g^{\alpha \beta }\;$ przy (5.3), to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}-{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\;$

(5.11)

Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x^μ w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w (5.11) zapisujemy:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}=0\;$

(5.12)

A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości (5.12), czyli pierwszy wyraz w (5.11) znika, zatem dostajemy z omawianego równania:

${{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}\right)=0\;$

(5.13)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór (4.18), wtedy mamy:

${\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{\partial {\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{gg_{\alpha \beta }} \over {2{\sqrt {-g}}}}=0\;$

(5.14)

Całkowity Lagrangian po podstawieniu (5.8) do (5.4) przyjmuje postać:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.15)

Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (5.14) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (5.15):

${\sqrt {-g}}{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)+\left({{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right){{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}gg_{\alpha \beta }=0\;$

(5.16)

Po podzieleniu obustronnie równości (5.16) przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli ${\sqrt {-g}}\;$:

$-{{1} \over {\pm 4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {\pm 2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)=0\;$

(5.17)

Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego $R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\;$, i tensor Ricciego ${{\partial R} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=R_{\alpha \beta }\;$, a także na podstawie powyższej równości (5.17) mamy:

$-{{1} \over {\pm 4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{1} \over {\pm 2\kappa }}R_{\alpha \beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {{1} \over {\pm 2\kappa }}\left[\left(R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R\right)+g_{\alpha \beta }\Lambda \right]=-{{1} \over {2}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}-g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(5.18)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (5.18), przez $-{{1} \over {2\kappa }}\;$, otrzymujemy dla sygnatury dodatniej:

$R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R+g_{\alpha \beta }\Lambda =\pm \kappa \left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(5.19)

• Powyższe równanie jest dla sygnatury dodatniej.

Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle (1.41), a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci (1.44), a tensor gęstości energii-pędu przyjmuje postać według naszych rozważań według (5.19) dla sygnatury dodatniej (dla sygnatury ujemnej tensor gęstości energii-pędu różni się od tego samego dla sygnatury dodatniej minusem, bo zamieniamy w tym tensorze $g^{\mu \nu }\;$ na $-g^{\mu \nu }\;$, tzn. formalnie, by dla obu sygnator względem siebie ten tensor miał przeciwną, tylko formalnie, postać), pierwsza dla sygnatury dodatniej, a druga dla ujemnej, przechodząc z sygnatury dodatniej do ujemnej, a te tensory kolejno mamy:

$T_{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.20)

$T_{\alpha \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}-g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.21)

Wiąząc sygnaturę tensora Minkowskiego z przyciąganiem lub odpychaniem, to ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno przedstawione:

$G_{\alpha \beta }+g_{\alpha \beta }\Lambda =\kappa T_{\alpha \beta }\;$

(5.22)

$G_{\alpha \beta }+g_{\alpha \beta }\Lambda =-\kappa T_{\alpha \beta }\;$

(5.23)

Wyprowadzając równanie (5.19) (przy stałej proporcjalności przy $\kappa \;$ z plusem) mając gęstość lagrangianu przestrzennego (5.8), biorąc przy nim $\kappa \;$ z tylko z jednym znakiem, tzn. z plusem, - a więc trochę inaczej - to wtedy wychodzą wzory (5.20) (który jest dla przyciągania grawitacyjnego - sygnatura dodatnia) i (5.21) (który jest dla odpychania grawitacyjnego - sygnatura ujemna), a ten pierwszy wzór jest dla sygnatury dodatniej, a drugi dla ujemnej, co na tej podstawie wychodząc wzory: (5.22) i (5.23), a teraz weźmy znak przy tej stałej z minusem w (5.19), wtedy otrzymujemy równanie o takiej samej postaci co (5.22), a tam tensor gęstości energii-pędu jest wtedy o sygnaturze ujemnej, a dla drugiej sygnatury otrzymujemy równanie (5.23), a tam tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury dodatniej, a teraz znak przy $\kappa \;$ przyjmijmy taki: $\mp \;$, to wtedy dla jej znaku minus w równaniu (5.19), to wtedy tensor gęstości energii-pędu jest dla sygnatury ujemnej w równaniu o postaci (5.22), a dla jej znaku dodatniego też dla sygnatury ujemnej w równaniu (5.21). Sygnaturę tensora gęstości energii-pędu: (5.20) i (5.21) można zmienić na przeciwną, jeżeli dokonamy podstawienia w tym tensorze według: $g^{\mu \nu }\rightarrow -g^{\mu \nu }\;$. Do powyższych tych wniosków dośliśmy z dokładnością, co do znaku przy stałej kosmologicznej $\Lambda \;$. Ten same tensory gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punktach: (5.20) i (5.21), ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T^μν_,ν=0, mając (1.59), co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego (1.60) na podstawie (3.34) z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego (według zasady wariacyjnej to samo wychodzi, co z rachunku tensorowego, tzn. lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu).

