Ogólna teoria względności/Właściwości skalaru tensora metrycznego

Właściwości skalaru tensora metrycznego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności 2Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

Przedstawimy tu jakim wzorem przedstawia się elementarna infinitezymalna objętość w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także elementarne wiadomości o tensorach metrycznych, a mianowicie o ich wyznacznikach wyznaczając ich pochodne względem elementów tensora metrycznego i pytamy siebie jakie są właściwości tego tensora.

Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności

Macierz iloczynu skalarnego w przestrzeni Minkowskiego jest napisana tak jak w punkcie (1.6) i oznaczamy go przez znak grecki (η) i można udowodnić, że ten wyznacznik tensora Minkowskiego jest napisany wedle:

$\operatorname {det} (\eta )=-1\;$

(4.1)

W układzie lokalnie inercjalnym opisywanej przez macierz iloczynu skalarnego (tensor metryczny, który jest symetryczny) w przestrzeni Minkowskiego można przetransformować do układów krzywoliniowego, to macierz tensora metrycznego przechodzi w macierz tensora metrycznego Minkowskiego dla małych gęstości materii w tejże geometrii. Transformacja z układu współrzędnych lokalnie inercjalnego opisywanej przez macierz (g) do innego rodzaju współrzędnych ma się jako:

${x^{i}}^{'}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}\;$

(4.2)

• gdzie Λⁱ_j jest macierzą przejścia.

Transformacja macierzy iloczynu skalarnego z układu lokalnie płaskiej do innego układu względem macierzy transformacji piszemy z wiadomości z algebry:

$(g)=(\Lambda )^{T}(\eta )(\Lambda )\;$

(4.3)

Wyznacznik macierzy, dzięki któremu budujemy transformacje w wyniku podobieństwa macierzy z układu lokalnie płaskiego w krzywoliniowy (4.3):

$g=\operatorname {det} (g)=\operatorname {det} (\Lambda )\operatorname {det} (\eta )\operatorname {det} (\Lambda )\;$

(4.4)

Ale wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego ma wartość wedle (4.1), wtedy wyrażenie (4.4), na wyznacznik macierzy (g), możemy zapisać:

$g=\operatorname {det} (g)=-\operatorname {det} ^{2}(\Lambda )\;$

(4.5)

Otrzymujemy więc wyznacznik macierzy transformacji, który jest pierwiastkiem z minus jedynki wyznacznika tensora metrycznego (g), który obowiązuje w układzie krzywoliniowym:

${\sqrt {-g}}=|\operatorname {det} (\Lambda )|\;$

(4.6)

W układzie Minkowskiego, który obowiązuje w układzie lokalnie płaskim, nieskończenie mały element objętości zapisujemy:

$d^{4}x'=dx_{0}'dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'\;$

(4.7)

W naszym przypadku moduł Jakobianu jest modułem wyznacznika macierzy przejścia do układu krzywoliniowego w przestrzeni Minkowskiego, a zatem ta sama objętość pod względem wartości zapisujemy w krzywoliniowym układzie współrzędnych:

$d^{4}x'=|J|d^{4}x=|\operatorname {det} (\Lambda )|d^{4}x={\sqrt {-g}}d^{4}x\;$

(4.8)

Ostatecznie patrząc na wzór (4.8), w postaci skróconej, nasz wzór na objętość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) jest wyrażony wzorem poniżej.

$d^{4}x'={\sqrt {-g}}d^{4}x\;$

(4.9)

Widzimy, że objętość opisywanej wedle szczególnej teorii względności zależy od wyznacznika macierzy tensora metrycznego obowiązującego w tymże układzie współrzędnych krzywoliniowym.

Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

Mamy sobie wyznacznik macierzy tensora metrycznego, który obowiązuje w szczególnej teorii względności i rozwińmy go względem kolumny o numerze β wedle twierdzenia Laplace'a:

$g=\sum _{\alpha }(-1)^{\alpha +\beta }g_{\alpha \beta }A_{\alpha \beta }\;$

(4.10)

Podzielmy wyrażenie (4.10) przez wyznacznik macierzy tensora metrycznego przez g, wtedy otrzymujemy wyrażenie z którego wywnioskujemy dalsze dysputy.

$1=\sum _{\alpha }g_{\alpha \beta }\underbrace {g^{-1}(-1)^{\alpha +\beta }A_{\alpha \beta }} _{g^{\alpha \beta }}\;$

(4.11)

Wprowadzamy podwójnie kontrawariantny tensor metryczny, tak by prawa strona w (4.11) była równa lewej stronie tego równania, korzystając przy tym z jego definicji tego tensora, a także z definicji tensora Kroneckera, i mówiąc ogólnie, że w dowodzie powyższym nie obowiązuje konwencja Einsteina. Zatem podwójnie kontrawariatna macierz tensora metrycznego na podstawie wcześniejszej tożsamości przestawia się:

$g^{\alpha \beta }=g^{-1}(-1)^{\alpha +\beta }A_{\alpha \beta }\;$

(4.12)

Wyznaczmy pochodną wyznacznika macierzy tensora metrycznego względem jakiegoś elementu tego samego tensora, co można zapisać:

${{\partial g} \over {\partial g^{\gamma \omega }}}={{\partial g} \over {\partial g_{\alpha \beta }}}{{\partial g_{\alpha \beta }} \over {\partial g^{\gamma \omega }}}=(-1)^{\alpha +\beta }A_{\alpha \beta }{{\partial g_{\alpha \beta }} \over {\partial g^{\gamma \omega }}}=gg^{\alpha \beta }{{\partial g_{\alpha \beta }} \over {\partial g^{\gamma \omega }}}\;$

(4.13)

W powyższym równaniu (4.13) mnożąc obustronnie przez ${{\partial g^{\gamma \omega }} \over {\partial g_{\xi \zeta }}}\;$, wtedy otrzymujemy:

${{\partial g} \over {\partial g_{\gamma \omega }}}=gg^{\gamma \omega }\;$

(4.14)

Co dalej można otrzymać równoważne równanie, ale tym razem mnożąc (4.13) przez pochodną ${{\partial g^{\gamma \omega }} \over {\partial x^{\mu }}}\;$ i sumując obustronnie względem wskaźników $\gamma \;$ i $\omega \;$, wtedy otrzymujemy:

$g_{,\mu }=gg^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta ,\mu }\;$

(4.15)

Dalej przekształcając prawą strona równości (4.15), tak by zebrać pewne dwa czynniki czynniki pod pochodną względem parametru x^μ:

$g_{,\mu }=g^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta ,\mu }=g\left[\left(g^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }\right)_{,\mu }-{g^{\alpha \beta }}_{,\mu }g_{\alpha \beta }\right]=-gg_{\alpha \beta }{g^{\alpha \beta }}_{,\mu }$

(4.16)

Pierwszy wyraz występujący w wyrażeniu (4.16) pod pochodną liczony względem współrzędnej x^μ jest wielkością stałą, to ta jego pochodna jest wielkością zerową:

$g_{,\mu }=-gg_{\alpha \beta }{g^{\alpha \beta }}_{,\mu }$

(4.17)

Powyższe równanie na tensorach metrycznych można zapisać równoważnie:

${{\partial g} \over {\partial g^{\gamma \omega }}}=-gg_{\gamma \omega }$

(4.18)

Wzory (4.14) i (4.18), to są dwa podstawowe wzory oparte na tensorach metrycznych, pierwsza pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementu tensora metrycznego podwójnie kowariantnego, a drugi względem podwójnie kontrawariantnego.