Ogólna teoria względności/Właściwości skalaru tensora metrycznego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Właściwości skalaru tensora metrycznego

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przedstawimy tu jakim wzorem przedstawia się elementarna infinitezymalna objętość w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także elementarne wiadomości o tensorach metrycznych, a mianowicie o ich wyznacznikach wyznaczając ich pochodne względem elementów tensora metrycznego i pytamy siebie jakie są właściwości tego tensora.

Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności[edytuj]

Macierz iloczynu skalarnego w przestrzeni Minkowskiego jest napisana tak jak w punkcie (1.5) i oznaczamy go przez znak grecki (η) i można udowodnić, że ten wyznacznik tensora Minkowskiego jest napisany wedle:

(3.1)

W układzie lokalnie inercjalnym opisywanej przez macierz iloczynu skalarnego (tensor metryczny, który jest symetryczny) w przestrzeni Minkowskiego można przetransformować do układów krzywoliniowego, to macierz tensora metrycznego przechodzi w macierz tensora metrycznego Minkowskiego dla małych gęstości materii w tejże geometrii. Transformacja z układu współrzędnych lokalnie inercjalnego opisywanej przez macierz (g) do innego rodzaju współrzędnych ma się jako:

(3.2)
  • gdzie Λij jest macierzą przejścia.

Transformacja macierzy iloczynu skalarnego z układu lokalnie płaskiej do innego układu względem macierzy transformacji piszemy z wiadomości z algebry:

(3.3)

Wyznacznik macierzy, dzięki któremu budujemy transformacje w wyniku podobieństwa macierzy z układu lokalnie płaskiego w krzywoliniowy (3.3):

(3.4)

Ale wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego ma wartość wedle (3.1), wtedy wyrażenie (3.4), na wyznacznik macierzy (g), możemy zapisać:

(3.5)

Otrzymujemy więc wyznacznik macierzy transformacji, który jest pierwiastkiem z minus jedynki wyznacznika tensora metrycznego (g), który obowiązuje w układzie krzywoliniowym:

(3.6)

W układzie Minkowskiego, który obowiązuje w układzie lokalnie płaskim, nieskończenie mały element objętości zapisujemy:

(3.7)

W naszym przypadku moduł Jakobianu jest modułem wyznacznika macierzy przejścia do układu krzywoliniowego w przestrzeni Minkowskiego, a zatem ta sama objętość pod względem wartości zapisujemy w krzywoliniowym układzie współrzędnych:

(3.8)

Ostatecznie patrząc na wzór (3.8), w postaci skróconej, nasz wzór na objętość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) jest wyrażony wzorem poniżej.

(3.9)

Widzimy, że objętość opisywanej wedle szczególnej teorii względności zależy od wyznacznika macierzy tensora metrycznego obowiązującego w tymże układzie współrzędnych krzywoliniowym.

Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego[edytuj]

Mamy sobie wyznacznik macierzy tensora metrycznego, który obowiązuje w szczególnej teorii względności i rozwińmy go względem kolumny o numerze β wedle twierdzenia Laplace'a:

(3.10)

Podzielmy wyrażenie (3.10) przez wyznacznik macierzy tensora metrycznego przez g, wtedy otrzymujemy wyrażenie z którego wywnioskujemy dalsze dysputy.

(3.11)

Wprowadzamy podwójnie kontrawariantny tensor metryczny, tak by prawa strona w (3.11) była równa lewej stronie tego równania, korzystając przy tym z jego definicji tego tensora, a także z definicji tensora Kroneckera, i mówiąc ogólnie, że w dowodzie powyższym nie obowiązuje konwencja Einsteina. Zatem podwójnie kontrawariatna macierz tensora metrycznego na podstawie wcześniejszej tożsamości przestawia się:

(3.12)

Wyznaczmy pochodną wyznacznika macierzy tensora metrycznego względem jakiegoś elementu tego samego tensora, co można zapisać:

(3.13)

W powyższym równaniu (3.13) mnożąc obustronnie przez , wtedy otrzymujemy:

(3.14)

Co dalej można otrzymać równoważne równanie, ale tym razem mnożąc (3.13) przez pochodną i sumując obustronnie względem wskaźników i , wtedy otrzymujemy:

(3.15)

Dalej przekształcając prawą strona równości (3.15), tak by zebrać pewne dwa czynniki czynniki pod pochodną względem parametru xμ:

(3.16)

Pierwszy wyraz występujący w wyrażeniu (3.16) pod pochodną liczony względem współrzędnej xμ jest wielkością stałą, to ta jego pochodna jest wielkością zerową:

(3.17)

Powyższe równanie na tensorach metrycznych można zapisać równoważnie:

(3.18)

Wzory (3.14) i (3.18), to są dwa podstawowe wzory oparte na tensorach metrycznych, pierwsza pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementu tensora metrycznego podwójnie kowariantnego, a drugi względem podwójnie kontrawariantnego.