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych.

Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)

Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x^α, i jego miano jest takie J/m³, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych $g_{\mu \nu }\;$ ($g\;$ tylko zależy od zmiennych $g_{\mu \nu }\;$), ${x^{\mu }}\;$, ${x^{\mu }}_{,\alpha }\;$ i $q^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim:

$S=c\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dV=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVd(ct)$

(5.24)

• Oznaczając przy tym dτ=dVd(ct)=dx⁰dx¹dx²dx³ jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni)
• gdzie dx⁰=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach,
• xⁱ to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach.

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania (5.24) można przedstawić wedle sposobu:

$S=c\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVdt=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d\tau =\int {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{4}q^{\alpha }$

(5.25)

W powyższym wzorze oznaczeniem q^μ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania (5.25) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu:

${{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0\Rightarrow {{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0$

(5.26)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q^β w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x^μ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q^α, czyli x^μ_,α:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }$

(5.27)

Z zasady wariacyjnej (5.26) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}$

(5.28)

Podstawiamy równanie (5.28) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (5.27) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }\Rightarrow {{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\right)$

(5.29)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q^β troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={\delta ^{\alpha }}_{\beta }{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}$

(5.30)

Równanie (5.29) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (5.30), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x^α, zatem:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }-{\delta ^{\alpha }}_{\beta }{\mathfrak {L}}\right)$

(5.31)

Równanie (5.31) mnożymy przez g;^βγ, otrzymujemy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }-g^{\gamma \alpha }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(5.32)

Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu (5.20) wychodząc z przedstawienia (5.32) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (5.32) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g^εξ=q^ε,νq^ξ_,ν, otrzymujemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial g_{\epsilon \xi }} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial \left(x_{,\epsilon }^{\nu }x_{\nu ,\xi }\right)} \over {{\partial x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{x_{\mu ,\xi }}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}g_{\xi \beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{\delta ^{\gamma }}_{\xi }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}\;$

(5.33)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (5.33) podstawiamy to wzoru (5.32), wtedy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}-g^{\alpha \gamma }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(5.34)

Równanie (5.34) jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych.

Przypadek układów lokalnie płaskich z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu

Dla tych układów na podstawie (5.34) tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu oraz tensora metrycznego prostego i odwrotnego dla sygnatury tensora metrycznego Minkowskiego dodatniej i ujemnej, mamy koleno:

$T^{\gamma \omega }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}+g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}\;$

(5.35)

$T^{\gamma \omega }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}-g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}\;$

(5.36)

Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci:

${{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}T^{\gamma \omega }=0\Rightarrow {T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }=0\;$

(5.37)

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych

Dla układów zakrzywionych równość (5.34) przedstawimy wiedząc, że zachodzi (5.4) i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego (5.8), i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych (5.20) (sygnatura dodatnia) i (5.21) (sygnatura ujemna), a więc dla postaci równania dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego oraz uwzględniając znaki przy stałej $\kappa \;$ (ono jest dodatnie), są cztery ogólne możliwości, weźmy sygnaturę dodatnią tego tensora, wtedy znak przy $\kappa \;$ w równaniu Hilberta-Einsteina przjmujemy wtedy z plusem, a dla sygnatury ujemnej jest wtedy znak przy tej stałej z minusem w tym samym równaniu, czyli dla sygnatury dodatniej jest wtedy przyciąganie grawitacyjne opisane tensorowym równaniem (5.22) przy definicji tensora gęstości energii-pędu (5.20), a dla jej, ale ujemnej, równaniem (5.23) przy tym tensorze, ale według (5.21), jest wtedy odpychanie grawitacyjne. A to wszystko można udowodnić w obliczeniach:

$0={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}_{g}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}\pm g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}_{g}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(\mp 2{{1} \over {2\kappa }}R^{\gamma \omega }\pm g^{\gamma \omega }{{R} \over {2\kappa }}\mp g^{\gamma \omega }{{2\Lambda } \over {2\kappa }}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }\mp {{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}{\Big (}R^{\gamma \omega }-{{1} \over {2}}g^{\gamma \omega }R+\;$
$+g^{\gamma \omega }\Lambda {\Big )}={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }\mp {{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}O^{\gamma \omega }={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }\mp {{1} \over {\kappa }}\left({O^{\gamma \omega }}_{;\gamma }-O^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }-O^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+T^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }+T^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }={T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }\;$

(5.38)

Powyżej udowodniliśmy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: przyciąganie i odpychanie grawitacyjne, weźmy w obliczeniach (5.38) zamiast $\kappa \;$ (ta stała jest dodatnia) inną stałą proporcjalności, tzn.: $-\kappa \;$ (stała $\kappa \;$ w nim jest dodatnia, a z minusem ujemna), co wtedy udowodnimy, że dla sygnatury dodatniej i ujemnej są kolejno: odpychanie i przyciąganie grawitacyjne. Czyli dwoma sygnaturami są opisane dwa rodzaje oddziaływań grawitacyjnych. Zachowawczość tensora gęstości energii T^γω przy jego definicji: (5.20) i (5.21), na podstawie tożsamości różniczkowej (5.38), przedstawia się dla obu sygnatur:

