Ogólna teoria względności/Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Ogólna teoria względności jest współczesną teorią, która opisuje grawitację w sposób bardziej dokładny niż teoria grawitacji Newtona, która jest on opisana przez:

${\vec {F}}_{AB}=-G{{m_{1}m_{2}} \over {r^{2}}}{{\vec {r}} \over {r}}$

(1.1)

• gdzie ${\vec {F}}_{AB}$ siła grawitacji działa wzdłuż wektora ${\vec {r}}$ (jest to różnica położenia ciała B i ciała A), która charakteryzuje oddziaływanie ciała A na ciało B, ale o zwrocie przeciwnym niż wektor położenia ciała B względem ciała A.

Postulaty teorii względności:

Postulat pierwszy - jest uogólnienie zasady Galileusza, ale też i Einsteina ze szczególnej teorii względności, że układy poruszające się z przyspieszeniem zerowym lub mającym pewną wartość, to w tych układach spełnione są prawa fizyki.

Postulat drugi - prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, nawet w tych układach poruszających się z pewnym niezerowym przyspieszeniem.

Elementy ogólnej teorii względności

Szczególna teoria względności wyróżnia pewne klasy układów odniesienia zwanych układami inercjalnymi. Szczególna teoria nie ma grawitacji, więc należy sformułować tak nową teorię (OTW), by wszystkie układy odniesienia były równoprawne i zawierały grawitację.

Zasady równoważności

Przedstawimy tutaj słabą i silną zasadę równoważności.

Słaba zasada równoważności

Obserwator znajduje na Ziemi, i zauważa, że na niego działa jakaś siła grawitacji, która wywołuje siła ciężkości działająca na nasze ciało. Innym razem obserwator znajduje się w kosmosie w rakiecie, która porusza się z przyspieszeniem ${\vec {a}}={\vec {g}}$ w sposób płynny, on nie zauważa żadnej różnicy, między układem na Ziemi czy w rakiecie, czyli który układ jest inercjalny? A zatem jeśli założymy, że nasz układ jest inercjalny, to pochodne cząstkowe elementów tensora metrycznego są równe zero. Ale w myśl tej zasady również układy nieinercjalne są nierozróżnialne od inercjalnych. A zatem prawa wyprowadzone dla układów inercjalnym powinny być słuszne też w nieinercjalnych układach odniesienia. Tzn.: pochodną cząstkową zwykłą zastępujemy pochodną tensorową, bo symbole Christoffela są równe zero, a następnie w myśl tej zasady można uogólnić otrzymane prawa na układy również nieinercjalne, w których symbole Christoffela nie muszą się zerować.

Silna zasada równoważności

Każde prawo fizyczne w sformułowane w szczególnej teorii względności w postaci tensorowej w układzie lokalnie płaskim (inercjalnym) ma taką samą postać w ogólnej teorii względności, czyli w czasoprzestrzeni zakrzywionej.

Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią absolutną z trójwymiarową przestrzenią znanej z mechaniki Newtona i czwartą współrzędną zwanej współrzędną czasową.

Metryka w czasoprzestrzeni może przybierać postać lorentzowską, przez obranie układu inercjalnego, który jest układem lokalnie płaskim w danym punkcie przestrzeni.

Kontrawariantny czterowektor położenia

Kontrawariantnym czterowektorem położenia w ogólnej teorii względności nazywamy wektor:

$x^{\mu }=(ct,x,y,z)\;$

(1.2)

Sygnatura dodatnia i ujemna

Sygnatura (1,-1,-1,-1) tensora metrycznego Minkowskiego jest w lokalnej płaskości czasoprzestrzeni zakrzywionej, o tej sygnaturze jest tensor metryczny przedstawiony w równaniu (1.3), tą sygnaturę nazywamy dodatnią, a sygnaturę (-1,1,1,1), czyli nazywamy ją ujemną, która występuje w równaniu (1.4).

Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności przedstawiamy w analogii do interwału szczególnej teorii względności, w której zastąpujemy tensory metryczne Minkowskiego innymi tensorami metrycznymi, które w ogólności nie są diagonalne, a kwadrat interwału czasoprzestrzennego przy sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego dodatniej i ujemnej przedstawiają się kolejno:

$ds^{2}=\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\;$

(1.3)

$ds^{2}=-\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\;$

(1.4)

• gdzie: $g_{\mu \nu }\;$, to tensor metryczny.

Udowodnimy, że jeśli w jednym układzie współrzędnym metrykę przedstawiamy wedle sposobu (1.3), to w innym w układzie współrzędnym kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego pozostaje niezmienny, zatem to udowodnijmy, stosując tym razem konwencję Einsteina:

$ds^{2}=\pm g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\pm g_{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }d{x^{'}}^{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }d{x^{'}}^{\beta }=\pm \underbrace {g_{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }} _{{g^{'}}_{\alpha \beta }}d{x^{'}}^{\alpha }d{x^{'}}^{\beta }=\pm {g^{'}}_{\alpha \beta }d{x^{'}}^{\alpha }d{x^{'}}^{\beta }\;$

(1.5)

• Wzgledem sygnatury (drugiej) przedstawionej w (1.4) dowód przedbiega podobnie jak dla pierwszej sygnatury według (1.5).

Na podstawie dowodu (1.5) kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest niezmiennikiem, tzn. jego infinitezymalna wartość nie zależy od wyboru układu współrzędnych, tzn. nie zależy względem jakich współrzędnych liczymy naszą metrykę.

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (1.3) jest większy od zera, gdy mamy do czynienia z cząstką o masie spoczynkowej różnej od zera, natomiast dla fotonów lub dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero, to kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest równy zero.

Przykładem tensora metrycznego jest tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni Einsteina w czterowymiarowej czasoprzestrzeni) znany w płaskiej przestrzeni, w której nie ma pola grawitacyjnego, którego postać można napisać dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia - (1.6), sygnatura ujemna - (1.7)):

$\eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

(1.6)

$\eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

(1.7)

Dla tensora metrycznego (1.6) (sygnatura dodatnia) i (1.7) (sygnatura ujemna) interwał czasoprzestrzenny obliczony według (1.3), tzn. w szczególnej teorii względności, jest napisany:

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\;$

(1.8)

Interwał (1.8) jest podstawą szczególnej teorii względności. Widzimy, że w powyższym interwale współrzędne przestrzenne są na równi sobie, niezależne z jakimi mamy do czynienia współrzędnymi przestrzennymi, współrzędna czasowa w tym interwale jest wyróżniona, czas w metrach (ct) jest iloczynem prędkości światła i czasu w sekundach.

Czterowektor prędkości

Czterowektorem prędkości zdefiniowanej jako pochodną kontrawariantnego czterowektora położenia względem interwału czasoprzestrzennego (1.3) nazywamy wielkość zdefiniowaną:

$u^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {ds}}\;$

(1.9)

Wielkość $s\;$ jest to jest interwał czasoprzestrzenny dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera i dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero.

Czterowektor pędu

Czterowektorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowaną:

$p^{\mu }=m_{0}cu^{\mu }\;$

(1.10)

Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki

Jeśli będziemy korzystali ze wzoru (1.3) (sygnatura dodatnia) i (1.4) (sygnatura ujemna), to je można równoważnie razem zapisać w sposób najpierw dzieląc obustronnie przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera) dla obu sygnatur, tzn.: dla sygnatury dodatniej (znak u góry) i ujemnej (znak u dołu):

$1=\pm g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }\Rightarrow \pm 1=u_{\mu }u^{\mu }\Rightarrow \pm 1={{dx_{\mu }} \over {ds}}{{dx^{\mu }} \over {ds}}\;$

(1.11)

Gdy mamy cząstkę o masie spoczynkową równej zero, wtedy musimy podzielić równanie (1.3) obustronnie przez kwadrat różniczki dowolnego parametru λ, wtedy czterowektor prędkości definiujemy podobnie jak dla cząstki masowej, wtedy otrzymujemy równanie inne niż (1.11):

${{ds^{2}} \over {d\lambda ^{2}}}=\pm g_{\mu \nu }{{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}{{dx^{\nu }} \over {d\lambda }}\Rightarrow \pm {{ds^{2}} \over {d\lambda ^{2}}}={{dx_{\nu }} \over {d\lambda }}{{dx^{\nu }} \over {d\lambda }}\;$

(1.12)

Równanie (1.11) wymnażamy obustronnie przez wyrażenie (m₀c)², korzystając z definicji czterowektora pędu (1.10), dostajemy inne równoważne do (1.11) równanie w postaci dla sygnatury dodatniej (znak u góry) i ujemnej (znak u dołu):

$p_{\mu }p^{\mu }=\pm m_{0}^{2}c^{2}\;$

(1.13)

Jak udowodniliśmy równanie (1.13) jest słuszne tylko dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera, ale równanie (1.13) możemy uogólnić dla cząstek o wszystkich masach spoczynkowych. Równość (1.13) możemy napisać dla układów rozciągłych w postaci:

${\mathfrak {p}}_{\mu }{\mathfrak {p}}^{\mu }=\mp g\gamma ^{2}\left({{dm_{0}} \over {dV_{0}}}\right)^{2}c^{2}\Rightarrow {\mathfrak {p}}_{\mu }{\mathfrak {p}}^{\mu }=\mp g\gamma ^{2}c^{2}\rho _{0}^{2}\;$

(1.14)

Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna

Infinitezymalnym czasem własnym mierzoną przez zegary w ogólnej teorii względności nazywamy wielkość, który dany obserwator doświadczający dwóch zdarzeń bliskich w czasie doświadcza w układzie własnym, że dla niego czas w układzie w którym cząstka spoczywa (układ własny) jest mierzony w zależności od czasu w układzie, w którym cząstka porusza się:

$d\tau ={{1} \over {c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}={{1} \over {c}}{\sqrt {dx_{\mu }dx^{\mu }}}\;$

(1.15)

Infinitezymalną długością własną mierzoną przez pręty między dwoma sąsiednimi punktami nazywamy długość zdefiniowaną:

$dl={\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}={\sqrt {-dx_{\mu }dx^{\mu }}}\;$

(1.16)

Długość własna w układzie własnym spoczywającym jest równa długości pręta w układzie spoczywającym, tzn. w układzie współrzędnym. gdy długość pręta między oba jego końcami mierzymy w tym samym czasie współrzędnościowym, czyli dla spoczywającego pręta względem układu dla pręta poruszającego się. Odpowiednie infinitezymalne czasy własne między dwoma zdarzeniami i infinitezymalne długości własne dwóch sąsiednich zdarzeń istnieją, jeśli pod pierwiastki są wielkości infinitezymalne, ale dodatnie.

Niezmienniczość (1.15) i (1.16), które można je liczyć w dowolnym układzie współrzędnym, można tak samo udowodnić, jak przy dowodzie na niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego (dowód (1.5)).

Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń

Przykład - układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω

Teraz przedstawmy układ rotujący ze stałą prędkością z częstotliwością kołową: $\omega \;$, to jego wartość prędkości w zależności od częstotliwości kołowej i promienia od pewnego punktu względem którego następuje obrót ma się jako według wzoru $v=\omega r\;$, to jego interwał czasoprzestrzenny w zależności od interwału czasoprzestrzennego w układzie inercjalnym przestawiam się:

$d\tau ^{2}=\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt=\left(1-{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}\;$

(1.17)

W układzie nieinercjalnym ciało rotujące jest w spoczynku, jeśli na układ działa siła odśrodkowa, to: $F_{0}=-m\omega ^{2}r\;$, to można powiedzieć, że ta siła równoważy siła grawitacji, według teorii równoważności. To energia kinetyczna ciała obracającego ma się jako: $E_{k}={{m\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}\;$, a energia potencjalna w układzie nieinercjalnym ma się jako:$E_{p}=\varphi m\;$ Można przyjąć, że w takim układzie całkowita energia mechaniczna, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się zero lub z dokładnością do stałej, ale w naszym przypadku lepiej przyjąć za tą stała jest liczbą zero, zatem: $E_{k}+E_{p}=0\;$, to $0={{m\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}+\varphi m\Rightarrow {{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}=-{{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$. A zatem nasz interwał czasoprzestrzenny przedstawia się względem ostatnich rozważań i wzoru na interwał czasoprzestrzenny (1.17) dla obu sygnatur (znak plus u góry to sygnatura dodatnia, w przeciwnym przypadku ujemna):

$d\tau ^{2}=\pm \left(\pm 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}\;$

(1.18)

Dochodzimy więc do wniosku, że wedle wzoru (1.17) i (1.18), że element tensora metrycznego, a mianowicie element o współczynnikach dolnych zerowych przedstawia się:

$g_{00}=\pm 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(1.19)

Widzimy, że ona zależy od potencjału skalarnego pola grawitacyjnego słabego, a więc można powiedzieć, że w układzie nieinercjalnym siły bezwładności zastępują siły grawitacji. Według zasady równoważności nie rozróżnia się sił grawitacji od sił pochodzenia nieinercjalnego (siły bezwładności), a zatem można powiedzieć:

$g_{00}=\pm 1\mp {{2GM} \over {c^{2}r^{2}}}\;$

(1.20)

Jeśli mamy układ zwykły oznaczony współrzędnymi: $(x,y,t)$, to w układzie rotującym układ jest względem współrzędnych: $(x',y',t')\;$, czyli obracającym się ze stałą prędkością kątową ω, to transformacje z układu obracającego się do układu nieobracającego mają się jak:

$x=x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t)\;$

(1.21)

$y=x^{'}\sin(\omega t)+y'\cos(\omega t)\;$

(1.22)

Można policzyć różniczki zupełne wyrażeń (1.21) i (1.22), które są takowymi transformacjami z jednego układu współrzędnych do drugiego:

$dx=dx'(\cos \omega t)-dy'\sin(\omega t)-x'\sin(\omega t)\omega dt-y^{'}\cos(\omega t)\omega dt=dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega ydt\;$

(1.23)

$dy=dx'\sin(\omega t)+dy'\cos(\omega t)+x'\cos(\omega t)\omega dt-y'\sin(\omega t)\omega dt=dx'\sin(\omega t)+dy'\sin(\omega t)+\omega xdt\;$

(1.24)

Obliczenia na liczbach ogólnych (1.23) i (1.24) przedstawiamy w uproszczeniu jako kombinacje różniczek współrzędnych i czasu:

$dx=dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega ydt\;$

(1.25)

$dy=dx'\sin(\omega t)+dy'\cos(\omega t)+\omega xdt\;$

(1.26)

Interwał czasoprzestrzenny w układzie inercjalnym przedstawia wedle sposobu (1.8). Mając transformacje różniczek, tzn. (1.25) i (1.26), wyznaczmy wedle jakiego sposobu przedstawia się on w układzie nieinercjalnym i w ten sposób możemy wyznaczyć elementy tensora metrycznego w nieinercjalnym układzie odniesienia względem układu czysto inercjalnego, który porusza się względem innych układów inercjalnym ze stałą prędkością kątową:

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}=c^{2}dt^{2}-(dx'\cos(\omega t)-dy'\sin(\omega t)-\omega ydt)^{2}-(dx'\sin(\omega t)+dy'\cos(\omega t)+\omega xdt)^{2}=\;$

$=c^{2}dt^{2}-dx^{'2}\cos ^{2}(\omega t)-dy^{'2}\sin ^{2}(\omega t)-\omega ^{2}y^{2}dt^{2}+2dx'dy'\cos(\omega t)\sin(\omega t)+2dx'\cos(\omega t)\omega ydt-2dy'\sin(\omega t)\omega ydt+\;$
$-dx^{'2}\sin ^{2}(\omega t)-dy^{'2}\sin ^{2}(\omega t)-\omega ^{2}x^{2}dt^{2}-2dx'dy'\sin(\omega t)\cos(\omega t)-2dx'\sin(\omega t)\omega xdt-2dy'\cos(\omega t)\omega xdt=\;$
$=\left(1-{{\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})} \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-dx^{'^{2}}-dy^{'2}+2\omega dt\left(dx'\cos(\omega t)y-dy'\sin(\omega t)y-dx'\sin(\omega t)x-dy'\cos(\omega t)x\right)=$

$=\left(1-{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-dx^{2'}-dy^{'2}+2\omega dt\left(dx'(\cos(\omega t)y-\sin(\omega t)x)-dy'(\sin(\omega t)y+\cos(\omega t)x)\right)$

(1.27)

Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które są potrzebne do obliczeń interwału w układzie nieinercjalnych w (1.27) wedle współrzędnych w układzie nieinercjalnym:

$\cos(\omega t)y-\sin(\omega t)x=\cos(\omega t)\left(x'\sin(\omega t)+y'\cos(\omega t)\right)-\sin(\omega t)\left(x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t)\right)=\;$
$=x^{'}\sin(\omega t)\cos(\omega t)+y^{'}\cos ^{2}(\omega t)-x^{'}\cos(\omega t)\sin(\omega t)+y^{'}\sin ^{2}(\omega t)=y'\;$

(1.28)

a także drugie pomocnicze obliczenia:

$\sin(\omega t)y+\cos(\omega t)x=\sin(\omega t)(x'\sin(\omega t)+y'\cos(\omega t))+\cos(\omega t)(x'\cos(\omega t)-y'\sin(\omega t))=\;$
$=x'\sin ^{2}(\omega t)+y'\sin(\omega t)\sin(\omega t)+x'\cos ^{2}(\omega t)-y'\sin(\omega t)\cos \omega t=x'\;$

(1.29)

Dochodzimy, że interwał czasoprzestrzenny na podstawie obliczeń (1.27) i obliczeń pomocniczych (1.28) i (1.29) przedstawia się względem współrzędnych nieinercjalnych:

$ds^{2}=\left(1-{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+2(\omega dx'y'-\omega dy'x')dt-dx^{'2}-dy^{'2}$

(1.30)

W obliczeniach (1.30) grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek względem nieinercjalnego układu współrzędnych, wtedy dostajemy wzór na interwał czasoprzestrzenny w naszym rozważanym układzie współrzędnym:

$ds^{2}=\underbrace {\left(1-{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}\right)} _{\pm g_{00}}c^{2}dt^{2}+\underbrace {{\omega y'} \over {c}} _{\pm g_{01}}dtdx'+\underbrace {{\omega y'} \over {c}} _{\pm g_{10}}dx'dt+dx\underbrace {\left(-{{\omega x'} \over {c}}\right)} _{\pm g_{20}}dy'dt+\underbrace {\left(-{{\omega x'} \over {c}}\right)} _{\pm g_{02}}dtdy'+\underbrace {(-1)} _{\pm g_{11}}dx^{'2}+\underbrace {(-1)} _{\pm g_{22}}dy^{'2}$

(1.31)

Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie współrzędnych możemy napisać na podstawie definicji interwału znanej ze szczególnej teorii względności przy definicji kwadratu infinitezymalnego interwału (1.31) dla sygnatury dodatniej i ujemnej (wiedząc, że elementy w tej sygnaturze względem sygnatury dodatniej mają przeciwne parametry):

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1-{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}&{{\omega y'} \over {c}}&-{{\omega x'} \over {c}}\\{{\omega y'} \over {c}}&-1&0\\-{{\omega x'} \over {c}}&0&-1\end{bmatrix}}$

(1.32)

$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1+{{\omega ^{2}r^{2}} \over {c^{2}}}&-{{\omega y'} \over {c}}&{{\omega x'} \over {c}}\\-{{\omega y'} \over {c}}&1&0\\{{\omega x'} \over {c}}&0&1\end{bmatrix}}$

(1.33)

Warto zauważyć, że elementy pozadiagonalne tensora metrycznego, wskazują na jakiś rodzaj rotacji wedle naszego przedstawienia interwału (1.31) układu nieinercjalnego względem inercjalnego.

Tensor Einsteina

Wyprowadzimy tutaj tensor Einsteina i wyznaczmy pochodną tensorową tego tensora i przekonamy się, że ona wynosi zero. Tożsamość Bianchiego, które podamy tutaj bez dowodu, ale jego dowód znajduje się w punkcie (MMF-2.129):

$R_{\mu \nu \gamma \alpha ;\sigma }+R_{\mu \nu \sigma \gamma ;\alpha }+R_{\mu \nu \alpha \sigma ;\gamma }=0\;$

(1.34)

W obliczeniach na tensorach będziemy korzystać, z własności na tensorze Ricciego: g^μγR_μνγσ=R_νσ, oraz z antysymetryczności przedstawiania wskaźników pierwszej pary lub drugiej. Zastosujmy zwężenie tożsamości Bianchiego wymnażając obustronnie przez podwójnie kontrawariantny tensor metryczny g^μγ tożsamość (1.34):

$g^{\mu \gamma }\left[R_{\mu \nu \gamma \alpha ;\sigma }+R_{\mu \nu \sigma \gamma ;\alpha }+R_{\mu \nu \alpha \sigma ;\gamma }\right]=0\Rightarrow R_{\nu \alpha ;\sigma }-R_{\nu \sigma ;\alpha }+{R^{\gamma }}_{\nu \alpha \sigma ;\gamma }=0\;$

(1.35)

Dokonajmy teraz ponownego zwężania ostatniej równości (1.35), a także korzystając znów w naszej równości tensorowej z własności na tensorach Ricciego:

$g^{\nu \alpha }\left[R_{\nu \alpha ;\sigma }-R_{\nu \sigma ;\alpha }+{R^{\gamma }}_{\nu \alpha \sigma ;\gamma }\right]=0\Rightarrow R_{;\sigma }-{R^{\alpha }}_{\sigma ;\alpha }-{R^{\gamma }}_{\sigma ;\gamma }=0\;$

(1.36)

Po ostatnich przekształceniach, i po przemianowaniu wskaźników w równaniu (1.36) wedle schematu α→γ, wtedy dojdziemy do następnego równania:

$R_{;\sigma }-{R^{\gamma }}_{\sigma ;\gamma }-{R^{\gamma }}_{\sigma ;\gamma }=0\;$

(1.37)

Wykorzystujemy definicję delty Kroneckera oraz wykorzystujemy go do pierwszego wyrazu w równaniu tensorowym (1.37), a także redukujemy wyrazy podobne w tym samym równaniu:

$R_{;\alpha }{\delta ^{\alpha }}_{\sigma }-2{R^{\gamma }}_{\sigma ;\gamma }=0\Rightarrow {R^{\alpha }}_{\sigma ;\alpha }-{{1} \over {2}}{\delta ^{\alpha }}_{\sigma }R_{;\alpha }=0\;$

(1.38)

Idąc dalej by mieć górne wskaźnik przy tensorach w równaniu tensorowym (1.38) należy to równanie tensorowe wymnożyć przez tensor g^σβ, wtedy dostaniemy co chcieliśmy.

