Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności

Ogólna teoria względności

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Ogólna teoria względności według Hilberta polega na całce działania Eulera-Lagrange, która przyjmuje najmniejszą wartość i w oparciu o rachunek wariacyjny wyprowadzimy równania grawitacji Einsteina-Hilberta. Również wyprowadzimy wedle tej samej zasady lokalną zasadę zachowania energii, a także wyprowadzimy równanie linii geodezyjnej z odpowiedniej definicji funkcji Langrange'a.

Równania grawitacji Einsteina-Hilberta

Całka działania w przestrzeni Minkowskiego jest to całka, w której funkcją podcałkową jest gęstość Lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$ liczoną względem infinitezymalnej objętości w przestrzeni czterowymiarowej.

$S=\int {\mathfrak {L}}d{x^{'}}^{4}\;$

(4.1)

Możemy uwzględnić policzoną na liczbach ogólnych objętość elementarną w lokalnie płaskim układzie współrzędnym względem tej samej objętości w krzywoliniowym układzie współrzędnej wedle sposobu (3.9) podstawiając go do całki Lagrange'a (4.1):

$S=\int \underbrace {{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} _{{\mathfrak {L}}^{'}}dx^{4}\;$

(4.2)

Aby powyższa całka przyjmowała najmniejszą wartość, to należy napisać równanie Eulera-Lagranga, którego postać względem parametru φ i ∂_μφ jest.

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}-{{\partial {\mathfrak {L}}^{'}} \over {\partial \varphi }}=0\;$

(4.3)

Gęstość lagrangianu można rozpisać jako sumę na dwie jego części, tzn.: na część przestrzenną i masową jako sumę tychże wielkości:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{g}+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.4)

Rozważmy teraz część przestrzenną Lagrangianu (4.4) rozwijając go w szereg Taylora względem skalaru krzywizny, co można go przestawić:

${\mathfrak {L}}_{g}=a+bR+cR^{2}+...\;$

(4.5)

Wprowadźmy wstępne oznaczenia na stałe "a" i "b" poprzez stałą kosmologiczną Λ i przez stałą κ występującego w prawie grawitacji Einsteina (1.51).

$a=-{{\Lambda } \over {\kappa }}\;$

(4.6)

$b={{1} \over {2\kappa }}\;$

(4.7)

Część przestrzenna Lagrangianu (4.5) wedle oznaczeń (4.6) i (4.7) po dokonanych podstawieniach za "a" i "b", przy którym dalsze współczynniki przyjmujemy za równe zero, przyjmuje postać.

${\mathfrak {L}}_{g}={{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.8)

Można udowodnić, że dla czasoprzestrzeni zakrzywionej mamy g<0, a zatem całkę działania (4.2), wykorzystując przy tym wzór na całkowity Lagrangian (4.4), która jest sumą Lagrangianu przestrzennego (4.8) i masowego, jest napisana wzorem:

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(4.9)

• gdzie:$g=-\operatorname {\det } (g_{\alpha \beta })\;$

Ale ${\sqrt {-g}}\;$ jest to Jakobian, który pozwala przejść do układu krzywoliniowej w ogólnej teorii względności z układu lokalnie płaskiego Minkowskiego.

Nowa gęstość lagrangianu zdefiniowana na podstawie punktu (4.9) w stosunku do (4.4) jest zdefiniowana:

${\mathfrak {L}}^{'}={\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}={\sqrt {-g}}\left\{{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right\}\;$

(4.10)

Równanie Eulera Einsteina (4.3) względem nowego Lagrangianu ${\mathfrak {L}}^{'}\;$, jest iloczynem gęstości Lagrangianu tego starego ${\mathfrak {L}}\;$ przez pierwiastek z wyznacznika macierzy metrycznej wziętej z minusem, zatem jeśli przyjmować będziemy $\varphi =g^{\alpha \beta }\;$ przy (4.3), to równanie Eulera-Lagrange przyjmuje wtedy postać:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}-{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\;$

(4.11)

Jeśli Lagrangian nie zależy od pochodnych elementów tensora metrycznych względem współrzędnych x^μ w przestrzeni nieuklidesowej, to pierwszy wyraz w (4.11) zapisujemy:

$\partial _{\mu }{{\partial {\mathfrak {L}}{\sqrt {-g}}} \over {\partial (\partial _{\mu }g^{\alpha \beta })}}=0\;$

(4.12)