${T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }=0\;$

(5.39)

Równanie (5.39) dla sygnatury ujemnej jest takie samo jak on dla sygnatury dodatniej, co do postaci, tylko jest troszkę inna definicja tensora gęstości energii-pędu, tzn.: (5.20) - sygnatura dodatnia, i (5.21) - sygnatura ujemna. Równanie (5.39) wyprowadziliśmy z równości (5.37) korzystając z definicji gęstości całkowitego lagrangianu (5.15) będącej sumą gęstości lagrangianu masowego i przestrzennego (5.8), czyli otrzymaliśmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu, gdzie definicja tego tensora jest napisana w punkcie (1.51) dla sygnatury dodatniej i (1.51) dla sygnatury ujemnej. Lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu z przecinkiem otrzymaliśmy ze szczególnej teorii względności napisaną w punkcie (STW-33.26) i (STW-38.18), pisząc je dla obu sygnatur, z gęstością tensora siły zewnętrznej dla tego pierwszego równej zero, by te oba równania były równoważne, co dla układów zakrzywionych po transformacji do nich przecinek zastępujemy średnikiem i otrzymujemy równość (5.39).

Lokalna zasada zachowania energii-pędu

Lokalną zasadę zachowania możemy napisać wychodząc ze szczególnej teorii względności z uwzględnieniem gęstości lagrangianu masowego z równania (39.21) patrząc na równość (2.65), tylko zamiast tensora gęstości energii-pędu kinematycznego jest tensor gęstości energii-pędu masowy:

$\gamma {\sqrt {-g}}\left(\rho v^{\mu }\right)_{;0}=-{{\gamma } \over {c}}{\sqrt {-g}}{T^{\mu j}}_{;j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(5.40)

Gdzie w (5.40) jest w nim tensor gęstości energii-pędu zdefiniowany wzorem (5.35) dla sygnatury dodatniej lub (5.36) dla sygnatury ujemnej.

Dowód równania Hilberta-Einsteina grawitacji nie z teorii lagrangianowej

Równania Hilberta-Einsteina grawitacji (5.22) - przyciąganie grawitacyjne, (5.23) - odpychanie grawitacyjne, wykorzystując wzór na lokalną zachowawczość gęstości tensora energii-pędu (5.39) wymnażając obie strony przez stałą $\pm \kappa \;$, ${\sqrt {-g}}\;$ i ${\overline {e}}_{\omega }\;$, która w układach lokalnie płaskich jest wersorem lokalnie stałym, oraz całkując obustronnie względem całki objętościowej w czasoprzestrzeni zakrzywionej wykorzystując, że zachodzi własność dla rozszerzonego tensora Einsteina $O^{\mu \nu }\;$, tzn.: (1.45), i doprowadzając obustronnie całkę z układów zakrzywionych do lokalnie płaskich, co później wykorzystując twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa otrzymując w tym układzie całkę powierzchniową w układzie lokalnie płaskim, dalej z twierdzenia transformacji doprowadzamy całkę powierzchniową do układów zakrzywionych, otrzymujemy:

${{\overline {T}}^{\omega \gamma }}_{;\gamma }=0\Rightarrow \pm \kappa {{\overline {T}}^{\omega \gamma }}_{;\gamma }=0\Rightarrow \pm \kappa \int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\overline {e}}_{\omega }{{\overline {T}}^{\omega \gamma }}_{;\gamma }d\tau =\int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\overline {e}}_{\omega }\cdot 0\cdot d\tau \Rightarrow \pm \kappa \int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\overline {e}}_{\omega }{{\overline {T}}^{\omega \gamma }}_{;\gamma }d\tau =\int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\overline {e}}_{\omega }{{\overline {O}}^{\omega \gamma }}_{;\gamma }d\tau \Rightarrow \;$
$\Rightarrow \pm \kappa \int _{\tau ^{'}}e_{\omega ^{'}}{T^{\omega ^{'}\gamma ^{'}}}_{,\gamma ^{'}}d\tau ^{'}=\int _{\tau ^{'}}e_{\omega ^{'}}{O^{\omega ^{'}\gamma ^{'}}}_{,\gamma ^{'}}d\tau ^{'}\Rightarrow \pm \kappa \oint _{\Sigma }e_{\omega ^{'}}T^{\omega ^{'}\gamma ^{'}}d\Sigma _{\gamma ^{'}}=\oint _{\Sigma }e_{\omega ^{'}}O^{\omega ^{'}\gamma ^{'}}d\Sigma _{\gamma ^{'}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \pm \kappa \oint _{\overline {\Sigma }}{\overline {e}}_{\omega }{\overline {T}}^{\omega \gamma }d{\overline {\Sigma }}_{\gamma }=\oint _{\overline {\Sigma }}{\overline {e}}_{\omega }{\overline {O}}^{\omega \gamma }d{\overline {\Sigma }}_{\gamma }\Rightarrow \oint _{\overline {\Sigma }}{\overline {e}}_{\omega }\left(\pm \kappa {\overline {T}}^{\omega \gamma }-{\overline {O}}^{\omega \gamma }\right)d{\overline {\Sigma }}_{\gamma }=0\;$

