Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Ogólna teoria względności według Hilberta polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a.

Równania grawitacji Einsteina-Hilberta

Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$ liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej.

$S=\int {\mathfrak {L}}d{x^{'}}^{4}\;$

(4.1)

Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu (3.9) podstawiając go do całki Lagrange'a (4.1):

$S=\int \underbrace {{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} _{{\mathfrak {L}}^{'}}dx^{4}\;$

(4.2)

Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru φ i ∂_μφ jest.

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}-{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial \varphi }}=0\;$

(4.3)

Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{g}+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.4)

Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu (4.4) rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić:

${\mathfrak {L}}_{g}=a+bR+cR^{2}+...\;$

(4.5)

Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną Λ i przez stałą κ występującego w prawie grawitacji Einsteina (1.51).

$a=-{{\Lambda } \over {\kappa }}\;$

(4.6)

$b={{1} \over {2\kappa }}\;$

(4.7)

Część przestrzenna Lagrangianu (4.5) wedle oznaczeń (4.6) i (4.7) po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać.

${\mathfrak {L}}_{g}={{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.8)

Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania (4.2), wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian (4.4), która jest sumą Lagrangianu przestrzennego (4.8) i masowego, jest napisana wzorem:

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(4.9)

• gdzie:$g=-\operatorname {\det } (g_{\alpha \beta })\;$

Ale ${\sqrt {-g}}\;$ jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego.

Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu (4.9) w stosunku do (4.4) jest zdefiniowana:

${\mathfrak {L}}^{'}={\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(4.10)

Równanie Eulera Einsteina (4.3) względem nowego Lagrangianu ${\mathfrak {L}}^{'}\;$, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego ${\mathfrak {L}}\;$ przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy $\varphi =g^{\alpha \beta }\;$ przy (4.3), to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}-{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\;$

(4.11)

Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x^μ w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w (4.11) zapisujemy:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}=0\;$

(4.12)

A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości (4.12), czyli pierwszy wyraz w (4.11) znika, zatem dostajemy z omawianego równania:

${{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}\right)=0\;$

(4.13)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór (3.18), wtedy mamy:

${\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{\partial {\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{gg_{\alpha \beta }} \over {2{\sqrt {-g}}}}=0\;$

(4.14)

Całkowity Lagrangian po podstawieniu (4.8) do (4.4) przyjmuje postać:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.15)

Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (4.14) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (4.15):

${\sqrt {-g}}{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)+\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right){{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}gg_{\alpha \beta }=0\;$

(4.16)

Po podzieleniu obustronnie równości (4.16) przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli ${\sqrt {-g}}\;$:

$-{{1} \over {4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)=0\;$

(4.17)

Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego $R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\;$, i tensor Ricciego ${{\partial R} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=R_{\alpha \beta }\;$, a także na podstawie powyższej równości (4.17) mamy:

$-{{1} \over {4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{1} \over {2\kappa }}R_{\alpha \beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {{1} \over {2\kappa }}\left[\left(R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R\right)+g_{\alpha \beta }\Lambda \right]=-{{1} \over {2}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}-g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(4.18)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (4.18), przez $-{{1} \over {2\kappa }}\;$, otrzymujemy:

$R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R+g_{\alpha \beta }\Lambda =\kappa \left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(4.19)

Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle (1.37), a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci (1.40), a tensor gęstości energii przyjmuje postać według naszych rozważań według (4.19):

$T_{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.20)

Ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną jest przedstawione:

$G_{\alpha \beta }+g_{\alpha \beta }\Lambda =\kappa T_{\alpha \beta }\;$

(4.21)

Ten sam tensor gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punkcie (4.20), ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T^μν_,ν=0, mając (1.49), co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego (1.50) na podstawie (2.34) z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych.

Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)

Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x^α, i jego miano jest takie J/m³, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych $g_{\mu \nu }\;$ ($g\;$ tylko zależy od zmiennych $g_{\mu \nu }\;$), ${x^{\mu }}\;$, ${x^{\mu }}_{,\alpha }\;$ i $q^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim:

$S=c\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dV=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVd(ct)$

(4.22)

• Oznaczając przy tym dτ=dVd(ct)=dx⁰dx¹dx²dx³ jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni)
• gdzie dx⁰=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach,
• xⁱ to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach.