$g^{\sigma \beta }\left({R^{\alpha }}_{\sigma ;\alpha }-{{1} \over {2}}{\delta ^{\alpha }}_{\sigma }R_{;\alpha }\right)=0\Rightarrow {R^{\alpha \beta }}_{;\alpha }-{{1} \over {2}}g^{\alpha \beta }R_{;\alpha }=0\;$

(1.39)

Wyłączając pochodną tensorową przed nawias i wykorzystując przy tym, że pochodna tensorowa elementów tensora metrycznego jest równa zero, wtedy (1.39) przechodzi w równanie:

$\left(R^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g^{\alpha \beta }R\right)_{;\alpha }=0\;$

(1.40)

Tensor występujący pod pochodną tensorową (1.40) nazywamy tensorem Einsteina i jest funkcją dwuwskaźnikowego tensora krzywizny R^αβ, skalaru krzywizny R, a także jest funkcją tensora metrycznego, który panuje w danej geometrii w przestrzeni czterowymiarowej.

$G^{\alpha \beta }=R^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g^{\alpha \beta }R\;$

(1.41)

Tensor Einsteina (1.41) na podstawie tożsamości (1.40) ma taką własność, że jego pochodna tensorowa względem wskaźnika α występujący w jego definicji (1.41) jest równa zero.

${G^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0\;$

(1.42)

Tensor Einsteina (1.41) można zapisać w postaci bezwskaźnikowej, tzn. bez powiedzenia z jakiego typu tensorem mamy do czynienia w przypadku tensora Einsteina G^αβ, który można zdefiniować nie tylko w postaci jakby miał tylko górne wskaźniki, ale wszystkie te zapisy tensorowo są równoważne w zapisie wspomnianego tensora.

$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{{1} \over {2}}\mathbf {g} R\;$

(1.43)

Wyprowadzona własność tensora Einsteina jest bardzo potrzebna w ogólnej teorii względności i jest wykorzystana w równaniach tensorowych Einsteina opisująca grawitację.

Rozszerzony tensor Einsteina

Rozszerzony tensor Einsteina zdefiniujmy w oparciu o tensor Einsteina (1.41) o stałą kosmologiczną Λ:

$O^{\alpha \beta }=G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }\;$

(1.44)

Wyznaczmy pochodną tensorową rozszerzonego tensora Einsteina (1.44) względem współrzędnej kontrawariantnej o numerze β, zatem na podstawie (1.42) i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero:

${O^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=\left(G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }\right)_{;\alpha }={G^{\alpha \beta }}_{;\alpha }+\Lambda {g^{\alpha \beta }}_{;\alpha }=0+\Lambda \cdot 0=0\;$

(1.45)

Doszliśmy więc do wniosku, że rozszerzony tensor Einsteina ma te same własności, co zwykły tensor Einsteina.

Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)

Przestrzeń jest lokalnie płaska w czasoprzestrzeni Einsteina, że w danym otoczeniu punktu mamy doczynienia z czasoprzestrzenią Minkowskiego, bo przestrzeń, która jest rozwiązaniem ogólnej teorii względności nie może być globalnie płaska, ale może być spełniona tylko w przybliżeniu w otoczeniu pewnego punktu w którym na płaskość obowiązuje, w której mamy tensor metryczny w przybliżeniu Minkowskiego (1.6), gdy pochodne zupełne tego tensora metrycznego są równe zero, tzn.:

${{\partial {g^{'}}_{\alpha \beta }} \over {\partial x^{\gamma }}}=0\;$

(1.46)

• gdzie:${g^{'}}_{\alpha \beta }\;$ jest to tensor metryczny Minkowskiego $\eta _{\alpha \beta }\;$ z małą poprawką do niego by z bardzo dużą dokładnością był spełniony powyższy warunek.

Zakładamy, że istnieje przekształcenia między aktualną przestrzenią, a układem lokalnie płaskim, które jest prawdziwy dla punktu, w którym ta lokalna płaskość jest spełniona według:

$g_{\alpha \beta }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }{g^{'}}_{\mu \nu }\;$

(1.47)

• gdzie:${g^{'}}_{\mu \nu }\simeq \eta _{\mu \nu }\;$- jest to tensor metryczny Minkowskiego.

A także również zachodzi dla ściśle określonego punktu w przestrzeni lokalnie płaskiej równanie (1.46), i ze względu na symetryczność ogólnej definicji tensora metrycznego ma on w rezultacie 1+2+3+4=10 niezależnych składowych, a ilość składowych tensora ${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }\;$ jest 4· 4=16 elementów, zatem ilość niezależnych stopni swobody w równaniu (1.47) jest równa 16-10=6. Te sześć stopni swobody odpowiada sześciu stopniom swobody przekształcenia Lorentza, tzn. nasz układ można przesunąć z prędkością ${\vec {v}}\;$ względem trzech jego niezależnych współrzędnych lub obrócić badany układ o trzy niezależne kąty. W sumie mamy sześć stopni swobody ${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }\;$, które powodują, że lokalny układ inercjalny pozostanie układem inercjalnym. Według równania (1.46) ilość niezależnych równań jest 10·4=40 (jest 10-to ilość niezależnych składowych tensora metrycznego, który jest jak wiadomo symetryczny i cztery niezależne składowe tensora kontrawariantnego położenia), daje nam też 40 stopni swobody. Ponieważ w tym punkcie lub jego otoczeniu istnieje tensor metryczny Minkowskiego, to małe poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy tak wybrać, by były spełnione równania (1.46), co w połączeniu z (1.47) daje nam pewne ${{\partial {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }} \over {\partial x^{\gamma }}}\;$, które możemy tak obrać by były spełnione omawiane warunki lokalnej płaskości. Jeśli mamy dany punkt układu lokalnie płaskiego wedle (1.46) i (1.47), to tensor Christoffela dla tego punktu jest równy zero i według twierdzenia Taylora istnieje w otoczeniu tego punktu w przybliżeniu canaj wyżej do wyrazów liniowych tensora krzywizny (należy pamiętać, że pochodna cząstkowa tensora krzywizny dla układu lokalnie płaskiego jest równa zero), w którym są spełnione te zależności, też istnieje w przybliżeniu lokalna płaskość dla punktów tego otoczenia. Zatem na podstawie powyższych rozważań zawsze istnieje układ lokalnie płaski, w których dla tych punktów spełnione są (1.46) i (1.47).

Definicja tensora gęstości energii-pędu

W szczególnej teorii względności tensor gęstości energii-pędu przedstawia się według (STW-33.20) wzorem:

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }-p\eta ^{\mu \nu }\;$

(1.48)

• gdzie $\eta ^{\mu \nu }\;$ jest to tam tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego o sygnaturze dodatniej,
• gdy mamy synaturę przeciwną, tzn.: sygnaturę ujemną, to tensor gęstości energii-pędu ma się jako:

$T^{\mu \nu }=(\rho c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }+p\eta ^{\mu \nu }\;$

(1.49)

My zawsze będziemy przyjmować jak w szczególnej teorii względności tą sygnaturę pierwszą. Wielkość: $u^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {ds}}\;$ jest to pochodna dla μ=0 współrzędnej czasowej zdefiniowanej x⁰=ct względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanej przez: $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\;$, gdy mamy:$0\neq \mu =i\;$, to jest ona pochodna współrzędnej położenia cząstki względem tak samo zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego.

Należy pamiętać, że ρ₀ - to gęstość spoczynkowa, p - to ciśnienie cząstki płynu, w danym punkcie. A także zależy od jej prędkości światła (fal elektromagnetycznych).

Miano tensora gęstości energii-pędu ma się jak:

$[T^{\mu \nu }]={{J} \over {m^{3}}}={{Nm} \over {m^{3}}}={{N} \over {m^{2}}}=Pa\;$

(1.50)

W ogólnej teorii względności, zastępując wedle schematu $\eta ^{\mu \nu }\rightarrow g^{\mu \nu }$, oraz metrykę Minkowskiego przez inną metrykę zdefiniowaną zdefiniowaną poprzez tensor $g^{\mu \nu }$, czyli wtedy mamy (1.3) dla sygnatury dodatniej, a dla ujemnej (1.4), które na ogół nie są tensorami metrycznymi Minkowskiego w OTW, ale może być, przy pierwszej sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego mamy dla tensora energii-pędu w ogólnej teorii względności:

$T^{\mu \nu }=(\rho c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }-pg^{\mu \nu }\Rightarrow {T^{\mu }}_{\nu }=(\rho c^{2}+p)u^{\mu }u_{\nu }-p{\delta ^{\mu }}_{\nu }\;$

(1.51)

Dla drugiej o sygnaturze otrzymujemy względem przedstawienia tensora gęstości energii-pędu (1.51), w takim razie:

$T^{\mu \nu }=(\rho c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }\Rightarrow {T^{\mu }}_{\nu }=(\rho c^{2}+p)u^{\mu }u_{\nu }+p{\delta ^{\mu }}_{\nu }\;$

(1.52)

Z powyższych definicji wynika, że dla tensora metrycznego jako tensora symetrycznego, wynika symetryczność tensora gęstości energii-pędu przy dowolnym tensorze metrycznym. Na podstawie symetryczności tensora metrycznego wynika, że ten tensor jest macierzą iloczynu skalarnego w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Można też sformułować tensor gęstości energii-pędu (1.48) i (1.49) zastępując $u^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {ds}}\;$ przez $U^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$, gdzie $\lambda \;$ jest dowolną funkcją $\lambda =\lambda (x^{\mu },g^{\mu \nu },s)\;$, gdzie $x^{\mu }\;$ są to współrzędne kontrawariantne w czasoprzestrzeni, a $g^{\mu \nu }\;$ to tensor metryczny podwójnie kontrawariantny, dalej $s\;$ to interwał czasoprzestrzenny. Zatem nasze równania dla sygnatury kolejno dodatniej i ujemnej, spełnione ogólnie:

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U^{\nu }-pg^{\mu \nu }\;$

(1.53)

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U^{\nu }+pg^{\mu \nu }\;$

(1.54)

Równości (1.53) i (1.54) można też zapisać przy innych układach wskaźników, wtedy zamiast tensora metrycznego jest delta Kroneckera ze wskaźnikiem u góry i u dołu, a jeden tensor prędkości (względem $\lambda \;$) jest u dołu, zatem:

${T^{\mu }}_{\nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U_{\nu }-p{\delta ^{\mu }}_{\nu }\;$

(1.55)

${T^{\mu }}_{\nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U_{\nu }+p{\delta ^{\mu }}_{\nu }\;$

(1.56)

A dla przestrzeni lokalnie płaskiej nasze równania (1.53) i (1.54) wyglądają, te równania są pisane dla szczególnej teorii względności, w którym one są spełnione, a w ogólnej teorii względności są spełnione tylko szczególnie, dla tych sygnatur kolejno, tak:

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U^{\nu }-p\eta ^{\mu \nu }\;$

(1.57)

$T^{\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)U^{\mu }U^{\nu }+p\eta ^{\mu \nu }\;$