(5.41)

Równanie ostatnie w (5.41) jest spełnione dla dowolnych powierzchni zamkniętych ${\overline {\Sigma }}\;$ i wersorów ${\overline {e}}_{\omega }\;$ w bazie, wtedy z tego równania dochodzimy do równości tensorowej, którym jest równaniem, które chcemy otrzymać, pisząc bez nadkreśleń:

$\pm \kappa T^{\omega \gamma }-O^{\omega \gamma }=0\Rightarrow O^{\omega \gamma }=\pm \kappa T^{\omega \gamma }\Rightarrow G^{\omega \gamma }+\Lambda g^{\omega \gamma }=\pm \kappa T^{\omega \gamma }$

(5.42)

Końcowe równanie w (5.42) wyprowadzone jest z zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (5.39), jeżeli od zewnątrz nie działają na układ żadne siły zewnętrzne.

Szczególne postacie gęstości Lagrangianu

Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie (STW-28.12) w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekształceń, wtedy otrzymamy wzór taki sam jak w punkcie (STW-40.1) dla sygnatury dodatniej i ujemnej (pojawia się tutaj dodatkowy minus) tensora metrycznego Minkowskiego przedstawiamy kolejno dla pierwszej sygnatury:

${\mathfrak {L}}=-\rho _{0}c^{2}=-\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}\eta _{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha {\dot {\mu }}}\eta _{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(5.43)

Dla drugiej (zamiast $\eta ^{\mu \nu }\;$ wstawiamy tensor $-\eta ^{\mu \nu }\;$ do gęstości lagrangianu kinematycznego (5.43)):

${\mathfrak {L}}=-\rho _{0}c^{2}=\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\left[-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}\eta _{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha {\dot {\mu }}}\eta _{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(5.44)

We wzorze (5.43) sumowanie jest tylko po $\mu \;$ i $\nu \;$, a względem $\alpha \;$ już nie. W przypadku wzoru na gęstości lagrangianu: (5.43) i (5.44) zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie (4.9) w układach ogólnie zakrzywionych, biorąc gęstość lagrangianu z punktu (5.43), nazywając ją według procedury ${\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}_{m}\;$, a także pisząc $L\rightarrow L_{m}\;$, wtedy też piszemy inne zastąpienie $\eta ^{\mu \nu }\rightarrow g^{\mu \nu }\;$, zatem:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}dV^{'}=\int {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}_{m}dV\;$

(5.45)

Widzimy, że we wzorze (5.45) gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę (5.43) i (5.44), (w gęstość lagrangianu), dla $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\;$.

Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\wedge u^{i}\rightarrow 0\wedge u^{0}=1\;$

(5.46)

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(5.47)

Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową:

${{\partial \rho _{0}} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(5.48)

Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem:

${{\partial p} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(5.49)

Wniosek (1.46), (5.46), (5.48) i (5.49) są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, np. do dowodu lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu, jak w szczególnej teorii względności w (STW-33.28), lub mając ten sam układ biorąc zamiast (5.46) warunek lokalności (5.47), wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości, które można wykorzystać też do takiej samej teorii, ale dla układów lokalnie płaskich.

Tensor gęstości energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych

Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego (5.43) (ostatnia równość) dla układów lokalnie płaskich zamieniając w nim według formuły: $\eta ^{\mu \nu }\rightarrow g^{\mu \nu }\;$, co wynika z definicji transformacji tensorów, wtedy otrzymamy gęstość lagrangianu masowego dla układów zakrzywionych dla sygnatury dodatniej tensora metrycznego Minkowskiego w postaci:

${\mathfrak {L}}_{m}=-\rho _{0}c^{2}=-\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}g_{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}g_{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha {\dot {\mu }}}g_{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(5.50)

Dla drugiej (tutaj widzimy, że się pojawia dodatkowy minus przy gęstości lagrangianu masowego i minus przy tensorze metrycznym - drugie przedstawienie jego, przedstawienie względem (5.50)):

${\mathfrak {L}}_{m}=-\rho _{0}c^{2}=\rho _{0}c^{2}u^{\dot {\mu }}u_{\dot {\mu }}=-\left[-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\dot {\mu }}g_{{\dot {\mu }}{\dot {\nu }}}u^{\dot {\nu }}+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha {\dot {\mu }}}g_{{\dot {\mu }}\alpha }\right]\;$

(5.51)

W takiem razie tensor gęstości energii-pędu z jego definicji (5.20) za pomocą lagrangianu masowego (5.50) jest ona napisana dokładnie dla pierwszej sygnatury:

$T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }\Rightarrow T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-pg^{\alpha \beta }$

(5.52)

Dla drugiej (tutaj widzimy, że pojawia się minus przy tensorze metrycznym układu zakrzywionego) względem (5.52):

$T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }+{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)g^{\alpha \beta }+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }\Rightarrow T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }$

(5.53)

Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu w (5.52) - sygnatura dodatnia, i (5.53) - sygnatura ujemna, co kolejno w punktach (1.48) i (1.49). Są to tensory gęstości energii-pędu, które możemy wykorzystać w lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu (5.39) i w równaniu Hilberta-Einsteina w (5.22) dla sygnatury dodatniej i (5.23) dla sygnatury ujemnej. A jeżeli zastosujemy silną zasadę równoważności, to równości: (5.52) i (5.53), powinny być równoważne z tym tensorem, w szczególnej teorii względności, jako: (1.48) i (1.49), które otrzymujemy z analogicznych sposobów jak kolejno z (5.50) i (5.51) do (5.52) i (5.53), a dla szczególnej teorii względności mamy kolejno z (5.43) i (5.44) do (1.48) i (1.49), tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny układu ogólnie zakrzywionego, dla obu kolejno sygnatur.

Linie geodezyjne, a zasady równoważności

Wyprowadzimy tutaj równania geodezyjne dla układów punktowych i rozciągłych, a także z równań dla układów rozciągłych udowodnimy równanie dla układów punktowych, że sa one co do siebie równoważne, a także udowodnimy słabą i silną zasadę równoważności.

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania, a silna zasada równoważności (dowód)

Wyprowdzimy tutaj z drugiej zasady Lagrange'a prawa ruchu ogólnej teorii względności dla układów punktowych i rozciągłych.

Układy punktowe

Weźmy lagrangian układu zakrzywionego, pisząc go dla obu sugnatur korzystając z definicji jedynki z (1.11), co na tej podstawie możemy lagrangian kinematyczny tensorowy przekształcić do postaci:

$L_{k}=-{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}{\dot {q}}^{\mu }g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }\;$

(5.54)

Całkę działania dla lagrangianu kinematycznego dla układu zakrzywionego piszemy jako całkę po interwale czasoprzestrzennym z lagrangianu kinematycznego:

$S=\int _{s}L_{k}ds\;$

(5.55)

Napiszmy równanie na drugą zasad Lagrange'a mając lagrangian i ogólniony tensor siły, wiedząc, że całka działania (5.55) wtedy przyjmuje wartość najmniejszą:

${{d} \over {ds}}{{\partial L_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}-{{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\alpha }}}=Q_{k}$

(5.56)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a (5.56), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu, czyli policzmy wyrażenie z dokładnością z dokładnością do czynników stałych jako pochodną cząstkową lagrangianu kinematycznego względem uogólnionego położenia:

$\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}{{\partial L_{k}} \over {\partial q^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{1} \over {2}}g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }\right)={{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }$

(5.57)

Wyraz występujący pod pochodną zupełną po interwale czasoprzetrzennym pochodnej różniczkowej względem prędkości uogólnionej, który występuje w równaniu Eulera-Lagrange'a (5.56), możemy przekształcić z dokładnością do czynników stałych do:

$\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{1} \over {2}}\left(g_{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\mu }+\rho _{0}g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\nu }\right)={{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \nu }{\dot {q}}^{\nu }\right)={{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\mu \alpha }{\dot {q}}^{\mu }\right)={{1} \over {2}}\left(2g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)=g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }$

(5.58)

Wyznaczmy pochodną zupełną względem interwału czasoprzestrzennego wuyrażenia obliczonego (5.58), dzięki któremu napiszmy:

$\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}{{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{d} \over {ds}}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)=g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{dg_{\alpha \mu }} \over {ds}}{\dot {q}}^{\mu }=g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }$

(5.59)

Połączmy wyrażenia (5.58) i (5.59), oraz podstawmy je odpowiednio do wzoru (5.56), w takim przypadku napiszmy równość do przekształcenia matematycznego:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}Q^{\mu }\;$

(5.60)

Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego.

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }={\delta ^{\beta }}_{\mu }$

(5.61)

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }=\delta _{k}^{\beta }{\ddot {q}}^{\mu }={\ddot {q}}^{\beta }$

(5.62)

Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości (5.79), możemy napisać:

$g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}\right){\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }$

(5.63)

Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym (5.80):

${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right)$

(5.64)

Pomnóżmy równość (5.60) przez element $g^{\beta \alpha }\;$, dalej wykorzystajmy obliczenia na liczbach ogólnych (5.62) i (5.63) i wykorzystując definicję symboli Christoffela (5.64) z rachunku tensorowego, wtedy:

${\ddot {q}}^{\beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}Q^{\beta }\Rightarrow {{\dot {q}}^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=\mp {{1} \over {m_{0}c^{2}}}Q^{\beta }\;$

(5.65)

Ale definicja uogólnionego tensora siły jest w drugiej zasadzie Lagrange'a dla układów punktowych dla obu sygnatur taka:

$Q^{\beta }=\mp cK^{\beta }\;$

(5.66)

Wykorzystajmy definicję (5.66) na definicję uogólnionego tensora siły do równości (5.65):

$m_{0}c{{\dot {q}}^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=K^{\beta }\;$

(5.67)

Równość (5.67) dla układów lokalnie płaskich możemy przepisać z rachunku tensorowego z praw transformacji tensorowej:

$m_{0}c{{\dot {q}}^{\beta }}_{,\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=K^{\beta }\Rightarrow m_{0}c{{du^{\beta }} \over {ds}}=K^{\beta }\;$

(5.68)

Końcowe równanie jest takie same jak równość na drugą zasadę dynamiki Einsteina, czyli silna zasada równoważności dla układów punktowych jest spełniona.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów rozciągłych i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Napiszmy lagrangian w układach rozciągłych płaskich i zakrzywionych, wiedząc, że $q^{\alpha }\;$ i ${\dot {q}}^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy w układzie zakrzywionym napiszmy całkowity lagrangian, z którego wyznaczymy gęstość lagrangianu kinematycznego tensorowego dla obu sygnatur tensora metrycznego, wychodząc od układu lokalnie płaskiego (opisywana przez szczególną teorię względności) do układu współrzędnych opisującego przestrzeń zakrzywioną (opisywaną przez ogólną teorię względności):

$L_{k}=-{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}=\mp {{1} \over {2}}c^{2}\int _{V}\rho _{0}dV_{0}=-{{1} \over {2}}c^{2}\int _{V}\rho _{0}\gamma {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}dV_{0}=-{{1} \over {2}}c^{2}\int _{V}\rho _{0}\gamma dV\Rightarrow {\mathfrak {L}}=-{{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma c^{2}=\mp {{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma c^{2}{\dot {q}}^{\mu }g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }$

(5.69)

• We wzorze (5.69) znak u góry to sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna, tensora metrycznego.

Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g_αν i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu (5.69):

$S=\int _{s}\int _{V_{p}}{\mathfrak {L}}_{k}dV_{p}ds=\int _{s}\int _{V}{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}_{k}dVds$

(5.70)

• Gdzie: $V_{p}\;$ jest to obiętość ukłądów płaskich, a $V\;$ zakrzywionych.

Napiszmy wzór na drugą zasadę Lagrange'a dla układów zakrzywionych mając gęstość lagrangianu kinematycznego (5.69) i gęstość uogólnionego tensora siły w układzie zaskrzywionym:

${{d} \over {ds}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial q^{\alpha }}}={{dQ_{\alpha }} \over {dV}}$

(5.71)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w równaniu Lagrange'a (5.71), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu:

$\mp {{1} \over {c^{2}}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial q^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma {{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma$

(5.72)

Wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a (5.71), możemy przekształcić do:

$\mp {{1} \over {c^{2}}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma \left(g_{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\mu }+\rho _{0}g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\nu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma ={{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma \left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \nu }{\dot {q}}^{\nu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma ={{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma \left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\mu \alpha }{\dot {q}}^{\mu }\right)+\;$
$+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma ={{1} \over {2}}\rho _{0}\gamma \left(2g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}=\rho _{0}\gamma g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma$

(5.73)

Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia (5.73) względem pewnego parametru $s\;$ (interwał czasoprzestrzenny), czyli pierwszy wyraz w (5.71), który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia (5.73).

$\mp {{1} \over {c^{2}}}{{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}_{k}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}\gamma g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma =\rho _{0}\gamma g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}\gamma +\rho _{0}\gamma {{dg_{\alpha \mu }} \over {ds}}{\dot {q}}^{\mu }+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma =\;$
$=\rho _{0}\gamma g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}\gamma +\rho _{0}\gamma {{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma$

(5.74)

A więc nasze równanie Lagrangianu (5.71), której części są przedstawione i policzone w punktach (5.72) i (5.74), czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu (5.69), przedstawia się po podzieleniu przez ${\sqrt {-g}}\;$, $\rho _{0}\;$ i $\gamma \;$ obustronnie:

$g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}+{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma }}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}\rho _{0}\gamma +{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+\;$
$+{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma -{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma -{{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{\sqrt {-g}}=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}$

(5.75)

Podzielmy na dwie grupy wyrazów w (5.75), jednej z lewej strony równania, a drugie z prawej, wtedy:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }\pm {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}=-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}-{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma }}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +\;$
$-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}\rho _{0}\gamma -{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +{{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{\sqrt {-g}}\;$

(5.76)

Obierzmy cechowanie zerując prawą stronę równości (5.76), bo ona w układzie lokalnie płaskim o lokalnie stałych parametrach jest równa zero, by na podstawie jej otrzymać poprawne równanie ruchu (geodezyjne):

$-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}-{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma }}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma -g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}\rho _{0}\gamma -{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +{{1} \over {2\rho _{0}\gamma }}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\rho _{0}\gamma +\;$
$+{{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{\sqrt {-g}}=0\;$

(5.77)

Przy cechowaniu (5.77) wzór na linie geodezyjne (5.76) przyjmuje postać:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}c^{2}}}{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}\;$

(5.78)

Pomnóżmy teraz równanie (5.78) przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element $g^{\beta \alpha }\;$:

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-g^{\beta \alpha }{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}g^{\beta \alpha }{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}$

(5.79)

Wykorzystajmy obliczenia w punktach (5.61), (5.62) i (5.63), napiszmy równanie ruchu:

${\ddot {q}}^{\beta }+{{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right){\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}c^{2}}}g^{\beta \alpha }{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}$

(5.80)

Wykorzystajmy dfinicję symboli Christoffela, a zatem nasze równanie (5.80), na podstawie definicji symboli Christoffela (5.64), przedstawia się:

${\ddot {q}}^{\beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}g^{\beta \alpha }{{dQ_{\alpha }} \over {dV}}\Rightarrow {{\dot {q}}^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}{{dQ^{\beta }} \over {dV}}$

(5.81)

Udowodniliśmy w ten sposób że równanie (2.8) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a (5.81) policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego, gdy siły zewnętrzne niegrawitacyjne się zerują. Przedstawmy równanie końcowe (5.81) w układzie zakrzywionym, mając definicję ogólnionego tensora siły (5.66), ale tym razem dla różniczek, a nie dla wielkości skończonych, wtedy:

${q^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=\mp {{1} \over {{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c^{2}}}{{dQ^{\beta }} \over {dV}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}c^{2}{q^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }=c{{dK^{\beta }} \over {dV}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{q^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }={{dK^{\beta }} \over {dV}}\;$

(5.82)

To równanie, tzn. (5.82) przypiszmy w postaci, przekształcając je do układów lokalnie płaskich zamieniając je na układy lokalnie płaskie, w których panuje teoria dla układów płaskich:

${\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{q^{\beta }}_{;\alpha }{\dot {q}}^{\alpha }={{dK^{\beta }} \over {dV}}\Rightarrow \rho _{0}c{{du^{\beta }} \over {ds}}={{dK^{\beta }} \over {dV_{0}}}\;$

(5.83)

Na podstawie otrzymanej równości (5.83) można udowodnić silną zasadę równoważności dla układów rozciągłych, tzn. prawa w układzie lokalnie płaskim, wtedy tam jest spełniona szczególna teoria względności, mając je dla układów zakrzywionych, mają taką samą postać, co dla układów lokalnie płaskich, tylko zamiast tensora metrycznego Minkowskiego jest tensor metryczny czasoprzestrzeni zakrzywionej, a zamiast przecinka jest średnik.

Słaba zasada równoważności (dowód)

W układach inercjalnych rozciągłych panują prawa szczególnej teorii względności (5.83) (z którego możemy policzyć tensor siły działający na rozciągłe ciało), a jeśli mamy obserwatora w poruszającej się w windzie, w inercjalnym układzie odniesienia (układ lokalnie płaski), poruszający się z przyśpieszeniem ${\vec {a}}={\vec {g}}\;$, to on porusza się wraz z windą, a on sam odczuwa siłę bezwładności do dołu windy w układzie nieinercjalnym poruszający się wraz z windą względem tego układu ostatniego, rozważając inaczej, weźmy inercjalny układ odniesienia poruszający się wraz z windą, wtedy pojawiają się tensory metryczne, które są jakimiś funkcjami, nierówne tensorowi metrycznemu Minkowskiego, i pojawia się wtedy tensor siły grawitacji pochodzący od tego układu opisany w równaniu dla układu dyskretnego (2.16) (z którego możemy policzyć tensor siły działający na ciało) lub rozciągłego (2.19) (z którego możemy policzyć gęstość tensora siły grawitacji), stąd obserwator nie może rozróżnić tego układu inercjalnego od nieinercjalnego, bo opisywać można też ten sam ruch tak samo w układzie inercjalnym i nieinercjalnym, stąd prawa sformułowane tensorowo w układzie inercjalnym w szczególnej teorii względności są słuszne również w układzie nieinercjalnym po zamienieniu w układzie inercjalnym tensora metrycznego Minkowskiego tensorem metrycznym tego układu nieinercjalnego, a przecinki średnikami, co wtedy otrzymujemy prawa ruchu dla układów nieinercjalnych, co można też to udowodnić z teorii transformacji przechodząc z układu inercjalnego do nieinercjalnego. A więc to dowodzi słabą zasadę równoważności Alberta Einsteina.

Gęstość lagrangianu i równanie Eulera-Lagrange'a, a paradoks niespełnienia zasady najmniejszego działania

Weźmy wzór na gęstość lagrangianu całkowitego w ogólnej teorii względności, na podstawie definicji ogólnej gęstości lagrangianu całkowitego (5.4) i definicji gęstości lagrangianu przestrzennego (5.8), w postaci (5.15). Wykorzystajmy wzór na jedynkę (1.11), którą wstawiamy do (5.15), wtedy są cztery jego postacie, co:

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda u_{\mu }g^{\mu \nu }u_{\nu })+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.84)

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {2\kappa }}(Ru_{\mu }g^{\mu \nu }u_{\nu }-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(5.85)

A trzecia i czwarta postać lagrangianu całkowitego:

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}u_{\mu }g^{\mu \nu }u_{\nu }\;$

(5.86)

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}u_{\mu }g^{\mu \nu }u_{\nu }\;$

(5.87)

Gęstości lagrangianu całkowitego (5.85), (5.86) i (5.87) są niefizyczne, a (5.84) jest opcjonalnie fizyczny. Wykorzystując z definicji równania Eulera-Lagrange'a (5.13) w ogólnej teorii względności dla (5.2), wtedy weźmy (5.84) (inna postać gęstości całkowitej lagrangianu (5.15)), dochodzimy do wniosku:

${{1} \over {2\kappa }}2\Lambda u_{\mu }u_{\nu }{\sqrt {-g}}+{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}=0\;$

(5.88)

Wykorzystując z definicji równania Eulera-Lagrange'a (5.13) w ogólnej teorii względności dla (5.2), wtedy weźmy (5.85) (inna postać gęstości całkowitej lagrangianu (5.15)), dochodzimy do wniosku:

$-{{1} \over {2\kappa }}Ru_{\mu }u_{\nu }{\sqrt {-g}}+{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}=0\;$

(5.89)

Wykorzystując z definicji równania Eulera-Lagrange'a (5.13) w ogólnej teorii względności dla (5.2), wtedy weźmy (5.86) (inna postać gęstości całkowitej lagrangianu (5.15)), dochodzimy do wniosku:

${\mathfrak {L}}_{m}u_{\mu }u_{\nu }{\sqrt {-g}}+{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}=0\;$

(5.90)

Wykorzystując z definicji równania Eulera-Lagrange'a (5.13) w ogólnej teorii względności dla (5.2), wtedy weźmy (5.87) (inna postać gęstości całkowitej lagrangianu (5.15)), dochodzimy do wniosku:

${\mathfrak {L}}u_{\mu }u_{\nu }{\sqrt {-g}}+{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\mathfrak {g}}^{\mu \nu }}}=0\;$

(5.91)

Ale zachodzi dla gęstości lagrangianu całkowitego (5.15) równanie Eulera-Lagrange'a (5.13). Wykorzystując wniosek (5.13) będący równaniem Eulera-Lagrange'a dla gęstości lagrangianu całkowitego (5.15), co na tej podstawie (5.88), (5.89), (5.90) i (5.91) dla gęstości lagrangianu całkowitego (5.15) wynika, że stała kosmologiczna $\Lambda \;$, skalar krzywizny $R(x^{\mu })\;$, gęstości lagrangianu masowego ${\mathfrak {L}}_{m}(x^{\mu })\;$, i gęstości lagrangianu całkowitego ${\mathfrak {L}}(x^{\mu })\;$ są ogólnie różne od zera wykorzystując wniosek końcowy z (5.92). Skonstrułujmy gęstość lagrangianu dodając do niej zero i wykorzystując (5.11), mamy:

${\mathfrak {L}}^{'}={\mathfrak {L}}+\alpha (1-u^{\mu }g_{\mu \nu }u^{\nu })\Rightarrow 0={{\partial } \over {\partial x^{\gamma }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {g_{\mu \nu ,\gamma }}}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\mu \nu }}}+\alpha u^{\mu }u^{\nu }\Rightarrow u^{\mu }=0\;$

(5.92)

Czyli jeżeli będziemy dodawać do całkowitego lagrangianu jedynki i zero, to wychodzą, że układy są globalnie (lokalnie) płaskie matematyczne, które badaliśmy w książce opisującą szczególną teorię względności, a więc ta zasada najmniejszego działania jest spełniona tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich matematycznych, a nie zakrzywionych, bo dadawaliśmy tam jedynki i zera, stąd do całki działania nie można dodawać zer i jedynek, by zastosować go do układów zakrzywionych, by z rachunku wariacyjnego wyszły poprawne równania fizyki dla układów zakrzywionych.