Ogólna teoria względności/Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Wprowadzenie do ogólnej teorii względności

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Ogólna teoria względności jest współczesną teorią, która opisuje grawitację w sposób bardziej dokładny niż teoria grawitacji Newtona, który jest on opisany przez:

(1.1)
  • gdzie siła grawitacji działa wzdłuż wektora (jest to różnica położenia ciała B i ciała A), która charakteryzuje oddziaływanie ciała A na ciało B, ale o zwrocie przeciwnym niż wektor położenia ciała B względem ciała A.

Postulaty teorii względności:

Postulat pierwszy - jest uogólnienie zasady Galileusza, ale też i Einsteina ze szczególnej teorii względności, że układy poruszające się z przyspieszeniem zerowym lub mającym pewną wartość, to w tych układach spełnione są prawa fizyki.

Postulat drugi - prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, nawet w tych układach poruszających się z pewnym niezerowym przyspieszeniem.

Elementy ogólnej teorii względności[edytuj]

Szczególna teoria względności wyróżnia pewne klasy układów odniesienia zwanych układami inercjalnymi. Szczególna teoria nie ma grawitacji, więc należy sformułować tak nową teorię (OTW), by wszystkie układy odniesienia były równoprawne i zawierały grawitację.

Zasada równoważności[edytuj]

Przedstawimy tutaj słabą i silną zasadę równoważności.

Słaba zasada równoważności[edytuj]

Obserwator znajduje na Ziemi, i zauważa, że na niego działa jakaś siła grawitacji, która wywołuje siła ciężkości działająca na nasze ciało. Innym razem obserwator znajduje się w kosmosie w rakiecie, która porusza się z przyspieszeniem w sposób płynny, on nie zauważa żadnej różnicy, między układem na Ziemi czy w rakiecie, czyli który układ jest inercjalny? A zatem jeśli założymy, że nasz układ jest inercjalny, to pochodne cząstkowe elementów tensora krzywizny są równe zero. Ale w myśl tej zasady również układy nieinercjalne są nierozróżnialne od inercjalnych. A zatem prawa wyprowadzone dla układów inercjalnym powinny być słuszne też w nieinercjalnych układach odniesienia. Tzn.: pochodną cząstkową zwykłą zastępujemy pochodną tensorową, bo symbole Christoffela są równe zero, a następnie w myśl tej zasady można uogólnić otrzymane prawa na układy również nieinercjalne, w których symbole Christoffela nie muszą się zerować.

Silna zasada równoważności[edytuj]

Każde prawo fizyczne w sformułowane w szczególnej teorii względności w postaci tensorowej w układzie lokalnie płaskim (inercjalnym) ma taką samą postać w ogólnej teorii względności, czyli w czasoprzestrzeni zakrzywionej.

Czasoprzestrzeń w ogólnej teorii względności[edytuj]

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarową przestrzenią absolutną z trójwymiarową przestrzenią znanej z mechaniki Newtona i czwartą współrzędną zwanej współrzędną czasową.

Metryka w czasoprzestrzeni może przybierać postać lorentzowską, przez obranie układu inercjalnego, który jest układem lokalnie płaskim w danym punkcie przestrzeni.

Kontrawariantny czterowektor położenia[edytuj]

Kontrawariantnym czterowektorem położenia w ogólnej teorii względności nazywamy wektor:

(1.2)

Interwał czasoprzestrzenny[edytuj]

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności przedstawiamy w analogii do interwału szczególnej teorii względności, w której zastąpujemy tensory metryczne Minkowskiego innymi tensorami, które w ogólności nie są diagonalne:

(1.3)
  • gdzie :, to tensor metryczny.

Udowodnimy, że jeśli w jednym układzie współrzędnym metrykę przedstawiamy wedle sposobu (1.3), to w innym w układzie współrzędnym kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego pozostaje niezmienny, zatem to udowodnijmy, stosując tym razem konwencję Einsteina:

(1.4)

Na podstawie dowodu (1.4) kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest niezmiennikiem, tzn. jego infinitezymalna wartość nie zależy od wyboru układu współrzędnych, tzn. nie zależy względem jakich współrzędnych liczymy naszą metrykę.

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (1.3) jest większy od zera, gdy mamy do czynienia z cząstką o masie spoczynkowej różnej od zera, natomiast dla fotonów lub dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero, to kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego jest równy zero.

