Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Rachunek wariacyjny

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Punktem wyjścia rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale dla funkcji podcałkowej zależącego od argumentu x:

(17.1)

Funkcjonał w rachunku wariacyjnym jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:

(17.2)

Funkcjonał napisanej wedle we wzoru (17.1) nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że mamy do czynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.

Wariacje funkcji i funkcjonału[edytuj]

Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez δy i nazywamy tą wielkość jako różnicę funkcji y1 i funkcji y, to oznaczamy matematycznie:

(17.3)

Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość (17.3) modułu z wielkości (17.3) przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co piszemy:

(17.4)

Wariację funkcjonału L, czyli δy definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle sposobu:

(17.5)

Ostatni człon oznacza resztę, która jest małą wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y

Ekstremum funkcjonału[edytuj]

Funkcjonał uzyskuje minimum dla funkcji yo, jeśli funkcjonał funkcji y, czyli L[y] jest większy niż funkcjonał funkcji dla naszej wspomnianej funkcji yo, czyli L[yo]:

(17.6)

Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału. Warunkiem koniecznym istnienia funcjonału jest znikanie funkcjonału L dla tutaj funkcji szukanej y, otrzymujemy:

(17.7)

Równanie Eulera-Lagrange'a[edytuj]

Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji yo i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y0 niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=yo+δy Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie δy(a)=δy(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę (17.1), zatem wariacje δy' i δy są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y'(x)| i |y0(x)|, co matematycznie piszemy je dla x∈(a,b) równaniami:

(17.8)
(17.9)

Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych δy i δy' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:

(17.10)

Funkcję (17.10) wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie (17.1) i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego:

(17.11)

Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach (17.11) znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b), dla której wariacja funkcji y znika. Szukamy taką funkcję y dla której wariacja δ L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:

(17.12)

Funkcja podcałkowa w punkcie (17.12) jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego δ, zatem w takim przypadku zachodzi równość:

(17.13)

Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ[edytuj]

Funkcja we funkcjonale L[y] (17.1), w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasz badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F* tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja:

(17.14)

Mając już nową funkcję (17.14) i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do (17.1) i w ten sposób możemy określić funkcjonał L*, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór (17.13) wynikająca zerowania się wariacji funkcjonału F*, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia naszej szukanej funkcji y(x).

Następny rozdział: Transformacja Laplace'a Poprzedni rozdział: Grupy i ich reprezentacje

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki