Przejdź do zawartości

Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego

[edytuj]

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając zakrzywienie czasoprzestrzeni uwzględniając jego człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

[edytuj]

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

(6.1)

Gęstość lagrangianu (6.1) jest słuszna, bo udowodniliśmy, że w (STW-44.28), a jeżeli , to (STW-44.45) przyjmuje wartość nieskończoną z dokładnością do znaku w mechanice Newtona (jest ona spełniona przy , bo układy słabozakrzywione) przy przejściu , a więc wtedy (STW-44.38) jest niespełnione, stąd w gęstości lagrangianu (STW-44.17), zatem postać gęstości lagrangianu rozważana w tym punkcie jest spełniona, a ona posłuży do wyliczenia jednego tylko tensora gęstości energii-pędu odpowiedzialnej tylko za oddziaływanie elektromagnetyczne. Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (5.35), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:


(6.2)

Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (5.35) wykorzystując wyliczony fakt (6.2), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

(6.3)

Tensor energii-pędu (6.3), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:


(6.4)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (6.4) ślad tensora gęstości energii pędu (6.3) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy .

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności

[edytuj]

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (6.3) wedle następującego sposobu:

(6.5)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (6.5) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:



(6.6)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.95) i ze wzoru (EK-26.14), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

(6.7)
(6.8)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (6.7) i tożsamości (6.8) i w ten sposób korzystając ze wzoru (6.6) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

(6.9)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (6.9), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:


(6.10)

Dlatego , bo mamy układ lokalnie płaski o glokalnie stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością lokalnie stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest lokalnie stały, czyli zachodzi: i , stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (6.10) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

(6.11)

Ale ponieważ z definicji tensora gęstości siły dla ładunku w polu elektromagnetycznym przedstawiamy wzorem (EK-26.61), stąd zachowawczość tensora energii-pędu tego pola jest równa:

(6.12)

Łącząc wzory (6.12) i (6.10) oraz przechodząc od układów lokalnie płaskich do zakrzywionych mamy:

(6.13)

Ostatnie równanie w (6.13) jest równaniem na cechowanie w polu elektromagnetycznym w układach zakrzywionych. To cechowanie dla układów zakrzywionych jest bardzo podobne do cechowania (STW-44.49) dla układów słabozakrzywionych, tylko zamiast średnika tam są przecinki.

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu

[edytuj]

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego
[edytuj]

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego (5.43) i elektromagnetycznego (6.1):

(6.14)
Całkowita gęstość lagrangianu
[edytuj]

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd:

(6.15)
Całkowita gęstość pędu
[edytuj]

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy (MT-8.1), znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu (6.14):

(6.16)

Całkowity lagrangian i pęd

[edytuj]

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy
[edytuj]

We wzorze (6.14) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób:

(6.17)
Całkowity lagrangian
[edytuj]

We wzorze (6.17) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:

(6.18)
Pęd uogólniony ładunku punktowego
[edytuj]

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego (6.16) zakładając, że ładunek jest punktowy:

(6.19)

Gęstość hamiltonianu masowego

[edytuj]

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (6.14) i gęstość pędu (6.16), zatem:


(6.20)

Hamiltonian (6.14) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu

[edytuj]

Widzimy, gdy we wzorze (6.14) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (6.15) piszemy w formie:

(6.21)

Widzimy, że w (6.21) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego (MMF-2.133).

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

[edytuj]

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (5.52) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (6.3), wtedy:

(6.22)

Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (6.22) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:

(6.23)

W równaniu (6.23) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych po zamienieniu przecinka średnikiem.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

[edytuj]

Jeżeli jest spełniona własność (6.23) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (6.22) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:

(6.24)

jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:

(6.25)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:

(6.26)
(6.27)

Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:

(6.28)

A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:

(6.29)

Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.