Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy

Rachunek tensorowy

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przestrzeń nieeuklidesowa - przestrzeń, która nie jest przestrzenią euklidesową, tzn. nie jest spełniony piąty postulat geometrii euklidesowej o prostych równoległych.

Konwencja Einsteina

W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego Tⁿ i kowariantnego S_n, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać:

$P=\sum _{p}T^{p}S_{p}\;$

(2.1)

A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład (2.1) zapisujemy w prostszej postaci:

$P=T^{p}S_{p}\;$

(2.2)

Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej).

Tensor kowariantny

Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi m, na nowe o takiej samej liczbie zmiennych:

${\widehat {B}}_{p_{1}p_{2}...p_{n}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{2},..,{\widehat {q}}_{m})=\sum _{k_{i}}\left[\prod _{i=1}^{n}{{\partial q^{k_{i}}} \over {\partial {\widehat {q}}^{p_{i}}}}\right]B_{k_{1}k_{2}...k_{n}}(q_{1},q_{2},...,q_{m})\;$

(2.3)

Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina.

${\widehat {B}}_{p_{1}p_{2}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{2})={{\partial q^{k_{1}}} \over {\partial {\widehat {q}}^{p_{1}}}}{{\partial q^{k_{2}}} \over {\partial {\widehat {q}}^{p_{2}}}}B_{k_{1}k_{2}}(q_{1},q_{2})\;$

(2.4)

A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy:

${\widehat {B}}_{p_{1}p_{2}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{1},...,{\widehat {q}}_{m})={{\partial q^{k_{1}}} \over {\partial {\widehat {q}}^{p_{1}}}}{{\partial q^{k_{2}}} \over {\partial {\widehat {q}}^{p_{2}}}}B_{k_{1}k_{2}}(q_{1},q_{1},..,q_{m})\;$

(2.5)

Tensor kontrawariantny

Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu:

${\widehat {A}}^{p_{1}p_{2}...p_{n}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{2},...,{\widehat {q}}_{m})=\sum _{k_{i}}\left[\prod _{i=1}^{n}{{\partial {\widehat {q}}^{p_{i}}} \over {\partial q^{k_{i}}}}\right]A^{k_{1}k_{2}...k_{n}}(q_{1},q_{2},...,q_{m})\;$

(2.6)

Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina:

${\widehat {A}}^{p_{1}p_{2}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{2})={{\partial {\widehat {q}}^{p_{1}}} \over {\partial q^{k_{1}}}}{{\partial {\widehat {q}}^{p_{2}}} \over {\partial q^{k_{2}}}}{\widehat {A}}^{k_{1}k_{2}}(q_{1},q_{2})\;$

(2.7)

A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy:

${\widehat {A}}^{p_{1}p_{2}}({\widehat {q}}_{1},{\widehat {q}}_{2},...,{\widehat {q}}_{m})={{\partial {\widehat {q}}^{p_{1}}} \over {\partial q^{k_{1}}}}{{\partial {\widehat {q}}^{p_{2}}} \over {\partial q^{k_{2}}}}A^{k_{1}k_{2}}(q_{1},q_{2},...,q_{m})\;$

(2.8)

Definicja prostego tensora metrycznego

Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu:

$ds={\sqrt {dx^{i}dx^{i}}}={\sqrt {\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}}={\sqrt {\delta _{ij}{{\partial x^{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x^{j}} \over {\partial p^{r}}}dp^{k}dp^{r}}}={\sqrt {g_{kr}dp^{k}dp^{r}}}\;$

(2.9)

W obliczeniach (2.9) wprowadziliśmy tensor g_kr, mając zmienne xⁱ przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym:

$g_{kr}=\delta _{ij}{{\partial x^{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x^{j}} \over {\partial p^{r}}}\;$

(2.10)

Mając powyższy wzór (2.10) tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji.

Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że:

$g_{kr}=\delta _{ij}{{\partial x_{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x_{j}} \over {\partial p^{r}}}={{1} \over {2}}\left(\delta _{ij}{{\partial x_{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x_{j}} \over {\partial p^{r}}}+\delta _{ji}{{\partial x_{j}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial p^{r}}}\right)={{1} \over {2}}\delta _{ij}\left({{\partial x_{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x_{j}} \over {\partial p^{r}}}+{{\partial x_{j}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial p^{r}}}\right)\;$

(2.11)

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy g_kr=g_rk, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy g tensora metrycznego mamy: g=g^T, bo $g=[g_{ij}]_{nxn}\;$.

Definicja odwrotnego tensora metrycznego

Tensor odwrotny do tensora metrycznego g_kr definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie (2.10), wedle wzoru:

$g^{kr}=\delta ^{ij}{{\partial p^{k}} \over {\partial x^{i}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{j}}}$

(2.12)

Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny (2.12) jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej:

$g^{kr}=\delta ^{ij}{{\partial p^{k}} \over {\partial x^{i}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{j}}}={{1} \over {2}}\left(\delta ^{ij}{{\partial p^{k}} \over {\partial x^{i}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{j}}}+\delta ^{ji}{{\partial p^{k}} \over {\partial x^{j}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{i}}}\right)={{1} \over {2}}\delta ^{ij}\left({{\partial p^{k}} \over {\partial x^{i}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{j}}}+{{\partial p^{k}} \over {\partial x^{j}}}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{i}}}\right)$

(2.13)

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy g^kr=g^rk, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie (2.12) jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników k i r między sobą.

Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach

Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów:

$A^{p}=A_{s}g^{sp}\;$

(2.14)

$A_{p}=A^{s}g_{sp}\;$

(2.15)

Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do (2.14) lub (2.15).

Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego

Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego (2.10) i odwrotnego (2.12) oraz podobnych przekształceń do (2.14) i (2.15), kolejno postępując:

${g^{m}}_{k}={g_{k}}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta _{ij}{{\partial x^{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial x^{j}} \over {\partial p^{r}}}\delta ^{pq}{{\partial p^{r}} \over {\partial x^{p}}}{{\partial p^{m}} \over {\partial x^{q}}}={\delta ^{j}}_{p}\delta _{ij}\delta ^{pq}{{\partial x^{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial p^{m}} \over {\partial x^{q}}}={{\partial x^{i}} \over {\partial p^{k}}}{{\partial p^{m}} \over {\partial x^{i}}}={{\partial p^{m}} \over {\partial p^{k}}}={\delta ^{m}}_{k}={\delta _{k}}^{m}$

(2.16)

Na podstawie obliczeń (2.16) dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:

${g_{k}}^{m}={\delta _{k}}^{m}$

(2.17)

${g^{m}}_{k}={\delta ^{m}}_{k}$

(2.18)

Macierz g^m_k jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g_ij jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g^ij wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.16).

Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny

W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych:

${\vec {r}}={\vec {k}}_{i}x^{i}(q^{j})\;$

(2.19)

Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego (2.19) względem współrzędnej krzywoliniowej q^m:

${\vec {e}}_{m}={{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q^{m}}}={{\partial \left({\vec {k}}_{i}x^{i}\right)} \over {\partial q^{m}}}={\vec {k}}_{i}{{\partial x^{i}} \over {\partial q^{m}}}\;$

(2.20)

Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w (2.20) o wskaźnikach m i n, wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym (2.10), co wynika z definicji wektora kowariantnego (2.20):

${\vec {e}}_{m}{\vec {e}}_{n}={\vec {k}}_{i}{{\partial x^{i}} \over {\partial q^{m}}}{\vec {k}}_{j}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{n}}}=\delta _{ij}{{\partial x^{i}} \over {\partial q^{m}}}{{\partial x^{j}} \over {\partial q^{n}}}=g_{mn}\;$

(2.21)

Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie (2.21), który jest analogiczną definicją do (2.10). Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu:

$g_{mn}={\vec {e}}_{m}{\vec {e}}_{n}\;$

(2.22)

Podnieśmy wskaźnik m do góry we wzorze (2.22), który jest wektorem (2.20) i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy przez n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n:

${g^{m}}_{n}={\vec {e}}^{m}{\vec {e}}_{n}\;$

(2.23)

Definicja symboli Christoffela

Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną $e_{l}$ po $q^{l}$) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy $e_{j}$ - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy $e_{j}$:

$\nabla _{l}e_{j}\equiv {\frac {\partial e_{j}}{\partial q^{l}}}={\Gamma ^{k}}_{lj}e_{k}.\;$

(2.24)

