Ogólna teoria względności/Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi

Nadmiarowe równania elementarne teorii grawitacji Einsteina z siłami niegrawitacyjnymi

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Równania ruchu, a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności

Mając już policzona metrykę czasoprzestrzeni poprzez równania Einsteina (1.63) lub mając niezerową stałą kosmologiczną, to wtedy liczymy z równania (1.73), zatem na podstawie tegoż równania liczymy już wspomnianą metrykę poprzez policzone już elementy tensora metrycznego. Na podstawie tego liczymy elementy tensora Christoffela i w ten sposób wyznaczamy następne położenie cząstki masowej w ogólnej teorii względności. Już mając następne położenie wyznaczamy znów metrykę przy nowym położeniu cząstek masowych i te kroki powtarzamy w nieskończoność do chwili, do której interesuje nas badanie układu relatywistycznego.

W przestrzeni euklidesowej linia prosta jest to krzywa, której przenosi swój własny wektor prędkości w sposób równoległy do tej krzywej w danym jej punkcie, w przestrzeni nieuklidesowej mamy jakąś krzywą, która jest prostą w tym naszym układzie, i aby nasz wektor był przenoszony równolegle to musi być styczna do tej prostej, czyli wielkość zdefiniowana $U^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$ musi spełniać warunek:

${U^{\mu }}_{;{\beta }}=0\;\;$

(2.1)

aby cały czas wektor U^μ był styczny do naszej prostej w tej naszej przestrzeni absolutnej. Oczywiste jest, że wektor U^μ, aby był czterowektorem prędkości (1.8), tzn. U^μ=u^μ, to musi zachodzić λ=s, czyli nasz parametr byłby wtedy interwałem czasoprzestrzennym. Ale dla ogólności rozważań lepiej przyjąć dowolny parametr λ, bo zmiana interwału czasoprzestrzennego dla bezmasowych cząstek (m₀) jest równy zero wedle (1.3), wtedy czterowektor prędkości jest nieokreślony. Jeśli λ=s, ale lepiej jest, gdy to jest dowolny parametr, ze względu na fotony pędzące z prędkościa światła $c\;$, wtedy $ds=0\;$, ale nie ogólnie $d\lambda =0\;$, to równanie (2.1) jest spełnione, gdy w układzie badanym nie występują siły niegrawitacyjne, występuje tylko grawitacja z zaniedbywalnym ciśnieniem, którego od niej gęstość siły jest bardzo mała, lub według zasady niezależności działania tensorów sił, jeśli rozpratrujemy tylko ruch pochodzący od grawitacji, wtedy równanie (2.1) jest dokładnie spełnione. Normalnie dla całkowitego tensora sił dla ciała punktowego z uwzględniem innych tensorów sił równanie (2.1) przy tej definicji λ uogólniamy do:

$m_{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }=K^{\mu }\;$

(2.2)

Gdy $K_{c}^{\mu }=0\;$, to równość (2.2) przechodzi w (2.1). W czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej wzór (2.2), wtedy możemy zamienić przecinek średnikiem, bo symbole Christoffela są tam równe zero, przechodzi w:

$m_{0}c{U^{\mu }}_{,\nu }U^{\nu }=K_{c}^{\mu }=K^{\mu }\Rightarrow m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=K_{c}^{\mu }\Rightarrow {{dP^{\mu }} \over {d\lambda }}=K_{c}^{\mu }\wedge P^{\mu }=m_{0}cU^{\mu }\;$

(2.3)

Równanie (2.3) jest to tensorowe równanie dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności, napisane w (STW-20.33), przy $\lambda =s\;$, wtedy $U^{\mu }=u^{\mu }\;$, czyli jest spełniona na pewno silna zasada równoważności. Równanie (2.2) dla układów rozciągłych wygląda następująco:

$dm_{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }=dK^{\mu }\Rightarrow \rho _{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(2.4)

