Ogólna teoria względności

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Ogólna teoria względności jest to dział fizyki teoretycznej zajmujący się polem grawitacyjnym. Opisuje ona przestrzenie zakrzywione, nie tylko słabe, w których rozpowszechnia się pole Newtonowskie, ale też mocno zakrzywione. Dowiemy, się, że w granicy słabego pola grawitacyjnego równania grawitacji Einsteina przechodzą w równanie grawitacji Newtona wraz drugą zasadę dynamiki Newtona. Będziemy się również zajmowali promieniowaniem grawitacyjnym w słabo zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Spis treści

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

1. Elementy ogólnej teorii względności
   1. Zasady równoważności
      1. Słaba zasada równoważności
      2. Silna zasada równoważności
   2. Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności
   3. Kontrawariantny czterowektor położenia
   4. Sygnatura dodatnia i ujemna
   5. Interwał czasoprzestrzenny
   6. Czterowektor prędkości
   7. Czterowektor pędu
   8. Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki
   9. Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna
   10. Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń
       1. Przykład - układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω
   11. Tensor Einsteina
   12. Rozszerzony tensor Einsteina
   13. Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)
   14. Definicja tensora gęstości energii-pędu
   15. Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność
   16. Równania pola Einsteina
   17. Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej
2. Zachowawczość energii, a równania grawitacji Einsteina
3. Równania ruchu, a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności
   1. Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia
      1. Gdy występują tylko siły grawitacyjne
      2. Gdy również występują siły niegrawitacyjne
         1. Układy dyskretne
            1. Kilka żródeł grawitacyjnych
         2. Układy rozciągłe
   2. Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia
      1. Gdy występują tylko siły grawitacyjne
      2. Gdy w równaniach na linie geodezyjne uwzględnimy siły niegrawitacyjne
         1. Układy dyskretne
            1. Kilka żródeł grawitacyjnych
         2. Układy rozciągłe
   3. Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym
      1. Układy dyskretne
      2. Układy rozciągłe
   4. Tensor siły grawitacji i inne tensory siły (w tym całkowity tensor siły w drugiej zasadzie dynami Einsteina), jako tensory z definicji tensora matematycznego
   5. Druga zasada dynamiki Einsteina w wersji wektorowej
4. Zgodność wzoru na linie geodezyjne z metryką przy ogólnie niezerowych siłach niegrawitacyjnych
   1. Układy dyskretne
   2. Układy rozciągłe
5. Zasada zachowania energii-pędu dla układów lokalnie płaskich przy zerowaniu się tensorów sił niegrawitacyjnych
6. Równanie dewiacyjne i dewiacja geodezyjna, według zasady niezalezności działania tensorów sił
   1. Równanie dewiacyjne, a tylko siły grawitacji
   2. Układy dyskretne
   3. Układy rozciągłe
7. Lokalna zasada zachowania energii-pędu
8. Lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu
9. Rozwiązywanie układu równań ogólnej teorii względności

Tensor gęstości energii

1. Gęstość masy w danym punkcie zależna od prędkości
2. Koncentracja cząstek w danym punkcie zależna od prędkości
3. Prawo zachowania ilości cząstek
4. W przestrzeniach Minkowskiego prawo zachowania energii i pędu
   1. Lokalne prawo zachowania masy relatywistycznej czy energii relatywistycznej
   2. Lokalne prawo zachowania pędu
   3. Tensor gęstości energii-pędu i jego lokalna zachowawczość
   4. Ogólny wzór na tensor gęstości energii-pędu w układach płaskich (lokalnie płaskich) z lokalnością stałego ciśnienia i prędkości
5. Przejście od układu współrzędnych lokalnie płaskiego do zakrzywionej czasoprzestrzeni
6. Płyny z uwzględnieniem zasad termodynamiki
7. Dowód poprawności tensora gęstości energii-pędu

Właściwości skalaru tensora metrycznego

1. Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności
2. Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

Zasada wariacyjna w ogólnej teorii względności

1. Równania grawitacji Einsteina-Hilberta
2. Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu
   1. Lokalna zachowawczość (przypadek ogólny)
   2. Przypadek układów lokalnie płaskich z gęstością lagrangianu masowego oraz przypadek układów zakrzywionych z gęstością całkowitego lagrangianu
   3. Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach zakrzywionych
3. Lokalna zasada zachowania energii-pędu
4. Dowód równania Hilberta-Einsteina grawitacji nie z teorii lagrangianowej
5. Szczególne postacie gęstości Lagrangianu
6. Najważniejsze wnioski w odpowiednich klasach układów z lokalnie stałymi jakimiś wielkościami
7. Tensor gęstości energii-pędu dla układów ogólnie zakrzywionych
8. Linie geodezyjne, a zasady równoważności
   1. Przypadek linii geodezyjnych, tzn.: w pierwszym sposobie wyprowadzania, a silna zasada równoważności (dowód)
      1. Układy punktowe
      2. Układy rozciągłe
   2. Słaba zasada równoważności (dowód)
9. Gęstość lagrangianu i równanie Eulera-Lagrange'a, a paradoks niespełnienia zasady najmniejszego działania
10. Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego
    1. Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu
    2. Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności
    3. Całkowita gęstość lagrangianu i pędu
       1. Całkowita gęstość lagrangianu masowego
       2. Całkowita gęstość lagrangianu
       3. Całkowita gęstość pędu
    4. Całkowity lagrangian i pęd
       1. Całkowity lagrangian masowy
       2. Całkowity lagrangian
       3. Pęd uogólniony ładunku punktowego
    5. Gęstość hamiltonianu masowego
    6. Całkowita gęstość hamiltonianu
    7. Całkowity tensor gęstości energii-pędu
    8. Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Słabe pola grawitacyjne

1. Lorentzowskie przekształcenia tła
2. Przekształcenia cechowania
3. Tensor krzywizny dla słabego pola grawitacyjnego
4. Równania Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego
   1. Klasa funkcji cechowań Lorentza dla słabego pola grawitacyjnego
   2. Tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego przy wybranym cechowaniu
   3. Wyznaczanie stałej κ w równaniach grawitacji Einsteina
   4. Ogólne równania pola wedle równań Einsteina ze stałą kosmologiczną
5. Metryka dla słabego pola grawitacyjnego
   1. Stacjonarne słabe pole grawitacyjne a poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego
   2. Interwał czasoprzestrzenny słabego pola grawitacyjnego Newtona dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego
   3. Pola grawitacyjne stacjonarne od odległych źródeł relatywistycznych dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Fizyka w słabozakrzywionych czasoprzestrzeniach

1. Fizyka w słabych stacjonarnych polach grawitacyjnych
2. Zachowawczy charakter wielkości fizycznych
3. Całkowita energia cząstki w polu grawitacyjnym
4. Elementy czterowektora pędu w układach kulistym i walcowym układu współrzędnych
   1. Współrzędne kuliste
   2. Współrzędne walcowe i radialne
5. Kowariantny pęd θ-owy i φ-owy a współrzędne klasycznego momentu pędu

Promieniowanie grawitacyjne

1. Propagacja fal grawitacyjnych
2. Bezśladowe cechowanie poprzeczne Lorentza
3. Wpływ fal grawitacyjnych na swobodną cząstkę
   1. Równanie dewiacji a odległość wektorowa pomiędzy obydwa spoczywającymi współrzędnościowo cząstkami
   2. Ścisła fala grawitacyjna wynikająca z praw grawitacji Einsteina
4. Detekcja fal grawitacyjnych
5. Tensorowe twierdzenie wirialne a lokalna zasada zachowania energii
6. Wytwarzanie fal grawitacyjnych
   1. Właściwości fali grawitacyjnej dla jednego wskaźnika zerowego górnego
   2. Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu masy
   3. Układ dwóch kulek jako układ prostego oscylatora
   4. Układ podwójny gwiazd o jednakowych masach
   5. Równanie falowe i jego ścisłe rozwiązanie
7. Energia przenoszona przez fale grawitacyjne wytwarzane przez układ oscylatorów grawitacyjnych
   1. Fala grawitacyjna i jego strumień energii

Statyczne rozwiązanie Schwarzschilda w kulistosymetrycznym polu grawitacyjnym

1. Metryka w statystycznych czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych
2. Macierz tensora metrycznego układu krzywoliniowego statyczno-sferycznej
3. Odległość radialna, czas, zmierzona energia cząstki
4. Elementy tensora Christoffela
5. Elementy tensora krzywizny
6. Elementy tensora Einsteina
7. Statyczne równanie Einsteina z płynem doskonałym
8. Metryka na zewnątrz kulistej masy
9. Odległość radialna i czas własny w metryce Schwarzschilda
10. Równania ruchu z płynem doskonałym
11. Wnioski wynikające z równania Einsteina

Ruch cząstki próbnej wokół masy statycznie sferycznej-rozwiązanie ogólne

1. Równanie geodezyjne a geometria Schwarzchilda
2. Dowolny ruch cząstki próbnej wokół sferyczno-statycznej masy
3. Ruch cząstki po orbicie kołowej
4. Radialny ruch swobodny ciała próbnego wokół kulistosymetrycznej masy według geometrii Schwarzchilda
5. Rozciąganie w pobliżu czarnej dziury

Geometria statycznych czasoprzestrzeni Schwarzschilda, a czarne dziury

1. Tensor metryczny w geometrii Schwarzchilda
2. Wielkości zachowawcze dla cząstek o niezerowej masie spoczynkowej
3. Wielkości zachowawcze dla cząstek bezmasowych (fotonów)
4. Okres obrotu a promień współrzędnościowy
5. Przesunięcie peryferium
   1. Przesunięcie peryferium według Newtona
   2. Przesunięcie peryferium według ogólnej teorii względności
6. Odchylenie grawitacyjne światła
   1. Ruch światła po zaniedbaniu efektów relatywistycznych związanego z masą
   2. Ruch fotonów po niecałkowitym zaniedbaniu relatywistycznym
7. Wpadające cząstki w kierunku radialnym do horyzontu zdarzeń czarnej dziury

Współrzędne Kruskala-Szekeresa

1. Metryka Kruskala-Szekeresa
2. Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa
3. Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

1. Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina
2. Metryka Eddigtona-Finkelsteina
   1. Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U
   2. Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Współrzędne cylindryczne, a tunel Einsteina-Rossena

1. Współrzędne Einsteina-Rossena
2. Interpretacja współrzędnych Einsteina-Rossena

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.