Metody matematyczne fizyki

Książka wymaga poprawek językowych i stylistycznych.

Metody matematyczne fizyki jest to dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów fizycznych fizyki teoretycznej. Jest to teoria o polach wektorowych i skalarnych, na które działamy pewnymi operacjami różniczkowymi. Zajmuje się funkcjami zespolonymi, funkcjami Eulera, funkcjami sferycznymi, funkcjami Bessela, dystrybucjami, transformatami Fouriera i na samym końcu szeregami Fouriera i operatorami różniczkowymi.

Spis treści

Działania na wektorach

• 1Układ współrzędnych
• 2Definicja wektora
• 3Dodawanie i odejmowanie wektorów
• 4Norma wektora
• 5Iloczyn skalarny
• 6Iloczyn wektorowy
  • 6.1Długość wyniku iloczynu wektorowego
• 7Iloczyn mieszany
• 8Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego
• 9Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym
• 10Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera

Rachunek tensorowy

• 1Konwencja Einsteina
• 2Tensor kowariantny
• 3Tensor kontrawariantny
• 4Definicja prostego tensora metrycznego
• 5Definicja odwrotnego tensora metrycznego
• 6Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach
• 7Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
• 8Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny
• 9Definicja symboli Christoffela
• 10Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej
• 11Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej
• 12Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
• 13Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela
• 14Uogólnienie tensora absolutnego
• 15Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
• 16Własności tensora metrycznego
• 17Wyznaczanie symboli Christoffela
• 18Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych
• 19Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
• 20Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
• 21Tensorowy charakter tensora krzywizny
• 22Właściwości tensora krzywizny
• 23Tożsamość Bianchiego
• 24Tensor Ricciego
• 25Salar Ricciego

Układ współrzędnych

• 1Układ kartezjański
  • 1.1Współrzędne
  • 1.2Podział płaszczyzny
  • 1.3Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych
• 2Układ cylindryczny
  • 2.1Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego
    • 2.1.1Jakobian przejścia
• 3Układ sferyczny
  • 3.1Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej
  • 3.2Jakobian przejścia

Obrót układu współrzędnych

• 1Obrót punktu wokół osi z
• 2Obrót układu współrzędnych wokół osi z
• 3Kąty Eulera
  • 3.1Definicja

Całki i funkcje Eulera

• 1Całka Eulera pierwszego rodzaju
• 2Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)
• 3Całka Eulera drugiego rodzaju
• 4Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju
• 5Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)
• 6Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego
• 7Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)
• 8Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)
• 9Wzór Stirlinga

Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

• 1Równanie kuli
• 2Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni
  • 2.1Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej
  • 2.2Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Operatory różniczkowe

• 1Operator Nabla
• 2Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych
• 3Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych
• 4Operator ∇ we współrzędnych cylindrycznych i kulistych
  • 4.1Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych
  • 4.2Operator Nabla we współrzędnych kulistych
• 5Operator Δ
• 6Operator Δ we współrzędnych uogólnionych
• 7Operator Δ w układzie cylindrycznym i kulistym
  • 7.1Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych
  • 7.2Operator Δ we współrzędnych kulistych
• 8Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych
  • 8.1Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej
  • 8.2Rotacja we współrzędnych cylindrycznych
  • 8.3Rotacja we współrzędnych kulistej
• 9Pochodne iloczynów
  • 9.1Tożsamość pierwsza
  • 9.2Tożsamość druga
  • 9.3Tożsamość trzecia
  • 9.4Tożsamości czwarta
  • 9.5Tożsamość piąta
• 10Twierdzenia całkowe
  • 10.1Twierdzenie dla gradientów
  • 10.2Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji)
  • 10.3Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji)

Wprowadzenie do funkcji zespolonej

• 1Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych
• 2Płaszczyzna zespolona
• 3Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej
  • 3.1Przestawienie trygonometryczne
  • 3.2Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej
• 4Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne
• 5Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych
• 6Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego
• 7Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu
• 8Zastosowanie definicji residuum funkcji
• 9Wyznaczanie residuum funkcji
• 10Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych

Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

• 1Definicje ortogonalności wielomianów Q_n
• 2Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych
• 3Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych
• 4Wzór Rodrigues'a
• 5Wielomiany Legendre'a
• 6Wielomiany Hermite'a
• 7Wielomiany Laguerre'a
• 8Wielomian Czebyszewa
• 9Definicja normy wielomianów ortogonalnych
  • 9.1Norma dla wielomianu Legendre'a
  • 9.2Norma dla wielomianu Hermite'a
  • 9.3Norma dla wielomianu Laguerre'a
  • 9.4Norma dla wielomianu Czebyszewa
• 10Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
• 11Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące
  • 11.1Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a
  • 11.2Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a
  • 11.3Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a