(1.58)

Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność

Z wykładu o szczególnej teorii względności mamy, że zachodzi lokalna zasada zachowania energii-pędu (STW-33.28) z gęstością siły zewnętrznej równą zero:

${T^{\mu \nu }}_{,\mu }=0\;$

(1.59)

Powyższy wzór jest spełniony dla punktów układu lokalnie płaskiego, w których zachodzą tożsamości (1.46) i (1.47), czyli tensor metryczny jest w przybliżeniu tensorem Minkowskiego i jego pierwsze pochodne względem współrzędnych kontrawariantnych są równe zero, ale już o wyższych pochodnych tensora gęstości energii, lokalna definicja lokalnej płaskości nić nie mówi o tych pochodnych, zatem również mamy do czynienia z metryką prawie płaską, gdy mamy do czynienia z układami, w których punktach istnieje słabe pole grawitacyjne, jak np. dla metryki obowiązujących dla pól Newtonowskich. Uogólnijmy ten wzór na dowolną metrykę, ogólnie nie tylko na lokalną płaską metrykę Minkowskiego, ale za tą metrykę obowiązującą wedle ogólnej teorii względności, którą poznamy i z którego będziemy wyznaczać elementy tensora metrycznego i przy pomocy, której będziemy tworzyć definicję kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego wtedy wzór na zachowawczość tensora gęstości energii i pędu jest:

${T^{\mu \nu }}_{;\mu }=0\;$

(1.60)

Powyższe równanie określa zasadę zachowania energii-pędu dla dowolnej przestrzeni zakrzywionej. Gdy siły zewnętrze są nierówne zero, to wtedy z definicji $\gamma$, tzn.: (1.130) mamy w szczególnej teorii względności:

${{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{,\mu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.61)

Widzimy, że wzór (1.61) przechodzi (1.59), gdy gęstość tensora siły zewnętrzne jest równa zero. W przestrzeni zakrzywionej równość (1.61) przechodzi w:

${{\gamma } \over {c}}{\sqrt {-g}}{T^{\mu \nu }}_{;\mu }={{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.62)

Widzimy, że wzór (1.62) przechodzi (1.60), gdy gęstość tensora siły zewnętrzne jest równa zero.

Równania pola Einsteina

Tutaj przedstawmy równania Einsteina bez stałej kosmologicznej, które można zapisać dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego, słuszne dla obu sygnatur, kolejno w postaci:

$G^{\alpha \beta }=\kappa T^{\alpha \beta }\;$

(1.63)

$G^{\alpha \beta }=-\kappa T^{\alpha \beta }\;$

(1.64)

Gdy uwzględnimy inne pola, niż grawitacyjne, a także inne siły, to należy zastąpić w (1.63) i (1.64) według schematu:

$T^{\mu \nu }\rightarrow T^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\;$

(1.65)

W równaniu (1.65) mamy tensor $T^{\mu \nu }\;$, którym jest (1.51) (sygnatura dodatnia) lub (1.52) (sygnatura ujemna), albo gdy zamiast $s\;$ jest $\lambda \;$, to wtedy jest on: (1.55) (sygnatura dodatnia) lub (1.56) (sygnatura ujemna). Również mamy tensor $T_{z}^{\mu \nu }\;$, który jest tensorem np. od pola elektromagnetycznego, czy też od innego, a także w nim muszą być uwzględnione wszystkie siły zewnętrzne. Dla równania (1.63) dla przyciągania grawitacyjnego (równania dla odpychania grawitacyjnego w każdym etapie tu przeprowadzonym otrzymujemy z równania dla jej wersji przyciągającej poprzez podstawienie: $\kappa \rightarrow -\kappa \;$) zastosujemy definicję tensora Einsteina, to równanie grawitacji na podstawie (1.41) zapisujemy w postaci pełnej:

$R^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g^{\alpha \beta }R=\kappa T^{\alpha \beta }\;$

(1.66)

Widzimy, że tensor Einsteina (lewa strona równania Einsteina (1.66)) jest zależna od dwuwskaźnikowego tensora krzywizny oraz od skalaru krzywizny. W powyższym wzorze tensor Einsteina jest w proporcjonalny do tensora gęstości energii. Przekształcając równanie Einsteina (1.66) tak by otrzymać jego odwrotną postać, gdy tensor czegoś w rodzaju równania Einsteina omawianego wcześniej, czyli:

$T^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g^{\alpha \beta }T$

Z równań Einsteina można udowodnić, że przechodzi on do postaci, które poniżej podamy ale bardzo podobnych do oryginalnych równań Einsteina (1.66), gdy wszystkie tensory w równaniu Einsteina przedstawimy jako kowariantno-kontrawariantnego tensora i dokonując sumować po tych samych wskaźnikach górno-dolnych i po tych czynnościach dostajemy skalary odpowiednich wielkości, tzn. skalaru krzywizny i skalaru tensora gęstości napięć-energii, dzięki których możemy dokonać dalszych operacji:

$R-{{1} \over {2}}4R=\kappa T\Rightarrow -R=\kappa T\;$

(1.67)

Dokonując pewnych przekształceń pewnych wyrażeń w (1.67), wtedy wiemy po tych dysputach, że skalar krzywizny ma się jako:

$R=-\kappa T\;$

(1.68)

Widzimy względem ostatniego wzoru, że skalar krzywizny jest proporcjonalny do skalaru tensora gęstości napięć-energii. Wzór (1.68) na skalar krzywizny podstawiamy do równania Einsteina (1.63) za skalar krzywizny (za R), wtedy mamy:

${R^{\mu }}_{\nu }+{{1} \over {2}}{\delta ^{\mu }}_{\nu }\kappa T=\kappa {T^{\mu }}_{\nu }\;$

(1.69)

Następnie możemy przenieść pewne wyrazy nie będące tensorem krzywizny na prawą stronę, a więc równanie tensorowe Einsteina przestawia się:

${R^{\mu }}_{\nu }=\kappa ({T^{\mu }}_{\nu }-{{1} \over {2}}{\delta ^{\mu }}_{\nu }T)\;$

(1.70)

Równanie pola (1.71) względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu (1.63), a równanie tensorowe dla odpychania grawitacyjnego (1.72) otrzymujemy z jej wersji, ale przyciągającej, zastępując w (1.71) przez proste wspomniane zastąpienie, wtedy otrzymujemy drugi wzór niżej, a ten wzór jest równoważny równaniu (1.64), w takim razie:

$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-{{1} \over {2}}g_{\mu \nu }T)\;$

(1.71)

$R_{\mu \nu }=-\kappa (T_{\mu \nu }-{{1} \over {2}}g_{\mu \nu }T)\;$

(1.72)

Równanie Einsteina wyjściowe, tzn.: (1.71), jest słuszne dla obu sygnatur, podobnie jest z równaniem (1.72), które wyprowadziliśmy z ich wersji, ale wejściowych.

Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej

Przedstawmy równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej, czyli musimy uwzględnić rozszerzony tensor Einsteina w postaci (1.44), a więc równanie Einsteina (1.63) (1.64) z jego uwzględnieniem o dodatkowy wyraz są dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego przedstawione kolejno:

$O^{\alpha \beta }=\kappa T^{\mu \nu }\;\;$

(1.73)

$O^{\alpha \beta }=-\kappa T^{\mu \nu }\;\;$

(1.74)

Podstawiając za O^αβ definicję tego tensora wedle (1.44), czyli z uwzględnieniem stałej kosmologicznej Λ, wtedy dostajemy równanie grawitacji Einsteina dla obu rodzajów oddziaływania grawitacyjnego kolejno:

$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }=\kappa T^{\alpha \beta }\;$

(1.75)

$G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }=-\kappa T^{\alpha \beta }\;$

(1.76)

Równanie (1.75) dla oddziaływania grawitacyjnego przyciągającego (dla odpychania grawitacyjnego w każdym etapie tu przeprowadzonym otrzymujemy z równania z jej wersji, ale dla oddziaływania przyciągającego, poprzez podstawienie: $\kappa \rightarrow -\kappa \;$) można zapisać w postaci bezwskaźnikowej bez uwzględnienia z jakimi tensorami mamy do czynienia:

$\mathbf {G} +\mathbf {g} \Lambda =\kappa \mathbf {T} \;\;$

(1.77)

• gdzie $\mathbf {G} \;$ jest tensorem Einsteina i ona jest zdefiniowane wedle (1.41).

Policzmy ślady w równaniu tensora Einsteina (1.77) względem niemych tych samych wskaźników górno-dolnych do wyznaczenia ich jako skalarów tychże wielkości, czyli tensor Einsteina przedstawimy w postaci kowariantno-kontrawariantnego tensora (1.75):

$G=R-{{1} \over {2}}4R\Rightarrow G=-R\;$

(1.78)

Widzimy, że skalar tensora Einsteina jest równa skalarowi krzywizny z dokładnością do minusa.

Uwzględniając definicję rozszerzonego tensora Einsteina w równaniu Einsteina (1.75), gdy w ogólności stała kosmologiczna jest nie równa zero, zatem licząc ich ślady, wtedy mamy:

$G+4\Lambda =\kappa T\;$

(1.79)

Biorąc policzoną wartość skalaru G (1.78) podstawiamy do równania skalarnego (1.79), wtedy dostajemy równość:

$-R+4\Lambda =\kappa T\Rightarrow R=4\Lambda -\kappa T\;$

(1.80)

Widzimy, że skalar krzywizny zależy od stałej kosmologicznej i skalaru tensora gęstości energii, stąd mamy czemu jest równy skalar Ricciego, poniżej mamy równania Einsteina w jego pełnej postaci z uwzględnieniem stałej kosmologicznej zapisując je w postaci bezwskaźnikowej:

$\mathbf {R} -{{1} \over {2}}\mathbf {g} R+\Lambda \mathbf {g} =\kappa \mathbf {T} \;$

(1.81)

Wszystkie wyrazy po lewej stronie przenosimy na prawą stronę równania (1.81) oprócz tensora krzywizny, wtedy dostajemy po przekształceniu:

$\mathbf {R} =\kappa \mathbf {T} +{{1} \over {2}}\mathbf {g} R-\Lambda \mathbf {g} \;$

(1.82)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za skalar krzywizny Ricciego, w równaniu tensorowym (1.82) wyrażenia policzonego w punkcie (1.80), wtedy po dokonanych operacjach tuż po, dostajemy:

$\mathbf {R} =\kappa \mathbf {T} +{{1} \over {2}}\mathbf {g} (4\Lambda -\kappa T)-\Lambda \mathbf {g} \;$

(1.83)

Po krótkich przekształceniach i redukcji pewnych wyrazów w (1.83), otrzymujemy że tensor dwuwskaźnikowy krzywizny jest równy pewnemu wyrażeniu, bardzo podobnego do pierwotnego równania Einsteina (1.81) z uwzględnieniem stałej kosmologicznej.

$\mathbf {R} =\kappa (\mathbf {T} -{{1} \over {2}}\mathbf {g} T)+\Lambda \mathbf {g} \;$

(1.84)

Równanie pola (1.85) względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu (1.75), a równanie tensorowe dla odpychania grawitacyjnego (1.86) otrzymujemy z jej wersji, ale dla oddziaływania przyciągającego, zastępując w (1.85) przez proste wspomniane zastąpienie, wtedy otrzymujemy drugi wzór niżej, a ten wzór jest równoważny równaniu (1.76), w takim razie:

$R_{\alpha \beta }=\kappa (T_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }T)+g_{\alpha \beta }\Lambda \;$

(1.85)

$R_{\alpha \beta }=-\kappa (T_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}g_{\alpha \beta }T)+g_{\alpha \beta }\Lambda \;$

(1.86)

Równanie Einsteina wyjściowe, tzn.: (1.85), jest słuszne dla obu sygnatur, podobnie jest z równaniem (1.86), które wyprowadziliśmy z ich wersji, ale wejściowych.

Zachowawczość energii, a równania grawitacji Einsteina

Korzystając z równań grawitacji Einsteina (1.73), to równania są tak sformułowane, by była spełniona zasada energii, tzn. jeśli lewa strona tegoż równania, którego pochodna tensorowa jest równe zero według (1.45), to musi być spełniona zasada zachowania energii i pędu, tzn. dokonując różniczkowania tensorowego obu stron naszego równania, otrzymujemy:

${O^{\alpha \beta }}_{;\beta }=\kappa {T^{\alpha \beta }}_{;\beta }\Rightarrow {T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0\;$

(1.87)

Z obliczeń (1.87) wynika równanie (1.60), czyli z ogólnej teorii względności wynika zasada zachowania energii i pędu.

Równania ruchu, a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności

Mając już policzona metrykę czasoprzestrzeni poprzez równania Einsteina (1.63) lub mając niezerową stałą kosmologiczną, to wtedy liczymy z równania (1.73), zatem na podstawie tegoż równania liczymy już wspomnianą metrykę poprzez policzone już elementy tensora metrycznego. Na podstawie tego liczymy elementy tensora Christoffela i w ten sposób wyznaczamy następne położenie cząstki masowej w ogólnej teorii względności. Już mając następne położenie wyznaczamy znów metrykę przy nowym położeniu cząstek masowych i te kroki powtarzamy w nieskończoność do chwili, do której interesuje nas badanie układu relatywistycznego.

W przestrzeni euklidesowej linia prosta jest to krzywa, której przenosi swój własny wektor prędkości w sposób równoległy do tej krzywej w danym jej punkcie, w przestrzeni nieuklidesowej mamy jakąś krzywą, która jest prostą w tym naszym układzie, i aby nasz wektor był przenoszony równolegle to musi być styczna do tej prostej, czyli wielkość zdefiniowana $U^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$ musi spełniać warunek:

${U^{\mu }}_{;{\beta }}=0\;\;$

(1.88)

aby cały czas wektor U^μ był styczny do naszej prostej w tej naszej przestrzeni absolutnej. Oczywiste jest, że wektor U^μ, aby był czterowektorem prędkości (1.8), tzn. U^μ=u^μ, to musi zachodzić λ=s, czyli nasz parametr byłby wtedy interwałem czasoprzestrzennym. Ale dla ogólności rozważań lepiej przyjąć dowolny parametr λ, bo zmiana interwału czasoprzestrzennego dla bezmasowych cząstek (m₀) jest równy zero wedle (1.3), wtedy czterowektor prędkości jest nieokreślony. Jeśli λ=s, ale lepiej jest, gdy to jest dowolny parametr, ze względu na fotony pędzące z prędkościa światła $c\;$, wtedy $ds=0\;$, ale nie ogólnie $d\lambda =0\;$, to równanie (1.88) jest spełnione, gdy w układzie badanym nie występują siły niegrawitacyjne, występuje tylko grawitacja z zaniedbywalnym ciśnieniem, którego od niej gęstość siły jest bardzo mała, lub według zasady niezależności działania tensorów sił, jeśli rozpratrujemy tylko ruch pochodzący od grawitacji, wtedy równanie (1.88) jest dokładnie spełnione. Normalnie dla całkowitego tensora sił dla ciała punktowego z uwzględniem innych tensorów sił równanie (1.88) przy tej definicji λ uogólniamy do:

$m_{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }=K^{\mu }\;$

(1.89)

Gdy $K_{c}^{\mu }=0\;$, to równość (1.89) przechodzi w (1.88). W czasoprzestrzeni lokalnie płaskiej wzór (1.89), wtedy możemy zamienić przecinek średnikiem, bo symbole Christoffela są tam równe zero, przechodzi w:

$m_{0}c{U^{\mu }}_{,\nu }U^{\nu }=K_{c}^{\mu }=K^{\mu }\Rightarrow m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=K_{c}^{\mu }\Rightarrow {{dP^{\mu }} \over {d\lambda }}=K_{c}^{\mu }\wedge P^{\mu }=m_{0}cU^{\mu }\;$

(1.90)

Równanie (1.90) jest to tensorowe równanie dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności, napisane w (STW-20.33), przy $\lambda =s\;$, wtedy $U^{\mu }=u^{\mu }\;$, czyli jest spełniona na pewno silna zasada równoważności. Równanie (1.89) dla układów rozciągłych wygląda następująco:

$dm_{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }=dK^{\mu }\Rightarrow \rho _{0}c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{U^{\mu }}_{;\nu }U^{\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.91)

• Twierdzenia dla układów rozciągłych przedstawiamy zastępując w twierdzeniach dla układów dyskretnych w obliczeniach według $m_{0}\rightarrow dm_{0}\;$ i $K^{\mu }\rightarrow dK^{\mu }\;$, jak np. przechodząc od (1.89) do (1.91), i wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym, wtedy: ${\sqrt {-g}}d^{4}x=d^{4}x^{'}\Rightarrow {\sqrt {-g}}dVdct=dV_{p}dct\Rightarrow {\sqrt {-g}}dV=dV_{p}\;$^{[Patrz: 1.1]} i $dV_{p}=\gamma ^{-1}dV_{0}\;$^{[Patrz: 1.2]}, gdzie $dV\;$, $dV_{p}\;$ i $dV_{0}\;$ są to kolejno infinitezymalne objętości w układach: zakrzywionym, płaskim inercjalnym i spoczynkowym inercjalnym, a $g\;$ jest to wyznacznik tensora metrycznego prostego, a $\gamma \;$ jest zdefiniowane w punkcie (STW-8.9) (tam wybieramy ze znakiem plus). Gdzie tam pierwsza zależność wynika z (3.8), a druga z (STW-18.7).

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia

Będziemy badać wzory na linie geodezyjne, gdy siły niegrawitacyjne występują lub one nie występują, a poza tym siły grawitacyjne w nich zawsze występują.

Gdy występują tylko siły grawitacyjne

Z definicji pochodnej kontrawariantnej i własności styczności wektora do prostej (1.88), a także z definicji pochodnej tensorowej można zapisać równanie geodezyjne w postaci pierwotnej:

$0={U^{\mu }}_{;{\beta }}={U^{\mu }}_{;{\beta }}={U^{\mu }}_{,{\beta }}+U^{\alpha }{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}\;\;$

(1.92)

Pomnóżmy obustronnie równość tensorową (1.92) przez kontrawariantny tensor czterowektora prędkości U^β, wtedy otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego równanie:

$0=U^{\beta }{U^{\mu }}_{,{\beta }}+U^{\alpha }U^{\beta }{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}\;\;$

(1.93)

Z definicji czterowektora prędkości i twierdzenie o pochodnej złożonej wyznaczmy wyrażenie występujące jako pierwszy składnik we wzorze (1.93), zatem możemy napisać:

$U^{\beta }{U^{\mu }}_{,{\beta }}={{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}{{\partial } \over {\partial x^{\beta }}}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)={{d} \over {d\lambda }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}\;\;$

(1.94)

Na podstawie obliczeń (1.94) na liczbach ogólnych, które to wniosek podstawiamy do równania tensorowego (1.92) za pierwszy składnik, zatem udowodniliśmy że zachodzi:

$0={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}U^{\alpha }U^{\beta }\;\;$

(1.95)

Podstawiając, za współrzędne czterowektora wektora prędkości U^β jego definicję, jako pochodna czteropołożenia względem interwału czasoprzestrzennego, dostajemy równoważne równanie tensorowe do (1.95):

$0={{d} \over {d\lambda }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\lambda }}\right)+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}{{dx^{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}\;\;$

(1.96)

Wyrażenie (1.95) możemy zapisać w postaci bezwskaźnikowej, bez uwzględnienia z jakimi rodzaju tensorami mamy do czynienia:

$0={{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \;\;$

(1.97)

Otrzymaliśmy równanie, dzięki któremu czterowektor U^β jest przenoszony równolegle, stycznie wzdłuż naszej prostej i jest to równanie ruchu cząstki masowej lub bezmasowej w ogólnej teorii względności, jeśli $K^{\mu }=0\;$ w (1.100) dla układów dyskretnych i ${{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$ w (1.104) dla układów rozciągłych.

Jeśli w prowadzimy definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez inny parametr ξ w sposób: s=aξ+b, to można udowodnić w sposób łatwy, korzystając z poprzedniego równania, że line geodezyjne wedle (1.95) przy zerowych siłach niegrawitacyjnych zapisujemy jako:

$0={{d} \over {d\xi }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\xi }}\right)+{\Gamma ^{\mu }}_{{\alpha }{\beta }}{{dx^{\alpha }} \over {d\xi }}{{dx^{\beta }} \over {d\xi }}\;\;$

(1.98)

W przestrzeni euklidesowej płaskiej, gdy mamy zerowe siły niegrawitacyjne, mamy na pewno, że poszczególne elementy tensora metrycznego spełniają związek: Γ^μ_αβ=0, stąd dostajemy:

${{d} \over {d\xi }}\left({{dx^{\mu }} \over {d\xi }}\right)=0\Rightarrow x^{\mu }=a^{\mu }\xi +b^{\mu }\;\;$

(1.99)

Po rozwiązaniu równania (1.95) dowiadujemy się, że rozwiązaniem jego jest równaniem prostej w naszej przestrzeni przy naszej definicji tensora Christoffela.

Gdy również występują siły niegrawitacyjne

Będziemy rozważać tu układy dyskretne i rozciągłe.

Układy dyskretne

A gdy występują inne tensory sił, to wtedy równanie (1.97) podobnie przekształcamy jak (1.97) z (1.88), wtedy:

$m_{0}c\left({{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \right)=\mathbf {K} \Rightarrow m_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-m_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +\mathbf {K} \Rightarrow m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+K^{\mu }\;$

(1.100)

Gdy tensor sił niegrawitacyjnych jest równy zero, wtedy równość (1.100) przechodzi w równanie geodezyjne (1.96), gdy na układ nie działają żadne siły niegrawitacyjne. Druga zasada dynamiki Einsteina według równości końcowej (1.100) i wzór na tensor siły pochodzący od grawitacji, piszemy wzorami:

$\mathbf {K} _{c}=m_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}={{d\mathbf {P} } \over {d\lambda }}\Rightarrow K_{c}^{\mu }=m_{0}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}={{dP^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(1.101)

$\mathbf {K} _{g}=-m_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \Rightarrow K_{g}^{\mu }=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.102)

A tensor siły w (1.100), czyli $\mathbf {K} \;$, jest tensorem siły od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Kilka żródeł grawitacyjnych

Załóżmy, że mamy kilka mas, każda ona zakrzywia czasoprzestrzeń, weźmy zasadę niezależności działania tensorów sił szczególnej teorii względności spełniona też w ogólnej teorii względności, wtedy korzystając z równości na tensor siły grawitacyjnej mamy na podstawie (1.102):

$K_{g}^{\mu }=\sum _{i}K_{gi}^{\mu }=-\sum _{i}m_{0}c{\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{i}^{\alpha }U_{i}^{\beta }=-m_{0}c\sum _{i}{\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{i}^{\alpha }U_{i}^{\beta }=-m_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.103)

Widzimy, że w (1.103) poszczególne masy dostarczają swoje własne symbole Christoffela ${\Gamma _{i}^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$ do poruszającej się masy względem niego, a wszystkie pola grawitacyjne od tych mas tworzą razem inne symbole ${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$, które opisuje całkowite zakrzywienie czasoprzestrzeni od tych mas.

Układy rozciągłe

Równanie geodezyjne (1.100) dla układów rozciągłych zastępując w (1.102) wielkości: $m_{0}\;$ i $K^{\mu }\;$, kolejno przez: $dm_{0}\;$ i $dK^{\mu }\;$, napiszmy, wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym:

$dm_{0}c\left({{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}+\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} \right)=d\mathbf {K} \Rightarrow dm_{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-dm_{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +d\mathbf {K} \Rightarrow \rho _{0}c{{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-\rho _{0}c\mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +{{d\mathbf {K} } \over {dV_{0}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{d\mathbf {U} } \over {d\lambda }}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma \mathbf {U} ^{T}\mathbf {\Gamma } \mathbf {U} +{{d\mathbf {K} } \over {dV}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+{{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.104)

Gęstość tensora siły całkowitej stanowiącej drugą zasadę dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych, też i gęstość tensora siły od sił grawitacyjnych, napiszmy kolejno na podstawie (1.104):

${{dK_{c}^{\mu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}={{dm_{0}} \over {dV}}c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(1.105)

${{dK_{g}^{\mu }} \over {dV}}=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }=-{{dm_{0}} \over {dV}}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.106)

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia

Będziemy badać wzory na linie geodezyjne, gdy siły niegrawitacyjne występują lub one nie występują, a poza tym siły grawitacyjne w nich zawsze występują.

Gdy występują tylko siły grawitacyjne

Przedstawimy teraz inne podejście do ruchu cząstki materialnej czyli piszemy linie geodezyjne w sposób kowariantny, czyli proste w przestrzeni czterowymiarowej spełniający warunek, który jest pochodną kowariantną U^μ_;β=0, ale z definicji pochodnej kowariantnej możemy napisać:

$0=U_{{\mu };\beta }=U_{{\mu },{\beta }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }\beta }U_{\alpha }\;$

(1.107)

Pomnóżmy teraz obie strony równania tensorowego (1.107) przez elementy czterowektora prędkości U^β, otrzymując wynikowe równanie:

$0=U^{\beta }U_{{\mu },{\beta }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.108)

Rozwińmy wyrażenie występujące w równaniu tensorowym (1.108) występujący jako odjemna wykorzystując definicję pochodnej zupełnej, i przestawmy ją jako pochodna kowariantnego tensora czteroprędkości względem parametru λ.

$U^{\beta }U_{{\mu },{\beta }}={{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}{{\partial U_{\mu }} \over {\partial x^{\beta }}}={{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

wykorzystując udowodnioną powyższą tożsamość i podstawiając do równości (1.108), wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi na pewno tożsamość poniżej, które to poniższe równanie jest równaniem linii geodezyjnej.

$0={{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.109)

Możemy wykorzystać definicję czterowektora prędkości, wtedy wzór na równość tensorową (1.109) zapisujemy wedle:

$0={{d^{2}x_{\mu }} \over {d\lambda ^{2}}}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}\;$

(1.110)

Jeśli oznaczymy jako definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez parametr ξ w sposób s=aξ+c, to równanie na linie geodezyjne (1.110) można przedstawić w postaci:

$0={{d^{2}x_{\mu }} \over {d\xi ^{2}}}-{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\xi }}{{dx^{\beta }} \over {d\xi }}\;$

(1.111)

Równania (1.95) i (1.108) stanowią równania ruchu cząstki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Einsteina i jak udowodnimy później, te dwa równania są ze sobą równoważne. Dla układów płaskich rozwiązaniem (1.111) jest równanie (1.99) tylko, że ze wskaźnikami do dołu.

Gdy w równaniach na linie geodezyjne uwzględnimy siły niegrawitacyjne

Będziemy rozważać tu układy dyskretne i rozciągłe.

Układy dyskretne

A gdy występują inne tensory sił, to wtedy równanie (1.89) podobnie przekształcamy jak (1.110) z (1.88), wtedy:

${{d^{2}x_{\mu }} \over {d\lambda ^{2}}}={\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}{{dx_{\alpha }} \over {d\lambda }}{{dx^{\beta }} \over {d\lambda }}+{{1} \over {m_{0}c}}K_{\mu }\Rightarrow {{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}={\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+{{1} \over {m_{0}c}}K_{\mu }\Rightarrow m_{0}c{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+K_{\mu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dP_{\mu }} \over {d\lambda }}=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }+K_{\mu }\;$

(1.112)

Gdy tensor sił niegrawitacyjnych jest równy zero, wtedy równość (1.112) przechodzi w równanie geodezyjne (1.110), gdy na układ nie działają żadne siły niegrawitacyjne. Równanie ruchu dynamiki Einsteina i równanie na tensor sił grawitacji działający na ciało według (1.112) są równe:

$K_{c\mu }=m_{0}c{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}={{dP_{\mu }} \over {d\lambda }}\;$

(1.113)

$K_{g\mu }=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.114)

Kilka żródeł grawitacyjnych

Załóżmy, że mamy kilka mas, każda ona zakrzywia czasoprzestrzeń, weźmy zasadę niezalezności działania tensorów sił szczególnej teorii względności spełniona też w ogólnej teorii względności, wtedy korzystając z równości na tensor siły grawitacyjnej mamy na podstawie (1.114):

$K_{g\mu }=\sum _{i}K_{gi\mu }=\sum _{i}m_{0}c{\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{i\alpha }U_{i}^{\beta }=m_{0}c\sum _{i}{\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{i\alpha }U_{i}^{\beta }=m_{0}c{\Gamma ^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}U_{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.115)

Widzimy, że w (1.115) poszczególne masy dostarczają swoje własne symbole Christoffela ${\Gamma _{i}^{\alpha }}_{{\mu }{\beta }}\;$ do poruszającej się masy względem niego, a wszystkie pola grawitacyyjne od tych mas tworzą razem inne symbole ${\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }\;$, które opisuje całkowite zakrzywienie czasoprzestrzeni od tych mas.

Układy rozciągłe

Równanie geodezyjne (1.112) dla układów rozciągłych zastępując w nim wielkości: $m_{0}\;$ i $K^{\mu }\;$, kolejno przez: $dm_{0}\;$ i $dK^{\mu }\;$, napiszmy, wiedząc, że czas jako współrzędna jest taki sam jak w układzie inercjalnym:

$dm_{0}c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}=dm_{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+dK^{\mu }\Rightarrow \rho _{0}c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}=\rho _{0}c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+{{dK_{\alpha }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }+{{dK_{\alpha }} \over {dV}}\;$

(1.116)

Gęrstość tensora siły całkowitej stanowiącej drugą zasadę dynamiki Einsteina szczególnej teorii względności dla układów rozciągłych, też i gęstość tensora siły od sił grawitacyjnych, napiszmy kolejno na podstawie (1.116):

${{dK_{c\alpha }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\alpha }} \over {d\lambda }}\;$

(1.117)

${{dK_{g\alpha }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U_{\mu }U^{\beta }\;$

(1.118)

Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym

Będziemy tu udowadniać zgodność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym, co udowodnimy, że te dwa wzory są ze sobą równoważne.

Układy dyskretne

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

${{1} \over {m_{0}c}}K^{\nu }={{dU^{\nu }} \over {d\lambda }}+{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K^{\mu }g_{\mu \nu }={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.119)

Wykorzystajmy własność taką, że ogólnie tensor czteroprędkości kontrawariantny U^α przedstawmy z zależności od kowariantnego tensora U_γ, co tensorowo możemy zapisać:

$U^{\alpha }=g^{\alpha \gamma }U_{\gamma }\;$

(1.120)

Wykorzystując tożsamość tensorową (1.120) do równości tensorowej (1.119):

${{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }g_{\alpha \nu ,\beta }U^{\beta }+\Gamma _{\nu \alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-2g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\;$
$\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \beta ,\nu }-g_{\beta \nu ,\alpha }\right)\;$
$\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-\Gamma _{\alpha \beta \nu }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{1} \over {m_{0}c}}K_{\nu }={{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }$

(1.121)

Co na podstawie dowodu (1.121) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości (1.100) i (1.112), które oznaczają to samo.

Układy rozciągłe

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

${{dK^{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\nu }} \over {d\lambda }}+{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\nu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\Rightarrow {{dK^{\nu }} \over {dV}}g_{\mu \nu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}g_{\mu \nu }+{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma cg_{\mu \nu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\;$

(1.122)

Wykorzystując tożsamość tensorową (1.120) do równości tensorowej (1.122):

${{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left({{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }g_{\alpha \nu ,\beta }U^{\beta }+\Gamma _{\nu \alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-2g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}+U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(-g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-U^{\alpha }U^{\beta }{{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\alpha \beta ,\nu }-g_{\beta \nu ,\alpha }\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\left[{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-\Gamma _{\alpha \beta \nu }U^{\alpha }U^{\beta }\right]\Rightarrow {{dK_{\nu }} \over {dV}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{dU_{\nu }} \over {d\lambda }}-{\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }$

(1.123)

Co na podstawie dowodu (1.123) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości (1.100) i (1.112), które oznaczają to samo.

Tensor siły grawitacji i inne tensory siły (w tym całkowity tensor siły w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina), jako tensory z definicji tensora matematycznego

Tensor siły grawitacyjnej, jak można poniżej udowodnić jest tensorem, bo bierzemy tutaj, zbiór stałych transformacji, wtedy nie tylko ten tensor, ale również tensor siły całkowitej drugiej zasady dynamiki Einsteina jest tensorem, jak i inne tensory siły, przy stałych transformacjach symbole Christoffera są tensorami (i dlatego tak jest) - dlatego te symbole są tensorami, bo stałe transformacje można włożyć pod pochodną cząstkową tensora metrycznego w definicji tych symboli, i po transformacji otrzymujemy inne tensory metryczne, ale nie jest już tak dla funkcji transformacji niestałych, stałe transformacji rozdzielają wszechświat na podprzestrzenie, w których panują inne funkcje transformacji stałe. Jeżeli w jednym układzie (lub punkcie) nie ma grawitacji, to w innym też nie ma, czyli można rozważać przestrzeń bez grawitacji z trzema podstałymi oddziaływaniami (model standardowy dla trzech podstawowych oddziaływań - elektromagnetyczne, silne i słabe), czyli są przestrzenie, w której grawitacji nie ma lub jest.

