Metody matematyczne fizyki

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Metody matematyczne fizyki jest to dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów fizycznych fizyki teoretycznej. Jest to teoria o polach wektorowych i skalarnych, na które działamy pewnymi operacjami różniczkowymi. Zajmuje się funkcjami zespolonymi, funkcjami Eulera, funkcjami sferycznymi, funkcjami Bessela, dystrybucjami, transformatami Fouriera i na samym końcu szeregami Fouriera i operatorami różniczkowymi.

Spis treści

Działania na wektorach

1. Układ współrzędnych
2. Definicja wektora
3. Dodawanie i odejmowanie wektorów
4. Norma wektora
5. Iloczyn skalarny
6. Iloczyn wektorowy
   1. Długość wyniku iloczynu wektorowego
7. Iloczyn mieszany
8. Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego
9. Symbol Leviego-Civity w iloczynie wektorowym
10. Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera

Rachunek tensorowy

1. Konwencja Einsteina
2. Tensor kowariantny
3. Tensor kontrawariantny
4. Definicja prostego tensora metrycznego
5. Definicja odwrotnego tensora metrycznego
6. Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach
7. Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
8. Baza krzywoliniowa a tensor metryczny
9. Definicja symboli Christoffela
10. Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kowariantnej
11. Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej
12. Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
13. Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela
14. Uogólnienie tensora absolutnego
15. Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
16. Własności tensora metrycznego
17. Wyznaczanie symboli Christoffela
18. Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych
19. Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
20. Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
21. Tensorowy charakter tensora krzywizny
22. Właściwości tensora krzywizny
23. Tożsamość Bianchiego
24. Tensor Ricciego

Układ współrzędnych

1. Układ kartezjański
   1. Współrzędne
   2. Podział płaszczyzny
   3. Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych
2. Układ cylindryczny
   1. Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego
      1. Jakobian przejścia
3. Układ sferyczny
   1. Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej
   2. Jakobian przejścia

Obrót układu współrzędnych

1. Obrót punktu wokół osi z
2. Obrót układu współrzędnych wokół osi z
3. Kąty Eulera
   1. Definicja

Całki i funkcje Eulera

1. Całka Eulera pierwszego rodzaju
2. Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)
3. Całka Eulera drugiego rodzaju
4. Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju
5. Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)
6. Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego
7. Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)
8. Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)
9. Wzór Stirlinga

Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

1. Równanie kuli
2. Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni
   1. Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej
   2. Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Operatory różniczkowe

1. Operator Nabla
2. Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych
3. Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych
4. Operator ∇ we współrzędnych cylindrycznych i kulistych
   1. Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych
   2. Operator Nabla we współrzędnych kulistych
5. Operator Δ
6. Operator Δ we współrzędnych uogólnionych
7. Operator Δ w układzie cylindrycznym i kulistym
   1. Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych
   2. Operator Δ we współrzędnych kulistych
8. Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych
   1. Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej
   2. Rotacja we współrzędnych cylindrycznych
   3. Rotacja we współrzędnych kulistej
9. Pochodne iloczynów
   1. Tożsamość pierwsza
   2. Tożsamość druga
   3. Tożsamość trzecia
   4. Tożsamości czwarta
   5. Tożsamość piąta
10. Twierdzenia całkowe
    1. Twierdzenie dla gradientów
    2. Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji)
    3. Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji)

Wprowadzenie do funkcji zespolonej

1. Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych
2. Płaszczyzna zespolona
3. Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej
   1. Przestawienie trygonometryczne
   2. Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej
4. Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne
5. Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych
6. Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego
7. Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu
8. Zastosowanie definicji residuum funkcji
9. Wyznaczanie residuum funkcji
10. Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych

Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

1. Definicje ortogonalności wielomianów Q_n
2. Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych
3. Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych
4. Wzór Rodriguesa
5. Wielomiany Legendre'a
6. Wielomiany Hermite'a
7. Wielomiany Laguerre'a
8. Wielomian Czebyszewa
9. Definicja normy wielomianów ortogonalnych
   1. Norma dla wielomianu Legendre'a
   2. Norma dla wielomianu Hermite'a
   3. Norma dla wielomianu Laguerre'a
   4. Norma dla wielomianu Czebyszewa
10. Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
11. Wielomiany ortogonalne a jego funkcje tworzące
    1. Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a
    2. Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a
    3. Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a

Funkcji sferyczne w matematyce

1. Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne
2. Funkcje sferyczne a jego ortogonalność
3. Normowanie funkcji sferycznych

Funkcje Bessela

1. Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania
2. Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca
3. Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe
4. Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2
5. Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych
6. Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0
7. Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym
8. Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela
9. Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela
10. Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych
11. Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela

Dystrybucje jako funkcje uogólnione

1. Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji
2. Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji
3. Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji
4. Przykłady dystrybucji
5. Ciągi zależne od delty ε i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy ε dążącej do zera
6. Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku
7. Różniczkowanie funkcji uogólnionych
8. Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu
9. Sploty funkcji uogólnionych
10. Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją
11. Przykład funkcji (delty) Diraca
12. Funkcja Heaviside'a

Szeregi Fouriera

1. Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji
2. Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T
3. Definicja szeregu Fouriera
4. Twierdzenie Bessela-Parsevala
5. Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów
   1. Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera
6. Policzalny postęp Fouriera

Wstęp do transformacji Fouriera

1. Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji
2. n-te pochodne transformaty Fouriera
3. Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych
4. Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji
5. Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji
6. Transformata Fouriera iloczynu skalarnego
7. Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej
8. Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej
9. Transformata Fouriera dla dystrybucji
10. Transformata Fouriera delty Diraca
11. Transformata Fouriera funkcji stałej
12. Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej
13. Transformata Fouriera dla potęgi
14. Transformata Fouriera funkcji sinus
15. Transformata Fouriera funkcji schodkowej

Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych

1. Iloczyn operatorowy
2. Funkcja, w której argumentem jest pewien operator
3. Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów
4. Definicja operatora sprzężonego
5. Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie
6. Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego
7. Definicja operatora odwrotnego
8. Definicja operatora unitarnego
9. Elementy macierzowe operatora
10. Definicja śladu operatora
11. Równanie własne, wektory i wartości własne operatora
12. Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym

Grupy i ich reprezentacje

1. Warunki jakie musi spełniać para (G, ), by być grupą
2. Grupy permutacji
3. Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej
4. Translacje, inwersje i odbicia
5. Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas
6. Grupy symetrii na podstawie molekuły wody
7. Podziały grup na klasy
8. Reprezentacji struktur, które są grupami
   1. Grupa symetrii wody
   2. Grupa symetrii amoniaku
9. Wstęp do reprezentacji równoważnej
10. Wstęp do reprezentacji przywiedlnych
11. Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej
12. Dowód lematu Schura
13. Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności
14. Reprezentacje i jego charaktery
15. Ortogonalna właściwość charakterów
16. Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery
17. Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji
18. Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje
19. Definicja iloczynu reprezentacji

Rachunek wariacyjny

1. Wariacje funkcji i funkcjonału
2. Ekstremum funkcjonału
3. Równanie Eulera-Lagrange'a
4. Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ

Transformacja Laplace'a

1. Definicja transformaty prostej Laplace'a
2. Przykłady transformat Laplace'a
3. Transformacja odwrotna
4. Transformata Laplace'a pochodnej
5. Transformata Laplace'a całki z oryginału
6. Transformata funkcji przesuniętej
7. Transformata funkcji f(at) dla a>0

Równania różnicowe liniowe

1. Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu
2. Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego

Funkcje Greena

1. Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego
2. Definicja operatorowej funkcji Greena
3. Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena
4. Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera
5. Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki.

Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie.

Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com.

Dotyczy: tej strony i jej podstron powiązanych ze sobą.

Użytkownika tej strony i jej podstron nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.

Licencja: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części.