Twierdzenie: Dla wektorów kobazy $e^{j}$ zachodzą związki

$\nabla _{l}e^{j}\equiv {\frac {\partial e^{j}}{\partial q^{l}}}=-{\Gamma ^{j}}_{lk}e^{k}\;$

(2.25)

Dowód: Pomnóżmy wzór (2.24) przez $e_{r}$ i wykorzystajmy zależność $e_{k}e_{r}=g_{kr}$ (por. (2.22)):

$\nabla _{l}e_{j}e_{r}={\Gamma ^{k}}_{lj}g_{kr}\;$

(2.26)

Pomnóżmy (2.26) przez tensor metryczny $g^{kr}$ i wykorzystajmy tożsamość (2.18):

$(\nabla _{l}e_{j})e_{r}g^{kr}={\Gamma ^{k}}_{lj}\;$

(2.27)

Pomnóżmy obustronnie (2.27) przez $e^{j}$:

$(\nabla _{l}e_{j})e_{r}g^{kr}e^{j}={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\;$

(2.28)

Ponieważ $e_{r}g^{kr}=e^{k}$ (por. (2.20)), oraz

$e^{i}e_{k}=e^{i}g_{sk}e^{s}=g_{sk}e^{i}e^{s}=g_{sk}g^{is}={g^{i}}_{k}={\delta ^{i}}_{k}\;$

(2.29)

to równanie (2.28) można przekształcić do postaci:

$(\nabla _{l}e_{j})e^{k}e^{j}={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\Rightarrow \nabla _{l}(e_{j}e^{k}e^{j})-(\nabla _{l}e^{k})e_{j}e^{j}-(\nabla _{l}e^{j})e_{j}e^{k}={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\Rightarrow (\nabla _{l}e^{k}{g^{j}}_{j})-(\nabla _{l}e^{k}){g^{j}}_{j}-(\nabla _{l}e^{j}){g^{k}}_{j}={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\;$

(2.30)

Wykorzystując tożsamość (2.18) w (2.30) otrzymamy

$(\nabla _{l}e^{k}){g^{j}}_{j}-(\nabla _{l}e^{k}){g^{j}}_{j}-(\nabla _{l}e^{k})={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\;$

(2.31)

Pierwsze dwa wyrazy w (2.31) redukują się, tzn. mamy

$-(\nabla _{l}e^{k})={\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\Rightarrow (\nabla _{l}e^{k})=-{\Gamma ^{k}}_{lj}e^{j}\;$

(2.32)

- otrzymaliśmy wzór (2.25) , cnd.

Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne Aⁱ względem wersorów e_i:

$A=A^{i}e_{i}\;\;$

(2.33)

Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości:

$dA=dA^{i}e_{i}+A^{i}de_{i}\;\;$

(2.34)

Wykorzystać tożsamość (2.24) obliczamy różniczkę wektora e_i

$de_{i}={{\partial e_{i}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}=\nabla _{l}e_{i}dx^{l}={\Gamma ^{k}}_{li}e_{k}dx^{l}\;$

(2.35)

Wzór (2.35) wstawiamy do (2.34):

$dA={{\partial A^{i}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}e_{i}+A^{i}{\Gamma ^{k}}_{li}e_{k}dx^{l}\;$

(2.36)

Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.36) otrzymujemy wzór:

$dA={{\partial A^{k}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}e_{k}+A^{i}{\Gamma ^{k}}_{li}e_{k}dx^{l}\;$

(2.37)

Obie strony (2.37) dzielmy przez różniczkę du - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości x^l względem zmiennej u pomnożonej przez wektor e_k:

${{dA} \over {du}}=\left({{\partial A^{k}} \over {\partial x^{l}}}+A^{i}{\Gamma ^{k}}_{li}\right){{dx^{l}} \over {du}}e_{k}\;$

(2.38)

Wyrażenie w nawiasie wzoru (2.38) definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela:

${A^{k}}_{;l}={{\partial A^{k}} \over {\partial x^{l}}}+A^{i}{\Gamma ^{k}}_{li}\;$

(2.39)

Wyrażenie (2.38) nazywamy pochodna absolutną, a (2.39) jest pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej.

Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B_i względem wektorów kontrawiantnych eⁱ, wedle sposobu:

$B=B_{j}e^{j}\;\;$

(2.40)

A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru (2.40) wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka dB wyraża się wzorem:

$dB=dB_{j}e^{j}+Bde^{j}\;\;$

(2.41)

Możemy również, wykorzystując tożsamość (2.25) i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e_i, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym:

$de^{j}={{\partial e^{j}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}=\nabla _{l}e^{j}dx^{l}=-{\Gamma ^{j}}_{lk}e^{k}dx^{l}\;$

(2.42)

Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej (2.42) możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B (2.41), którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem:

$dB={{\partial B_{j}} \over {\partial x^{l}}}e^{j}dx^{l}+B_{j}\nabla _{l}e^{j}dx^{l}={{\partial B_{j}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}e^{j}-B_{j}{\Gamma ^{j}}_{lk}e^{k}dx^{l}\;$

(2.43)

Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.43) możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną:

${{dB} \over {du}}=\left({{\partial B_{k}} \over {\partial x^{l}}}-B_{j}{\Gamma ^{j}}_{lk}\right){{dx^{l}} \over {du}}e^{k}=\left({{\partial B_{k}} \over {\partial x^{l}}}-B_{j}{\Gamma ^{j}}_{lk}\right){{dx^{l}} \over {du}}e^{k}\;$

(2.44)

A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru (2.44) pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela:

$B_{k;l}={{\partial B_{k}} \over {\partial x^{l}}}-B_{j}{\Gamma ^{j}}_{lk}\;$

(2.45)

Wyrażenie (2.44) nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór (2.45) nazywamy pochodną kowariantną wielkości kowariantnej.

Pochodna tensorowa iloczynu tensorów

Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać:

$(A^{i}B^{j})_{;k}={A^{i}}_{;k}B^{j}+A^{i}{B^{j}}_{;k}\;$

(2.46)

Wyznaczmy lewą stronę równania (2.46), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.39), po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać:

$(A^{i}B^{j})_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma ^{i}}_{ks}C^{sj}+{\Gamma ^{j}}_{ks}C^{is}={(A^{i}B^{j})}_{,k}+{\Gamma ^{i}}_{ls}A^{s}B^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ks}A^{i}B^{s}=\;$
$={A^{i}}_{,k}B^{j}+A^{i}{B^{j}}_{,k}+({\Gamma ^{i}}_{ls}A^{s})B^{j}+({\Gamma ^{j}}_{ks}B^{s})A^{i}=B^{j}({A^{i}}_{,k}+{\Gamma ^{i}}_{ls}A^{s})+A^{i}({B^{j}}_{,k}+\Gamma _{ks}^{j}B^{s})={A^{i}}_{;k}B^{j}+A^{i}{B^{j}}_{;k}\;$

(2.47)

Co kończy dowód.

Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci:

$(A_{i}B_{j})_{;k}={A_{i}}_{;k}B_{j}+A_{i}{B_{j}}_{;k}\;$

(2.48)

Wyznaczmy lewą stronę równania (2.48), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.45), i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony:

$(A_{i}B_{i})_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma ^{s}}_{ik}C_{sj}-{\Gamma ^{s}}_{jk}C^{is}=(A_{i}B_{i})_{,k}-{\Gamma ^{s}}_{ik}A_{s}B_{j}-{\Gamma ^{s}}_{jk}A_{i}B_{s}=\;$
$=A_{i}B_{j,k}+A_{i,k}B_{j}-{\Gamma ^{s}}_{ik}A_{s}B_{j}-{\Gamma ^{s}}_{jk}B_{s}A_{i}=A_{i}(B_{j,k}-{\Gamma ^{s}}_{jk}B_{s})+(A_{i,k}-{\Gamma ^{s}}_{ik}A_{s})B_{j}=A_{i}B_{j;k}+A_{i;k}B_{j}\;$

(2.49)

Co kończy dowód.

Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela

Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy φ napisaną względem wielkości α i β, co wyrazimy:

$\phi _{,i,j}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}{{\partial } \over {\partial x^{j}}}\phi \;$

(2.50)

Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:

$\phi _{;i;j}=\phi _{;j;i}\;$

(2.51)

$\phi _{,i}=\phi _{;i}\wedge \phi _{,j}=\phi _{;j}\;$

(2.52)

Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:

$\phi _{,i,j}-\phi _{,k}{\Gamma ^{k}}_{ij}=\phi _{,j,i}-\phi _{,k}{\Gamma ^{k}}_{ji}\;$

(2.53)

Pochodna cząstkowa względem parametru x^α, a potem od parametru x^α jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej:

$\phi _{,j,i}=\phi _{,i,j}\;$

(2.54)

W takim bądź razie wyrażenie (2.53), przy pomocy tożsamości (2.54) wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci:

$\phi _{,k}{\Gamma ^{k}}_{ij}=\phi _{,k}{\Gamma ^{k}}_{ji}\;$

(2.55)

Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej φ i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji φ (2.54), tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników:

${\Gamma ^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ji}\;$

(2.56)

Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako:

$\Gamma _{kij}=\Gamma _{ikj}=\Gamma _{jik}\;$

(2.57)

Weźmy wzór (2.24) i pomnóżmy go obustronnie przez wektor $e_{l}\;$ pamiętając, że $e_{k}e^{l}=e_{l}e^{k}={\delta _{k}}^{l}={\delta _{l}}^{k}\;$, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy:

$(\nabla _{l}e_{j})e^{l}={\Gamma ^{k}}_{lj}e_{k}e^{l}\Rightarrow (\nabla _{l}e_{j})e^{l}={\Gamma ^{l}}_{kj}e_{k}e^{l}\Rightarrow (\nabla _{l}e_{j})e^{l}={\Gamma ^{l}}_{kj}e^{k}e_{l}\Rightarrow (\nabla _{l}e_{j})e^{l}={{{\Gamma _{l}}^{k}}_{j}}e_{k}e^{l}\Rightarrow \left((\nabla _{l}e_{j})-{{{\Gamma _{l}}^{k}}_{j}}e_{k}\right)e^{l}=0$

(2.58)

A ponieważ wektor $e^{l}\;$ może być dowolny, wtedy z (2.58):

$\nabla _{l}e_{j}-{{{\Gamma _{l}}^{k}}_{j}}e_{k}=0\Rightarrow \nabla _{l}e_{j}={{{\Gamma _{l}}^{k}}_{j}}e_{k}\;$

(2.59)

Porównajmy dwa wzory końcowy (2.59) z (2.24), wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego $e_{k}\;$ przemienność pierwszego wskaźnika z drugim:

${\Gamma ^{k}}_{lj}={{{\Gamma _{l}}^{k}}_{j}}\;$

(2.60)

Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od (2.60) możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując (2.56) (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co:

${\Gamma ^{k}}_{lj}={\Gamma _{jl}}^{k}\;$

(2.61)

Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie (2.60)) i pierwszego z trzecim (2.61) wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi (2.57), co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry.

Uogólnienie tensora absolutnego

Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e_ki:

$A=A_{r_{1},r_{2},...,r_{m}}^{k_{1},k_{2},..,k_{r}}e_{k_{1}}e_{k_{2}}\cdot ...\cdot e_{k_{r}}e^{r_{1}}e^{r_{2}}\cdot ...\cdot e^{r_{m}}\;\;$

(2.62)

Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy (2.62) piszemy:

$A=A_{r_{1},r_{2},...,r_{m}}^{k_{1},k_{2},..,k_{r}}\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\;$

(2.63)

Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów (2.33) i (2.40).

Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych

Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu (2.63), dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:

$dA=d\left[\left(A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\right)\right]=d\left(A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}\right)\left(\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\right)+\left(\sum _{q=1}^{r}A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{...,k_{q-1},k_{q},k_{q+1},...}de_{k_{q}}\prod _{i=1,i\neq q}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\right)+\;$
$+\left(\sum _{q=1}^{m}A_{...,r_{q-1},r_{q},r_{q+1},...}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}de^{r_{q}}\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1,i\neq q}^{m}e^{r^{i}}\right)\;$

(2.64)

Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów (2.24) i (2.25), aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:

$de_{q}={{\partial e_{q}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}=\nabla _{l}e_{q}dx^{l}={\Gamma ^{k}}_{lq}e_{k}dx^{l}\;$

(2.65)

$de^{q}={{\partial e_{q}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}=\nabla _{l}e^{q}dx^{l}=-{\Gamma ^{q}}_{lk}e^{k}dx^{l}\;$

(2.66)

A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru (2.64) do którego podstawiamy dwie tożsamości (2.65) i (2.66), wtedy dostajemy:

$dA={{\partial A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}} \over {\partial x^{l}}}dx^{l}\left(\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\right)+\sum _{i=1}^{r}A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}{\Gamma ^{k_{i}}}_{lq}dx^{l}\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}+\;$
$-\sum _{i=1}^{m}A_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}{\Gamma ^{q}}_{lr_{i}}\left(\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}dx^{l}\right)\;$

(2.67)

Jeśli wzór (2.67) podzielimy przez wielkość du, dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x^l względem wielkości u i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:

${{dA} \over {du}}=\left({{\partial A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}} \over {\partial x^{l}}}+\sum _{i=1}^{r}A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}{\Gamma ^{k_{i}}}_{lq}-\sum _{i=1}^{m}A_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}{\Gamma ^{q}}_{lr_{i}}\right){{dx^{l}} \over {du}}\prod _{i=1}^{r}e_{k_{i}}\prod _{i=1}^{m}e^{r_{i}}\;$

(2.68)

A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie (2.68) względem wielkości x^l, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela:

$A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m};l}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}={{\partial A_{r_{q},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}} \over {\partial x^{l}}}+\sum _{i=1}^{r}A_{r_{1},r_{2},r_{3},..,r_{m}}^{...,k_{i-1},q,k_{i+1}...}{\Gamma ^{k_{i}}}_{lq}-\sum _{i=1}^{m}A_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}^{k_{1},k_{2},k_{3},...,k_{r}}{\Gamma ^{q}}_{lr_{i}}\;$

(2.69)

Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru (2.69), dla przykładów poniżej:

Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru , które zapisujemy:

Własności tensora metrycznego

Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać: Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu: Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku μ, przy operacjach na wskaźnikach: Równość do której zastosujemy tożsamość tensorową , którą zapisujemy z własności tensora metrycznego: Patrząc na wzór i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości:

Wyznaczanie symboli Christoffela

Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi , to wykorzystując przy okazji wzór , możemy powiedzieć, że:

Poprzez permutację wskaźników we wzorze otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:

Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku:

Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g^kr tożsamość otrzymaną w punkcie przechodzimy do tożsamości: Po przekształceniach w punkcie wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego , co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy: Końcowy wynik zapisany w punkcie jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności:

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu , to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo: Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową , to wyrażenie możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego: Wyrażenie wedle obliczeń zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela:

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu , może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo: Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową , to wyrażenie możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru: Wyrażenie wedle obliczeń zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy:

Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych

Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru , w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później: Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu , to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość: Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej , możemy zapisać: Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru , korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje , korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego: Mając wzór , a także tożsamości i , wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać: Przepisując jeszcze raz końcowy wynik , wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu: Inny równoważny do czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci: Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń piszemy natomiast wedle wyobrażeń:

Tensorowy charakter tensora krzywizny

Z definicji pochodnej tensorowej możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci: Tożsamość wstawiamy do wzoru na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu: Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie . Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż:

Właściwości tensora krzywizny

Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny , dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu:

Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny , dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu:

Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny , dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania: Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje: Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru . Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej: Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy:

Tożsamość Bianchiego

Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym: Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem . Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy: Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci: Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus: A dowód przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie i korzystając przy tym z własności , dochodzimy do wniosku: Udowodniliśmy, że tensor K_nl , jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny.

Pochodna tensorowa tensora K_nl zapisanego w punkcie , przedstawia się wzorem wedle schematu: Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości . Dzięki temu wiemy, że;

Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach: Teraz skorzystamy z definicji K_nl i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu , a wtedy lewa strona jest zapisana wzorem: A także prawą stronę równości zapisujemy:

Dochodzimy do wniosku, że jeśli , czyli wyrażenia i są sobie równe, bo punkt , mamy: Poniżej traktujemy jako zmienne g_im i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako:

Poniżej traktujemy jako zmienne g^im i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych. Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości wykorzystując udowodnioną tożsamość i : Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego względem g^im, wtedy otrzymujemy wniosek: Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość . Zatem tożsamość Bianchiego po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku:

Tensor Ricciego

Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym piszemy wedle schematu: Powyższe skrajne równości są sobie równe w . Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny : Co kończy dowód.

Tensor Ricciego zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora:

Skalar Ricciego

A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej, wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny: