Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Ogólna teoria względności według Hilberta polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a.

Równania grawitacji Einsteina-Hilberta[edytuj]

Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej.

(4.1)

Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu (3.9) podstawiając go do całki Lagrange'a (4.1):

(4.2)

Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru φ i ∂μφ jest.

(4.3)

Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości:

(4.4)

Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu (4.4) rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić:

(4.5)

Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną Λ i przez stałą κ występującego w prawie grawitacji Einsteina (1.51).

(4.6)
(4.7)

Część przestrzenna Lagrangianu (4.5) wedle oznaczeń (4.6) i (4.7) po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać.

(4.8)

Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania (4.2), wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian (4.4), która jest sumą Lagrangianu przestrzennego (4.8) i masowego, jest napisana wzorem:

(4.9)
  • gdzie:

Ale jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego.

Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu (4.9) w stosunku do (4.4) jest zdefiniowana:

(4.10)

Równanie Eulera Einsteina (4.3) względem nowego Lagrangianu , jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy przy (4.3), to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać:

(4.11)

Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych xμ w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w (4.11) zapisujemy:

(4.12)

A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości (4.12), czyli pierwszy wyraz w (4.11) znika, zatem dostajemy z omawianego równania:

(4.13)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór (3.18), wtedy mamy:

(4.14)

Całkowity Lagrangian po podstawieniu (4.8) do (4.4) przyjmuje postać:

(4.15)

Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (4.14) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (4.15):

(4.16)

Po podzieleniu obustronnie równości (4.16) przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli :

(4.17)

Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego , i tensor Ricciego , a także na podstawie powyższej równości (4.17) mamy:

(4.18)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (4.18), przez , otrzymujemy:

(4.19)

Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle (1.37), a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci (1.40), a tensor gęstości energii przyjmuje postać według naszych rozważań według (4.19):

(4.20)

Ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną jest przedstawione:

(4.21)

Ten sam tensor gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punkcie (4.20), ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: Tμν=0, mając (1.49), co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego (1.50) na podstawie (2.34) z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych.

Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)[edytuj]

Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych xα, i jego miano jest takie J/m3, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych ( tylko zależy od zmiennych ), , i są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim:

(4.22)
  • Oznaczając przy tym dτ=dVd(ct)=dx0dx1dx2dx3 jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni)
  • gdzie dx0=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach,
  • xi to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach.

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania (4.22) można przedstawić wedle sposobu:

(4.23)

W powyższym wzorze oznaczeniem qμ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania (4.23) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu:

(4.24)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej qβ w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej xμ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej qα, czyli xμ:

(4.25)

Z zasady wariacyjnej (4.24) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

(4.26)

Podstawiamy równanie (4.26) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (4.25) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

(4.27)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej qβ troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

(4.28)

Równanie (4.27) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (4.28), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem xα, zatem:

(4.29)

Równanie (4.29) mnożymy przez g;βγ, otrzymujemy:

(4.30)

Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu (4.20) wychodząc z przedstawienia (4.30) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (4.30) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako gεξ=qε,νqξ, otrzymujemy:

(4.31)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (4.31) podstawiamy to wzoru (4.30), wtedy:

(4.32)

Równanie (4.32) jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych.

Przypadek układów lokalnie płaskich i słabozakrzywionych z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu[edytuj]

Dla tych układów na podstawie (4.32) tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego prostego i odwrotnego:

(4.33)

Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci:

(4.34)

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych[edytuj]

Dla układów zakrzywionych równość (4.32) przedstawimy wiedząc, że zachodzi (4.4) i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego (4.8), i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych (4.20), a więc:


(4.35)

Zachowawczość tensora gęstości energii Tγω przy jego definicji (4.20) na podstawie tożsamości różniczkowej (4.35) przedstawia się:

(4.36)

Szczególne postacie gęstości Lagrangianu[edytuj]

Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie (STW-1.388) w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekstałceń, wtedy:

(4.37)

We wzorze (4.37) sumowanie jest tylko po i , a względem już nie. W przypadku wzoru na gęstość lagrangianu (4.37) zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie (3.9) w układach ogólnie zakrzywionych biorąc gęstość lagrangianu z punktu (4.37) nazywając ją według procedury , a także pisząc :

(4.38)

Widzimy, że we wzorze (4.38) gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę (4.37) (w gęstość lagrangianu) dla .

Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami[edytuj]

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych:

(4.39)

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości:

(4.40)

Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową:

(4.41)

Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem:

(4.42)

Wniosek (1.42), (4.39), (4.41) i (4.42) są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, lub mając ten sam układ biorąc zamiast (4.39) warunek lokalności (4.40), wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości.

Tensor gęstości energii-pędu dla układów lokalnie płaskich i ogólnie zakrzywionych[edytuj]

Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego (4.37) (ostatnia równość), wtedy z definicji tensora gęstości energii-pędu (4.20) za pomocą lagrangianu masowego jest napisana z dokładnością do minusa:

(4.43)

Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu, co w punkcie (2.35). Tensor gęstości energii-pędu (4.43) dla układów lokalnie płaskich jest taki sam jak w szczególnej teorii względności tensor gęstości energii-pędu (STW-3.18), który natomiast wynika z teorii ruchu, równania ciągłości masy relatywistycznej i z układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych, a więc jest prawidłowy, co dlatego ostatnie przedstawienie gęstości lagrangianu masowego (4.37) jest fizyczne, a pozostałe przedstawienia z oczywistych powodów względem (STW-3.18) są niefizyczne.

Linie geodezyjne[edytuj]

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania[edytuj]

Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Weźmy gęstość lagrangianu masowego (4.37) (ostatnie jego przedstawienie, które jest fizyczne, a pozostałe są niefizyczne) w gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) z dokładnością do minusa i czynnika stałego przedstawiając w jego wnętrzu pewne elementy podobnie jak w definicji energii kinetycznej w mechanice Newtona, a także dodając dodatkowy składnik, który jest elementem gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) właśnie z tą dokładnością, co również zakładamy, że mamy gęstość ciała w danym punkcie , i wiedząc, że dla tych układów lokalnie płaskich i zakrzywionych ( zależny tylko od zmiennych ), i są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy:

(4.44)

Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne gαν i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu (4.44):

(4.45)

Aby cząstka przebyła z punktu A do B w czasoprzestrzeni drogą najkrótszą, wtedy powinno zachodzić równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności względem siebie pewnych zmiennych, którą tutaj zastosujemy:

(4.46)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a (4.46), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu:

(4.47)
  • wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a (4.46), możemy przekształcić do:

(4.48)

Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia (4.48) względem pewnego parametru λ czyli pierwszy wyraz w (4.46), który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia (4.48).


(4.49)

A więc nasze równanie Lagrangianu (4.46), której części są przedstawione i policzone w punktach (4.47) i (4.49), czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu (4.44), przedstawia się po podzieleniu przez i obustronnie:


(4.50)

Podzielmy na dwie grupy wyrazów w (4.50), jedne z lewej strony równanie, a drugie z prawej, wtedy:


(4.51)

Lewa strona równania (4.51) zależy tylko od pochodnych cząstkowych elementów tensora metrycznego, elementów tensora metrycznego i elementów tensora prędkości, a one są o dowolnej wartości, a prawa strona tego równania zależy od pochodnych zupełnych wyznacznika tensora podwójnie kowariantnego względem interwału czasoprzestrzennego i pochodnych cząstkowych ciśnienia, gęstości spoczynkowych i innych wielkości fizycznych, ale też od gęstości materii spoczynkowej (każdy wyraz prawej strony (4.51) oprócz pierwszego), a one są o dowolnej wartości, czyli strony w (4.51) są równe stałej . Rozważmy przypadek, że i dla lewej strony równości (4.51), wtedy dochodzimy do wniosku, że stała jest równa zero, czyli , co na tej podstawie mamy:

(4.52)

Pomnóżmy teraz równanie (4.52) przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element gβα:

(4.53)

Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego.