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania (4.22) można przedstawić wedle sposobu:

$S=c\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVdt=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d\tau =\int {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{4}q^{\alpha }$

(4.23)

W powyższym wzorze oznaczeniem q^μ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania (4.23) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu:

${{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0\Rightarrow {{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0$

(4.24)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q^β w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x^μ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q^α, czyli x^μ_,α:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }$

(4.25)

Z zasady wariacyjnej (4.24) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}$

(4.26)

Podstawiamy równanie (4.26) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (4.25) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }\Rightarrow {{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\right)$

(4.27)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q^β troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={\delta ^{\alpha }}_{\beta }{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}$

(4.28)

Równanie (4.27) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (4.28), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x^α, zatem:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }-{\delta ^{\alpha }}_{\beta }{\mathfrak {L}}\right)$

(4.29)

Równanie (4.29) mnożymy przez g;^βγ, otrzymujemy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }-g^{\gamma \alpha }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(4.30)

Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu (4.20) wychodząc z przedstawienia (4.30) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (4.30) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g^εξ=q^ε,νq^ξ_,ν, otrzymujemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial g_{\epsilon \xi }} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial \left(x_{,\epsilon }^{\nu }x_{\nu ,\xi }\right)} \over {{\partial x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{x_{\mu ,\xi }}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}g_{\xi \beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{\delta ^{\gamma }}_{\xi }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}\;$

(4.31)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (4.31) podstawiamy to wzoru (4.30), wtedy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}-g^{\alpha \gamma }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(4.32)

Równanie (4.32) jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych.

Przypadek układów lokalnie płaskich i słabozakrzywionych z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu

Dla tych układów na podstawie (4.32) tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego prostego i odwrotnego:

$T^{\gamma \omega }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}+g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}\;$

(4.33)

Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci:

${{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}T^{\gamma \omega }=0\Rightarrow {T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }=0\;$

(4.34)

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych

Dla układów zakrzywionych równość (4.32) przedstawimy wiedząc, że zachodzi (4.4) i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego (4.8), i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych (4.20), a więc:

$0={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{g}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}+g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}_{g}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(-2{{1} \over {2\kappa }}R^{\gamma \omega }+g^{\gamma \omega }{{R} \over {2\kappa }}-g^{\gamma \omega }{{2\Lambda } \over {2\kappa }}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}{\Big (}R^{\gamma \omega }-{{1} \over {2}}g^{\gamma \omega }R+\;$
$+g^{\gamma \omega }\Lambda {\Big )}={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}O^{\gamma \omega }={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}\left({O^{\gamma \omega }}_{;\gamma }-O^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }-O^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+T^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }+T^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }={T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }\;$

(4.35)

Zachowawczość tensora gęstości energii T^γω przy jego definicji (4.20) na podstawie tożsamości różniczkowej (4.35) przedstawia się:

${T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }=0\;$

(4.36)

Szczególne postacie gęstości Lagrangianu

Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie (STW-1.388) w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekstałceń, wtedy:

${\mathfrak {L}}=-\rho _{0}c^{2}=-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\mu }\eta _{\mu \nu }u^{\nu }+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \mu }\eta _{\mu \alpha }\right]\;$

(4.37)

We wzorze (4.37) sumowanie jest tylko po $\mu \;$ i $\nu \;$, a względem $\alpha \;$ już nie. W przypadku wzoru na gęstość lagrangianu (4.37) zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie (3.9) w układach ogólnie zakrzywionych biorąc gęstość lagrangianu z punktu (4.37) nazywając ją według procedury ${\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}_{m}\;$, a także pisząc $L\rightarrow L_{m}\;$:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}dV^{'}\;$

(4.38)

Widzimy, że we wzorze (4.38) gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę (4.37) (w gęstość lagrangianu) dla $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\;$.

Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\wedge u^{i}\rightarrow 0\wedge u^{0}=1\;$

(4.39)

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(4.40)

Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową:

${{\partial \rho _{0}} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(4.41)

Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem:

${{\partial p} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(4.42)

Wniosek (1.42), (4.39), (4.41) i (4.42) są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, lub mając ten sam układ biorąc zamiast (4.39) warunek lokalności (4.40), wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości.

Tensor gęstości energii-pędu dla układów lokalnie płaskich i ogólnie zakrzywionych

Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego (4.37) (ostatnia równość), wtedy z definicji tensora gęstości energii-pędu (4.20) za pomocą lagrangianu masowego jest napisana dokładnie:

$T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }\Rightarrow T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-pg^{\alpha \beta }$

(4.43)

Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu, co w punkcie (2.35). Tensor gęstości energii-pędu (4.43) dla układów lokalnie płaskich jest taki sam jak w szczególnej teorii względności tensor gęstości energii-pędu (STW-4.18), który natomiast wynika z teorii ruchu, równania ciągłości masy relatywistycznej i z układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych, a więc jest prawidłowy, co dlatego ostatnie przedstawienie gęstości lagrangianu masowego (4.37) jest fizyczne, a pozostałe przedstawienia z oczywistych powodów względem (STW-4.18) są niefizyczne.

Linie geodezyjne

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania

Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Weźmy gęstość lagrangianu masowego (4.37) (ostatnie jego przedstawienie, które jest fizyczne, a pozostałe są niefizyczne) w gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) z dokładnością do minusa i czynnika stałego przedstawiając w jego wnętrzu pewne elementy podobnie jak w definicji energii kinetycznej w mechanice Newtona, a także dodając dodatkowy składnik, który jest elementem gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) właśnie z tą dokładnością, co również zakładamy, że mamy gęstość ciała w danym punkcie $\rho _{0}\;$, i wiedząc, że dla tych układów lokalnie płaskich i zakrzywionych $g_{\mu \nu }\;$ ($g\;$ zależny tylko od zmiennych $g_{\mu \nu }\;$), $q^{\alpha }\;$ i ${\dot {q}}^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy:

${\mathfrak {L}}(x^{\alpha },{\dot {x}}^{\alpha },s)=\rho _{0}{{g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }} \over {2}}+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)=\rho _{0}{{g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }} \over {2}}+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)$

(4.44)

Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g_αν i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu (4.44):

$\delta \int \limits _{s1}^{s}\int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha },s)d^{4}qds=0$

(4.45)

Aby cząstka przebyła z punktu A do B w czasoprzestrzeni drogą najkrótszą, wtedy powinno zachodzić równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności względem siebie pewnych zmiennych, którą tutaj zastosujemy:

${{d} \over {ds}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}=0$

(4.46)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a (4.46), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{1} \over {2}}\rho _{0}g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.47)

• wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a (4.46), możemy przekształcić do:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\mu }+\rho _{0}g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\nu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \nu }{\dot {q}}^{\nu }\right)+\;$
$={{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\mu \alpha }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\;$
$={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(2g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.48)

Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia (4.48) względem pewnego parametru λ czyli pierwszy wyraz w (4.46), który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia (4.48).

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\rho _{0}{{dg_{\alpha \mu }} \over {ds}}{\dot {q}}^{\mu }+\;$
$={{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\rho _{0}{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.49)

A więc nasze równanie Lagrangianu (4.46), której części są przedstawione i policzone w punktach (4.47) i (4.49), czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu (4.44), przedstawia się po podzieleniu przez ${\sqrt {-g}}\;$ i $\rho _{0}\;$ obustronnie:

$g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}+{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}\rho _{0}+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+\;$
$+{{1} \over {2\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2\rho _{0}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)=0$

(4.50)

Podzielmy na dwie grupy wyrazów w (4.50), jedne z lewej strony równania, a drugie z prawej, wtedy:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}-{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\;$
$-{{1} \over {2\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+{{1} \over {2\rho _{0}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)\;$

(4.51)

Rozważmy przypadek, że zachodzi lokalnie ${\ddot {q}}^{\mu }\;$ i ${{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}\;$ równe zero występujące w lewej stronie równości (4.51), wtedy dochodzimy do wniosku, że prawa i lewa jego są równe zero, czyli obieramy układ lokalnie płaski o lokalnie stałym tensorze prędkości. Obierzmy cechowanie, by to było spełnione w tym równaniu dla jego lewej strony przy tym układzie, czyli dodatkowe równanie cechowanie spełnione w dowolnym układzie współrzędnych zakrzywionym o postaci:

$-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}-{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}\rho _{0}-{{1} \over {2\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+\;$
$+{{1} \over {2\rho _{0}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)=0\;$

(4.52)

Przy cechowaniu (4.52) równanie (4.51) przyjmuje postać:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0\;$

(4.53)

Pomnóżmy teraz równanie (4.53) przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element g^βα:

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-g^{\beta \alpha }{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0$

(4.54)

Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego.

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }={\delta ^{\beta }}_{\mu }$

(4.55)

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }=\delta _{k}^{\beta }{\ddot {q}}^{\mu }={\ddot {q}}^{\beta }$

(4.56)

Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości (4.54), możemy napisać:

$g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}\right){\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }$

(4.57)

Wyrażenie (4.54), wedle obliczeń pomocniczych (4.55) i (4.56) na tensorach metrycznych, a także z symetryczności tensora metrycznego (4.57), przedstawiamy w końcowej postaci:

${\ddot {q}}^{\beta }+{{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right){\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=0$

(4.58)

Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym (4.58):

${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right)$

(4.59)

A zatem nasze równanie (4.58), na podstawie definicji symboli Christoffela (4.59), przedstawia się:

${\ddot {q}}^{\beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=0$

(4.60)

Udowodniliśmy w ten sposób że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a (4.60) policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego.

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w drugim sposobie wyprowadzania

Ale zachodzi dla układów punktowych (rozciągłych) przyjmując, że za przyśpieszenie ciała (cząstki) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc w układach lokalnie płaskich mamy:

$d{\dot {x}}^{\mu }=0\;$

(4.61)

Jeśli zachodzi (4.61), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni spełniającego ${\dot {x}}^{\mu }=\operatorname {const} \;$, tzn. według warunku ogólnego (STW-1.210) zachodzącej dla układów lokalnie płaskich o lokalnie stałym tensorze prędkości dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, co ta zmiana tensora prędkości jest w takiej postaci zapisaną jako (STW-1.299) w formie wynikającego z ogólnego warunku:

$0=d{\dot {x}}^{\mu }={{\partial {\dot {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\;$

(4.62)

Co się zgadza z wnioskiem (4.61) o lokalnie stałej prędkości. Zastępujemy we ostatnim wniosku w (4.62) przecinek na średnik i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów lokalnie płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku dla układów zakrzywionych:

${{\dot {q}}^{\mu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{\mu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\;$

(4.63)

Jest to przedstawienie prostej w czasoprzestrzeni zakrzywionej, po której porusza się ciało (cząstka materii). Udowodniliśmy w ten sposób, że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak przedstawione w punkcie (4.63) policzonego w inny sposób niż za pomocą rachunku wariacyjnego, tzn. zakładając, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając zakrzywienie czasoprzestrzeni uwzględniając jego człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\omega \gamma }F^{\omega \gamma }-J^{\mu }A_{\mu }=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }g_{\omega \alpha }g_{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }-A^{\mu }g_{\mu \nu }J^{\nu }\;$

(4.64)

Gęstość lagrangianu (4.64) jest słuszna, bo udowodniliśmy, że $s=0\;$ w (STW-4.188), a jeżeli $s\neq 0\;$, to (STW-4.204) przyjmuje wartość nieskończoną z dokładnością do znaku w mechanice Newtona (jest ona spełniona przy $g^{\mu \nu }\simeq \eta ^{\mu \nu }\;$, bo układy słabozakrzywione) przy przejściu $c\rightarrow \infty \;$, a więc wtedy (STW-4.197) jest niespełnione, stąd $s=0\;$ w gęstości lagrangianu (STW-4.177), zatem postać gęstości lagrangianu rozważana w tym punkcie jest spełniona, a ona posłuży do wyliczenia jednego tylko tensora gęstości energii-pędu odpowiedzialnej tylko za oddziaływanie elektromagnetyczne. Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (4.33), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:

$-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=2{{\partial } \over {\partial g_{\mu \nu }}}\left[{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }g_{\omega \alpha }g_{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }=2{{1} \over {4\mu _{0}}}\left[F^{\mu \gamma }g_{\gamma \beta }F^{\nu \beta }+F^{\omega \mu }g_{\omega \alpha }F^{\alpha \nu }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }=\;$
$={{1} \over {2\mu _{0}}}\left[{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+{F_{\alpha }}^{\mu }F^{\alpha \nu }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+2A^{\mu }J^{\nu }$

(4.65)

Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (4.33) wykorzystując wyliczony fakt (4.65), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

$T^{(p)\mu \nu }={{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+2A^{\mu }J^{\nu }-g^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+J^{\alpha }A_{\alpha }\right)\;$

(4.66)

Tensor energii-pędu (4.66), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:

${T^{(p)\mu }}_{\mu }=T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\mu }={{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }+2A^{\mu }J_{\mu }-{\delta ^{\mu }}_{\mu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+J^{\alpha }A_{\alpha }\right)={{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-{{n+1} \over {4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2J^{\mu }A_{\mu }+\;$
$-(n+1)J^{\mu }J_{\mu }=-{{n-3} \over {4\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-(n-1)J^{\mu }A_{\mu }\;$

(4.67)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (4.67) ślad tensora gęstości energii pędu (4.66) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy $n=3\;$.

