Metody matematyczne fizyki/Całki i funkcje Eulera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Całki i funkcje Eulera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poznamy tutaj całki, które są nam w fizyce bardzo potrzebne do przeprowadzania różnych obliczeń.

Całka Eulera pierwszego rodzaju[edytuj]

Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę mówiąc za Legendre całkę zapisaną za pomocą schematu poniżej, który jest funkcją argumentów a i b, które są liczbami rzeczywistymi. Ta nasza funkcja Eulera jest całką całkowalną przy granicach od zera do jedynki z pewnego wyrażenia ściśle określonego:

(5.1)

Można udowodnić, że ze względu na przestawianie argumentów w całce (5.1) jest działaniem przemiennym ze względu na kolejność parametrów a i b, co można udowodnić zmieniając zmienną x na x=1-t:

(5.2)

Można również udowodnić tożsamość rekurencyjną, która jest zależna od argumentów a i b oraz która jest zależnością rekurencyjną po argumencie b, przedstawiamy tą rekurencję:

(5.3)

Tożsamość (5.3) udowodniamy przez całkowanie przez części dla b>1, korzystając z definicji całki Eulera (5.1):



(5.4)

Korzystając z końcowego wniosku w przeprowadzonych obliczeniach w punkcie (5.4) dochodzimy do wniosku, że B(a,b) można zapisać w zależności od B(a,b-1), co dowód tej zależności przeprowadzimy poniżej w taki sposób, że pierwszy wyraz po prawej stronie w wspomnianym wyprowadzeniu przenosimy na jej lewą stronę:


(5.5)

Wzór (5.5) przestawia zależność rekurencyjną jaką oczekiwaliśmy otrzymać z obliczeń. Niech mamy już obliczone całki Eulera B(a,1), w ten sposób na podstawie zależności rekurencyjnej końcowego wywodu (5.5) piszemy wedle schematu wzór na wielkość B(a,n), którego pierwszym argumentem jest dowolna liczba rzeczywista, a drugim argumentem jest liczba naturalna znana z analizy matematycznej ze szkoły średniej:

(5.6)

Następnym krokiem jest wyznaczenie całki Eulera (5.1) dla argumentu b=1, czyli całkę Eulera pierwszego rodzaju B(a,1), gdy drugim jego argumentem jest liczba całkowita równa jeden, zatem w takim przypadku mamy wzór:

(5.7)

Zatem wyrażenie (5.6) przy obliczonej całce Eulera B(a,1) (5.7), czyli w tym ostatnim w drugim argumentem w całce Eulera pierwszego rodzaju jest liczba jeden, zatem możemy wyznaczyć ogólny wzór na opisywaną tutaj całkę.

(5.8)

Wzór (5.8) jest słuszny, gdy a jest rzeczywiste, określmy teraz przypadek, gdy a jest liczbą naturalną oznaczonej przez m, wtedy ze wspomnianego wzoru dostajemy wzór zapisujemy za pomocą silni:

(5.9)

Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)[edytuj]

W całce Eulera (5.1) dokonajmy podstawienia określonego wzorem , gdzie argument x jest ilorazem liczby y przez y+1, wtedy:

(5.10)

W całce Eulera (5.1) określoną wzorem (5.10) po dokonaniu w nim podstawienia za b=1-a, 0<a<1 , dostajemy wniosek na całkę Eulera B(1-a,a):

(5.11)

Całka Eulera (5.10) można przepisać bez dowodu, którego to dowód można znaleźć w analizie matematycznej, a my tutaj napiszemy gotowe jego rozwiązanie:

(5.12)

Całka Eulera drugiego rodzaju[edytuj]

Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę zapisaną wedle schematu poniżej, która jest funkcją jednego argumentu a, całkowana w granicach od zera do nieskończoności.

(5.13)

Dokonajmy podstawienia określonego wzorem , którego jest logarytmem z odwrotności liczby z i którą tą całkę (5.13) zapisujemy po dokonaniu tego podstawienia do ostatnio wspomnianej całki:

(5.14)

Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość, z której wyjdziemy jest tożsamość , w tej tożsamości należy dokonać podstawienia rozpatrzonego według schematu :

(5.15)

Całkę (5.14) możemy zapisać przy pomocy udowodnionej tożsamości (5.15) w tym tekście, którą zapisujemy przy pomocy granicy n dążącą do nieskończoności:

(5.16)

Do tożsamości (5.16) podstawimy podstawienie wedle schematu z=yn, zatem ten nasz wspomniany wzór przyjmuje postać bardzo podobną do całki Eulera pierwszego rodzaju:

(5.17)

Całka występująca we wzorze (5.17) jest całką Eulera pierwszego rodzaju, zatem możemy napisać ostatnio wspomniany wzór wedle:

(5.18)

Jeśli skorzystamy z tożsamości (5.8), to można napisać całkę Eulera drugiego rodzaju (5.18) zapisaną przy pomocy granicy z liczby całkowitej n dążącej do nieskończoności:

(5.19)

Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju[edytuj]

Całkę Eulera (5.13) zróżniczkujmy względem argumentu "a", a potem jeszcze raz względem argumentu a, i w ten sposób otrzymamy pierwszą i drugą pochodną funkcji Γ(a), to dochodzimy do postaci tych dwóch pochodnych:

(5.20)
(5.21)

n-ta pochodna funkcji Γ(x) (5.13) zapisujemy analogicznie do wzorów (5.20) (Pierwsza pochodna funkcji Γ(a) (5.13)) i (5.21) (Druga pochodna funkcji Γ(a) (5.13)), zatem ogólna forma tej n-tej pochodnej jest:

(5.22)

Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)[edytuj]

Przecałkujmy przez części funkcję napisaną poniżej wedle praw analizy matematycznej, z której wykorzystamy definicję funkcji Γ(a) zapisaną wzorem w punkcie (5.13).

(5.23)

Jeśli skorzystamy z definicji całki Eulera (5.13), to tożsamość (5.23), którą zapiszemy przy pomocy definicji całki Eulera Γ(a) jako:

(5.24)

Wyznaczmy całkę Eulera Γ(1), wtedy funkcja potęgowa występująca we wspomnianej funkcji (5.13) (pierwszy czynnik) jest równa jeden dla a=1, ze względu na zerowanie się wykładnika potęgi (bo a-1=0) dla pierwszego czynnika w całce, wtedy:

(5.25)

Postać rekurencyjna (5.24) dla a naturalnego, którą oznaczymy przez "n" i z własności (5.25) możemy napisać, że:

(5.26)

Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego[edytuj]

Obierzmy takie n by było liczbą naturalną nie większą niż a, by było a>n+1, zatem mamy Γ(a)>n!, jeśli dodatkowo zauważymy, że , wtedy:

(5.27)

Widzimy, że granicą dla "a" nieskończonego jest Γ(a) nieskończone, zatem największą wartością Γ(a) jakie może przyjmować jest wartość nieskończona.

Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)[edytuj]

Do całki (5.13) dokonujemy podstawienia opisane przez schemat x=ty, które to x jest iloczynem liczby t i liczby y, zatem przy założeniu t>0, nasza wspomniana całka jest pisana:

(5.28)

We wzorze (5.28) piszemy zamiast a wyrażenie a+b (będące sumą liczb a i b) oraz 1+t (będące sumą jedynki i liczby b) zamiast t, zatem w ten sposób dostajemy tożsamość:

(5.29)

Tożsamość (5.29) mnożymy przez funkcję potęgową ta-1 czyli funkcję z liczby t o wykładniku a-1 i obie strony tak otrzymanego równania całkujemy względem zmiennej t:

(5.30)

Całka występująca po lewej stronie jest funkcją B(a,b), czyli ona jest taka sama, jak całka zapisana w punkcie (5.10). Zatem całkę występująca po prawej stronie równości (5.30), przy wykorzystaniu z definicji drugiej całki Eulera (pierwszego rodzaju) (5.13), możemy napisać jako:


(5.31)

Tożsamość wynikająca z obliczeń przedstawionych w punkcie (5.31) jest napisana poniżej (pierwszy wzór wynikowy), stąd możemy wyznaczyć B(a,b), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju:

(5.32)

Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)[edytuj]

We wzorze (5.31) dokonajmy podstawienia b=1-a (którego to b jest różnicą liczby 1 i liczby b), w którym wiadomo, że "a" należy do do przedziału 0<a<1, ale też później korzystając z tożsamości na funkcję B(a,1-a) napisaną w punkcie (5.12), możemy napisać:

(5.33)

Korzystając z tożsamości (5.33), to tożsamość jest napisana wzorem wynikowym wynikających z powyższych obliczeń:

(5.34)

Wzór Stirlinga[edytuj]

Napiszmy funkcję Γ(x+1), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju z argumentu x powiększonej o jeden, w którym dokonamy od razu podstawienia w postaci wzoru zależnej od liczby x i od parametru u, czyli podstawienia , wiedząc, że dla t równego zero (t=0) według wspomnianego podstawienia mamy , co wykorzystamy w całce poniżej:


(5.35)

Ponieważ posługujemy wartościami x, które są liczbami bardzo dużymi, zatem możemy powiedzieć, że posługujemy się wartościami nieskończenie dużymi, to logarytm naturalny z liczby n! możemy przybliżyć wyrażeniem dla a bardzo małego bliskiego zeru, wtedy końcową całkę (5.35) można przestawić:

(5.36)

Jeśli skorzystamy z udowodnionej tożsamości (5.36) i za miejsce x wstawimy wartość n, to przybliżona tożsamość (5.36) przyjmuje postać:

(5.37)

Po zlogarytmowaniu wyrażenia (5.37) logarytmem naturalnym ze względu na n bardzo duże w końcowych obliczeniach pomijamy składnik z liczby , bo jest mały z porównaniu z innymi składnikami sumy:

(5.38)