• Twierdzenia dla układów rozciągłych przedstawiamy zastępując w twierdzeniach dla układów dyskretnych w obliczeniach według $m_{0}\rightarrow dm_{0}\;$ i $K^{\mu }\rightarrow dK^{\mu }\;$, jak np. przechodząc od (2.2) do (2.4), i wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym, wtedy: ${\sqrt {-g}}d^{4}x=d^{4}x^{'}\Rightarrow {\sqrt {-g}}dVdct=dV_{p}dct\Rightarrow {\sqrt {-g}}dV=dV_{p}\;$^{[Patrz: 2.1]} i $dV_{p}=\gamma ^{-1}dV_{0}\;$^{[Patrz: 2.2]}, gdzie $dV\;$, $dV_{p}\;$ i $dV_{0}\;$ są to kolejno infinitezymalne objętości w układach: zakrzywionym, płaskim inercjalnym i spoczynkowym inercjalnym, a $g\;$ jest to wyznacznik tensora metrycznego prostego, a $\gamma \;$ jest zdefiniowane w punkcie (STW-8.9) (tam wybieramy ze znakiem plus). Gdzie tam pierwsza zależność wynika z (4.8), a druga z (STW-18.7).

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia

Będziemy badać wzory na linie geodezyjne, gdy siły niegrawitacyjne występują lub one nie występują, a poza tym siły grawitacyjne w nich zawsze występują.

Gdy występują tylko siły grawitacyjne

Z definicji pochodnej kontrawariantnej i własności styczności wektora do prostej (2.1), a także z definicji pochodnej tensorowej można zapisać równanie geodezyjne w postaci pierwotnej:

$0={U^{\mu }}_{;{\beta }}={U^{\mu }}_{;{\beta }}={U^{\mu }}_{,{\beta }}+U^{\alpha }{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}\;\;$

(2.5)

Pomnóżmy obustronnie równość tensorową (2.5) przez kontrawariantny tensor czterowektora prędkości U^β, wtedy otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego równanie:

$0=U^{\beta }{U^{\mu }}_{,{\beta }}+U^{\alpha }U^{\beta }{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}\;\;$

(2.6)

Z definicji czterowektora prędkości i twierdzenie o pochodnej złożonej wyznaczmy wyrażenie występujące jako pierwszy składnik we wzorze (2.6), zatem możemy napisać:

$U^{\beta }{U^{\mu }}_{,{\beta }}={{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}{{\partial } \over {\partial x^{\beta }}}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)={{d} \over {d\lambda }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}\;\;$

(2.7)

Na podstawie obliczeń (2.7) na liczbach ogólnych, które to wniosek podstawiamy do równania tensorowego (2.5) za pierwszy składnik, zatem udowodniliśmy że zachodzi:

$0={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}U^{\alpha }U^{\beta }\;\;$

(2.8)

Podstawiając, za współrzędne czterowektora wektora prędkości U^β jego definicję, jako pochodna czteropołożenia względem interwału czasoprzestrzennego, dostajemy równoważne równanie tensorowe do (2.8):

$0={{d} \over {d\lambda }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}{{dx^{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}\;\;$

(2.9)

Wyrażenie (2.8) możemy zapisać w postaci bezwskaźnikowej, bez uwzględnienia z jakimi rodzaju tensorami mamy do czynienia:

$0={{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \;\;$

(2.10)

Otrzymaliśmy równanie, dzięki któremu czterowektor U^β jest przenoszony równolegle, stycznie wzdłuż naszej prostej i jest to równanie ruchu cząstki masowej lub bezmasowej w ogólnej teorii względności, jeśli $K^{\mu }=0\;$ w (2.13) dla układów dyskretnych i ${{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$ w (2.17) dla układów rozciągłych.