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (4.66) wedle następującego sposobu:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\nu \beta }F_{\mu \beta }-{{1} \over {4}}{\delta _{\mu }}^{\nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2A_{\mu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(4.68)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (4.68) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }+{F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }+F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+2A_{\mu }{J^{\nu }}_{,\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }{J^{\alpha }}_{,\nu }A_{\alpha }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha ,\nu }=\;$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }+{F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }+F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }{J^{\alpha }}_{,\nu }A_{\alpha }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha ,\nu }=$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }+{F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }+F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }\;$

(4.69)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.95) i ze wzoru (EK-26.14), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

${F^{\beta \nu }}_{,\nu }=\mu _{0}J^{\beta }\;$

(4.70)

$F_{\alpha \beta ,\mu }=-F_{\mu \alpha ,\beta }-F_{\beta \mu ,\alpha }\;$

(4.71)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (4.70) i tożsamości (4.71) i w ten sposób korzystając ze wzoru (4.69) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[{{1} \over {2}}\left(F^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha ,\beta }+F^{\alpha \beta }F_{\beta \mu ,\alpha }\right)-\mu _{0}J^{\beta }F_{\mu \beta }+F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\gamma }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\gamma }\;$

(4.72)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (4.72), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }=\;$
$=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }+J^{\beta }(A_{\mu ,\beta }-A_{\beta ,\mu })=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }+F_{\mu \beta }J^{beta}=A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(4.73)

Dlatego $T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=0\;$, bo mamy układ lokalnie płaski o glokalnie stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością lokalnie stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest lokalnie stały, czyli zachodzi: $A_{\gamma ,\omega }=0\;$ i ${J^{\omega }}_{,\gamma }=0\;$, stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (4.73) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=0$

(4.74)

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego (4.37) i elektromagnetycznego (4.64):

${\mathfrak {L}}_{m}={\mathfrak {L}}_{mech}+{\mathfrak {L}}_{em}=-\rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-J^{\alpha }A_{\alpha }\;$

(4.75)

Całkowita gęstość lagrangianu

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g}=-\rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-J^{\alpha }A_{\alpha }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.76)

Całkowita gęstość pędu

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy (MT-8.1), znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu (4.75):

${\mathfrak {p}}^{i}={{1} \over {dV^{'}}}{{\partial ({\mathfrak {L}}dV^{'})} \over {\partial v_{i}}}=\rho v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}\;$

(4.77)

Całkowity lagrangian i pęd

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy

We wzorze (4.75) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}d^{3}x^{'}=-\int d^{3}x^{'}\left(\rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+J^{\alpha }A_{\alpha }\right)$

(4.78)

Całkowity lagrangian

We wzorze (4.78) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:

$L=\int {\mathfrak {L}}d^{3}x^{'}=\int ({\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g})d^{3}x^{'}=\int d^{3}x^{'}\left(-\rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-J^{\alpha }A_{\alpha }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\right)\;$

(4.79)

Pęd uogólniony ładunku punktowego

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego (4.77) zakładając, że ładunek jest punktowy:

$p^{i}=\int {\mathfrak {p}}^{i}d^{3}x^{'}=m_{0}cu^{i}+qA^{i}\;$

(4.80)

Gęstość hamiltonianu masowego

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (4.75) i gęstość pędu (4.77), zatem:

${\mathfrak {H}}_{m}=v_{i}{\mathfrak {p}}^{i}-{\mathfrak {L}}=\rho v^{i}v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}v^{i}+\left(\rho v^{\alpha }v_{\alpha }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+J^{\alpha }A_{\alpha }\right)=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {q}}\varphi \Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathfrak {H}}_{m}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {q}}\varphi$

(4.81)

Hamiltonian (4.75) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu

Widzimy, gdy we wzorze (4.75) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (4.76) piszemy w formie:

${\mathfrak {H}}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {q}}\varphi -{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.82)

Widzimy, że w (4.82) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego $R\;$ (MMF-2.133).

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (4.43) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (4.66), wtedy:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }-pg^{\mu \nu }+\left[{{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }{F^{\nu }}_{\beta }+2A^{\mu }J^{\nu }-g^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+A^{\alpha }J_{\beta }\right)\right]\;$

(4.83)

Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (4.83) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:

${T^{\omega \gamma }}_{,\gamma }=0\;$

(4.84)

W równaniu (4.84) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych po zamienieniu przecinka średnikiem.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Jeżeli jest spełniona własność (4.84) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (4.83) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:

${T^{\mu \nu }}_{;\gamma }=0\;$

(4.85)

jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \nu }-A_{\nu ,\mu }+A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\Rightarrow F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\;$

(4.86)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:

${F^{\mu \nu }}_{;\nu }=\mu _{0}J^{\mu }\;$

(4.87)

${G^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\;$

(4.88)

Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(4.89)

A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:

${J^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(4.90)

Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.