Przykładem tensora metrycznego jest tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni Einsteina w czterowymiarowej czasoprzestrzeni) znany w płaskiej przestrzeni, w której nie ma pola grawitacyjnego, którego postać można napisać:

(1.5)

Dla tensora metrycznego (1.5) interwał czasoprzestrzenny obliczony według (1.3), tzn. w szczególnej teorii względności, jest napisany:

(1.6)

Interwał (1.6) jest podstawą szczególnej teorii względności. Widzimy, że w powyższym interwale współrzędne przestrzenne są na równi sobie, niezależne z jakimi mamy do czynienia współrzędnymi przestrzennymi, współrzędna czasowa w tym interwale jest wyróżniona, czas w metrach (ct) jest iloczynem prędkości światła i czasu w sekundach.

Czterowektor prędkości[edytuj]

Czterowektorem prędkości zdefiniowanej jako pochodną kontrawariantnego czterowektora położenia względem interwału czasoprzestrzennego (1.3) nazywamy wielkość zdefiniowaną:

(1.7)

Wielkość jest to jest interwał czasoprzestrzenny dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera i dla cząstek o masie spoczynkowej równej zero.

Czterowektor pędu[edytuj]

Czterowektorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowaną:

(1.8)

Czterowektor pędu a masa spoczynkowa cząstki[edytuj]

Jeśli będziemy korzystali ze wzoru (1.3), to go można równoważnie zapisać w sposób najpierw dzieląc obustronnie przez kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego (cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera):

(1.9)

Gdy mamy cząstkę o masie spoczynkową równej zero, wtedy musimy podzielić równanie (1.3) obustronnie przez różniczkę dowolnego parametru λ, wtedy czterowektor prędkości definiujemy podobnie jak dla cząstki masowej, wtedy otrzymujemy równanie inne niż (1.9):

(1.10)

Równanie (1.9) wymnażamy obustronnie przez wyrażenie (m0c)2, korzystając z definicji czterowektora pędu (1.8) ,dostajemy inne równoważne do (1.9) równanie w postaci:

(1.11)

Jak udowodniliśmy równanie (1.11) jest słuszne tylko dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera, ale równanie (1.11) możemy uogólnić dla cząstek o wszystkich masach spoczynkowych.

Infinitezymalny czas własny i infinitezymalna długość własna[edytuj]

Infinitezymalnym czasem własnym mierzoną przez zegary w ogólnej teorii względności nazywamy wielkość, który dany obserwator doświadczający dwóch zdarzeń bliskich w czasie doświadcza w układzie własnym, że dla niego czas w układzie w którym cząstka spoczywa (układ własny) jest mierzony w zależności od czasu w układzie, w którym cząstka porusza się:

(1.12)

Infinitezymalną długością własną mierzoną przez pręty między dwoma sąsiednimi punktami nazywamy długość zdefiniowaną:

(1.13)

Długość własna w układzie własnym spoczywającym jest równa długości pręta w układzie spoczywającym, tzn. w układzie współrzędnym. gdy długość pręta między oba jego końcami mierzymy w tym samym czasie współrzędnościowym, czyli dla spoczywającego pręta względem układu dla pręta poruszającego się. Odpowiednie infinitezymalne czasy własne między dwoma zdarzeniami i infinitezymalne długości własne dwóch sąsiednich zdarzeń istnieją, jeśli pod pierwiastki są wielkości infinitezymalne, ale dodatnie.

Niezmienniczość (1.12) i (1.13), które można je liczyć w dowolnym układzie współrzędnym, można tak samo udowodnić, jak przy dowodzie na niezmienniczość interwału czasoprzestrzennego (dowód (1.4)).

Nieinercjalne układy odniesienia a czasoprzestrzeń[edytuj]

Przykład numer- układ rotujący ze stałą prędkością kątową ω[edytuj]

Teraz przedstawmy układ rotujący ze stałą prędkością z częstotliwością kołową: , to jego wartość prędkości w zależności od częstotliwości kołowej i promienia od pewnego punktu względem którego następuje obrót ma się jako według wzoru, to jego interwał czasoprzestrzenny w zależności od interwału czasoprzestrzennego w układzie inercjalnym przestawiam się:

(1.14)

W układzie nieinercjalnym ciało rotujące jest w spoczynku, jeśli na układ działa siła odśrodkowa, to: , to można powiedzieć, że ta siła równoważy siła grawitacji, według teorii równoważności. To energia kinetyczna ciała obracającego ma się jako: , a energia potencjalna w układzie nieinercjalnym ma się jako: Można przyjąć, że w takim układzie całkowita energia mechaniczna, czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się zero lub z dokładnością do stałej, ale w naszym przypadku lepiej przyjąć za tą stała jest liczbą zero, zatem: ,to . A zatem nasz interwał czasoprzestrzenny przedstawia się względem ostatnich rozważań i wzoru na interwał czasoprzestrzenny (1.14):

(1.15)

Dochodzimy więc do wniosku, że wedle wzoru (1.14) i (1.15), że element tensora metrycznego, a mianowicie element o współczynnikach dolnych zerowych przedstawia się:

(1.16)

Widzimy, że ona zależy od potencjału skalarnego pola grawitacyjnego słabego, a więc można powiedzieć, że w układzie nieinercjalnym siły bezwładności zastępują siły grawitacji. Według zasady równoważności nie rozróżnia się sił grawitacji od sił pochodzenia nieinercjalnego (siły bezwładności), a zatem można powiedzieć:

(1.17)

Jeśli mamy układ zwykły oznaczony współrzędnymi: , to w układzie rotującym układ jest względem współrzędnych: , czyli obracającym się ze stałą prędkością kątową ω, to transformacje z układu obracającego się do układu nieobracającego mają się jak:

(1.18)
(1.19)

Można policzyć różniczki zupełne wyrażeń (1.18) i (1.19), które są takowymi transformacjami z jednego układu współrzędnych do drugiego:

(1.20)
(1.21)

Obliczenia na liczbach ogólnych (1.20) i (1.21) przedstawiamy w uproszczeniu jako kombinacje różniczek współrzędnych i czasu:

(1.22)
(1.23)

Interwał czasoprzestrzenny w układzie inercjalnym przedstawia wedle sposobu (1.6). Mając transformacje różniczek, tzn. (1.22) i (1.23), wyznaczmy wedle jakiego sposobu przedstawia się on w układzie nieinercjalnym i w ten sposób możemy wyznaczyć elementy tensora metrycznego w nieinercjalnym układzie odniesienia względem układu czysto inercjalnego, który porusza się względem innych układów inercjalnym ze stałą prędkością kątową:







(1.24)

Wyznaczmy wyrażenia pomocnicze, które są potrzebne do obliczeń interwału w układzie nieinercjalnych w (1.24) wedle współrzędnych w układzie nieinercjalnym:


(1.25)

a także drugie pomocnicze obliczenia:


(1.26)

Dochodzimy, że interwał czasoprzestrzenny na podstawie obliczeń (1.24) i obliczeń pomocniczych (1.25) i (1.26) przedstawia się względem współrzędnych nieinercjalnych:

(1.27)

W obliczeniach (1.27) grupujemy wyrazy względem tych samych różniczek względem nieinercjalnego układu współrzędnych, wtedy dostajemy wzór na interwał czasoprzestrzenny w naszym rozważanym układzie współrzędnym:


(1.28)

Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie współrzędnych możemy napisać na podstawie definicji interwału znanej ze szczególnej teorii względności przy definicji kwadratu infinitezymalnego interwału (1.28):

(1.29)

Warto zauważyć, że elementy pozadiagonalne tensora metrycznego, wskazują na jakiś rodzaj rotacji wedle naszego przedstawienia interwału (1.28) w układzie nieinercjalnym.

Tensor Einsteina[edytuj]

Wyprowadzimy tutaj tensor Einsteina i wyznaczmy pochodną tensorową tego tensora i przekonamy się, że ona wynosi zero. Tożsamość Bianchiego, które podamy tutaj bez dowodu, ale jego dowód znajduje się w punkcie (MMF-2.129):

(1.30)

W obliczeniach na tensorach będziemy korzystać, z własności na tensorze Ricciego: gμγRμνγσ=Rνσ, oraz z antysymetryczności przedstawiania wskaźników pierwszej pary lub drugiej. Zastosujmy zwężenie tożsamości Bianchiego wymnażając obustronnie przez podwójnie kontrawariantny tensor metryczny gμγ tożsamość (1.30):

(1.31)

Dokonajmy teraz ponownego zwężania ostatniej równości (1.31), a także korzystając znów w naszej równości tensorowej z własności na tensorach Ricciego:

(1.32)

Po ostatnich przekształceniach, i po przemianowaniu wskaźników w równaniu (1.32) wedle schematu α→γ, wtedy dojdziemy do następnego równania:

(1.33)

Wykorzystujemy definicję delty Kroneckera oraz wykorzystujemy go do pierwszego wyrazu w równaniu tensorowym (1.33), a także redukujemy wyrazy podobne w tym samym równaniu:

(1.34)

Idąc dalej by mieć górne wskaźnik przy tensorach w równaniu tensorowym (1.34) należy to równanie tensorowe wymnożyć przez tensor gσβ, wtedy dostaniemy co chcieliśmy.

(1.35)

Wyłączając pochodną tensorową przed nawias i wykorzystując przy tym, że pochodna tensorowa elementów tensora metrycznego jest równa zero, wtedy (1.35) przechodzi w równanie:

(1.36)

Tensor występujący pod pochodną tensorową (1.36) nazywamy tensorem Einsteina i jest funkcją dwuwskaźnikowego tensora krzywizny Rαβ, skalaru krzywizny R, a także jest funkcją tensora metrycznego, który panuje w danej geometrii w przestrzeni czterowymiarowej.

(1.37)

Tensor Einsteina (1.37) na podstawie tożsamości (1.36) ma taką własność, że jego pochodna tensorowa względem wskaźnika α występujący w jego definicji (1.37) jest równa zero.

(1.38)

Tensor Einsteina (1.37) można zapisać w postaci bezwskaźnikowej, tzn. bez powiedzenia z jakiego typu tensorem mamy do czynienia w przypadku tensora Einsteina Gαβ, który można zdefiniować nie tylko w postaci jakby miał tylko górne wskaźniki, ale wszystkie te zapisy tensorowo są równoważne w zapisie wspomnianego tensora.

(1.39)

Wyprowadzona własność tensora Einsteina jest bardzo potrzebna w ogólnej teorii względności i jest wykorzystana w równaniach tensorowych Einsteina opisująca grawitację.

Rozszerzony tensor Einsteina[edytuj]

Rozszerzony tensor Einsteina zdefiniujmy w oparciu o tensor Einsteina (1.37) o stałą kosmologiczną Λ:

(1.40)

Wyznaczmy pochodną tensorową rozszerzonego tensora Einsteina (1.40) względem współrzędnej kontrawariantnej o numerze β, zatem na podstawie (1.38) i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero:

(1.41)

Doszliśmy więc do wniosku, że rozszerzony tensor Einsteina ma te same własności co zwykły tensor Einsteina.

Twierdzenie o lokalnej płaskości czasoprzestrzeni (przestrzeni czterowymiarowej)[edytuj]

Przestrzeń jest lokalnie płaska w czasoprzestrzeni Einsteina, że w danym otoczeniu punktu mamy doczynienia z czasoprzestrzenią Minkowskiego, bo przestrzeń, która jest rozwiązaniem ogólnej teorii względności nie może być globalnie płaska, ale może być spełniona tylko w przybliżeniu w otoczeniu pewnego punktu w którym na płaskość obowiązuje, w której mamy tensor metryczny w przybliżeniu Minkowskiego (1.5), gdy pochodne zupełne tego tensora metrycznego są równe zero, tzn.:

(1.42)
  • gdzie: jest to tensor metryczny Minkowskiego z małą poprawką do niego by z bardzo dużą dokładnością był spełniony powyższy warunek.

Zakładamy, że istnieje przekształcenia między aktualną przestrzenią, a układem lokalnie płaskim, które jest prawdziwy dla punktu, w którym ta lokalna płaskość jest spełniona według:

(1.43)
  • gdzie:- jest to tensor metryczny Minkowskiego.

A także również zachodzi dla ściśle określonego punktu w przestrzeni lokalnie płaskiej równanie (1.42), i ze względu na symetryczność ogólnej definicji tensora metrycznego ma on w rezultacie 1+2+3+4=10 niezależnych składowych, a ilość składowych tensora jest 4· 4=16 elementów, zatem ilość niezależnych stopni swobody w równaniu (1.43) jest równa 16-10=6. Te sześć stopni swobody odpowiada sześciu stopniom swobody przekształcenia Lorentza, tzn. nasz układ można przesunąć z prędkością względem trzech jego niezależnych współrzędnych lub obrócić badany układ o trzy niezależne kąty. W sumie mamy sześć stopni swobody , które powodują, że lokalny układ inercjalny pozostanie układem inercjalnym. Według równania (1.42) ilość niezależnych równań jest 10·4=40 (jest 10-to ilość niezależnych składowych tensora metrycznego, który jest jak wiadomo symetryczny i cztery niezależne składowe tensora kontrawariantnego położenia), daje nam też 40 stopni swobody. Ponieważ w tym punkcie lub jego otoczeniu istnieje tensor metryczny Minkowskiego, to małe poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego możemy tak wybrać, by były spełnione równania (1.42), co w połączeniu z (1.43) daje nam pewne , które możemy tak obrać by były spełnione omawiane warunki lokalnej płaskości. Jeśli mamy dany punkt układu lokalnie płaskiego wedle (1.42) i (1.43), to tensor Christoffela dla tego punktu jest równy zero i według twierdzenia Taylora istnieje w otoczeniu tego punktu w przybliżeniu canaj wyżej do wyrazów liniowych tensora krzywizny (należy pamiętać, że pochodna cząstkowa tensora krzywizny dla układu lokalnie płaskiego jest równa zero), w którym są spełnione te zależności, też istnieje w przybliżeniu lokalna płaskość dla punktów tego otoczenia. Zatem na podstawie powyższych rozważań zawsze istnieje układ lokalnie płaski, w których dla tych punktów spełnione są (1.42) i (1.43).

Definicja tensora gęstości energii[edytuj]

W szczególnej teorii względności tensor gęstości napięć-energii przedstawia się według (STW-3.18) wzorem:

(1.44)
  • gdzie , jest to tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego o sygnaturze , gdy mamy synaturę przeciwną, tzn.:, to tensor gęstości energii ma się jako:
(1.45)

My zawsze będziemy przyjmować jak w szczególnej teorii względności tą sygnaturę pierwszą. Wielkość : jest to pochodna dla μ=0 współrzędnej czasowej zdefiniowanej x0=ct względem interwału czasoprzestrzennego zdefiniowanej przez:, gdy mamy:, to jest ona pochodna współrzędnej położenia cząstki względem tak samo zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego.

Należy pamiętać, że ρ0 jest to gęstość spoczynkowa, p- to ciśnienie cząstki płynu w danym punkcie. A także zależy od jej prędkości światła (fal elektromagnetycznych).

Miano tensora gęstości energii ma się jak:

(1.46)

W ogólnej teorii względności, zastępując wedle schematu, oraz metrykę Minkowskiego przez inną metrykę zdefiniowaną zdefiniowaną poprzez tensor czyli wtedy mamy:, który na ogół nie jest tensorem metrycznym Minkowskiego w OTW, ale może być, przy pierwszej sygnaturze tensora metrycznego Minkowskiego mamy dla tensora napięć-energii w ogólnej teorii względności.

(1.47)

lub równoważnie:

(1.48)

Z powyższej definicji wynika, że dla tensora metrycznego jako tensora symetrycznego, wynika symetryczność tensora gęstości energii-napięć przy dowolnym tensorze metrycznym. Na podstawie symetryczności tensora metrycznego wynika, że ten tensor jest macierzą iloczynu skalarnego w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.

Zasada zachowania energii-pędu a jego lokalność[edytuj]

Z wykładu o szczególnej teorii względności mamy, że zachodzi lokalna zasada zachowania energii-pędu (STW-3.31) z gęstością siły zewnętrznej równą zero:

(1.49)

Powyższy wzór jest spełniony dla punktów układu lokalnie płaskiego, w których zachodzą tożsamości (1.42) i (1.43), czyli tensor metryczny jest w przybliżeniu tensorem Minkowskiego i jego pierwsze pochodne względem współrzędnych kontrawariantnych są równe zero, ale już o wyższych pochodnych tensora gęstości energii, lokalna definicja lokalnej płaskości nić nie mówi o tych pochodnych, zatem również mamy do czynienia z metryką prawie płaską, gdy mamy do czynienia z układami, w których punktach istnieje słabe pole grawitacyjne, jak np. dla metryki obowiązujących dla pól Newtonowskich. Uogólnijmy ten wzór na dowolną metrykę, ogólnie nie tylko na lokalną płaską metrykę Minkowskiego, ale za tą metrykę obowiązującą wedle ogólnej teorii względności, którą poznamy i z którego będziemy wyznaczać elementy tensora metrycznego i przy pomocy, której będziemy tworzyć definicję kwadratu różniczki interwału czasoprzestrzennego wtedy wzór na zachowawczość tensora gęstości energii i pędu jest:

(1.50)

Powyższe równanie określa zasadę zachowania energii-pędu dla dowolnej przestrzeni zakrzywionej.

Równania pola Einsteina[edytuj]

Tutaj przedstawmy równania Einsteina bez stałej kosmologicznej, które można zapisać w postaci:

(1.51)

Stosując definicję tensora Einsteina, to równanie grawitacji (1.37) zapisujemy w postaci pełnej:

(1.52)

Widzimy, że tensor Einsteina (lewa strona równania Einsteina (1.52)) jest zależna od dwuwskaźnikowego tensora krzywizny oraz od skalaru krzywizny. W powyższym wzorze tensor Einsteina jest w proporcjonalny do tensora gęstości energii. Przekształcając równanie Einsteina (1.52) tak by otrzymać jego odwrotną postać, gdy tensor czegoś w rodzaju równania Einsteina omawianego wcześniej, czyli:

Z równań Einsteina można udowodnić, że przechodzi on do postaci, które poniżej podamy ale bardzo podobnych do oryginalnych równań Einsteina (1.52), gdy wszystkie tensory w równaniu Einsteina przedstawimy jako kowariantno-kontrawariantnego tensora i dokonując sumować po tych samych wskaźnikach górno-dolnych i po tych czynnościach dostajemy skalary odpowiednich wielkości, tzn. skalaru krzywizny i skalaru tensora gęstości napięć-energii, dzięki których możemy dokonać dalszych operacji:

(1.53)

Dokonując pewnych przekształceń pewnych wyrażeń w (1.53), wtedy wiemy po tych dysputach, że skalar krzywizny ma się jako:

(1.54)

Widzimy względem ostatniego wzoru, że skalar krzywizny jest proporcjonalny do skalaru tensora gęstości napięć-energii. Wzór (1.54) na skalar krzywizny podstawiamy do równania Einsteina (1.51) za skalar krzywizny (za R), wtedy mamy:

(1.55)

Następnie możemy przenieść pewne wyrazy nie będące tensorem krzywizny na prawą stronę, a więc równanie tensorowe Einsteina przestawia się:

(1.56)

Równanie pola (1.51) względem wcześniejszych obliczeń jest równoważne równaniu:

(1.57)

Widzimy, że nowe równania Einsteina, tylko w innej postaci chociaż są do siebie równoważne, ale są do siebie bardzo podobne do oryginalnej postaci równań tensorowych wprowadzonych przez Alberta Einsteina.

Równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej[edytuj]

Przedstawmy równania pola Einsteina z uwzględnieniem stałej kosmologicznej, czyli musimy uwzględnić rozszerzony tensor Einsteina w postaci (1.57), a więc równanie Einsteina (1.51) z uwzględnieniem rozszerzenia tego tensora o dodatkowy wyraz jest:

(1.58)

Podstawiając za Oαβ definicję tego tensora wedle (1.40), czyli z uwzględnieniem stałej kosmologicznej Λ, wtedy dostajemy równanie grawitacji Einsteina:

(1.59)

Ostatnie równanie można zapisać w postaci bezwskaźnikowej bez uwzględnienia z jakimi tensorami mamy do czynienia:

(1.60)
  • gdzie jest tensorem Einsteina i ona jest zdefiniowane wedle (1.37).

Policzmy ślady w równaniu tensora Einsteina (1.60) względem niemych tych samych wskaźników górno-dolnych do wyznaczenia ich jako skalarów tychże wielkości, czyli tensor Einsteina przedstawimy w postaci kowariantno-kontrawariantnego tensora (1.59):

(1.61)

Widzimy, że skalar tensora Einsteina jest równa skalarowi krzywizny z dokładnością do minusa.

Uwzględniając definicję rozszerzonego tensora Einsteina w równaniu Einsteina (1.59), gdy w ogólności stała kosmologiczna jest nie równa zero, zatem licząc ich ślady, wtedy mamy:

(1.62)

Biorąc policzoną wartość skalaru G (1.61) podstawiamy do równania skalarnego (1.62), wtedy dostajemy równość:

(1.63)

Widzimy, że skalar krzywizny zależy od stałej kosmologicznej i skalaru tensora gęstości energii, stąd mamy czemu jest równy skalar Ricciego, poniżej mamy równania Einsteina w jego pełnej postaci z uwzględnieniem stałej kosmologicznej zapisując je w postaci bezwskaźnikowej:

(1.64)

Wszystkie wyrazy po lewej stronie przenosimy na prawą stronę równania (1.64) oprócz tensora krzywizny, wtedy dostajemy po przekształceniu:

(1.65)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za skalar krzywizny Ricciego, w równaniu tensorowym (1.65) wyrażenia policzonego w punkcie (1.63), wtedy po dokonanych operacjach tuż po, dostajemy:

(1.66)

Po krótkich przekształceniach i redukcji pewnych wyrazów w (1.66), otrzymujemy że tensor dwuwskaźnikowy krzywizny jest równy pewnemu wyrażeniu, bardzo podobnego do pierwotnego równania Einsteina (1.64) z uwzględnieniem stałej kosmologicznej.

(1.67)

Równanie (1.67) przedstawimy w postaci wskaźnikowej, gdy operujemy tym razem na wskaźnikach tylko dolnych:

(1.68)

Widzimy, że powyższe równania tensorowe są bardzo podobne do standardowych (pierwszych) równań Einsteina, a więc można bardzo łatwo zapamiętać je.

Zachowawczość energii, a równania grawitacji Einsteina[edytuj]

Korzystając z równań grawitacji Einsteina (1.58), to równania są tak sformułowane, by była spełniona zasada energii, tzn. jeśli lewa strona tegoż równania, którego pochodna tensorowa jest równe zero według (1.41), to musi być spełniona zasada zachowania energii i pędu, tzn. dokonując różniczkowania tensorowego obu stron naszego równania, otrzymujemy:

(1.69)

Z obliczeń (1.69) wynika równanie (1.50), czyli z ogólnej teorii względności wynika zasada zachowania energii i pędu.