Funkcji sferyczne w matematyce

• 1Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne
• 2Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność
• 3Normowanie funkcji sferycznych

Funkcje Bessela

• 1Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania
• 2Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca
• 3Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe
• 4Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2
• 5Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych
• 6Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0
• 7Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym
• 8Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela
• 9Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela
• 10Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych
• 11Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela

Dystrybucje jako funkcje uogólnione

• 1Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji
• 2Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji
• 3Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji
• 4Przykłady dystrybucji
• 5Ciągi zależne od delty ε i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy ε dążącej do zera
• 6Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku
• 7Różniczkowanie funkcji uogólnionych
• 8Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu
• 9Sploty funkcji uogólnionych
• 10Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją
• 11Przykład funkcji (delty) Diraca
• 12Funkcja Heaviside'a

Szeregi Fouriera

• 1Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji
• 2Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T
• 3Definicja szeregu Fouriera
• 4Twierdzenie Bessela-Parsevala
• 5Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów
  • 5.1Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera
• 6Policzalny postęp Fouriera

Wstęp do transformacji Fouriera

• 1Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji
• 2n-te pochodne transformaty Fouriera
• 3Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych
• 4Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji
• 5Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji
• 6Transformata Fouriera iloczynu skalarnego
• 7Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej
• 8Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej
• 9Transformata Fouriera dla dystrybucji
• 10Transformata Fouriera delty Diraca
• 11Transformata Fouriera funkcji stałej
• 12Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej
• 13Transformata Fouriera dla potęgi
• 14Transformata Fouriera funkcji sinus
• 15Transformata Fouriera funkcji schodkowej

Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych

• 1Iloczyn operatorowy
• 2Funkcja, w której argumentem jest pewien operator
• 3Wprowadzenie do teorii komutacji i antykomutacji dwóch operatorów
• 4Definicja operatora sprzężonego
• 5Iloczyn operatora i pewnego parametru, a tego sprzężenie
• 6Definicja operatora hermitowskiego, czyli operatora samo-sprzężonego
• 7Definicja operatora odwrotnego
• 8Definicja operatora unitarnego
• 9Elementy macierzowe operatora
• 10Definicja śladu operatora
• 11Równanie własne, wektory i wartości własne operatora
• 12Operatory hermitowskie w zagadnieniu własnym

Grupy i ich reprezentacje

• 1Warunki jakie musi spełniać para (G,⋅), by być grupą
• 2Grupy permutacji
• 3Grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej
• 4Translacje, inwersje i odbicia
• 5Definicje grupy cyklicznych, a także definicje podgrup i klas
• 6Grupy symetrii na podstawie molekuły wody
• 7Podziały grup na klasy
• 8Reprezentacji struktur, które są grupami
  • 8.1Grupa symetrii wody
  • 8.2Grupa symetrii amoniaku
• 9Wstęp do reprezentacji równoważnej
• 10Wstęp do reprezentacji przywiedlnych
• 11Właściwości komutacyjne dla reprezentacji nieprzywiedlnej
• 12Dowód lematu Schura
• 13Pełne przedstawienie twierdzenia o ortogonalności
• 14Reprezentacje i jego charaktery
• 15Ortogonalna właściwość charakterów
• 16Reprezentacje przywiedlne i jego charaktery
• 17Kryterium nieprzywiedlności reprezentacji
• 18Charaktery grup przemiennych i jego reprezentacje
• 19Definicja iloczynu reprezentacji

Rachunek wariacyjny

• 1Wariacje funkcji i funkcjonału
• 2Ekstremum funkcjonału
• 3Równanie Eulera-Lagrange'a
• 4Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ

Transformacja Laplace'a

• 1Definicja transformaty prostej Laplace'a
• 2Przykłady transformat Laplace'a
• 3Transformacja odwrotna
• 4Transformata Laplace'a pochodnej
• 5Transformata Laplace'a całki z oryginału
• 6Transformata funkcji przesuniętej
• 7Transformata funkcji f(at) dla a>0

Równania różnicowe liniowe

• 1Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu
• 2Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego

Funkcje Greena

• 1Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego
• 2Definicja operatorowej funkcji Greena
• 3Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena
• 4Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera
• 5Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena

Bibliografia

• Bibliografia

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.