Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy
Licencja
|
---|
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność. |
Podręcznik: Metody matematyczne fizyki.
Przestrzeń nieeuklidesowa - przestrzeń, która nie jest przestrzenią euklidesową, tzn. nie jest spełniony piąty postulat geometrii euklidesowej o prostych równoległych.
Konwencja Einsteina
[edytuj]W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego Tn i kowariantnego Sn, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać:
A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład (2.1) zapisujemy w prostszej postaci:
Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej).
Tensor kowariantny
[edytuj]Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi m, na nowe o takiej samej liczbie zmiennych:
Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina.
A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy:
Tensor kontrawariantny
[edytuj]Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu:
Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina:
A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy:
Definicja prostego tensora metrycznego
[edytuj]Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu:
W obliczeniach (2.9) wprowadziliśmy tensor gkr, mając zmienne xi przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym:
Mając powyższy wzór (2.10) tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji.
Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że:
W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy gkr=grk, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy g tensora metrycznego mamy: g=gT, bo .
Definicja odwrotnego tensora metrycznego
[edytuj]Tensor odwrotny do tensora metrycznego gkr definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie (2.10), wedle wzoru:
Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny (2.12) jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej:
W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy gkr=grk, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie (2.12) jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników k i r między sobą.
Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach
[edytuj]Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów:
Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do (2.14) lub (2.15).
Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego
[edytuj]Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego (2.10) i odwrotnego (2.12) oraz podobnych przekształceń do (2.14) i (2.15), kolejno postępując:
Na podstawie obliczeń (2.16) dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:
Macierz gmk jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz gij jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) gij wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.16).
Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny
[edytuj]W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych:
Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego (2.19) względem współrzędnej krzywoliniowej qm:
Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w (2.20) o wskaźnikach m i n, wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym (2.10), co wynika z definicji wektora kowariantnego (2.20):
Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie (2.21), który jest analogiczną definicją do (2.10). Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu:
Podnieśmy wskaźnik m do góry we wzorze (2.22), który jest wektorem (2.20) i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy przez n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n:
Definicja symboli Christoffela
[edytuj]Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną po ) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy :
Twierdzenie: Dla wektorów kobazy zachodzą związki
Dowód: Pomnóżmy wzór (2.24) przez i wykorzystajmy zależność (por. (2.22)):
Pomnóżmy (2.26) przez tensor metryczny i wykorzystajmy tożsamość (2.18):
Pomnóżmy obustronnie (2.27) przez :
Ponieważ (por. (2.20)), oraz
to równanie (2.28) można przekształcić do postaci:
Wykorzystując tożsamość (2.18) w (2.30) otrzymamy
Pierwsze dwa wyrazy w (2.31) redukują się, tzn. mamy
- otrzymaliśmy wzór (2.25) , cnd.
Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej
[edytuj]W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne Ai względem wersorów ei:
Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości:
Wykorzystać tożsamość (2.24) obliczamy różniczkę wektora ei
Wzór (2.35) wstawiamy do (2.34):
Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.36) otrzymujemy wzór:
Obie strony (2.37) dzielmy przez różniczkę du - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości xl względem zmiennej u pomnożonej przez wektor ek:
Wyrażenie w nawiasie wzoru (2.38) definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela:
Wyrażenie (2.38) nazywamy pochodna absolutną, a (2.39) jest pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej.
Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej
[edytuj]W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe Bi względem wektorów kontrawiantnych ei, wedle sposobu:
A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru (2.40) wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka dB wyraża się wzorem:
Możemy również, wykorzystując tożsamość (2.25) i używając jej we wzorze na różniczkę wersora ei, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym:
Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej (2.42) możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B (2.41), którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem:
Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.43) możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną:
A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru (2.44) pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela:
Wyrażenie (2.44) nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór (2.45) nazywamy pochodną kowariantną wielkości kowariantnej.
Pochodna tensorowa iloczynu tensorów
[edytuj]Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać:
Wyznaczmy lewą stronę równania (2.46), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.39), po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać:
Co kończy dowód.
Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci:
Wyznaczmy lewą stronę równania (2.48), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.45), i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony:
Co kończy dowód.
Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela
[edytuj]Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy φ napisaną względem wielkości α i β, co wyrazimy:
Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:
Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:
Pochodna cząstkowa względem parametru xα, a potem od parametru xα jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej:
W takim bądź razie wyrażenie (2.53), przy pomocy tożsamości (2.54) wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci:
Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej φ i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji φ (2.54), tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników:
Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako:
Weźmy wzór (2.24) i pomnóżmy go obustronnie przez wektor pamiętając, że , co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy:
A ponieważ wektor może być dowolny, wtedy z (2.58):
Porównajmy dwa wzory końcowy (2.59) z (2.24), wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego przemienność pierwszego wskaźnika z drugim:
Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od (2.60) możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując (2.56) (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co:
Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie (2.60)) i pierwszego z trzecim (2.61) wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi (2.57), co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry.
Uogólnienie tensora absolutnego
[edytuj]Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) eki:
Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy (2.62) piszemy:
Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów (2.33) i (2.40).
Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych
[edytuj]Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu (2.63), dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:
Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów (2.24) i (2.25), aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:
A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru (2.64) do którego podstawiamy dwie tożsamości (2.65) i (2.66), wtedy dostajemy:
Jeśli wzór (2.67) podzielimy przez wielkość du, dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości xl względem wielkości u i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:
A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie (2.68) względem wielkości xl, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela:
Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru (2.69), dla przykładów poniżej:
Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., które zapisujemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Własności tensora metrycznego
[edytuj]Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku μ, przy operacjach na wskaźnikach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do której zastosujemy tożsamość tensorową Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., którą zapisujemy z własności tensora metrycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Patrząc na wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Wyznaczanie symboli Christoffela
[edytuj]Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to wykorzystując przy okazji wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., możemy powiedzieć, że:
Poprzez permutację wskaźników we wzorze Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez gkr tożsamość otrzymaną w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przechodzimy do tożsamości: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Po przekształceniach w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Końcowy wynik zapisany w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych
[edytuj]Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wedle obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
- gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela:
Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych
[edytuj]Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wedle obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
- gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy:
Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych
[edytuj]Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., możemy zapisać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Mając wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Przepisując jeszcze raz końcowy wynik Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Inny równoważny do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. piszemy natomiast wedle wyobrażeń: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tensorowy charakter tensora krzywizny
[edytuj]Z definicji pochodnej tensorowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Tożsamość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wstawiamy do wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Właściwości tensora krzywizny
[edytuj]Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tożsamość Bianchiego
[edytuj]Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A dowód Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i korzystając przy tym z własności Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dochodzimy do wniosku: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Udowodniliśmy, że tensor Knl Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny.
Pochodna tensorowa tensora Knl zapisanego w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., przedstawia się wzorem wedle schematu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Dzięki temu wiemy, że; Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Teraz skorzystamy z definicji Knl Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a wtedy lewa strona Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest zapisana wzorem: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A także prawą stronę równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zapisujemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Dochodzimy do wniosku, że jeśli Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli wyrażenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są sobie równe, bo punkt Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Poniżej traktujemy jako zmienne gim i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako:
Poniżej traktujemy jako zmienne gim i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych. Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wykorzystując udowodnioną tożsamość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem gim, wtedy otrzymujemy wniosek: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Zatem tożsamość Bianchiego po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Tensor Ricciego
[edytuj]Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. piszemy wedle schematu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Powyższe skrajne równości są sobie równe w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Co kończy dowód.
Tensor Ricciego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.
Skalar Ricciego
[edytuj]A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej, wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.