Jeśli w prowadzimy definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez inny parametr ξ w sposób: s=aξ+b, to można udowodnić w sposób łatwy, korzystając z poprzedniego równania, że line geodezyjne wedle (2.8) przy zerowych siłach niegrawitacyjnych zapisujemy jako:

$0={{d} \over {d\xi }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\xi }}\right)+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}{{dx^{\alpha }} \over {d\xi }}{{dx^{\beta }} \over {d\xi }}\;\;$

(2.11)

W przestrzeni euklidesowej płaskiej, gdy mamy zerowe siły niegrawitacyjne, mamy na pewno, że poszczególne elementy tensora metrycznego spełniają związek: Γ^μ_αβ=0, stąd dostajemy:

${{d} \over {d\xi }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\xi }}\right)=0\Rightarrow x^{\mu }=a^{\mu }\xi +b^{\mu }\;\;$

(2.12)

Po rozwiązaniu równania (2.8) dowiadujemy się, że rozwiązaniem jego jest równaniem prostej w naszej przestrzeni przy naszej definicji tensora Christoffela.

Gdy również występują siły niegrawitacyjne

Będziemy rozważać tu układy dyskretne i rozciągłe.

Układy dyskretne

A gdy występują inne tensory sił, to wtedy równanie (2.10) podobnie przekształcamy jak (2.10) z (2.1), wtedy:

$m_{0}c\left({{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \right)=\mathbf {K} \Rightarrow m_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-m_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +\mathbf {K} \Rightarrow m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+K^{\mu }\;$

(2.13)

Gdy tensor sił niegrawitacyjnych jest równy zero, wtedy równość (2.13) przechodzi w równanie geodezyjne (2.9), gdy na układ nie działają żadne siły niegrawitacyjne. Druga zasada dynamiki Einsteina według równości końcowej (2.13) i wzór na tensor siły pochodzący od grawitacji, piszemy wzorami:

$\mathbf {K} _{c}=m_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}={{d\mathbf {P} } \over {d\lambda }}\Rightarrow K_{c}^{\mu }=m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}={{dP^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(2.14)

$\mathbf {K} _{g}=-m_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \Rightarrow K_{g}^{\mu }=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.15)

A tensor siły w (2.13), czyli $\mathbf {K} \;$, jest tensorem siły od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Kilka żródeł grawitacyjnych

Załóżmy, że mamy kilka mas, każda ona zakrzywia czasoprzestrzeń, weźmy zasadę niezależności działania tensorów sił szczególnej teorii względności spełniona też w ogólnej teorii względności, wtedy korzystając z równości na tensor siły grawitacyjnej mamy na podstawie (2.15):

$K_{g}^{\mu }=\sum _{i}K_{gi}^{\mu }=-\sum _{i}m_{0}c{\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{i}^{\alpha }U_{i}^{\beta }=-m_{0}c\sum _{i}{\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{i}^{\alpha }U_{i}^{\beta }=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.16)

Widzimy, że w (2.16) poszczególne masy dostarczają swoje własne symbole Christoffela ${\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$ do poruszającej się masy względem niego, a wszystkie pola grawitacyjne od tych mas tworzą razem inne symbole ${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$, które opisuje całkowite zakrzywienie czasoprzestrzeni od tych mas.

Układy rozciągłe

Równanie geodezyjne (2.13) dla układów rozciągłych zastępując w (2.15) wielkości: $m_{0}\;$ i $K^{\mu }\;$, kolejno przez: $dm_{0}\;$ i $dK^{\mu }\;$, napiszmy, wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym:

$dm_{0}c\left({{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \right)=d\mathbf {K} \Rightarrow dm_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-dm_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +d\mathbf {K} \Rightarrow \rho _{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-\rho _{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +{{d\mathbf {K} } \over {dV_{0}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma \mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +{{d\mathbf {K} } \over {dV}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+{{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(2.17)

Gęstość tensora siły całkowitej stanowiącej drugą zasadę dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych, też i gęstość tensora siły od sił grawitacyjnych, napiszmy kolejno na podstawie (2.17):

${{dK_{c}^{\mu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}={{dm_{0}} \over {dV}}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(2.18)

${{dK_{g}^{\mu }} \over {dV}}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }=-{{dm_{0}} \over {dV}}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.19)

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia

Będziemy badać wzory na linie geodezyjne, gdy siły niegrawitacyjne występują lub one nie występują, a poza tym siły grawitacyjne w nich zawsze występują.

Gdy występują tylko siły grawitacyjne

Przedstawimy teraz inne podejście do ruchu cząstki materialnej czyli piszemy linie geodezyjne w sposób kowariantny, czyli proste w przestrzeni czterowymiarowej spełniający warunek, który jest pochodną kowariantną U^μ_;β=0, ale z definicji pochodnej kowariantnej możemy napisać:

$0=U_{{\mu };\beta }=U_{{\mu },{\beta }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }\beta }U_{\alpha }\;$

(2.20)

Pomnóżmy teraz obie strony równania tensorowego (2.20) przez elementy czterowektora prędkości U^β, otrzymując wynikowe równanie:

$0=U^{\beta }U_{{\mu },{\beta }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.21)

Rozwińmy wyrażenie występujące w równaniu tensorowym (2.21) występujący jako odjemna wykorzystując definicję pochodnej zupełnej, i przestawmy ją jako pochodna kowariantnego tensora czteroprędkości względem parametru λ.

$U^{\beta }U_{{\mu },{\beta }}={{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}{{\partial U_{\mu }} \over {\partial x^{\beta }}}={{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

wykorzystując udowodnioną powyższą tożsamość i podstawiając do równości (2.21), wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi na pewno tożsamość poniżej, które to poniższe równanie jest równaniem linii geodezyjnej.

$0={{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.22)

Możemy wykorzystać definicję czterowektora prędkości, wtedy wzór na równość tensorową (2.22) zapisujemy wedle:

$0={{d^{2}x_{\mu }} \over {d\lambda ^{2}}}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}\;$

(2.23)

Jeśli oznaczymy jako definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez parametr ξ w sposób s=aξ+c, to równanie na linie geodezyjne (2.23) można przedstawić w postaci:

$0={{d^{2}x_{\mu }} \over {d\xi ^{2}}}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\xi }}{{dx^{\beta }} \over {d\xi }}\;$

(2.24)

Równania (2.8) i (2.21) stanowią równania ruchu cząstki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Einsteina i jak udowodnimy później, te dwa równania są ze sobą równoważne. Dla układów płaskich rozwiązaniem (2.24) jest równanie (2.12) tylko, że ze wskaźnikami do dołu.

Gdy w równaniach na linie geodezyjne uwzględnimy siły niegrawitacyjne

Będziemy rozważać tu układy dyskretne i rozciągłe.

Układy dyskretne

A gdy występują inne tensory sił, to wtedy równanie (2.2) podobnie przekształcamy jak (2.23) z (2.1), wtedy:

${{d^{2}x_{\mu }} \over {d\lambda ^{2}}}={\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}+{{1} \over {m_{0}c}}K_{\mu }\Rightarrow {{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}={\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+{{1} \over {m_{0}c}}K_{\mu }\Rightarrow m_{0}c{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+K_{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dP_{\mu }} \over {d\lambda }}=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+K_{\mu }\;$

(2.25)

Gdy tensor sił niegrawitacyjnych jest równy zero, wtedy równość (2.25) przechodzi w równanie geodezyjne (2.23), gdy na układ nie działają żadne siły niegrawitacyjne. Równanie ruchu dynamiki Einsteina i równanie na tensor sił grawitacji działający na ciało według (2.25) są równe:

$K_{c\mu }=m_{0}c{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}={{dP_{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(2.26)

$K_{g\mu }=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.27)

Kilka żródeł grawitacyjnych

Załóżmy, że mamy kilka mas, każda ona zakrzywia czasoprzestrzeń, weźmy zasadę niezalezności działania tensorów sił szczególnej teorii względności spełniona też w ogólnej teorii względności, wtedy korzystając z równości na tensor siły grawitacyjnej mamy na podstawie (2.27):

$K_{g\mu }=\sum _{i}K_{gi\mu }=\sum _{i}m_{0}c{\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{i\alpha }U_{i}^{\beta }=m_{0}c\sum _{i}{\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{i\alpha }U_{i}^{\beta }=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.28)

Widzimy, że w (2.28) poszczególne masy dostarczają swoje własne symbole Christoffela ${\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}\;$ do poruszającej się masy względem niego, a wszystkie pola grawitacyyjne od tych mas tworzą razem inne symbole ${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$, które opisuje całkowite zakrzywienie czasoprzestrzeni od tych mas.

Układy rozciągłe

Równanie geodezyjne (2.25) dla układów rozciągłych zastępując w nim wielkości: $m_{0}\;$ i $K^{\mu }\;$, kolejno przez: $dm_{0}\;$ i $dK^{\mu }\;$, napiszmy, wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym:

$dm_{0}c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}=dm_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+dK^{\mu }\Rightarrow \rho _{0}c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}=\rho _{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+{{dK_{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+{{dK_{\alpha }} \over {dV}}\;$

(2.29)

Gęrstość tensora siły całkowitej stanowiącej drugą zasadę dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych, też i gęstość tensora siły od sił grawitacyjnych, napiszmy kolejno na podstawie (2.29):

${{dK_{c\alpha }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}\;$

(2.30)

${{dK_{g\alpha }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }\;$

(2.31)

Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym

Będziemy tu udowadniać zgodność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym, co udowodnimy, że te dwa wzory są ze sobą równoważne.

Układy dyskretne

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

${{1} \over {m_{0}c}}K^{\nu }={{dU^{\nu }} \over {d\lambda }}+{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K^{\mu }g_{\mu \nu }={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.32)

Wykorzystajmy własność taką, że ogólnie tensor czteroprędkości kontrawariantny U^α przedstawmy z zależności od kowariantnego tensora U_γ, co tensorowo możemy zapisać:

$U^{\alpha }=g^{\alpha \gamma }U_{\gamma }\;$

(2.33)

Wykorzystując tożsamość tensorową (2.33) do równości tensorowej (2.32):

${{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }g_{\alpha \nu ,\beta }U^{\beta }+\Gamma _{\nu \alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-2g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\;$
$\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \beta ,\nu }-g_{\beta \nu ,\alpha }\right)\;$
$\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-\Gamma _{\alpha \beta \nu }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }$

(2.34)

Co na podstawie dowodu (2.34) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości (2.13) i (2.25), które oznaczają to samo.

Układy rozciągłe

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

${{dK^{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\nu }} \over {d\lambda }}+{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{dK^{\nu }} \over {dV}}g_{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}g_{\mu \nu }+{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma cg_{\mu \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(2.35)

Wykorzystując tożsamość tensorową (2.33) do równości tensorowej (2.35):

${{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left({{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }g_{\alpha \nu ,\beta }U^{\beta }+\Gamma _{\nu \alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-2g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \beta ,\nu }-g_{\beta \nu ,\alpha }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-\Gamma _{\alpha \beta \nu }U^{\alpha }U^{\beta }\right]\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }$

(2.36)

Co na podstawie dowodu (2.36) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości i , które oznaczają to samo.

Tensor siły grawitacji i inne tensory siły (w tym całkowity tensor siły w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina), jako tensory z definicji tensora matematycznego

Tensor siły grawitacyjnej, jak można poniżej udowodnić jest tensorem, bo bierzemy tutaj, zbiór stałych transformacji, wtedy nie tylko ten tensor, ale również tensor siły całkowitej drugiej zasady dynamiki Einsteina jest tensorem, jak i inne tensory siły, przy stałych transformacjach symbole Christoffera są tensorami (i dlatego tak jest) - dlatego te symbole są tensorami, bo stałe transformacje można włożyć pod pochodną cząstkową tensora metrycznego w definicji tych symboli, i po transformacji otrzymujemy inne tensory metryczne, ale nie jest już tak dla funkcji transformacji niestałych, stałe transformacji rozdzielają wszechświat na podprzestrzenie, w których panują inne funkcje transformacji stałe. Jeżeli w jednym układzie (lub punkcie) nie ma grawitacji, to w innym też nie ma, czyli można rozważać przestrzeń bez grawitacji z trzema podstałymi oddziaływaniami (model standardowy dla trzech podstawowych oddziaływań - elektromagnetyczne, silne i słabe), czyli są przestrzenie, w której grawitacji nie ma lub jest.

Druga zasada dynamiki Einsteina w wersji wektorowej

Napiszmy równania w postaci podobnej, jak w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona, dla szczególnej teorii względności, czy w mechanice Newtona, ale też spełnioną w ogólnej teorii względności, w postaci: W nim jest współrzędną przestrzenną tensora prędkości, zatem jeśli jest tensorem pędu, to jest współrzędną przestrzenną tensora prędkości, też spełniona w ogólnej teorii względności, tak samo jak w szczególnej teorii względności.

Niezależność działania sił, i że addytywność wektorów sił, w ogólnej teorii względności, udowadnia się podobnie, jak dla mechaniki Einsteina-Newtona (jak w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona).

Przedstawia się addytywność wektorów sił: Zależność pomiędzy wektorem tensora prędkości, a wektorem siły przedstawia się wzorem: Dla szczególnej teorii względności jest spełnione równanie na tensor siły, które przedstawimy dla układów lokalnie płaskich ogólnej teorii względności, który napisaliśmy w wykładzie szczególnej teorii względności w punkcie : Podobny wzór możemy również otrzymać w ogólnej teorii względności, tylko w iloczynie są wskaźniki dolne i górne, nie górne, zapisaną w sposób, biorąc dla dwóch sygnatur: Zapisując wniosek , biorąc iloczyn skalarny przestrzeni zwykłej , to wtedy ta równość przechodzi w , tylko przy innej definicji z jego definicją dla ogólnej teorii względności, ale nie już dla szczególnej teorii względności. Uogólnijmy wzór , by w nim było , a nie , wtedy wektor siły przedstawia się w formie: Dla wzoru niezależność działania sił i addytywność udowadnia się podobnie, jak dla wersji z wektorami zwykłymi tensora prędkości. A wtedy wzór uogólniamy do tej wersji (ten wzór pod względem zapisu jest taki sam), a wartość piszemy: Też jest spełnione przy takim uogólnieniu wzór na tensor wektora siły, w tym przypadku równość , przy definicji , i z niego wynikającej definicji wektora siły, innej niż, ale równoważnej, do .

Zgodność wzoru na linie geodezyjne z metryką przy ogólnie niezerowych siłach niegrawitacyjnych

Formułę zrózniczkujmy obustronnie, gdzie parametrem różniczkowym względem, którego różniczkujemy, jest interwał czasoprzestrzeny do: Jeżeli w równaniu zamienimy na , wtedy zamieniamy w dla formalności, to ono jest dalej spełnione i jest w postaci: Równanie jest równoważne równaniu , nie tylko dla (gdy zmienna jest równa interwałowi czasoprzestrzennemu), bo to wynika z rachunku różnicowego dla kroku nieskończenie małego, ale stałego, więc w można zastąpić przez , i tak powstaje równanie różniczkowe .

Układy dyskretne

Skorzystajmy ze wzoru na linie geodezyjne, gdy liczymy pochodne kowariantne tensorów prędkości w przedstawieniu kontrawriantym i kowariantnym , co pomnózmy go obustronnie przez kolejno przez i , co potem skorzystamy ze wzoru , wtedy: Końcowe równanie w przekształćmy do układów lokalnie płaskich, wtedy jest tensorem siły równej całkowitemu tensorowi siły według drugiej zasady dynamiki Einsteina według , zatem w tym układzie po zamienieniu na (interwał czasoprzestrzenny): Równanie jest również spełnione dla dowolnej definicji , nie tylko dla , bo zachodzi wytłumaczone . Stąd tożsamość jest na pewno spełniona na podstawie (dla dowolnego ), a więc wzór na linie geodezyjne jest zgodny z metryką.

Układy rozciągłe

Równanie pomnóżmy przez , wtedy otrzymamy: Wykorzystajmy równości (przedstawienie kontrawariantne równania geodezyjnego) i (przedstawienie kowariantnego równania geodezyjnego), wtedy: Końcowe równanie w przekształćmy do układów lokalnie płaskich, wtedy jest tensorem siły równej całkowitej gęstości tensora siły według drugiej zasady dynamiki Einsteina według , zatem w tym układzie dla : Jeżeli równanie jest spełnione dla , to jest również spełnione dla dowolnej definicji , bo zachodzi wytłumaczone , zatem dla układów rozciągłych metryka jest zgodnę z równaniem na linie geodezyjne na podstawie według udowodnionego wniosku .

Zasada zachowania energii-pędu dla układów lokalnie płaskich przy zerowaniu się tensorów sił niegrawitacyjnych

W układzie lokalnie płaskim tensory Christoffela są równe zero z uwagi, że tensor metryczny jest równy tensorowi Minkowskiego i pochodne cząstkowe tego tensora są równe zero. Wtedy z uwagi na rozwiązaniem równania tego jest , zatem tensor prędkości cząstki w układzie lokalnie płaskim, jeżeli przymniemy , jest równy: Czyli dla układów lokalnie płaskich na podstawie , w którym prędkości są stałe dowiadujemy się, że: I dalej stąd dowiadujemy się, że na podstawie energia i pęd w układzie lokalnie płaskim są zachowane. Też ten sam wniosek możemy otrzymać z przy zerowaniu się symboli Christoffela.

Równanie dewiacyjne i dewiacja geodezyjna, według zasady niezalezności działania tensorów sił

Będziemy tutaj wyprowadzali dewiacyjne równanie uwzględniające tylko siły grawitacji albo siły niegrawitacyjne lub oba.

Równanie dewiacyjne, a tylko siły grawitacji

Weźmy sobie dwie krzywe geodezyjna, odległość pomiędzy cząstkami poruszających się na tych liniach określamy według definicji , zatem różnica wzorów na linie geodezyjne dla i dla układów lokalnie płaskich, tu wykorzystajmy zasadę namniejszego działania tensorów sił, wtedy znika tensor sił niegrawitacyjnych, określamy jako: Napiszmy teraz drugą pochodną wielkości absolutnej ξ wykorzystując , a także wykorzystując przy okazji udowodnioną tożsamość dla układu współrzędnych lokalnie płaskiego, w której w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero: Końcowy wniosek wynikający z obliczeń jest słuszny tylko w układzie współrzędnych lokalnie płaskich, w której to w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero. Udowodnijmy jego słuszność w dowolnym układzie współrzędnych: Na podstawie obliczeń wynikających z wnioskujemy, że w dowolnym układzie współrzędnych jest spełnione prawo zwane równaniem dewiacyjnym:

Układy dyskretne

Według zasady niezależności działania tensorów sił, podobne równanie do , napiszmy równanie dewiacyjne, gdy nie ma grawitacji, tylko są siły niegrawitacyjne, wtedy ono piszemy, zapisując w nim przecinek średnikiem w układach lokalnie płaskich, co w takich układach można tak robić: Wykorzystując tą naszą zasadę połączmy równania i , wtedy: Równanie jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. Równanie jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. To równanie jest równaniem dewiacyjnym uwzględniającym siły grawitacji i niegrawitacyjne. Równanie nazywamy równaniem dewiacyjnym układów zakrzywionych odległości pomiędzy dmoma ciałami bardzo bliskimi względem siebie przy uwzględnieniu tensorów sił pochodzący od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Układy rozciągłe

Według zasady niezależności działania tensorów sił, podobne równanie do , napiszmy równanie dewiacyjne, gdy nie ma grawitacji, tylko są siły niegrawitacyjne, wtedy ono piszemy, zapisując w nim przecinek średnikiem w układach lokalnie płaskich, co w takich układach można tak robić: Wykorzystując tą naszą zasadę połączmy równania i , wtedy: Równanie jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. To równanie jest równaniem dewiacyjnym uwzględniającym siły grawitacji i niegrawitacyjne. Równanie nazywamy równaniem dewiacyjnym układów zakrzywionych odległości pomiędzy dmoma ciałami bardzo bliskimi względem siebie przy uwzględnieniu tensorów sił pochodzący od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Lokalna zasada zachowania energii-pędu

Weźmy lokalną zasadę zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności , wtedy to możemy zapisać jako: Równanie w układach zakrzywionych przyjmuje postać zamieniając przecinek średnikiem i wykorzystując i , wtedy: Równanie jest równaniem lokalnej zasady zachowania energii-pędu wynikającej z praw szczególnej teorii względności z zasady zachowania energii-pędu lub lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu.

Lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu

Weźmy lokalną zasadę zachowania tensora gęstości pędu szczególnej teorii względności według , wtedy możemy napisać wynikająco: Przetransformuwujmy równanie , które jest dla układów lokalnie płaskich, zamieniając w nim przecinek na średnik, wiedząc, że macierz transformacji jest w postaci: Wtedy na podstawie transformacji z macierzą transformacji w możemy dokonać tą wspomnianą operację przechodząc z układu lokalnie płaskiego do zakrzywionego: Równość jest równaniem lokalnej zasady zachowania tensora gęstości pędu dla układów zakrzywionych.

Rozwiązywanie układu równań ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności przedstawia swój zestaw równań ze sobą sprzecznych: równanie Hilberta-Einsteina (dla przyciągania grawitacyjnego) i (dla odpychania grawitacyjnego) - należy tutaj tensor gęstości energii-pędu rozłożyć na ten podstawowy i inny zewnętrzny, lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu , równanie geodezyjne (układy rozciągłe), lokalna zasada zachowania energii-pędu , lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu i równanie wynikające z definicji jedynki z definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego , równania cechowania wynikłe z teorii lagrangianowych równania geodezyjnego dla układów rozciągłych i dalej należy uwzględnić w gęstościach sił (nawet w zewnętrznych) tensory sił od pola elektromagnetycznego i w dwóch prawach Hilberta-Einsteina grawitacji (równania opisujące odpychanie i przyciąganie grawitacyjne), dodatkowy człon, który jest tensorem gęstości energii-pędu od tego pola (gdy uwzględnimy pole elektromagnetyczne), oraz równania elektrodynamiki klasycznej dla układów zakrzywionych, te równania rozwiązuje się jak równania szczególnej teorii względności, tylko zamiast przestrzeni słabozakrzywionych, uważanych za ogólnie nieprostokątne ze współrzędnymi ogólnie nieprostokątnymi albo krzywoliniowymi lub uogólnionymi, mamy przestrzenie zakrzywione, zbudowane na przestrzeni słabozakrzywionej według szczególnej teorii względności, i zamiast szczególnej teorii względności jest ogólna teoria względności. Te równania możemy ogólnie zapisać tensorowo i rozwiązywać je, jak równania szczególnej teorii względności, według twierdzenia , tylko zamiast równań szczególnej teorii względności są równania ogólnej teorii względności.