Metody matematyczne fizyki
![]() |
Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych. |
Metody matematyczne fizyki jest to dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów fizycznych fizyki teoretycznej. Jest to teoria o polach wektorowych i skalarnych, na które działamy pewnymi operacjami różniczkowymi. Zajmuje się funkcjami zespolonymi, funkcjami Eulera, funkcjami sferycznymi, funkcjami Bessela, dystrybucjami, transformatami Fouriera i na samym końcu szeregami Fouriera i operatorami różniczkowymi.
Spis treści[edytuj]
Działania na wektorach
- Układ współrzędnych
- Definicja wektora
- Dodawanie i odejmowanie wektorów
- Norma wektora
- Iloczyn skalarny
- Iloczyn wektorowy
- Iloczyn mieszany
- Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego
- Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym
- Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera
Rachunek tensorowy
- Konwencja Einsteina
- Tensor kowariantny
- Tensor kontrawariantny
- Definicja prostego tensora metrycznego
- Definicja odwrotnego tensora metrycznego
- Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach
- Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
- Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny
- Definicja symboli Christoffela
- Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej
- Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej
- Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
- Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela
- Uogólnienie tensora absolutnego
- Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
- Własności tensora metrycznego
- Wyznaczanie symboli Christoffela
- Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych
- Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
- Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
- Tensorowy charakter tensora krzywizny
- Właściwości tensora krzywizny
- Tożsamość Bianchiego
- Tensor Ricciego
- Salar Ricciego
Układ współrzędnych
Obrót układu współrzędnych
Całki i funkcje Eulera
- Całka Eulera pierwszego rodzaju
- Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)
- Całka Eulera drugiego rodzaju
- Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju
- Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)
- Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego
- Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)
- Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)
- Wzór Stirlinga
Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej
Operatory różniczkowe
- Operator Nabla
- Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych
- Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych
- Operator ∇ we współrzędnych cylindrycznych i kulistych
- Operator Δ
- Operator Δ we współrzędnych uogólnionych
- Operator Δ w układzie cylindrycznym i kulistym
- Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych
- Pochodne iloczynów
- Twierdzenia całkowe
Wprowadzenie do funkcji zespolonej
- Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych
- Płaszczyzna zespolona
- Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej
- Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne
- Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych
- Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego
- Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu
- Zastosowanie definicji residuum funkcji
- Wyznaczanie residuum funkcji
- Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych
Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych
- Definicje ortogonalności wielomianów Qn
- Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych
- Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych
- Wzór Rodrigues'a
- Wielomiany Legendre'a
- Wielomiany Hermite'a
- Wielomiany Laguerre'a
- Wielomian Czebyszewa
- Definicja normy wielomianów ortogonalnych
- Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
- Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące
Funkcji sferyczne w matematyce
- Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne
- Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność
- Normowanie funkcji sferycznych
Funkcje Bessela
- Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania
- Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca
- Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe
- Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2
- Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych
- Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0
- Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym
- Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela
- Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela
- Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych
- Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela
Dystrybucje jako funkcje uogólnione
- Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji
- Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji
- Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji
- Przykłady dystrybucji
- Ciągi zależne od delty ε i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy ε dążącej do zera
- Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku
- Różniczkowanie funkcji uogólnionych
- Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu
- Sploty funkcji uogólnionych
- Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją
- Przykład funkcji (delty) Diraca
- Funkcja Heaviside'a
Szeregi Fouriera
- Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji
- Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T
- Definicja szeregu Fouriera
- Twierdzenie Bessela-Parsevala
- Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów
- Policzalny postęp Fouriera
Wstęp do transformacji Fouriera
- Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji
- n-te pochodne transformaty Fouriera
- Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych
- Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji
- Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji
- Transformata Fouriera iloczynu skalarnego
- Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej
- Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej
- Transformata Fouriera dla dystrybucji
- Transformata Fouriera delty Diraca
- Transformata Fouriera funkcji stałej
- Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej
- Transformata Fouriera dla potęgi
- Transformata Fouriera funkcji sinus
- Transformata Fouriera funkcji schodkowej
Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych
- Iloczyn operatorowy
- Funkcja, w której argumentem jest pewien operator
- Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów
- Definicja operatora sprzężonego
- Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie
- Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego
- Definicja operatora odwrotnego
- Definicja operatora unitarnego
- Elementy macierzowe operatora
- Definicja śladu operatora
- Równanie własne, wektory i wartości własne operatora
- Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym
Grupy i ich reprezentacje
- Warunki jakie musi spełniać para (G,⋅), by być grupą
- Grupy permutacji
- Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej
- Translacje, inwersje i odbicia
- Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas
- Grupy symetrii na podstawie molekuły wody
- Podziały grup na klasy
- Reprezentacji struktur, które są grupami
- Wstęp do reprezentacji równoważnej
- Wstęp do reprezentacji przywiedlnych
- Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej
- Dowód lematu Schura
- Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności
- Reprezentacje i jego charaktery
- Ortogonalna właściwość charakterów
- Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery
- Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji
- Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje
- Definicja iloczynu reprezentacji
Rachunek wariacyjny
- Wariacje funkcji i funkcjonału
- Ekstremum funkcjonału
- Równanie Eulera-Lagrange'a
- Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ
Transformacja Laplace'a
- Definicja transformaty prostej Laplace'a
- Przykłady transformat Laplace'a
- Transformacja odwrotna
- Transformata Laplace'a pochodnej
- Transformata Laplace'a całki z oryginału
- Transformata funkcji przesuniętej
- Transformata funkcji f(at) dla a>0
Równania różnicowe liniowe
Funkcje Greena
- Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego
- Definicja operatorowej funkcji Greena
- Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena
- Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera
- Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena
Bibliografia[edytuj]
Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.