Ogólna teoria względności/Współrzędne Kruskala-Szekeresa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Współrzędne Kruskala-Szekeresa

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy rozpatrywać metrykę Kruskera-Szekeresa, i udowodnimy, że nasza metryka przechodzi w metrykę Schwarzchilda, i na podstawie tego wyznaczymy równoważność współrzędnych w metryce Schwarzschilda i współrzędnych Kruskala-Szekeresa.

Metryka Kruskala-Szekeresa[edytuj]

W prowadźmy nowy rodzaj współrzędnych w postaci (U,V,θ,φ), tak by interwał czasoprzestrzenny przyjął postać:

(11.1)

Jest on zależny od zmiennej U, V, a także od położenia radialnego r i na końcu od dΩ2, która jest różniczką zupełną zdefiniowana w (8.4), co jest równoważne po opuszczeniu nawiasów w metryce (11.1):

(11.2)

Należy zauważyć, że funkcja U=U(r,t), a także V=V(r,t) są funkcjami położenia radialnego r i czasu współrzędności-owego. Również "r" i "t" można przedstawić jako funkcję U i V.

Definicja współrzędnych Kruskala-Szekeresa[edytuj]

Mając już zdefiniowaną metrykę (11.2), wtedy można napisać współrzędne Kruskala-Szekeresa, dla dwóch współrzędnych U(r,t) i V(r,t) podaną dla dwóch przedziałów zmienności położenia radialnego ograniczonej promieniem Schwarzchilda :

Dla z przedziału zmiennej radialnej r∈(rg,∞):
(11.3)
Dla przedziału zmiennej radialnej r∈(0,rg)
(11.4)

Widzimy, że w punkcie dążącym do r=rg, funkcje U i V wedle (11.3) i (11.4) są ciągłe i równe zero. Dla naszego f(r) wprowadzonego w metryce (11.2) zdefiniujmy jako funkcję zależną od promienia radialnego r:

(11.5)

Następnie sprawdźmy, czy nasza metryką jest zgodna z naszymi obranymi współrzędnymi, czyli czy przechodzi w metrykę Schwarzchilda we współrzędnych kulistych, dla r>rg policzmy kolejne pochodne. Pierwsze pochodna cząstkowa zmiennej U względem czasu współrzędnościowego piszemy:

(11.6)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem czasu t współrzędnościowego wyrażamy:

(11.7)

Pochodną cząstkową zmiennej V względem promienia r współrzędnościowego:


(11.8)

Podobnie liczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego, czyli , stąd:

(11.9)

Wyznaczmy różniczkę zupełną dU z twierdzenia o różniczce zupełnej korzystając z już policzonych pochodnych cząstkowych zmiennej U względem czasu (11.6) i położenia radialnego (11.9):

(11.10)

A następnie policzmy różniczkę zupełną dV pdobnie jak w punkcie (11.10), ale tym razem korzystając z pochodnej zmiennej V względem czasu (11.8) i położenia radialnego (11.9):

(11.11)

A na samym końcu policzmy różnice kwadratów różniczek zupełnych policzonych, tzn.: (11.10), (11.11):



(11.12)

Policzmy wyrażenie w naszej metryce znając definicję funkcji f(r) (11.5) i policzoną przed chwilą różnicę kwadratów różniczek zupełnych (11.12), czyli:


(11.13)

Naszą rozważaną metryką w zmiennych (t,r ,θ,φ) jest metryka Schwarzchilda, co dowodzi że metryka Kruskala-Szekeresa jest uogólnieniem metryki Schwarzchilda dla którego punktem osobliwym funkcji f(r) jest dla r=0, ale same funkcje U(r) i V(r) nie posiadają w sobie punktów osobliwych, a w metryce Schwarzchilda jest punkt:, czyli doszliśmy do wniosku ostatnio, że metryka nasza tutaj rozważana przechodzi w metrykę Schwarzschilda zdefiniowanej w punkcie (8.67). Przypadek drugi (11.3) dla przypadku r<rg, dowodzimy podobnie.

Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa[edytuj]

(Rys. 11.1) Czasoprzestrzeń we współrzędnych Kruskala-Szekeresa

W czasoprzestrzeni we współrzędnych Kruskala-Szekersa jest podzielona na cztery obszary, górny i dolny, lewy i prawy. Na płaszczyźnie (U,V), każda linia odpowiada , Bowiem zachodzi po podzieleniu równań na U, V dla zmiennych (11.3) i zapisując je w postaci przekształconej:

, dla
(11.14)

A także dla tego samego zestawu zmiennej, ale dla innego przedziału zmienności zmiennej radialnej, czyli zachodzi po podzieleniu równań na U, V układu zmiennych (11.4) zapisując je w postaci przekształconej:

, dla
(11.15)

A więc mamy prostą dla stałego, tzn.: na płaszczyźnie: . Gdy , to mamy:, wtedy mamy:, zaś gdy , to mamy:, a zatem otrzymujemy U=0. Ale mamy dwie proste przechodzące przez początek układu współrzędnych wedle równania, która przedstawia zależność zmiennej U od V, czyli według (11.14) lub (11.15), bo wtedy ma sens proporcjonalność zmiennej U od zmiennej V tylko dla czasów współrzędnościowych niezerowych w tej geometrii. W naszej metryce obszar po lewej jest jakoby świat 1, z prawej świat 2, a obszar górny i dolny dotyczą wnętrza czarnej dziury.