Równania ruchu, a linie geodezyjne w ogólnej teorii względności[edytuj]

Mając już policzona metrykę czasoprzestrzeni poprzez równania Einsteina (1.51) lub mając niezerową stałą kosmologiczną, to wtedy liczymy z równania (1.58), zatem na podstawie tegoż równania liczymy już wspomnianą metrykę poprzez policzone już elementy tensora metrycznego. Na podstawie tego liczymy elementy tensora Christoffela i w ten sposób wyznaczamy następne położenie cząstki masowej w ogólnej teorii względności. Już mając następne położenie wyznaczamy znów metrykę przy nowym położeniu cząstek masowych i te kroki powtarzamy w nieskończoność do chwili, do której interesuje nas badanie układu relatywistycznego.

W przestrzeni euklidesowej linia prosta jest to krzywa, której przenosi swój własny wektor w sposób równoległy, w przestrzeni nieuklidesowej mamy jakąś krzywą, która jest prostą w tym naszym układzie, i aby nasz wektor był przenoszony równolegle to musi być styczna do tej prostej, czyli wielkość zdefiniowana musi spełniać warunek:

(1.70)

aby cały czas wektor Uμ był styczny do naszej prostej w tej naszej przestrzeni absolutnej. Oczywiste jest, że wektor Uμ aby był czterowektorem prędkości (1.6), tzn. Uμ=uμ, to musi zachodzić λ=s, czyli nasz parametr byłby wtedy interwałem czasoprzestrzennym. Ale dla ogólności rozważań lepiej przyjąć dowolny parametr λ, bo zmiana interwału czasoprzestrzennego dla bezmasowych cząstek (m0) jest równy zero wedle (1.3), wtedy czterowektor prędkości jest nieokreślony.

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kontrawariantnego położenia[edytuj]

Z definicji pochodnej kontrawariantnej i własności styczności wektora do prostej (1.70), a także z definicji pochodnej tensorowej można zapisać równanie geodezyjne w postaci pierwotnej:

(1.71)

Pomnóżmy obustronnie równość tensorową (1.71) przez kontrawariantny tensor czterowektora prędkości Uβ, wtedy otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego równanie:

(1.72)

Z definicji czterowektora prędkości i twierdzenie o pochodnej złożonej wyznaczmy wyrażenie występujące jako pierwszy składnik we wzorze (1.72), zatem możemy napisać:

(1.73)

Na podstawie obliczeń (1.73) na liczbach ogólnych, które to wniosek podstawiamy do równania tensorowego (1.71) za pierwszy składnik, zatem udowodniliśmy że zachodzi:

(1.74)

Podstawiając, za współrzędne czterowektora wektora prędkości Uβ jego definicję, jako pochodna czteropołożenia względem interwału czasoprzestrzennego, dostajemy równoważne równanie tensorowe do (1.74):

(1.75)

Wyrażenie (1.74) możemy zapisać w postaci bezwskaźnikowej, bez uwzględnienia z jakimi rodzaju tensorami mamy do czynienia:

(1.76)

Otrzymaliśmy równanie, dzięki któremu czterowektor Uβ jest przenoszony równolegle, stycznie wzdłuż naszej prostej i jest to równanie ruchu cząstki masowej lub bezmasowej w ogólnej teorii względności.

Jeśli w prowadzimy definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez inny parametr ξ w sposób: s=aξ+b, to można udowodnić w sposób łatwy, korzystając z poprzedniego równania, że line geodezyjne wedle (1.74) zapisujemy jako:

(1.77)

W przestrzeni euklidesowej płaskiej mamy na pewno, że poszczególne elementy tensora metrycznego spełniają związek: Γμαβ=0, stąd dostajemy:

(1.78)

Po rozwiązaniu równania (1.74) dowiadujemy się, że rozwiązaniem jego jest równaniem prostej w naszej przestrzeni przy naszej definicji tensora Christoffela.

Linie geodezyjne, a druga pochodna czterowektora kowariantnego położenia[edytuj]

Przedstawimy teraz inne podejście do ruchu cząstki materialnej czyli piszemy linie geodezyjne w sposób kowariantny, czyli proste w przestrzeni czterowymiarowej spełniający warunek, który jest pochodną kowariantną Uμ=0, ale z definicji pochodnej kowariantnej możemy napisać:

(1.79)

Pomnóżmy teraz obie strony równania tensorowego (1.79) przez elementy czterowektora prędkości Uβ, otrzymując wynikowe równanie:

(1.80)

Rozwińmy wyrażenie występujące w równaniu tensorowym (1.80) występujący jako odjemna wykorzystując definicję pochodnej zupełnej, i przestawmy ją jako pochodna kowariantnego tensora czteroprędkości względem parametru λ.

wykorzystując udowodnioną powyższą tożsamość i podstawiając do równości (1.80), wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi na pewno tożsamość poniżej, które to poniższe równanie jest równaniem linii geodezyjnej.

(1.81)

Możemy wykorzystać definicję czterowektora prędkości, wtedy wzór na równość tensorową (1.81) zapisujemy wedle:

(1.82)

Jeśli oznaczymy jako definicję parametru λ, który może być interwałem czasoprzestrzennym "s", poprzez parametr ξ w sposób s=aξ+c, to ostatnie równanie na linie geodezyjne można przedstawić w postaci:

(1.83)

Równania (1.74) i (1.80) stanowią równania ruchu cząstki w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Einsteina i jak udowodnimy później, te dwa równania są ze sobą równoważne. Dla układów płaskich rozwiązaniem (1.83) jest równanie (1.78) tylko, że ze wskaźnikami do dołu.

Równoważność wzorów na linie geodezyjne w przedstawieniu kowariantnym i kontrawariantnym[edytuj]

Wzór na linię geodezyjną w przedstawieniu kontrawariantnym pomnóżmy przez tensor metryczny podwójnie kowariantny, oraz wykorzystując fakt, że pochodna tensora względem pewnego parametru jest tensorem oraz z własności tensorów metrycznych, otrzymujemy:

(1.84)

Wykorzystajmy własność taką, że ogólnie tensor czteroprędkości kontrawariantny Uα przedstawmy z zależności od kowariantnego tensora Uγ, co tensorowo możemy zapisać:

(1.85)

Wykorzystując tożsamość tensorową (1.85) do równości tensorowej (1.84):




(1.86)

Co na podstawie dowodu (1.86) udowodniliśmy równoważność wzorów przedstawiający równości na linię geodezyjną, czyli tożsamości (1.74) i (1.81), które oznaczają to samo.

Zgodność wzoru na linie geodezyjne z metryką[edytuj]

Formułę (1.9) zrózniczkujmy obustronnie, gdzie parametrem różniczkowym względem, którego różniczkujemy, jest interwał czasoprzestrzeny do:

(1.87)

Zkorzystajmy ze wzoru na linie geodezyjne, gdy liczymy pochodne kowariantne tensorów prędkości w przedstawieniu kontrawriantym (1.74) i kowariantnym (1.81), co pomnózmy go obustronnie przez kolejno przez i , co potem skorzystamy ze wzoru (1.87), wtedy:

(1.88)

Stąd tożsamość (1.88) jest na pewno spełniona, a więc wzór na linie geodezyjne jest zgodny z metryką.

Zasada zachowania energii-pędu dla układów lokalnie płaskich[edytuj]

W układzie lokalnie płaskim tensory Christoffela są równe zero z uwagi, że tensor metryczny jest równy tensorowi Minkowskiego i pochodne cząstkowe tego tensora są równe zero. Wtedy z uwagi na (1.74) rozwiązaniem równania tego jest (1.78), zatem tensor prędkości cząstki w układzie lokalnie płaskim, jeżeli przymniemy , jest równy:

(1.89)

Czyli dla układów lokalnie płaskich na podstawie (STW-2.53), w którym prędkości są stałe dowiadujemy się, że:

(1.90)

I dalej stąd dowiadujemy się, że na podstawie (1.90) energia i pęd w układzie lokalnie płaskim są zachowane. Też ten sam wniosek możemy otrzymać z (1.74) przy zerowaniu się symboli Christoffela.

Równanie dewiacyjne, dewiacja geodezyjna[edytuj]

Weźmy sobie dwie krzywe geodezyjna, odległość pomiędzy cząstkami poruszających się na tych liniach określamy według definicji , zatem różnica wzorów na linie geodezyjne (1.75) dla i dla układów lokalnie płaskich, określamy jako:

(1.91)

Napiszmy teraz drugą pochodną wielkości absolutnej ξ wykorzystując (MMF-2.33), a także (MMF-2.35) wykorzystując przy okazji udowodnioną tożsamość (1.91) dla układu współrzędnych lokalnie płaskiego, w której w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero:




(1.92)

Końcowy wniosek wynikający z obliczeń (1.92) jest słuszny tylko w układzie współrzędnych lokalnie płaskich, w której to w punktach płaskości tensor Christoffela jest równy zero. Udowodnijmy jego słuszność w dowolnym układzie współrzędnych:


(1.93)

Na podstawie obliczeń (1.93) wynikających z (1.92) wnioskujemy, że w dowolnym układzie współrzędnych jest spełnione prawo zwane równaniem dewiacyjnym:

(1.94)

Następny rozdział: Tensor gęstości energii

Podręcznik: Ogólna teoria względności