Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

Wprowadzenie do wielomianów ortogonalnych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W tym rozdziale zapoznamy się z wielomianami, którego definicja jest przestawiana wzorem poniżej, jest ona kombinacją liniową funkcji potęgowych xⁿ ze współczynnikami a_n i b_n:

$Q_{n}(x)=a_{n}x^{n}+b_{n}x^{n-1}+...\;$

(9.1)

Będziemy się również zajmować wielomianami Legendre'a P_n, Hermite'a H_n i Laguerre'a L_n i na samym końcu Czebyszewa T_n. Każdy z tych wielomianów ma swoją dziedzinę zapisanych w przedziałach dla każdego wielomianu z osobna, podamy też dla tych wielomianów funkcje czemu są równe: $\rho \;$, $A\;$, $B\;$.

• ${\begin{matrix}P_{n}(x):&\rho =1&A=0&B=1-x^{2}&x\in (-1,1)\\H_{n}(x):&\rho =e^{-x^{2}}&A=-2x&B=1&x\in (-\infty ,+\infty )\\L_{n}(x):&\rho =x^{\lambda }e^{-x}&A=\lambda -x&B=x&x\in (0,\infty )\\T_{n}(x):&\rho ={{1} \over {\sqrt {1-x^{2}}}}&A=x&B=1-x^{2}&x\in (-1,1)\\\end{matrix}}\;$

Definicje ortogonalności wielomianów Q_n

Zdefiniujmy iloczyn skalarny dwóch funcji jednej zmiennej f(x) i g(x), w przedziale (α,β).

$(f,g)=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x)dx\;$

(9.2)

Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne, jeśli zachodzi warunek (f,g)=0. Wprowadzając do wzoru (9.2) wagę ρ(x), możemy zdefiniować iloczyn skalarny dwóch wielomianów jako:

$(Q_{n},Q_{m})=\int _{\alpha }^{\beta }Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)dx\;$

(9.3)

.

Wielomiany (9.1) są z definicji ortogonalne, tzn. zachodzi związek (Q_n,Q_m)=δ_nm

Wstęp do własności wielomianów ortogonalnych

Każdą potęgę x^k możemy przestawić jako kombinację liniową wielomianów ortogonalnych Q₀, Q₁,Q₂,Q₃,...,Q_k, wtedy na podstawie tej własności funkcja potęgowa dla k<n jest ortogonalna z wielomianem Q_n:

$(x^{k},Q_{n})=0{\mbox{ dla }}k=0,1,2,3,...,n-1\;$

(9.4)

Funkcja ortogonalna Q_n ma n pierwiastków, bo to wynika z tego, że ona jest iloczynem n czynników (x-x_j), zatem nasz wspomniany wielomian piszemy wedle schematu:

$Q_{n}(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\cdot ...\cdot (x-x_{n})\;$

(9.5)

Aby przeprowadzić dowód przedstawienia funkcji Q_n w postaci iloczynów pewnych czynników (9.5) musimy przeprowadzić dowód nie wprost, zatem załóżmy, że nasz wielomian ma m<n pierwiastków, wtedy wielomian Q_n zapisujemy:

$Q_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\cdot ...\cdot (x-x_{m})W_{n-m}(x)\;$

(9.6)

Iloczyn skalarny wielomianu ortogonalnego Q_n(x) (9.6) i wielomianu zdefiniowane w punkcie (9.5) na mocy twierdzenia (9.4) jest równy zero, na podstawie definicji iloczynu skalarnego (9.3), zatem iloczyn skalarny napisany tuż niżej dla m<n jest po prostu równy zero:

$I=(Q_{n},(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\cdot ...\cdot (x-x_{m})=\int _{\alpha }^{\beta }Q_{n}(x)(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})\cdot ...\cdot (x-x_{m}))\rho (x)dx\;$

(9.7)

Ale z drugiej jednak strony ten sam wielomian (9.5) możemy przepisać w postaci wielomianów o ustalonych znakach, zatem iloczyn skalarny (9.7), dla obranej odpowiedniej funkcji Q_n wyżej zdefiniowaną, piszemy:

$I=\int _{\alpha }^{\beta }(x-x_{1})^{2}(x-x_{2})^{2}...(x-x_{m})^{2}W_{n-m}(x)\rho (x)dx\;$

(9.8)

Przeprowadźmy dowód nie wprost i załóżmy, że wielomian ma mniej pierwiastów niż n, tzn. ma ich m, a W_n-m nie ma pierwiastków rzeczywistych. Na podstawie wzoru (9.7) całka jest równa zero, bo zachodzi m<n, a całka (9.8), w której występują czynniki podniesione do kwadratu, które są ustalonego znaku, ale 0<n-m<n, jest nie równa zero, bo wielomian W_n-m jest ustalonego znaku, zatem ten sam wynik (9.7) i (9.8) przyjmuje raz wynik równy zero, a za drugim razem jest nierówny zero, wtedy mamy sprzeczność, ale gdy m=n bo (m<n), to wtedy też jest sprzeczność, stąd wielomian Q_n ma n pierwiastków. A więc dostajemy, że wielomian ortogonalny Q_n ma n pierwiastków i da się przedstawić wzorem (9.5).

Wielomiany ortogonalne jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych

Tutaj będziemy rozpatrywać wielomiany ortogonalne spełniających warunki ortogonalności. Aby przeprowadzić dalsze obliczenia napiszmy wielomian wymierny napisaną wedle schematu poniżej, który to jest ilorazem pochodnej zmiennej ρ, która jest wagą przy całkowaniu przy iloczynie skalarnym (9.3), przez tą samą wagę, które to wyrażenie jest ilorazem wielomianu A przez B, zatem w takim przypadku ten iloraz spełnia tożsamość (pierwszy wzór), a także napiszmy warunek na równość w punktach brzegowych x=α,β, który to jest iloczynem wagi ρ(x) i wielomianu B(x), który jest równy zero w tymże punktach:

${{{\rho ^{'}} \over {\rho }}={{A} \over {B}}}\;$

(9.9)

$\rho (x)B(x)=0{\mbox{ dla }}x=\alpha ,\beta \;$

(9.10)

Wyznaczmy funkcję V, która będzie nam bardzo potrzebna w toku dalszych obliczeń przy wyznaczeniu odpowiedniego typu równań różniczkowych, w tym celu należy skorzystać z równości (9.9), zatem:

$V={{1} \over {\rho }}\left(\rho BQ_{n}^{'}\right)^{'}={{1} \over {\rho }}\left[\rho ^{'}BQ_{n}^{'}+\rho B^{'}Q_{n}^{'}+\rho BQ_{n}^{''}\right]={{\rho ^{'}} \over {\rho }}BQ_{n}^{'}+B^{'}Q_{n}^{'}+BQ_{n}^{''}={{A} \over {B}}BQ_{n}^{'}+B^{'}Q_{n}^{'}+BQ_{n}^{''}=\;$
$=\left(A+B^{'}\right)Q_{n}^{'}+BQ_{n}^{''}\;$

(9.11)

Zbadajmy ortogonalność wielomianów V z funkcją potęgową x^k dla k<n, wtedy obliczmy najpierw iloczyn skalarny funkcji V z funkcją potęgową, i sprawdzimy później czy te tutaj wspomniane wielomiany są do siebie ortogonalne, ale najpierw całkując w tak otrzymanym iloczynie skalarnym przez części, dochodzimy do wniosku:

$(V,x^{k})=\int _{\alpha }^{\beta }x^{k}(\rho BQ_{n}^{'})^{'}dx=x^{k}\rho BQ_{n}^{'}{\Bigg |}_{\alpha }^{\beta }-k\int _{\alpha }^{\beta }x^{k-1}\rho (x)B(x)Q_{n}^{'}(x)dx\;$

(9.12)

Zakładamy, że iloczyn ρ(x)B(x) w punktach α i β jest równy zero, czyli zachodzi wzór (9.10), zatem pierwszy składnik we wzorze (9.12) znika, zatem pozostaje nam tylko drugi składnik, którego całkujemy przez części.

$(V,x^{k})=k\int _{\alpha }^{\beta }\left(x^{k-1}\rho (x)B(x))\right)^{'}Q_{n}(x)dx=k\int _{\alpha }^{\beta }\left[(k-1)x^{k-2}\rho (x)B(x)+x^{k-1}\left(\rho (x)B(x)\right)^{'}\right]Q_{n}(x)dx=\;$
$=k\int _{\alpha }^{\beta }\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}{{1} \over {\rho }}\left(\rho ^{'}(x)B+\rho B^{'}\right)\right]Q_{n}(x)\rho (x)dx=\;$
$=k\int _{\alpha }^{\beta }\left[(k-1)x^{k-2}B(x)+x^{k-1}\left(A+B^{'}\right)\right]Q_{n}(x)\rho (x)dx$

(9.13)

Ponieważ wyrażenia x^k i x^k-1 są wielomianami, dla których zachodzi k<n, zatem wielomian Q_n jest prostopadły do funkcji potęgowej, stąd wynika, że wyrażenie (9.13) jest równe zero, zatem wielomian V zdefiniowany w punkcie (9.11) jest wielomianem prostopadłym do funkcji potęgowej x^k, zatem w takim przypadku możemy napisać, że wielomian V jest wyrażamy wzorem V=γ Q_n:

$\left(A+B^{'}\right)Q_{n}^{'}+BQ_{n}^{''}=\gamma Q_{n}\;$

(9.14)

Współczynnik γ wyznaczamy w równaniu różniczkowym (9.14) w taki sposób by porównać w nim wyrazy stojące przy xⁿ, to w takim razie dostajemy:

$\gamma =n\left[A_{1}+(n+1)B_{2}\right]\;$

(9.15)

Mając równanie różniczkowe (9.14) na wielomian ortogonalny Q_n zdefiniowanej w punkcie (9.1), zatem możemy napisać wzory różniczkowe na wielomiany Legendre'a P_n, Hermite'a H_n,Laguerre'a L_n i Czybyszewa T_n podstawiając za A i B pewne ściśle określone wielomiany:

Wielomian Legendre'a Pn	Wielomian Hermite'a Hn
$(1-x^{2})P_{n}^{''}-2xP_{n}^{'}+n(n+1)P_{n}=0$ (9.16)	$H_{n}^{''}-2xH_{n}^{'}+2nH_{n}=0\;$ (9.17)
Wielomian Laguerre'a Ln	Wielomian Czebyszewa Tn
$xL_{n}^{''}+(\lambda +1-x)L_{n}^{'}+nL_{n}=0\;$ (9.18)	$(1-x^{2})T_{n}^{''}-xT_{n}^{'}+n^{2}T_{n}=0\;$ (9.19)

Wzór Rodrigues'a

Można wykazać, że wielomiany ortogonalne można zapisać nade wszystko w prostej postaci. Wielomiany $Q_{n}(x);$ i ${\tilde {Q}}_{n}\;$ są to wielomiany różniące się tylko stałym czynnikiem, wtedy wzór Rodrigues'a wyrażamy:

$Q_{n}-{\tilde {Q}}_{n}={{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{(n)}\;$

(9.20)

Znając wzór (9.20) nie jesteśmy pewni, czy wielomian ${\tilde {Q}}_{n}(x)\;$ jest w ogóle wielomianem, zatem zapiszmy wielomian poniżej i sprawdźmy czemu jest równy wielomian określony:

${{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{k}\;$

(9.21)

Wyznaczmy wyrażenie (9.21) dla k=0, czyli dla pochodnej zerowego rzędu, zatem dochodzimy do wniosku:

${{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{(0)}=B^{n}\;$

(9.22)

Teraz wyznaczmy wyrażenie (9.21) dla k=1, czyli dla pochodnej pierwszego rzędu, wtedy będziemy musieli wykorzystać wzór (9.9):

${{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{1}={{1} \over {\rho }}\left(\rho ^{'}B^{n}+\rho nB^{n-1}B^{'}\right)={{\rho ^{'}} \over {\rho }}B^{n}+nB^{n-1}B^{'}={{A} \over {B}}B^{n}+nB^{n-1}B^{'}=AB^{n}+B^{n-1}B^{'}=B^{n-1}\left(A+nB^{'}\right)\;$

(9.23)

Patrząc na dwa wnioski, czyli (9.22) (przypadek zerowej pochodnej) i (9.23) (przypadek pierwszej pochodnej), możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik (9.21) jest iloczynem wielomianu B^n-k i wielomianu W_k, zatem w takim przypadku dochodzimy do wniosku, że spełniona jest prawdopodobnie tożsamość:

${{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{(k)}=B^{n-k}W_{k}\;$

(9.24)

Aby udowodnić tożsamość (9.24) należy skorzystać z metody indukcji zupełnej. Przypadek k=0,1, czyli przypadki (9.22) i (9.23) zostały już udowodnione, zatem w takim przypadku wykażmy, czy z zdania n wynika zdanie n+1, zatem przejdźmy do głównego nurtu dowodu:

${{1} \over {\rho }}\left(\rho B^{n}\right)^{(k+1)}={{1} \over {\rho }}\left[(\rho B^{n})^{(k)}\right]^{'}={{1} \over {\rho }}\left[\rho B^{n-k}W_{k}\right]^{'}={{1} \over {\rho }}\left[\rho ^{'}B^{n-k}W_{k}+\rho \left(B^{n-k}\right)^{'}W_{k}+\rho B^{n-k}W_{k}^{'}\right]=\;$
$=AB^{n-k-1}W_{k}+(n-k)B^{n-k-1}W_{k}+B^{n-k}W_{k}^{'}=B^{n-k-1}\left(AW_{k}+(n-k)W_{k}+BW_{k}^{'}\right)=\;$
$=B^{n-k-1}\left(W_{k}(A+n-k)+BW_{k}^{'}\right)\;$

(9.25)

Jeśli porównamy wynik końcowy wynikowy (9.25) i wzór (9.24), wtedy mamy tożsamość iteracyjną:

$W_{k+1}=BW_{k}^{'}+(A+(n-k)B^{'})W_{k}\;$

(9.26)

Jest to równanie różniczkowo-róznicowe na wielkość W_n, któremu odpowiada wartość początkowa iteracji:

$W_{0}=1\;$

(9.27)

Gdy mamy n=k, przypadek wielomianu W_n zgodnie ze wzorem (9.20) pokrywa się z wielomianem ${\tilde {Q}}_{n}\;$, zatem problem znalezienia wielomianów ortogonalnych sprowadza się do problemu znalezienia wielomianu W_n. Ten wielomian będziemy zapisywali go podobnie jak we wzorze (9.1) dla wielomianu Q_n, czyli określmy nasz wielomian W_n jako:

$W_{n}(x)=w_{n}x^{m}+v_{n}x^{m-1}+...\;$

(9.28)

Wielomiany Legendre'a

Wielomiany Legendre'a są opisywane przez równanie różniczkowe opisane przez wzór (9.16), gdzie B=1-x^2 i A=0, wtedy równanie iteracyjne (9.26) przyjmuje postać iteracyjną:

$W_{k+1}=(1-x^{2})W_{k}^{'}-2x(n-k)W_{k}\;$

(9.29)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k+1 w (9.29), zatem możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k:

$w_{k+1}=-w_{k}k-2(n-k)w_{k}\Rightarrow w_{k+1}=-2w_{k}(n-k)-k=-w_{k}(2n-2k+k)w_{k}=-(2n-k)w_{k}\Rightarrow w_{k+1}=-(2n-k)w_{k}\;$

(9.30)

Napiszmy w sposób zwarty współczynniki w_n dla wielomianu W_n:

$w_{n}=(n-1-2n)(n-2-2n)(n-3-2n)\cdot ...(0-2n)=(-n-1)(-n-2)(-n-3)\cdot ...\cdot (-2n)=(-1)^{n}{{(2n)!} \over {n!}}\;$

(9.31)

Jeśli będziemy porównywać współczynnikami stojące przy potędze x^k w (9.42) dostajemy tożsamość iteracyjną:

$v_{k+1}=-(k-1)v_{k}+(2k-2n)v_{k}=(k+1-2n)v_{k}\;$

(9.32)

Gdy zadamy warunek brzegowy v₀=0, wtedy na podstawie warunku (9.32) dostajemy wniosek, że v_n=0.

(Rys. 9.1) Wielomiany Legendre'a P_n(x) dla n=0,...,5

Wielomiany Legrendre'a jako rozwiązanie równania różniczkowego (9.16) piszemy:

$P_{n}={{(-1)^{n}} \over {2^{n}n!}}{\tilde {P}}_{n}={{(-1)^{n}} \over {2^{n}n!}}\left[\left(1-x^{2}\right)^{n}\right]^{(n)}\;$

(9.33)

Czynniki stojące przy dwóch ostatnich wyrazach dla wielomianów Legendre'a (9.33) są równe:

$a_{n}={{(2n)!} \over {2^{n}(n!)^{2}}}\;$

(9.34)

$b_{n}=0\;$

(9.35)

Wielomiany Hermite'a

(Rys. 9.2) Wykres pierwszych czterech wielomianów Hermite'a

Rozpatrzmy równanie iteracyjne dla wielomianów iteracyjnych W_k, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego Hermite'a (9.17).

$W_{k+1}=W_{k}^{'}-2xW_{k}\;$

(9.36)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k i x^k-1, i przyjmując odpowiednie warunki brzegowe, tzn. w₀=1 i v₀=0, wtedy dostajemy wnioski iteracyjne dla tych dwóch najwyższych współczynników. Jak się przekonamy współczynnik v_n jest równy zawsze zero, bo współczynnik v₀ jest równy zero. Współczynniki w_n i v_n na współczynników $w_{k}\;$ i $v_{k}\;$, z których otrzymamy ich wersje, ale z $n\;$, z postaci iteracyjnej na postać zwartą, są przedstawione wzorami w sposób:

$w_{k+1}=-2w_{k}\wedge w_{0}=1\Rightarrow w_{n}=(-2)^{n}\;$

(9.37)

$v_{k+1}=-2v_{k}\wedge v_{0}=0\Rightarrow v_{n}=0\;$

(9.38)

Wielomiany Hermite'a nazywamy wielomianami napisane jako:

$H_{n}=(-1)^{n}{\tilde {H}}_{n}=(-1)^{n}e^{x^{2}}\left(e^{-x^{2}}\right)^{(n)}\;$

(9.39)

Czynniki stojący w ostatnich wyrazach we wzorze na wielomiany Legendre'a H_n (9.39) są równe:

$a_{n}=2^{n}\;$

(9.40)

$b_{n}=0\;$

(9.41)

Wielomiany Laguerre'a

(Rys. 9.3) Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre'a

Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem równania różniczkowego (9.18), który wyrażamy wzorem iteracyjnym:

$W_{k+1}=xW_{k}^{'}+(\lambda -x+n-k)W_{k}\;$

(9.42)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k+1 w (9.42) możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k, stąd z warunkiem brzegowym w₀=1 otrzymujemy w_n:

$w_{k+1}=-w_{k}\Rightarrow w_{k}=(-1)^{k}\Rightarrow w_{n}=(-1)^{n}\;$

(9.43)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k w (9.42) możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v_k, stąd z warunkiem brzegowym v₀=0 otrzymujemy v_n:

$v_{k+1}=kw_{k}+(\lambda +n-k)w_{k}-v_{k}=(\lambda +n)w_{k}-v_{k}=(\lambda +n)(-1)^{k}-v_{k}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow v_{n}=(-1)^{n-1}(\lambda +n)n\;$

(9.44)

Wielomianem Laguerre'a nazywamy wielomianem ortogonalnym, który piszemy:

$L_{n}={\tilde {L}}_{n}=x^{-1}e^{x}\left(x^{\lambda +n}e^{-x}\right)^{(n)}\;$

(9.45)

Najwyższe dwa współczynniki stojące przy wielomianie Laguerre'a L_n są to współczynniki opisujące wielomian:

$a_{n}=(-1)^{n}\;$

(9.46)

$b_{n}=(-1)^{n-1}n(n+\lambda )\;$

(9.47)

Wielomian Czebyszewa

Równaniem iteracyjnym równania różniczkowego Hermitte'a nazywamy wielomian, który jest odpowiednikiem (9.19), który wyrażamy wzorem iteracyjnym:

$W_{k+1}=(1-x^{2})W_{k}^{'}+\left[x-2(n-k)x\right]W_{k}\;$

(9.48)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k+1 w (9.48) możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika w_k, stąd z warunkiem brzegowym w₀=1 otrzymujemy w_n:

$w_{k+1}=-kw_{k}-(2n-2k-1)w_{k}=-w_{k}\left(2n-k-1\right)]\Rightarrow w_{k}=-w_{k-1}(2n-k)\Rightarrow w_{n}=(-1)^{n}{{(2n-1)!} \over {(n-1)!}}\;$

(9.49)

Porównując współczynniki stojące przy potędze x^k w (9.48) możemy dojść do wzoru mówiącego o iteracji współczynnika v_k, stąd z warunkiem brzegowym v₀=0 otrzymujemy v_n:

$v_{k+1}=-v_{k}(k-1)+[1-2(n-k)]v_{k}=(1-2n+2k-k+1)v_{k}=(2-2n+k)v_{k}\Rightarrow v_{n}=0\;$

(9.50)

(Rys. 9.4) Wykresy wielomianu Czebyszewa dla n=0 do n=5

Wielomianem Czebyszewa nazywamy wielomianem, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego Czebyszewa (9.19):

$T_{n}=(-1)^{n}{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}{\tilde {T}}_{n}=(-1)^{n}{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}{\sqrt {1-x^{2}}}\left[(1-x^{2})^{n-{{1} \over {2}}}\right]^{(n)}\;$

(9.51)

Przy wielomianach Czebyszewa T_n współczynniki stojące przy dwóch najwyższych jego potęgach są to współczynniki wyrażone wzorami:

$a_{n}=1\;$

(9.52)

$b_{n}=0\;$

(9.53)

Definicja normy wielomianów ortogonalnych

Wielomiany ortogonalne nie stanowią zwykle bazy ortogonalnej, ponieważ ich normy są nierówne jeden, zatem normą wielomianu ortonormalnego nazywamy normą zapisywanej wzorem przy korzystaniu z definicji iloczynu skalarnego dla dwóch wielomianów ortonormalnych (9.3):

$||Q_{n}||^{2}=(Q_{n},Q_{n})=(a_{n}x^{n}+b_{n}x^{n-1}+...,Q_{n})\;$

(9.54)

Wiadomo, że wielomian x^k jest ortonormalny do wielomianu Q_n dla k<n, wtedy norma wielomianu ortogonalnego dla ściśle określonego n w (9.54) sprowadza się do postaci poniżej, wprowadzając jeszcze współczynnik f_n, który jest wprost proporcjonalności pomiędzy $Q_{n}\;$ a ${\hat {Q}}_{n}\;$, i całkując tak otrzymaną całkę n razy przez części, dostajemy stąd wniosek:

$||Q_{n}||^{2}=a_{n}(x^{n},Q_{n})=a_{n}(x^{n},Q_{n})=a_{n}f_{n}\int _{\alpha }^{\beta }x^{n}{{1} \over {\rho }}(\rho B^{n})^{(n)}\rho dx=(-1)^{n}n!a_{n}f_{n}\int _{\alpha }^{\beta }\rho B^{n}dx\;$

(9.55)

Napiszmy teraz normy dla poszczególnych rozważanych tutaj wielomianów ortonormalnych w tymże module.

Norma dla wielomianu Legendre'a

Przy liczeniu normy wielomianu Legendre'a (9.33), korzystamy z definicji normy wielomianu Q_n (9.55), i z definicji wagi równą ρ=1 oraz ʙ=1-x² i A=0:

$||P_{n}||^{2}=(-1)^{n}n!\underbrace {{(2n)!} \over {2^{n}(n!)^{2}}} _{a_{n}}\underbrace {{(-1)^{n}} \over {2^{n}n!}} _{f_{n}}\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{n}dx\;$

(9.56)

Obliczmy tę całkę dokonując podstawienia t=(x+1)/2, czyli x=2t-1, w ten sposób możemy piszemy (9.56):

$||P_{n}||^{2}={{(2n)!} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}\int _{0}^{1}\left(1-\left(2t-1\right)^{2}\right)^{n}2dt={{(2n)!} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}\int _{0}^{1}\left(1-4t^{2}+4t-1\right)2dt={{(2n)!} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}\int _{0}^{1}\left(-4t^{2}+4t\right)^{n}dt=\;$
$={{(2n)!} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}2^{2n+1}\int _{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}dt={{(2n)!} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}2^{2n+1}B(n+1,n+1)=2{{(2n)!} \over {(n!)^{2}}}{{\Gamma (n+1)\Gamma (n+1)} \over {\Gamma (2n+2)}}=2{{(2n)!} \over {(n!)^{2}}}{{n!n!} \over {(2n+1)!}}=\;$
$={{2} \over {2n+1}}\;$

(9.57)

Norma dla wielomianu Hermite'a

Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a (9.39), korzystamy z definicji normy wielomianu Q_n (9.55), zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji ρ=e^-x2 oraz B=1 i A=-2x, zatem:

$||H_{n}||^{2}=(-1)^{n}n!2^{n}(-1)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\;$

(9.58)

Norma dla wielomianu Laguerre'a

Przy liczeniu normy wielomianu Hermite'a (9.39), korzystamy z definicji normy wielomianu Q_n (9.55), to ta nasza rozważaną normę piszemy wedle przepisu poniżej przy definicjach $\rho =x^{\lambda }e^{-x}\;$ oraz B=x i A=λ-x gdzie λ>-1, korzystając przy tym z definicji funkcji Γ Eulera drugiego rodzaju (5.13):

$||L_{n}||^{2}=(-1)^{n}n!(-1)^{n}\int _{0}^{\infty }x^{\lambda +n}e^{-x}dx=n!\Gamma (\lambda +n+1)\;$

(9.59)

Norma dla wielomianu Czebyszewa

Przy liczeniu normy wielomianu Czebyszewa (9.51), korzystamy z definicji normy wielomianu Q_n (9.55), zatem ta nasza rozważaną normę piszemy wedle schematu poniżej przy definicji $\rho ={{1} \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\;$ oraz B=1-x² i A=x korzystając przy tym z definicji funkcji Γ Eulera drugiego rodzaju (5.13):

$||T_{n}||^{2}=(-1)^{n}n!(-1)^{n}{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{n-{{1} \over {2}}}dx=n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}\int _{0}^{1}\left[1-\left(2t-1\right)^{2}\right]^{n-{{1} \over {2}}}dx=\;$
$=n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}\int _{0}^{1}\left(1-4t^{2}-1+4t\right)^{n-{{1} \over {2}}}dt==n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}2^{2n}\int _{-1}^{1}t^{n-{{1} \over {2}}}(1-t)^{n-{{1} \over {2}}}dt=n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}2^{2n}B\left(n+{{1} \over {2}},n+{{1} \over {2}}\right)=\;$
$=n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}2^{2n}{{\Gamma (n+{{1} \over {2}})\Gamma (n+{{1} \over {2}})} \over {\Gamma (2n+1)}}==n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}2^{2n}{{\left(n-{{1} \over {2}}\right)^{2}\left(n-{{3} \over {2}}\right)^{2}\cdot ...\cdot \left({{3} \over {2}}\right)^{2}\left({{1} \over {2}}\right)^{2}\Gamma \left({{1} \over {2}}\right)^{2}} \over {(2n)!}}=\;$
$=n!{{(n-1)!} \over {(2n-1)!}}\pi {{\left((2n-1)!!\right)^{2}} \over {(2n)!}}={{n!(n-1)!} \over {(2n-2)!!}}\pi {{(2n-1)!!(2n)!!} \over {(2n)!(2n)!!}}={{n!(n-1)!} \over {(2n-2)!!}}\pi {{(2n)!} \over {(2n)!(2n)!!}}={{n!(n-1)!} \over {(2n-2)!!}}\pi {{1} \over {(2n)!!}}=\;$
$=={{n!(n-1)!2n} \over {(2n)!!^{2}}}\pi ={{n!(n-1)!2n} \over {2^{2n}(n!)^{2}}}\pi ={{n!n!2n} \over {n2^{2n}(n!)^{2}}}\pi ={{1} \over {2^{2n-1}}}\pi ={{\pi } \over {2^{n-1}}}\;$

(9.60)

Następnym krokiem jest wyznaczenie normy wielomianu Czebyszewa T_n dla n=0, korzystając z definicji normy dowolnego wielomianu (9.55) dla tego n, zatem możemy policzyć tą wielkość wedle poniższego sposobu:

$||T_{0}||^{2}=\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{-{{1} \over {2}}}dx=\int _{0}^{1}\left[1-\left(2t-1\right)^{2}\right]^{-{{1} \over {2}}}=\int _{0}^{1}t^{-{{1} \over {2}}}(1-t)^{-{{1} \over {2}}}={{\Gamma ^{2}\left({{1} \over {2}}\right)} \over {\Gamma (1)}}=\left({\sqrt {\pi }}\right)^{2}=\pi \;$

(9.61)

Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych

Przestawmy wielomian xQ_n w postaci rekurencyjnej, który jest jakoby wielomianem n+1 stopnia, który jest kombinacją wielomianów Q₀, Q₁, Q₂,...,Q_n+1:

$xQ_{n}=\sum _{j=0}^{n+1}c_{j}Q_{j}\;$

(9.62)

Na wielomian xQ_n(9.62) podziałajmy iloczynem skalarnym zdefiniowany w punkcie (9.2) względem wielomianu Q_j, zatem w takim przypadku możemy napisać, że współczynnik c_i jest iloczynem skalarnym członu xQ_n przez człon Q_i podzielonej przez kwadrat modułu wielomianu Q_i:

$(xQ_{n},Q_{i})=\left(\sum _{j=0}^{n+1}c_{j}Q_{j},Q_{i}\right)=\sum _{j=0}^{n+1}c_{j}(Q_{j},Q_{i})=c_{i}||Q_{i}||\Rightarrow c_{i}={{(xQ_{n},Q_{i})} \over {||Q_{i}||^{2}}}={{\int _{\alpha }^{\beta }xQ_{n}Q_{i}dx} \over {||Q_{i}||^{2}}}={{\int _{\alpha }^{\beta }xQ_{i}Q_{n}\rho dx} \over {||Q_{i}||^{2}}}=\;$
$=\left(xQ_{i},Q_{n}\right){{1} \over {||Q_{i}||^{2}}}\;$

(9.63)

Na podstawie definicji współczynnika c_i możemy powiedzieć, że wielomian xQ_n jest kombinacją wielomianów Q_n+1, Q_n i Q_n-1, czyli w ten w sposób określamy współczynniki c_n+1, c_n i c_n-1, a pozostałe współczynniki c_i na podstawie związku (9.63) są równe zero, zatem wielomian (9.62) jest równy wyrażeniu:

$xQ_{n}=c_{n+1}Q_{n+1}+c_{n}Q_{n}+c_{n-1}Q_{n-1}\;$

(9.64)

W wielomianie (9.64) zapisaną w sposób rekurencyjny, w którym porównując współczynniki stojące przy potęgach xⁿ⁺¹ dostajemy tożsamość:

$a_{n}=c_{n+1}a_{n+1}\Rightarrow c_{n+1}={{a_{n}} \over {a_{n+1}}}\;$

(9.65)

Następnym krokiem jest porównanie współczynników stojących przy xⁿ, w takim wypadku:

$b_{n}=a_{n}c_{n}+b_{n+1}c_{n+1}\;$

(9.66)

Przy liczeniu współczynnika c_n, który wynika ze związku (9.66) wykorzystamy definicję współczynnika c_n+1 (9.65), co wyniku czego otrzymujemy:

$c_{n}={{b_{n}} \over {c_{n}}}-{{b_{n+1}c_{n+1}} \over {a_{n}}}={{b_{n}} \over {c_{n}}}-{{b_{n+1}a_{n}} \over {a_{n}a_{n+1}}}={{b_{n}} \over {c_{n}}}-{{b_{n+1}} \over {a_{n+1}}}\;$

(9.67)

Jeśli skorzystamy ze wzoru końcowego wynikowego (9.63) dochodzimy do związku na współczynnik c_n-1 rozpisując go korzystając z (9.65).

$c_{n-1}=(xQ_{n},Q_{n-1}){{1} \over {||Q_{n-1}||^{2}}}={{\int _{\alpha }^{\beta }xQ_{n}Q_{n-1}} \over {||Q_{n-1}||^{2}}}={{\int _{\alpha }^{\beta }xQ_{n-1}Q_{n}} \over {||Q_{n-1}||^{2}}}={{(xQ_{n-1},Q_{n})} \over {||Q_{n-1}||^{2}}}={{(xQ_{n-1},Q_{n})} \over {||Q_{n}||^{2}}}{{||Q_{n}||^{2}} \over {||Q_{n-1||^{2}}}}={a_{n-1}{} \over {a_{n}}}{{||Q_{n}||^{2}} \over {||Q_{n-1||^{2}}}}\;$

(9.68)

Wielomiany ortogonalne, a jego funkcje tworzące

Funkcjami tworzącymi nazywamy funkcje dwóch zmiennych, które po rozłożeniu w szereg potęgowy względem jednej zmiennej, przy którym w każdym składniku występuje pewien ściśle określony wielomian ortogonalny. Teraz napiszmy funkcję tworzącą Ψ dla wielomianów ${\tilde {Q}}_{n}\;$:

$\Psi (x,w)=\sum _{n=0}^{\infty }{{{\tilde {Q}}_{n}(x)} \over {n!}}w^{n}\;$

(9.69)

Jeśli skorzystamy ze wzoru całkowego Cauchy'ego (9.17), wtedy wzór zapisany w punkcie (9.69) można zapisać w troszeczkę w innej postaci, ale równoważnej do poprzedniego:

$\Psi (x,w)=\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}{{1} \over {\rho (x)}}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}\left[\rho (x)B^{n}(x)\right]={{1} \over {\rho (x)}}\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}\left[\rho (x)B^{n}(x)\right]\;$

(9.70)

Jeśli wykorzystamy wzór całkowy Cachy'ego (8.17), wtedy możemy napisać tożsamość całkową:

$\rho (x)B^{n}(x)={{1} \over {2\pi i}}\oint _{C}{{\rho (z)B^{n}(z)} \over {z-x}}dz\;$

(9.71)

Wzór (9.70) na podstawie własności (9.71), która jest całką Cachy'ego w pewnym sensie, przekształcamy do postaci:

$\Psi (x,w)={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}\oint _{C}dz{{\rho (z)B^{n}(z)} \over {z-x}}={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}\oint _{C}dz\rho (z)B^{n}(z){{n!} \over {(z-x)^{n+1}}}=\;$
$={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\oint _{C}{{\rho (z)dz} \over {z-x}}\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}B^{n}(z)} \over {(z-x)^{n}}}$

(9.72)

W wyrażeniu na Ψ(z,w) pod sumą mamy szereg geometryczny o ilorazie $q={{wB} \over {(z-x)}}\;$, wtedy wyrażenie (9.72) piszemy:

$\Psi (x,w)={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\oint _{C}{{\rho (z)dz} \over {z-x}}{{1} \over {1-{{wB(z)} \over {(z-x)}}}}={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\oint _{C}{{\rho (z)dz} \over {z-x}}{{(z-x)} \over {z-x-wB(z)}}={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\oint _{C}{{\rho (z)dz} \over {z-x-wB(z)}}dz$

(9.73)

Funkcję Ψ(x,w) (9.73) z zasadami liczenia residuum wyznaczamy względem puntu osobliwego z₁ wynikający z tożsamości:

$z_{1}-x-wB(z_{1})=0\;$

(9.74)

Wokół punktu z₁ w całce (9.73) mianownik dąży do zera, zatem możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala, wtedy tą naszą całkę piszemy wedle schematu poniżej. Nasza całka przebiega po linii zamkniętej w przestrzeni zespolonej o promieniu dążącej do zera (można udowodnić, że ten sam wynik wyjdzie, gdy policzymy całkę (9.73) po dowolnej linii zamkniętej w płaszczyźnie zespolonej okalający ten właśnie punkt, punkt osobliwy), a także w tych samych przekształceniach wykorzystamy metodę liczenia residuum (8.32).

$\Psi (x,w)={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}\oint {{\rho ^{'}(z)dz} \over {1-wB^{'}(z)}}={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}{{1} \over {1-wB^{'}(z_{1})}}\oint \rho ^{'}(z)dz={{1} \over {2\pi i\rho (x)}}{{1} \over {1-wB^{'}(z_{1})}}2\pi i\rho (z_{1})=\;$
$={{1} \over {\rho (x)}}{{\rho (z_{1})} \over {1-wB^{'}(z_{1})}}\;$

(9.75)

Funkcje tworzące dla wielomianów Legendre'a

Równanie (9.74) dla wielomianu Legendre'a (9.33), dla którego zachodzi $B(x)=1-x^{2}\;$ i ρ=1, przyjmuje postać:

$z_{1}-x-w(1-z_{1}^{2})=0\Rightarrow 0=z_{1}-x-w+wz_{1}^{2}\Rightarrow wz_{1}^{2}+z_{1}-x-(x+w)=0\Rightarrow z_{1}={{-1\pm {\sqrt {1+4w(x+w)}}} \over {2w}}=\;$
$={-1\pm {\sqrt {1+4wx+4w^{2}}} \over {2w}}$

(9.76)

Rozwiązanie (9.76) z minusem odrzucamy, ponieważ z₁ jest poza przedziałem zmienności wielomianu Legendre'a, natomiast rozwiązanie z plusem przyjmujemy, bo jest w granicach przedziału zmienności naszego wielomianu, zatem funkcję tworzącą (9.75) określamy:

$\Psi (x,w)={{1} \over {1+2wz_{1}}}={{1} \over {1+2w{{-1+{\sqrt {1+4wx+4w^{2}}}} \over {2w}}}}={{1} \over {\sqrt {1+4wx+4w^{2}}}}=\sum _{n=0}^{n}{{w^{n}} \over {n!}}{\tilde {P}}_{n}(x)\;$

(9.77)

Jeśli dodatkowo we wniosku (9.77) napiszemy $w=-{{\nu } \over {2}}\;$, to dojdziemy do następującej tożsamości:

${{1} \over {\sqrt {1-2x\nu +\nu ^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\nu ^{n}} \over {2^{n}n!}}{\tilde {P}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\nu ^{n}} \over {2^{n}n!}}{{2^{n}n!} \over {(-1)^{n}}}P_{n}(x)\Rightarrow {{1} \over {\sqrt {1-2x\nu +\nu ^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\nu ^{n}P_{n}(x)\;$

(9.78)

Funkcje tworzące dla wielomianów Hermite'a

Równanie (9.74) dla wielomianów Hermite'a (9.39), dla którego mamy B(x)=1, $\rho (x)=e^{-x^{2}}\;$, jest napisane:

$z_{1}-x-w=0\;$

(9.79)

Funkcja tworząca (9.75) dla wielomianów Hermite'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w (9.79), piszemy w postaci zwartej:

$\Psi (x,w)={{1} \over {e^{-x^{2}}}}{{e^{-\left(x+w\right)^{2}}} \over {1-w\cdot 0}}=e^{x^{2}}e^{-x^{2}-w^{2}-2xw}=e^{-w^{2}-2xw}\;$

(9.80)

Zatem możemy napisać (9.80), korzystając przy tym z (9.69), w postaci rozwinięcia:

$e^{-w^{2}-2xw}=\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{2}} \over {n!}}{\tilde {H}}_{n}(x)\;$

(9.81)

Jeśli przyjmować będziemy w=-v w tożsamości (9.81), wtedy na podstawie definicji wielomianów Hermite'a H(x) przy pomocy ${\tilde {H}}(x)\;$ (9.39) funkcję tworzącą wielomianu H_n możemy napisać w postaci rozwinięcia:

$e^{-\nu ^{2}+2x\nu }=\sum _{n=0}^{\infty }{{\nu ^{n}} \over {n!}}(-1)^{n}{\tilde {H}}_{n}(x)\Rightarrow e^{-\nu ^{2}+2x\nu }=\sum _{n=0}^{\infty }{{\nu ^{n}} \over {n!}}H_{n}(x)\;$

(9.82)

Funkcje tworzące dla wielomianu Laguerre'a

Równanie (9.74) dla wielomianu Laguerre'a (9.45), dla którego zachodzi B(x)=x, $\rho (x)=x^{\lambda }e^{-x}\;$, przyjmuje postać:

$z_{1}-x-wz_{1}=0\Rightarrow z_{1}(1-w)=x\Rightarrow z_{1}={{x} \over {1-w}}\;$

(9.83)

Funkcja tworząca (9.75) dla wielomianów Laguerre'a, po wykorzystaniu residuum policzonego w (9.83), piszemy w postaci rozwinięcia:

${{1} \over {x^{\lambda }e^{-x}}}{{{{x^{\lambda }} \over {(1-w)^{\lambda }}}e^{-{{x} \over {1-w}}}} \over {1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}L_{n}(x)\Rightarrow {{e^{-{{x} \over {1-w}}+{{x(1-w)} \over {(1-w)}}}} \over {(1-w)^{\lambda +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}L_{n}(x)\Rightarrow {{e^{-{{xw} \over {1-w}}}} \over {(1-w)^{\lambda +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{{w^{n}} \over {n!}}L_{n}(x)$

(9.84)