(4.54)
(4.55)

Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości (4.53), możemy napisać:

(4.56)

Wyrażenie (4.53), wedle obliczeń pomocniczych (4.54) i (4.55) na tensorach metrycznych, a także z symetryczności tensora metrycznego (4.56), przedstawiamy w końcowej postaci:

(4.57)

Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym (4.57):

(4.58)

A zatem nasze równanie (4.57), na podstawie definicji symboli Christoffela (4.58), przedstawia się:

(4.59)

Udowodniliśmy w ten sposób że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a (4.59) policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego.

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w drugim sposobie wyprowadzania[edytuj]

Ale zachodzi dla układów punktowych (rozciągłych) przyjmując, że za przyśpieszenie ciała (cząstki) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc w układach lokalnie płaskich mamy:

(4.60)

Jeśli zachodzi (4.60), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni spełniającego , tzn. według warunku ogólnego (STW-1.210) zachodzącej dla układów lokalnie płaskich o lokalnie stałym tensorze prędkości dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla dowolnego, co ta zmiana tensora prędkości jest w takiej postaci zapisaną jako (STW-1.299) w formie wynikającego z ogólnego warunku:

(4.61)

Co się zgadza z wnioskiem (4.60) o lokalnie stałej prędkości. Zastępujemy we ostatnim wniosku w (4.61) przecinek na średnik i zamieniając (te zmienne są dla układów lokalnie płaskich) na (te zmienne są dla układów zakrzywionych), tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku dla układów zakrzywionych:

(4.62)

Jest to przedstawienie prostej w czasoprzestrzeni zakrzywionej, po której porusza się ciało (cząstka materii). Udowodniliśmy w ten sposób, że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak przedstawione w punkcie (4.62) policzonego w inny sposób niż za pomocą rachunku wariacyjnego, tzn. zakładając, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego[edytuj]

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu[edytuj]

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć z dokładnością do czynnika jedynki z minusem:

(4.63)

Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (4.33), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:


(4.64)

Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (4.33) wykorzystując wyliczony fakt (4.64), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

(4.65)

Tensor energii-pędu (4.65), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:


(4.66)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (4.66) ślad tensora gęstości energii pędu (4.65) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy .

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności[edytuj]

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (4.65) wedle następującego sposobu:

(4.67)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (4.67) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:



(4.68)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.87) i ze wzoru (EK-26.12), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

(4.69)
(4.70)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (4.69) i tożsamości (4.70) i w ten sposób korzystając ze wzoru (4.68) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

(4.71)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (4.71), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:


(4.72)

Dlatego , bo mamy układ lokalnie płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest globalnie (lokalnie) stały, czyli zachodzi: i , stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (4.72) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

(4.73)

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu[edytuj]

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego[edytuj]

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego (4.37) i elektromagnetycznego (4.63) (tutaj należy jeszcze pomnożyć przez minus jeden gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego, tam są one podane te lagrangiany z dokładnością do minusa):

(4.74)
Całkowita gęstość lagrangianu[edytuj]

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd:

(4.75)
Całkowita gęstość pędu[edytuj]

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy (MT-8.1), znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu (4.74):

(4.76)

Całkowity lagrangian i pęd[edytuj]

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy[edytuj]

We wzorze (4.74) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób:

(4.77)
Całkowity lagrangian[edytuj]

We wzorze (4.77) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:

(4.78)
Pęd uogólniony ładunku punktowego[edytuj]

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego (4.76) zakładając, że ładunek jest punktowy:

(4.79)

Gęstość hamiltonianu masowego[edytuj]

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (4.74) i gęstość pędu (4.76), zatem:

(4.80)

Hamiltonian (4.74) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu[edytuj]

Widzimy, gdy we wzorze (4.74) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (4.75) piszemy w formie:

(4.81)

Widzimy, że w (4.81) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego (MMF-2.133).

Całkowity tensor gęstości energii-pędu[edytuj]

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu mechanicznego (4.43) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (4.65), wtedy:

(4.82)

Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (4.82) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:

(4.83)

W równaniu (4.83) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych[edytuj]

Jeżeli jest spełniona własność (4.83) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (4.82) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:

(4.84)

jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:

(4.85)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:

(4.86)
(4.87)

Jest również spełnione cechowanie Lorenza na podstawie cechowania Lorenzta (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:

(4.88)

A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:

(4.89)

Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.