Druga zasada dynamiki Einsteina w wersji wektorowej

Napiszmy równania w postaci podobnej, jak w drugiej zasadzie dynamiki Einsteina-Newtona, dla szczególnej teorii względności, czy w mechanice Newtona, ale też spełnioną w ogólnej teorii względności, w postaci:

${\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$, gdzie: ${\vec {p}}=p^{i}=m_{0}cu^{i}\;$

(1.124)

W nim $u^{i}\;$ jest współrzędną przestrzenną tensora prędkości, zatem jeśli $p^{\mu }\;$ jest tensorem pędu, to $p^{i}\;$ jest współrzędną przestrzenną tensora prędkości, też spełniona w ogólnej teorii względności, tak samo jak w szczególnej teorii względności.

Niezależność działania sił, i że addytywność wektorów sił, w ogólnej teorii względności, udowadnia się podobnie, jak dla mechaniki Einsteina-Newtona (jak w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona).

Przedstawia się addytywność wektorów sił:

${\vec {F}}_{c}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;$

(1.125)

Zależność pomiędzy wektorem tensora prędkości, a wektorem siły przedstawia się wzorem:

${\vec {K}}={{d{\vec {p}}} \over {ds}}={{\gamma } \over {c}}{{d{\vec {p}}} \over {dt}}={{\gamma } \over {c}}{\vec {F}}\;$, gdzie: $\gamma ds=cdt\Rightarrow \gamma =\left({{ds} \over {cdt}}\right)^{-1}\;$

(1.126)

Dla szczególnej teorii względności jest spełnione równanie na tensor siły, które przedstawimy dla układów lokalnie płaskich ogólnej teorii względności, który napisaliśmy w wykładzie szczególnej teorii względności w punkcie (STW-20.41):

$K^{\mu }={{\gamma } \over {c}}\left[\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {F}}\right),{\vec {F}}\right]^{T}\;$

(1.127)

Podobny wzór możemy również otrzymać w ogólnej teorii względności, tylko w iloczynie są wskaźniki dolne i górne, nie górne, zapisaną w sposób, biorąc dla dwóch sygnatur:

$K^{\mu }={{\gamma } \over {c}}\left[-\left({{v_{i}} \over {c}}F^{i}\right),F^{i}\right]^{T}=\left[-{{p_{i}K^{i}} \over {p_{0}}},K^{i}\right]^{T}\wedge p_{0}=m_{0}cu_{0}=\pm m_{0}c\gamma =\pm {{E_{r}} \over {c}}$ (wersja zwykła)
$K^{\mu }=\left[-{{P_{i}K^{i}} \over {P_{0}}},K^{i}\right]^{T}\wedge P_{0}=m_{0}cU_{0}=\pm m_{0}c\gamma =\pm {{E_{r}} \over {c}}\;$ (wersja uogólniona)

(1.128)

Zapisując wniosek (1.128), biorąc iloczyn skalarny przestrzeni zwykłej $A=A^{T}=[a_{ij}]=[a_{ji}]=[a_{ij}]^{T}\;$, to wtedy ta równość przechodzi w (1.127), tylko przy innej definicji $\gamma \;$ z jego definicją dla ogólnej teorii względności, ale nie już dla szczególnej teorii względności. Uogólnijmy wzór (1.124), by w nim było ${\vec {P}}=m_{0}cU^{i}\;$, a nie ${\vec {p}}=m_{0}cu^{i}\;$, wtedy wektor siły przedstawia się w formie:

${\vec {F}}={{d{\vec {P}}} \over {dt}}\;$, gdzie: ${\vec {P}}=P^{i}=m_{0}cU^{i}\;$

(1.129)

Dla wzoru (1.129) niezależność działania sił i addytywność udowadnia się podobnie, jak dla wersji z wektorami zwykłymi tensora prędkości. A wtedy wzór (1.127) uogólniamy do tej wersji (ten wzór pod względem zapisu jest taki sam), a wartość $\gamma \;$ piszemy:

$\gamma d\lambda =cdt\Rightarrow \gamma =\left({{d\lambda } \over {cdt}}\right)^{-1}\;$

(1.130)

Też jest spełnione przy takim uogólnieniu wzór na tensor wektora siły, w tym przypadku równość (1.126), przy definicji $\gamma \;$ (1.130), i z niego wynikającej definicji wektora siły, innej niż, ale równoważnej, do (1.129).

Zgodność wzoru na linie geodezyjne z metryką przy ogólnie niezerowych siłach niegrawitacyjnych

Formułę (1.11) zrózniczkujmy obustronnie, gdzie parametrem różniczkowym względem, którego różniczkujemy, jest interwał czasoprzestrzeny do:

$0={{d\left(u^{\mu }u_{\mu }\right)} \over {ds}}\Leftrightarrow 0={{du^{\mu }} \over {ds}}u_{\mu }+{{du_{\mu }} \over {ds}}u^{\mu }\;$

(1.131)

Jeżeli w równaniu (1.131) zamienimy $s\;$ na $\lambda \;$, wtedy zamieniamy $u^{\mu }\;$ w $U^{\mu }\;$ dla formalności, to ono jest dalej spełnione i jest w postaci:

$0={{d\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)} \over {d\lambda }}\Leftrightarrow 0={{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}U_{\mu }+{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}U^{\mu }\;$

(1.132)

Równanie (1.132) jest równoważne równaniu (1.131), nie tylko dla $\lambda =s\;$ (gdy zmienna $\lambda \;$ jest równa interwałowi czasoprzestrzennemu), bo to wynika z rachunku różnicowego dla kroku $\Delta s\;$ nieskończenie małego, ale stałego, więc w (1.131) można zastąpić $ds\;$ przez $d\lambda \;$, i tak powstaje równanie różniczkowe (1.132).

Układy dyskretne

Skorzystajmy ze wzoru na linie geodezyjne, gdy liczymy pochodne kowariantne tensorów prędkości w przedstawieniu kontrawriantym (1.95) i kowariantnym (1.109), co pomnózmy go obustronnie przez kolejno przez $U_{\mu }\;$ i $U^{\mu }\;$, co potem skorzystamy ze wzoru (1.132), wtedy:

$0=-U_{\mu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+U^{\mu }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }+{{1} \over {m_{0}c}}\left(K^{\mu }U_{\mu }+K_{\mu }U^{\mu }\right)\Rightarrow 0=K^{\mu }U_{\mu }+K_{\mu }U^{\mu }\Rightarrow K^{\mu }U_{\mu }=0\;$

(1.133)

Końcowe równanie w (1.133) przekształćmy do układów lokalnie płaskich, wtedy $K^{\mu }\;$ jest tensorem siły równej całkowitemu tensorowi siły według drugiej zasady dynamiki Einsteina według (1.89), zatem w tym układzie po zamienieniu $\lambda \;$ na $s\;$ (interwał czasoprzestrzenny):

$K^{\mu }u_{\nu }=0\Rightarrow K^{\mu }u_{\mu }=m_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}u_{\mu }=m_{0}c{{1} \over {2}}{{d(u^{\mu }u_{\mu })} \over {ds}}=m_{0}c{{1} \over {2}}{{d(\pm 1)} \over {ds}}=0\Rightarrow K^{\mu }u_{\mu }=0\;$

(1.134)

Równanie (1.134) jest również spełnione dla dowolnej definicji $\lambda \;$, nie tylko dla $\lambda =s\;$, bo zachodzi wytłumaczone (1.132). Stąd tożsamość (1.133) jest na pewno spełniona na podstawie (1.134) (dla dowolnego $\lambda \;$), a więc wzór na linie geodezyjne jest zgodny z metryką.

Układy rozciągłe

Równanie (1.131) pomnóżmy przez ${\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma \;$, wtedy otrzymamy:

$0={\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{dU^{\mu }} \over {d\lambda }}U_{\mu }+{{dU_{\mu }} \over {d\lambda }}U^{\mu }\;$

(1.135)

Wykorzystajmy równości (1.104) (przedstawienie kontrawariantne równania geodezyjnego) i (1.116) (przedstawienie kowariantnego równania geodezyjnego), wtedy:

$0=-{\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma U_{\mu }{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }+{\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma U^{\mu }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }U_{\alpha }U^{\beta }+\left({{dK^{\mu }} \over {dV}}U_{\mu }+{{dK_{\mu }} \over {dV}}U^{\mu }\right)\Rightarrow 0={{dK^{\mu }} \over {dV}}U_{\mu }+{{dK_{\mu }} \over {dV}}U^{\mu }\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}U_{\mu }=0\;$

(1.136)

Końcowe równanie w (1.136) przekształćmy do układów lokalnie płaskich, wtedy ${{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$ jest tensorem siły równej całkowitej gęstości tensora siły według drugiej zasady dynamiki Einsteina według (1.89), zatem w tym układzie dla $\lambda =s\;$:

${{dK^{\mu }} \over {dV}}u_{\mu }=0\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}u_{\mu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}u_{\mu }={\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{1} \over {2}}{{d(u^{\mu }u_{\mu })} \over {ds}}={\sqrt {-g}}\rho _{0}c\gamma {{1} \over {2}}{{d(\pm 1)} \over {ds}}=0\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}u_{\mu }=0\;$

(1.137)

Jeżeli równanie (1.137) jest spełnione dla $\lambda =s\;$, to jest również spełnione dla dowolnej definicji $\lambda \;$, bo zachodzi wytłumaczone (1.132), zatem dla układów rozciągłych metryka jest zgodnę z równaniem na linie geodezyjne na podstawie (1.136) według udowodnionego wniosku (1.137).

Zasada zachowania energii-pędu dla układów lokalnie płaskich przy zerowaniu się tensorów sił niegrawitacyjnych

W układzie lokalnie płaskim tensory Christoffela są równe zero z uwagi, że tensor metryczny jest równy tensorowi Minkowskiego i pochodne cząstkowe tego tensora są równe zero. Wtedy z uwagi na (1.95) rozwiązaniem równania tego jest (1.99), zatem tensor prędkości cząstki w układzie lokalnie płaskim, jeżeli przymniemy $\xi =s\;$, jest równy:

$u^{\mu }=a^{\mu }\;$

(1.138)

Czyli dla układów lokalnie płaskich na podstawie (STW-20.54), w którym prędkości są stałe dowiadujemy się, że:

${{dK^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}\gamma c{{d} \over {ds}}u^{\mu }=\rho _{0}\gamma c{{d} \over {ds}}a^{\mu }=0\;$

(1.139)

I dalej stąd dowiadujemy się, że na podstawie (1.139) energia i pęd w układzie lokalnie płaskim są zachowane. Też ten sam wniosek możemy otrzymać z (1.95) przy zerowaniu się symboli Christoffela.

Równanie dewiacyjne i dewiacja geodezyjna, według zasady niezalezności działania tensorów sił

Będziemy tutaj wyprowadzali dewiacyjne równanie uwzględniające tylko siły grawitacji albo siły niegrawitacyjne lub oba.

Równanie dewiacyjne, a tylko siły grawitacji

Weźmy sobie dwie krzywe geodezyjna, odległość pomiędzy cząstkami poruszających się na tych liniach określamy według definicji $\xi ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha }-x_{2}^{\alpha }\;$, zatem różnica wzorów na linie geodezyjne (1.96) dla $x_{1}^{\alpha }\;$ i $x_{2}^{\alpha }\;$ dla układów lokalnie płaskich, tu wykorzystajmy zasadę namniejszego działania tensorów sił, wtedy znika tensor sił niegrawitacyjnych, określamy jako:

${{d^{2}\xi ^{\alpha }} \over {d\lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{\alpha }}_{\omega \eta ,\gamma }\xi ^{\gamma }U^{\omega }U^{\eta }=0\;$

(1.140)

Napiszmy teraz drugą pochodną wielkości absolutnej ξ wykorzystując (MMF-2.33), a także (MMF-2.35) wykorzystując przy okazji udowodnioną tożsamość (1.140) dla układu współrzędnych lokalnie płaskiego, w której w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero:

${{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}={{d} \over {d\lambda }}\left({{d\xi ^{\alpha }} \over {d\lambda }}e_{\alpha }+\xi ^{\alpha }{{de_{\alpha }} \over {d\lambda }}\right)={{d} \over {d\lambda }}\left[\left({{d\xi ^{\gamma }} \over {d\lambda }}+\xi ^{\eta }{\Gamma ^{\gamma }}_{\eta \beta }U^{\beta }\right)e_{\gamma }\right]=\left({{d^{2}\xi ^{\alpha }} \over {d\lambda ^{2}}}+{\Gamma ^{\alpha }}_{\eta \beta ,\omega }\xi ^{\eta }U^{\omega }U^{\beta }\right)e_{\alpha }+\;$
$+\left({{d\xi ^{\gamma }} \over {d\lambda }}+\xi ^{\eta }{\Gamma ^{\gamma }}_{\eta \beta }U^{\beta }\right){\Gamma ^{\alpha }}_{\gamma \omega }U^{\omega }e_{\alpha }=\left(-{\Gamma ^{\alpha }}_{\beta \omega ,\eta }\xi ^{\eta }U^{\beta }U^{\omega }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\eta \beta ,\omega }\xi ^{\eta }U^{\omega }U^{\beta }\right)e_{\alpha }=\left({\Gamma ^{\alpha }}_{\eta \beta ,\omega }-{\Gamma ^{\alpha }}_{\beta \omega ,\eta }\right)\xi ^{\eta }U^{\omega }U^{\beta }e_{\alpha }=\;$
$={{R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }}\xi ^{\eta }U^{\omega }U^{\beta }e_{\alpha }$

(1.141)

Końcowy wniosek wynikający z obliczeń (1.141) jest słuszny tylko w układzie współrzędnych lokalnie płaskich, w której to w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero. Udowodnijmy jego słuszność w dowolnym układzie współrzędnych:

${{\overline {R}}^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }{\overline {\xi }}^{\eta }{\overline {U}}^{\omega }{\overline {U}}^{\beta }{\overline {e}}_{\alpha }={{{\overline {R}}^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }}{\overline {\Lambda ^{\eta }}}_{\eta ^{'}}\xi ^{\eta ^{'}}{{\overline {\Lambda }}^{\omega }}_{\omega ^{'}}U^{\omega ^{'}}{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\beta ^{'}}U^{\beta ^{'}}{\Lambda ^{\alpha ^{'}}}_{\alpha }e_{\alpha ^{'}}={{{\overline {R}}^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }}{\overline {\Lambda ^{\eta }}}_{\eta ^{'}}{{\overline {\Lambda }}^{\omega }}_{\omega ^{'}}{{\overline {\Lambda }}^{\beta }}_{\beta ^{'}}{\Lambda ^{\alpha ^{'}}}_{\alpha }\xi ^{\eta ^{'}}U^{\omega ^{'}}U^{\beta ^{'}}e_{\alpha ^{'}}=\;$
$={{R^{\alpha ^{'}}}_{\beta ^{'}\omega ^{'}\eta ^{'}}}\xi ^{\eta ^{'}}U^{\omega ^{'}}U^{\beta ^{'}}e_{\alpha ^{'}}\;$

(1.142)

Na podstawie obliczeń (1.142) wynikających z (1.141) wnioskujemy, że w dowolnym układzie współrzędnych jest spełnione prawo zwane równaniem dewiacyjnym:

${{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}={R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }U^{\omega }U^{\beta }\xi ^{\eta }e_{\alpha }\;$

(1.143)

Układy dyskretne

Według zasady niezależności działania tensorów sił, podobne równanie do (1.143), napiszmy równanie dewiacyjne, gdy nie ma grawitacji, tylko są siły niegrawitacyjne, wtedy ono piszemy, zapisując w nim przecinek średnikiem w układach lokalnie płaskich, co w takich układach można tak robić:

${{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}={{1} \over {m_{0}c}}\xi ^{\eta }{K^{\alpha }}_{;\eta }e_{\alpha }\;$

(1.144)

Wykorzystując tą naszą zasadę połączmy równania (1.143) i (1.144), wtedy:

${{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}={R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }U^{\omega }U^{\beta }\xi ^{\eta }e_{\alpha }+{{1} \over {m_{0}c}}\xi ^{\eta }{K^{\alpha }}_{;\eta }e_{\alpha }\Rightarrow {{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}=\left({R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }U^{\omega }U^{\beta }+{{1} \over {m_{0}c}}{K^{\alpha }}_{;\eta }\right)\xi ^{\eta }e_{\alpha }\;$

(1.145)

Równanie (1.145) jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. Równanie (1.147) jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. To równanie jest równaniem dewiacyjnym uwzględniającym siły grawitacji i niegrawitacyjne. Równanie (1.144) nazywamy równaniem dewiacyjnym układów zakrzywionych odległości pomiędzy dmoma ciałami bardzo bliskimi względem siebie przy uwzględnieniu tensorów sił pochodzący od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Układy rozciągłe

Według zasady niezależności działania tensorów sił, podobne równanie do (1.143), napiszmy równanie dewiacyjne, gdy nie ma grawitacji, tylko są siły niegrawitacyjne, wtedy ono piszemy, zapisując w nim przecinek średnikiem w układach lokalnie płaskich, co w takich układach można tak robić:

${\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}+\left({\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\right)_{,\eta }\xi ^{\eta }{{dU^{\alpha }} \over {d\lambda }}e_{\alpha }=\xi ^{\eta }{\left({{dK^{\alpha }} \over {dV}}\right)}_{;\eta }e_{\alpha }\;$

(1.146)

Wykorzystując tą naszą zasadę połączmy równania (1.143) i (1.146), wtedy:

${\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}+\left({\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\right)_{,\eta }\xi ^{\eta }{{dU^{\alpha }} \over {d\lambda }}e_{\alpha }={\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }U^{\omega }U^{\beta }\xi ^{\eta }e_{\alpha }+\xi ^{\eta }{\left({{dK^{\alpha }} \over {dV}}\right)}_{;\eta }e_{\alpha }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{{d^{2}\xi } \over {d\lambda ^{2}}}=\left({\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c{R^{\alpha }}_{\beta \omega \eta }U^{\omega }U^{\beta }-\left({\sqrt {-g}}\rho _{0}\gamma c\right)_{,\eta }{{dU^{\alpha }} \over {d\lambda }}+{\left({{dK^{\alpha }} \over {dV}}\right)}_{;\eta }\right)\xi ^{\eta }e_{\alpha }\;$

(1.147)

Równanie (1.147) jest udowodnione w układach lokalnie płaskich, co na podstawie teorii transformacji jest ono również spełnione w układach zakrzywionych. To równanie jest równaniem dewiacyjnym uwzględniającym siły grawitacji i niegrawitacyjne. Równanie (1.146) nazywamy równaniem dewiacyjnym układów zakrzywionych odległości pomiędzy dmoma ciałami bardzo bliskimi względem siebie przy uwzględnieniu tensorów sił pochodzący od oddziaływań niegrawitacyjnych.

Lokalna zasada zachowania energii-pędu

Weźmy lokalną zasadę zachowania energii-pędu szczególnej teorii względności (STW-37.16), wtedy to możemy zapisać jako:

${{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\;$

(1.148)

Równanie (1.148) w układach zakrzywionych przyjmuje postać zamieniając przecinek średnikiem i wykorzystując (Patrz: 1.1) i (Patrz: 1.2), wtedy:

${{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{\sqrt {-g}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.149)

Równanie (1.149) jest równaniem lokalnej zasady zachowania energii-pędu wynikającej z praw szczególnej teorii względności z zasady zachowania energii-pędu lub lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii-pędu.

Lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu

Weźmy lokalną zasadę zachowania tensora gęstości pędu szczególnej teorii względności według (STW-34.9), wtedy możemy napisać wynikająco:

$\gamma {{\partial } \over {c\partial t}}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.150)

Przetransformuwujmy równanie (1.150), które jest dla układów lokalnie płaskich, zamieniając w nim przecinek na średnik, wiedząc, że macierz transformacji jest w postaci:

$\Lambda ={\begin{bmatrix}1&0\\0&\Lambda _{p}\end{bmatrix}}\;$

(1.151)

Wtedy na podstawie transformacji z macierzą transformacji (1.151) w (1.150) możemy dokonać tą wspomnianą operację przechodząc z układu lokalnie płaskiego do zakrzywionego:

$\gamma \left(\rho v^{\mu }\right)_{;0}=-{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu j}}_{;j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow \gamma {\sqrt {-g}}\left(\rho v^{\mu }\right)_{;0}=-{{\gamma } \over {c}}{\sqrt {-g}}{T_{k}^{\mu j}}_{;j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(1.152)

Równość (1.152) jest równaniem lokalnej zasady zachowania tensora gęstości pędu dla układów zakrzywionych.

Rozwiązywanie układu równań ogólnej teorii względności

Ogólna teoria względności przedstawia swój zestaw równań ze sobą sprzecznych: równanie Hilberta-Einsteina (1.63) (dla przyciągania grawitacyjnego) i (1.64) (dla odpychania grawitacyjnego) - należy tutaj tensor gęstości energii-pędu rozłożyć na ten podstawowy i inny zewnętrzny, lokalna zachowawczość tensora gęstości energii-pędu (1.62), równanie geodezyjne (1.91) (układy rozciągłe), lokalna zasada zachowania energii-pędu (1.149), lokalna zasada zachowania tensora gęstości pędu (1.152) i równanie wynikające z definicji jedynki z definicji różniczki interwału czasoprzestrzennego (1.14), równania cechowania wynikłe z teorii lagrangianowych równania geodezyjnego dla układów rozciągłych i dalej należy uwzględnić w gęstościach sił (nawet w zewnętrznych) tensory sił od pola elektromagnetycznego i w dwóch prawach Hilberta-Einsteina grawitacji (równania opisujące odpychanie i przyciąganie grawitacyjne), dodatkowy człon, który jest tensorem gęstości energii-pędu od tego pola (gdy uwzględnimy pole elektromagnetyczne), oraz równania elektrodynamiki klasycznej dla układów zakrzywionych, te równania rozwiązuje się jak równania szczególnej teorii względności, tylko zamiast przestrzeni słabozakrzywionych, uważanych za ogólnie nieprostokątne ze współrzędnymi ogólnie nieprostokątnymi albo krzywoliniowymi lub uogólnionymi, mamy przestrzenie zakrzywione, zbudowane na przestrzeni słabozakrzywionej według szczególnej teorii względności, i zamiast szczególnej teorii względności jest ogólna teoria względności. Te równania możemy ogólnie zapisać tensorowo i rozwiązywać je, jak równania szczególnej teorii względności, według twierdzenia (Twier. STW-30.1), tylko zamiast równań szczególnej teorii względności są równania ogólnej teorii względności.