A zatem równanie Eulera Einsteina po uwzględnieniu powyższej tożsamości (4.12), czyli pierwszy wyraz w (4.11) znika, zatem dostajemy z omawianego równania:

${{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}\right)=0\;$

(4.13)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia o pochodnej iloczynu względem jakieś zmiennej ściśle określonej oraz wykorzystujemy wzór (3.18), wtedy mamy:

${\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{\partial {\sqrt {-g}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {\sqrt {-g}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+{\mathfrak {L}}{{gg_{\alpha \beta }} \over {2{\sqrt {-g}}}}=0\;$

(4.14)

Całkowity Lagrangian po podstawieniu (4.8) do (4.4) przyjmuje postać:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.15)

Ostatnie równanie, które wynika z równania Eulera-Lagrangian (4.14) ma się po podstawieniu do niej za całkowitą gęstość lagrangianu (4.15):

${\sqrt {-g}}{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)+\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right){{1} \over {2{\sqrt {-g}}}}gg_{\alpha \beta }=0\;$

(4.16)

Po podzieleniu obustronnie równości (4.16) przez pierwiastek wyznacznika macierzy tensora metrycznego wziętej z minusem, czyli ${\sqrt {-g}}\;$:

$-{{1} \over {4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{\partial } \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\left({{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathfrak {L}}_{m}\right)=0\;$

(4.17)

Jeśli wiadomo,że zachodzi wzór na skalar Ricciego $R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }\;$, i tensor Ricciego ${{\partial R} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=R_{\alpha \beta }\;$, a także na podstawie powyższej równości (4.17) mamy:

$-{{1} \over {4\kappa }}g_{\alpha \beta }(R-2\Lambda )-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}+{{1} \over {2\kappa }}R_{\alpha \beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}=0\Rightarrow {{1} \over {2\kappa }}\left[\left(R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R\right)+g_{\alpha \beta }\Lambda \right]=-{{1} \over {2}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}-g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(4.18)

Następnie podzielmy ostatnią równość, czyli zapisaną w punkcie (4.18), przez $-{{1} \over {2\kappa }}\;$, otrzymujemy:

$R_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }R+g_{\alpha \beta }\Lambda =\kappa \left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\right)\;$

(4.19)

Ponieważ przyjęliśmy że definicja tensora Einsteina jest wedle (1.37), a rozszerzony tensor Einsteina jest w postaci (1.40), a tensor gęstości energii przyjmuje postać według naszych rozważań według (4.19):

$T_{\alpha \beta }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{m}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}+g_{\alpha \beta }{\mathfrak {L}}_{m}\;$

(4.20)

Ostatecznie równanie grawitacji wyprowadzonej przez Hilberta z zasady wariacyjnej, ze stałą kosmologiczną jest przedstawione:

$G_{\alpha \beta }+g_{\alpha \beta }\Lambda =\kappa T_{\alpha \beta }\;$

(4.21)

Ten sam tensor gęstości energii-pędu, co przedstawiony w punkcie (4.20), ale później udowodnimy go z zasady wariacyjnej, ale jeszcze dodatkowo wspomniemy o własności lokalnej zasady zachowania tensora gęstości energii-pędu dla układu lokalnie płaskiego, tzn.: T^μν_,ν=0, mając (1.49), co później można udowodnić lokalną zasadę zachowania tensora gęstości energii-pędu ogólnie dla układu zakrzywionego (1.50) na podstawie (2.34) z rachunku tensorowego, nie wariacyjnego.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu

Będziemy tutaj wyprowadzać lokalną zachowawczość dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych.

Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)

Określmy gęstość lagranianu w czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i ich pierwszych pochodnych względem współrzędnych czasoprzestrzennych x^α, i jego miano jest takie J/m³, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni trójwymiarowej, wtedy możemy określić jego całkę działania, wiedząc, że dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych $g_{\mu \nu }\;$ ($g\;$ tylko zależy od zmiennych $g_{\mu \nu }\;$), ${x^{\mu }}\;$, ${x^{\mu }}_{,\alpha }\;$ i $q^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, zapisaną wedle sposobu w układzie lokalnie płaskim:

$S=c\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dV=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVd(ct)$

(4.22)

• Oznaczając przy tym dτ=dVd(ct)=dx⁰dx¹dx²dx³ jako elementarna gęstość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni)
• gdzie dx⁰=cdt jest to różniczka współrzędnej czasowej liczonych w metrach, który jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, który jest mierzony w sekundach,
• xⁱ to są współrzędne przestrzenne liczone są w tylko metrach.

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości, wtedy całkę działania (4.22) można przedstawić wedle sposobu:

$S=c\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })dVdt=\int {\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d\tau =\int {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}({x^{\mu }},{x^{\mu }}_{,\alpha },q^{\alpha })d^{4}q^{\alpha }$

(4.23)

W powyższym wzorze oznaczeniem q^μ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ zanurzony w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znając całkę działania (4.23) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie, wedle sposobu:

${{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0\Rightarrow {{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}=0$

(4.24)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej q^β w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej x^μ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej q^α, czyli x^μ_,α:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }$

(4.25)

Z zasady wariacyjnej (4.24) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}$

(4.26)

Podstawiamy równanie (4.26) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (4.25) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }+{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\alpha ,\beta }\Rightarrow {{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }\right)$

(4.27)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej q^β troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\beta }}}={\delta ^{\alpha }}_{\beta }{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}$

(4.28)

Równanie (4.27) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (4.28), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem x^α, zatem:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }-{\delta ^{\alpha }}_{\beta }{\mathfrak {L}}\right)$

(4.29)

Równanie (4.29) mnożymy przez g;^βγ, otrzymujemy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }-g^{\gamma \alpha }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(4.30)

Udowodnijmy tensor gęstości energii-pędu (4.20) wychodząc z przedstawienia (4.30) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (4.30) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako g^εξ=q^ε,νq^ξ_,ν, otrzymujemy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial g_{\epsilon \xi }} \over {\partial {x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\epsilon \xi }}}{{\partial \left(x_{,\epsilon }^{\nu }x_{\nu ,\xi }\right)} \over {{\partial x^{\mu }}_{,\alpha }}}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{x_{\mu ,\xi }}{x^{\mu }}_{,\beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}g_{\xi \beta }g^{\gamma \beta }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \xi }}}{\delta ^{\gamma }}_{\xi }=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}\;$

(4.31)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (4.31) podstawiamy to wzoru (4.30), wtedy:

$0={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\alpha \gamma }}}-g^{\alpha \gamma }{\mathfrak {L}}\right)\;$

(4.32)

Równanie (4.32) jest słuszne dla układów lokalnie płaskich i układów zakrzywionych.

Przypadek układów lokalnie płaskich i słabozakrzywionych z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu

Dla tych układów na podstawie (4.32) tensor gęstości energii podwójnie kowariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego prostego i odwrotnego:

$T^{\gamma \omega }=-2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}+g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}\;$

(4.33)

Wtedy zachowawczość w układach lokalnie płaskich jest w postaci:

${{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}T^{\gamma \omega }=0\Rightarrow {T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }=0\;$

(4.34)

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych

Dla układów zakrzywionych równość (4.32) przedstawimy wiedząc, że zachodzi (4.4) i wzór na gęstość lagrangianu przestrzennego (4.8), i znając wzór na tensor gęstości energii-pędu dla układów zakrzywionych (4.20), a więc:

$0={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(-2{{\partial {\mathfrak {L}}_{g}} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}+g^{\gamma \omega }{\mathfrak {L}}_{g}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(-2{{1} \over {2\kappa }}R^{\gamma \omega }+g^{\gamma \omega }{{R} \over {2\kappa }}-g^{\gamma \omega }{{2\Lambda } \over {2\kappa }}\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}\left(R^{\gamma \omega }-{{1} \over {2}}g^{\gamma \omega }R+g^{\gamma \omega }\Lambda \right)=\;$ $={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}{{\partial } \over {\partial q^{\gamma }}}O^{\gamma \omega }={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }-{{1} \over {\kappa }}\left({O^{\gamma \omega }}_{;\gamma }-O^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }-O^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }\right)={T^{\gamma \omega }}_{,\gamma }+T^{\gamma \mu }{\Gamma ^{\omega }}_{\mu \gamma }+T^{\mu \omega }{\Gamma ^{\gamma }}_{\mu \gamma }={T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }\;$

(4.35)

Zachowawczość tensora gęstości energii T^γω przy jego definicji (4.20) na podstawie tożsamości różniczkowej (4.35) przedstawia się:

${T^{\gamma \omega }}_{;\gamma }=0\;$

(4.36)

Szczególne postacie gęstości Lagrangianu

Wiedząc jaka jest gęstość lagrangianu przedstawionego w punkcie (STW-1.388) w zerowym polu elektromagnetycznym, wtedy przepisując to dla tego przypadku i dokonując przekstałceń, wtedy:

${\mathfrak {L}}=-\rho _{0}c^{2}=-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }=-\left[{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\mu }\eta _{\mu \nu }u^{\nu }+{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)\eta ^{\alpha \mu }\eta _{\mu \alpha }\right]\;$

(4.37)

We wzorze (4.37) sumowanie jest tylko po $\mu \;$ i $\nu \;$, a względem $\alpha \;$ już nie. W przypadku wzoru na gęstość lagrangianu (4.37) zakładamy, że jest on również słuszny dla układów zakrzywionych, wtedy możemy napisać lagrangian masowy na podstawie (3.9) w układach ogólnie zakrzywionych biorąc gęstość lagrangianu z punktu (4.37) nazywając ją według procedury ${\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}_{m}\;$, a także pisząc $L\rightarrow L_{m}\;$:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}dV^{'}\;$

(4.38)

Widzimy, że we wzorze (4.38) gęstość lagrangianu masowego przechodzi w formułę (4.37) (w gęstość lagrangianu) dla $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\;$.

Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie spoczynkowych:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\wedge u^{i}\rightarrow 0\wedge u^{0}=1\;$

(4.39)

Jest spełniona równość w odpowiednich klasach układów lokalnie stałym tensorze prędkości:

${{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}=0\;$

(4.40)

Jest spełniona równość dla odpowiednich klasach układów z lokalnie stałą gęstością spoczynkową:

${{\partial \rho _{0}} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(4.41)

Jest również spełniona równość dla ciśnienia w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałym ciśnieniem:

${{\partial p} \over {\partial x^{\mu }}}=0\;$

(4.42)

Wniosek (1.42), (4.39), (4.41) i (4.42) są spełnione ogólnie dla układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych z lokalną stałością tensorów prędkości, gęstości masy spoczynkowej i ciśnienia, co taką klasę układów można użyć też do częściowego udowodnienia ogólnej teorii względności, lub mając ten sam układ biorąc zamiast (4.39) warunek lokalności (4.40), wtedy mamy taką samą klasę układów współrzędnych z różnicą, że te układy nie są lokalnie spoczynkowymi, tylko lokalnie ze stałym tensorem prędkości.

Tensor gęstości energii-pędu dla układów lokalnie płaskich i ogólnie zakrzywionych

Wykorzystajmy gęstość langrangianu masowego (4.37) (ostatnia równość), wtedy z definicji tensora gęstości energii-pędu (4.20) za pomocą lagrangianu masowego jest napisana z dokładnością do minusa:

$T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }+(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)g^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}(\rho _{0}c^{2}-p)g^{\alpha \beta }\Rightarrow T^{\alpha \beta }=\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)u^{\alpha }u^{\beta }-pg^{\alpha \beta }$

(4.43)

Co otrzymaliśmy taki sam tensor gęstości energii-pędu, co w punkcie (2.35). Tensor gęstości energii-pędu (4.43) dla układów lokalnie płaskich jest taki sam jak w szczególnej teorii względności tensor gęstości energii-pędu (STW-3.18), który natomiast wynika z teorii ruchu, równania ciągłości masy relatywistycznej i z układów lokalnie płaskich lokalnie spoczynkowych, a więc jest prawidłowy, co dlatego ostatnie przedstawienie gęstości lagrangianu masowego (4.37) jest fizyczne, a pozostałe przedstawienia z oczywistych powodów względem (STW-3.18) są niefizyczne.

Linie geodezyjne

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania

Będziemy tutaj wyprowadzać linie geodezyjne dla wszystkich rodzajów układów i pokażemy, że ogólna teoria względności jest spełniona dla układów lokalnie płaskich i zakrzywionych. Weźmy gęstość lagrangianu masowego (4.37) (ostatnie jego przedstawienie, które jest fizyczne, a pozostałe są niefizyczne) w gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) z dokładnością do minusa i czynnika stałego przedstawiając w jego wnętrzu pewne elementy podobnie jak w definicji energii kinetycznej w mechanice Newtona, a także dodając dodatkowy składnik, który jest elementem gęstości lagrangianu całkowitego (4.15) właśnie z tą dokładnością, co również zakładamy, że mamy gęstość ciała w danym punkcie $\rho _{0}\;$, i wiedząc, że dla tych układów lokalnie płaskich i zakrzywionych $g_{\mu \nu }\;$ ($g\;$ zależny tylko od zmiennych $g_{\mu \nu }\;$), $q^{\alpha }\;$ i ${\dot {q}}^{\alpha }\;$ są zmiennymi niezależnymi względem siebie, wtedy:

${\mathfrak {L}}(x^{\alpha },{\dot {x}}^{\alpha },s)=\rho _{0}{{g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }} \over {2}}+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)=\rho _{0}{{g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }} \over {2}}+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)$

(4.44)

Zakładamy, że mamy pewną metrykę z definiowaną przez tensory metryczne g_αν i obliczamy jaka jest najmniejsza linia między punktami A i B w czasoprzestrzeni Einsteina (ogólnie w n-wymiarowej czasoprzestrzeni, nie musi być cztery tak jak w czasoprzestrzeni Einsteina), po której cząstka ma się poruszać, czyli policzmy wariację wyrażenia Lagrangianu (4.44):

$\delta \int \limits _{s1}^{s}\int _{\tau }{\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha },s)d^{4}qds=0$

(4.45)

Aby cząstka przebyła z punktu A do B w czasoprzestrzeni drogą najkrótszą, wtedy powinno zachodzić równanie Eulera-Lagrange'a, pamiętając o niezależności względem siebie pewnych zmiennych, którą tutaj zastosujemy:

${{d} \over {ds}}{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}-{{\partial {\sqrt {-g}}{\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}=0$

(4.46)

Teraz policzmy kolejne wyrazy występujące w wyrażeniu Lagrange'a (4.46), ale najpierw przejdźmy do drugiego składnika występujący w naszym wspomnianym wyrażeniu:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial q^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left({{1} \over {2}}\rho _{0}g_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.47)

• wyraz występujący pod pochodną zupełną czasową, który występuje wyrażeniu Eulera-Lagrange'a (4.46), możemy przekształcić do:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\mu }+\rho _{0}g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\dot {q}}^{\nu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \nu }{\dot {q}}^{\nu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\;$ $={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+g_{\mu \alpha }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(2g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }+{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.48)

Następnie wyznaczmy pochodną wyrażenia (4.48) względem pewnego parametru λ czyli pierwszy wyraz w (4.46), który jest liczony względem s, który jest dla nas długością linii światła, czyli musimy policzyć pochodną zupełną policzonego wyrażenia (4.48).

${{d} \over {ds}}{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}={{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }\right)+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\rho _{0}{{dg_{\alpha \mu }} \over {ds}}{\dot {q}}^{\mu }+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)=\;$ $=\rho _{0}g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\rho _{0}{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)$

(4.49)

A więc nasze równanie Lagrangianu (4.46), której części są przedstawione i policzone w punktach (4.47) i (4.49), czyli równanie Eulera-Lagrange'a dla naszego przypadku przy zdefiniowanym gęstości lagrangianu (4.44), przedstawia się po podzieleniu przez ${\sqrt {-g}}\;$ i $\rho _{0}\;$ obustronnie:

$g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}+{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}\rho _{0}+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }+{{1} \over {2\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+\;$ $-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2\rho _{0}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)=0$

(4.50)

Podzielmy na dwie grupy wyrazów w (4.50), jedne z lewej strony równanie, a drugie z prawej, wtedy:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\sqrt {-g}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}-{{1} \over {2{\sqrt {-g}}\rho _{0}}}{{d{\sqrt {-g}}} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)-g_{\alpha \mu }{\dot {q}}^{\mu }{{1} \over {\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}\rho _{0}+\;$ $-{{1} \over {2\rho _{0}}}{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s)\right)+{{1} \over {2\rho _{0}}}{{\partial } \over {\partial q^{\alpha }}}\left(\rho _{0}+C\left(q^{\mu },{\dot {q}}^{\mu },s\right)\right)=C\;$

(4.51)

Lewa strona równania (4.51) zależy tylko od pochodnych cząstkowych elementów tensora metrycznego, elementów tensora metrycznego i elementów tensora prędkości, a one są o dowolnej wartości, a prawa strona tego równania zależy od pochodnych zupełnych wyznacznika tensora podwójnie kowariantnego względem interwału czasoprzestrzennego i pochodnych cząstkowych ciśnienia, gęstości spoczynkowych i innych wielkości fizycznych, ale też od gęstości materii spoczynkowej (każdy wyraz prawej strony (4.51) oprócz pierwszego), a one są o dowolnej wartości, czyli strony w (4.51) są równe stałej $C\;$. Rozważmy przypadek, że ${\dot {q}}^{\mu }=0\;$ i ${\ddot {q}}^{\mu }=0\;$ dla lewej strony równości (4.51), wtedy dochodzimy do wniosku, że stała $C\;$ jest równa zero, czyli $C=0\;$, co na tej podstawie mamy:

$g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0\;$

(4.52)

Pomnóżmy teraz równanie (4.52) przez jakiś element tensora metrycznego w czasoprzestrzeni Einsteina, czyli przez element g^βα:

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }+g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }-g^{\beta \alpha }{{1} \over {2}}{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }=0$

(4.53)

Ale mamy z definicji tensora metrycznego prostego i odwrotnego mamy dwie tożsamości, które przestawimy poniżej w postaci dwóch tożsamości, które wynikają z własności ogólnie tensora metrycznego.

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }={\delta ^{\beta }}_{\mu }$

(4.54)

$g^{\beta \alpha }g_{\alpha \mu }{\ddot {q}}^{\mu }=\delta _{k}^{\beta }{\ddot {q}}^{\mu }={\ddot {q}}^{\beta }$

(4.55)

Z przemienności wskaźników tensora metrycznego wynikającego z jego definicji, tzn. drugi wyraz w tożsamości (4.53), możemy napisać:

$g^{\beta \alpha }{{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial {\dot {q}}^{\nu }}}{\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}\right){\dot {q}}^{\mu }{\dot {q}}^{\nu }$

(4.56)

Wyrażenie (4.53), wedle obliczeń pomocniczych (4.54) i (4.55) na tensorach metrycznych, a także z symetryczności tensora metrycznego (4.56), przedstawiamy w końcowej postaci:

${\ddot {q}}^{\beta }+{{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right){\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=0$

(4.57)

Symbole Christoffela możemy przedstawić wedle jej definicji występującego w równaniu tensorowym (4.57):

${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }={{1} \over {2}}g^{\beta \alpha }\left({{\partial g_{\alpha \mu }} \over {\partial q^{\nu }}}+{{\partial g_{\alpha \nu }} \over {\partial q^{\mu }}}-{{\partial g_{\mu \nu }} \over {\partial q^{\alpha }}}\right)$

(4.58)

A zatem nasze równanie (4.57), na podstawie definicji symboli Christoffela (4.58), przedstawia się:

${\ddot {q}}^{\beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }{\dot {q}}^{\nu }{\dot {q}}^{\mu }=0$

(4.59)

Udowodniliśmy w ten sposób że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak z twierdzenia Eulera-Lagrange'a (4.59) policzonego za pomocą rachunku wariacyjnego.

Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w drugim sposobie wyprowadzania

Ale zachodzi dla układów punktowych (rozciągłych) przyjmując, że za przyśpieszenie ciała (cząstki) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni, a więc w układach lokalnie płaskich mamy:

$d{\dot {x}}^{\mu }=0\;$

(4.60)

Jeśli zachodzi (4.60), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni spełniającego ${\dot {x}}^{\mu }=\operatorname {const} \;$, tzn. według warunku ogólnego (STW-1.210) zachodzącej dla układów lokalnie płaskich o lokalnie stałym tensorze prędkości dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, co ta zmiana tensora prędkości jest w takiej postaci zapisaną jako (STW-1.299) w formie wynikającego z ogólnego warunku:

$0=d{\dot {x}}^{\mu }={{\partial {\dot {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\;$

(4.61)

Co się zgadza z wnioskiem (4.60) o lokalnie stałej prędkości. Zastępujemy we ostatnim wniosku w (4.61) przecinek na średnik i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów lokalnie płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku dla układów zakrzywionych:

${{\dot {q}}^{\mu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{\mu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\;$

(4.62)

Jest to przedstawienie prostej w czasoprzestrzeni zakrzywionej, po której porusza się ciało (cząstka materii). Udowodniliśmy w ten sposób, że równanie (1.74) wyprowadzone z zasad czysto geometrycznych jest takie samo jak przedstawione w punkcie (4.62) policzonego w inny sposób niż za pomocą rachunku wariacyjnego, tzn. zakładając, że za przyśpieszenie ciała (cząstki materii) jest odpowiedzialne zakrzywienie czasoprzestrzeni.

Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć z dokładnością do czynnika jedynki z minusem:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }={{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }+J_{\mu }g^{\mu \nu }A_{\nu }\;$

(4.63)

Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (4.33), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:

$2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial g^{\omega \gamma }}}=2{{\partial } \over {\partial g^{\omega \gamma }}}\left[{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }\right]+2J_{\omega }A_{\gamma }=2{{1} \over {4\mu _{0}}}\left[F_{\omega \nu }g^{\nu \beta }F_{\gamma \beta }+F_{\mu \omega }g^{\mu \alpha }F_{\alpha \gamma }\right]+2J_{\omega }A_{\gamma }={{1} \over {2\mu _{0}}}\left[{F_{\omega }}^{\beta }F_{\gamma \beta }+{F_{\omega }}^{\alpha }F_{\gamma \alpha }\right]+2J_{\omega }A_{\gamma }=\;$ $={{1} \over {\mu _{0}}}{F_{\omega }}^{\beta }F_{\gamma \beta }+2J_{\omega }A_{\gamma }$

(4.64)

Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (4.33) wykorzystując wyliczony fakt (4.64), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

${T^{(p)}}_{\omega \gamma }={{1} \over {\mu _{0}}}{F_{\omega }}^{\beta }F_{\gamma \beta }+2J_{\omega }A_{\gamma }-g_{\omega \gamma }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)\;$

(4.65)

Tensor energii-pędu (4.65), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:

${T^{(p)\omega }}_{\omega }={{T^{(p)}}_{\omega }}^{\omega }={{1} \over {\mu _{0}}}F^{\omega \beta }F_{\omega \beta }+2J^{\omega }A_{\omega }-{\delta ^{\omega }}_{\omega }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\omega }A_{\omega }\right)=$ $={{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\omega \beta }F_{\omega \beta }-{{n+1} \over {4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right]+2J^{\omega }A_{\omega }-(n+1)J^{\omega }A_{\omega }=-{{n-3} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \beta }F_{\omega \beta }-(n-1)J^{\omega }A_{\omega }\;$

(4.66)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (4.66) ślad tensora gęstości energii pędu (4.65) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy $n=3\;$.

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (4.65) wedle następującego sposobu:

${T^{(p)\omega }}_{\gamma }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\omega \beta }F_{\gamma \beta }-{{1} \over {4}}{\delta ^{\omega }}_{\gamma }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right]+2J^{\omega }A_{\gamma }-{\delta ^{\omega }}_{\gamma }J^{\mu }A_{\mu }\;$

(4.67)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (4.67) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:

${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu ,\gamma }+{F^{\omega \beta }}_{,\omega }F_{\gamma \beta }+F^{\omega \beta }F_{\gamma \beta ,\omega }\right]+2{J^{\omega }}_{,\omega }A_{\gamma }+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{\delta ^{\omega }}_{\gamma }{J^{\mu }}_{,\omega }A_{\mu }-{\delta ^{\omega }}_{\gamma }J^{\mu }A_{\mu ,\omega }=\;$ $={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu ,\gamma }+{F^{\omega \beta }}_{,\omega }F_{\gamma \beta }+F^{\omega \beta }F_{\gamma \beta ,\omega }\right]+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{\delta ^{\omega }}_{\gamma }{J^{\mu }}_{,\omega }A_{\mu }-{\delta ^{\omega }}_{\gamma }J^{\mu }A_{\mu ,\omega }=$ $={{1} \over {\mu _{0}}}\left[-{{1} \over {2}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu ,\gamma }+{F^{\omega \beta }}_{,\omega }F_{\gamma \beta }+F^{\omega \beta }F_{\gamma \beta ,\omega }\right]+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\mu }}_{,\gamma }A_{\mu }-J^{\mu }A_{\mu ,\gamma }\;$

(4.68)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.87) i ze wzoru (EK-26.12), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

${F^{\beta \omega }}_{,\omega }=\mu _{0}J^{\beta }\;$

(4.69)

$F_{\mu \nu ,\omega }=-F_{\nu \omega ,\mu }-F_{\omega \mu ,\nu }\;$

(4.70)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (4.69) i tożsamości (4.70) i w ten sposób korzystając ze wzoru (4.68) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[{{1} \over {2}}\left(F^{\mu \nu }F_{\nu \gamma ,\mu }+F^{\mu \nu }F_{\gamma \mu ,\nu }\right)-\mu _{0}J^{\beta }F_{\gamma \beta }+F^{\omega \beta }F_{\gamma \beta ,\omega }\right]+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\mu }}_{,\gamma }A_{\mu }-J^{\mu }A_{\mu ,\gamma }\;$

(4.71)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (4.71), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:

${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\mu }}_{,\gamma }A_{\mu }-J^{\mu }A_{\mu ,\gamma }=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+2J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\omega }}_{,\gamma }A_{\omega }-J^{\omega }A_{\omega ,\gamma }=\;$ $=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\omega }}_{,\gamma }A_{\omega }-J^{\omega }(A_{\omega ,\gamma }-A_{\gamma ,\omega })=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\omega }}_{,\gamma }A_{\omega }-F_{\omega \gamma }J^{\omega }=J^{\omega }A_{\gamma ,\omega }-{J^{\omega }}_{,\gamma }A_{\omega }=0\;$

(4.72)

Dlatego ${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }=0\;$, bo mamy układ lokalnie płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością globalnie (lokalnie) stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest globalnie (lokalnie) stały, czyli zachodzi: $A_{\gamma ,\omega }=0\;$ i ${J^{\omega }}_{,\gamma }=0\;$, stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (4.72) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

${T^{(p)\omega }}_{\gamma ,\omega }=0$

(4.73)

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego (4.37) i elektromagnetycznego (4.63) (tutaj należy jeszcze pomnożyć przez minus jeden gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego, tam są one podane te lagrangiany z dokładnością do minusa):

${\mathfrak {L}}_{m}={\mathfrak {L}}_{mech}+{\mathfrak {L}}_{em}=-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\;$

(4.74)

Całkowita gęstość lagrangianu

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g}=-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.75)

Całkowita gęstość pędu

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy (MT-8.1), znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu (4.74):

${\mathfrak {p}}^{i}={{1} \over {dV^{'}}}{{\partial ({\mathfrak {L}}dV^{'})} \over {\partial v_{i}}}=\rho v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}\;$

(4.76)

Całkowity lagrangian i pęd

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy

We wzorze (4.74) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}d^{3}x^{'}=-\int d^{3}x^{'}\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)$

(4.77)

Całkowity lagrangian

We wzorze (4.77) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:

$L=\int {\mathfrak {L}}d^{3}x^{'}=\int ({\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g})d^{3}x^{'}=-\int d^{3}x^{'}\left(\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\right)\;$

(4.78)

Pęd uogólniony ładunku punktowego

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego (4.76) zakładając, że ładunek jest punktowy:

$p^{i}=\int {\mathfrak {p}}^{i}d^{3}x^{'}=m_{0}cu^{i}+qA^{i}\;$

(4.79)

Gęstość hamiltonianu masowego

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (4.74) i gęstość pędu (4.76), zatem:

${\mathfrak {H}}_{m}=v_{i}{\mathfrak {p}}^{i}-{\mathfrak {L}}=\rho v^{i}v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}v^{i}+\left(\rho v^{\mu }v_{\mu }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\mathfrak {q}}\varphi \Rightarrow {\mathfrak {H}}_{m}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\mathfrak {q}}\varphi$

(4.80)

Hamiltonian (4.74) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu

Widzimy, gdy we wzorze (4.74) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (4.75) piszemy w formie:

${\mathfrak {H}}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\mathfrak {q}}\varphi -{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(4.81)

Widzimy, że w (4.81) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego $R\;$ (MMF-2.133).

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu mechanicznego (4.43) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (4.65), wtedy:

$T^{\omega \gamma }=T^{(m)\omega \gamma }+T^{(p)\omega \gamma }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\omega }u^{\gamma }-pg^{\omega \gamma }+\left[{{1} \over {\mu _{0}}}F^{\omega \beta }{F^{\gamma }}_{\beta }+2J^{\omega }A^{\gamma }-g^{\omega \gamma }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }\right)\right]\;$

(4.82)

Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (4.82) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:

${T^{\omega \gamma }}_{,\gamma }=0\;$

(4.83)

W równaniu (4.83) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Jeżeli jest spełniona własność (4.83) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (4.82) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:

${T^{\omega \gamma }}_{;\gamma }=0\;$

(4.84)

jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \nu }-A_{\nu ,\mu }+A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\Rightarrow F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\;$

(4.85)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:

${F^{\mu \nu }}_{;\nu }=\mu _{0}J^{\mu }\;$

(4.86)

${G^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\;$

(4.87)

Jest również spełnione cechowanie Lorenza na podstawie cechowania Lorenzta (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(4.88)

A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:

${J^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(4.89)

Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.