Metody matematyczne fizyki/Funkcje Bessela

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Będziemy się tutaj zajmować funkcjami Bessela, który to on znany jest bardzo w matematyce i fizyce. Argument funkcji Bessela będziemy oznaczać przez x, a wskaźnikiem funkcji są współczynniki rzeczywiste. Funkcje Bessela oznaczamy przez Jν.

Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania[edytuj]

Równanie różniczkowe, które definiuje funkcje Bessela jest to równanie określone:

(11.1)

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego (11.1) w postaci funkcji, w której wolny wyraz a0 jest różny od zera, w takim bądź razie możemy to otrzymać, gdy szereg potęgowy pomnożymy przez funkcję xλ tak jak poniżej, zatem ostatecznie w takim razie funkcje Bessela piszemy:

(11.2)

Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela (11.2), która jest proponowanym rozwiązaniem równania różniczkowego (11.1):

(11.3)
(11.4)

Możemy podstawić funkcję Bessela (11.2), a także pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela (11.3) i (11.4) do równania różniczkowego Bessela (11.1), otrzymujemy:

(11.5)

Po krótkich przekształceniach, tzn. czynników stojących przed sumami jako czynniki włączamy pod tą sumę i po przegrupowaniu wyrazów:

(11.6)

Współczynnik a0 jest tak zdefiniowane w szeregu (11.2) by był różny od zera, w takim razie z równania (11.6) możemy otrzymać wyraz stojący przy potędze o wykładniku zerowym z liczby x:

(11.7)

Z równości (11.7) otrzymujemy dwa rozwiązania na parametr λ, jedno z plusem a drugie z minusem, którego to piszemy za pomocą jednego ogólnego wzoru:

(11.8)

Jedno rozwiązaniu z plusem we wzorze zapisywanej ogólnie w punkcie (11.8) odpowiada rozwiązaniu regularnemu, a drugie z minusem odpowiada rozwiązaniu osobliwemu, które to w punkcie x=0 funkcja Besella (11.2) ma wartość osobliwą.

Współczynnik stojący w tożsamości (11.6) stojący przy pierwszej potędze, tzn. przy x1 dla naszego wspomnianego równanie ma postać:


(11.9)

Patrząc na warunek na liczbę λ według (11.8), to z (11.9) wynika, że a1 jest równa zero. Równanie (11.6) możemy przekształcić do tożsamości:

(11.10)

W takim bodź razem w równaniu różniczkowym (11.10) otrzymujemy wniosek na współczynniki an we funkcji Bessela w zależności od współczynników an-2, zatem poszczególne współczynniki:

(11.11)

Ale ponieważ a1 jest równy zero co wcześniej wykazaliśmy w punkcie (11.9), to również na podstawie (11.11) ma miejsce warunek:

(11.12)

Dla indeksów parzystych można udowodnić, że istnieje ogólny wzór na współczynniki a2l, który zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej wynikający ze wzoru ogólnego na współczynniki (11.11):

(11.13)

Mając na uwadze uproszczenie ogólnych formuł przyjmijmy, że współczynnik a0 przyjmuje szczególna formę zapisywaną przy pomocy funkcji Γ(x) definiowana w punkcie (5.12):

(11.14)

Biorąc na uwadze wzór (11.14) na współczynnik a0, wtedy wzór (11.13) na współczynnik a2l przy wykorzystywaniu wzoru zapisany w punkcie (5.24) piszemy w formie:

(11.15)

Ponieważ przyjmujemy rozwiązanie regularne, więc z tożsamości (11.8) wybieramy rozwiązanie z plusem, w takim przypadku szereg Bessela przyjmuje ostateczną formę:

(11.16)

Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca[edytuj]

Jeśli w funkcji (11.16) parametr ν jest liczbą naturalną ν=n=0,1,2,3,.., to funkcja Bessela możemy napisać dla tak określonego ν z definicji funkcji Jν, w której występuje funkcją Γ zależna od całkowitego parametru, którego postać jest Γ(l+n+1)=(l+n)!:

(11.17)

Następnym krokiem jest udowodnienie, że funkcją tworzącą wielomianu Bessela (11.17) jest funkcją w postaci wzoru :


(11.18)

We wzorze (11.18) wprowadźmy parametr l+m zamiast parametru m, wtedy wspomniane równanie piszemy:

(11.19)

Wyrażenie stojące w nawiasie we wzorze (11.19) są to funkcje Bessela, wtedy funkcja tworząca:

(11.20)

Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe[edytuj]

We wzorze (11.20) dokonajmy podstawienia pod funkcję tworzącą Bessela w postaci w=e:

(11.21)

Obie strony tak otrzymanej równości (11.21) mnożymy obustronnie przez eimφ, a następnie całkujemy obustronnie przez zmienną φ w granicach 0 do 2π, wtedy piszemy tożsamość:

(11.22)

Prawa strona równości (11.22) jest równa zero, gdy n jest nie równe m, a jest różna od zera i równa 2π, gdy n=m, wtedy możemy napisać wzór na funkcję Bessela wynikającą ze wspomnianego wzoru:

(11.23)

W szczególnym przypadku, gdy w równaniu (11.23) współczynnik m jest równy zero, więc to ostatnie równanie na funkcję Bessela J0, tak by po drugiej równości dokonać podstawienia φ:=π/2+φ, i ze względu na okresowość funkcji cosφ, piszemy jako:


(11.24)

Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2[edytuj]

Funkcje Bessela (11.16) dla ν=1/2, dla którego zapis o indeksie równej połowie jedynki, są równe:

(11.25)

Z teorii funkcji Γ możemy napisać tożsamość, którego można rozpisać funkcję Γ przy wykorzystaniu definicji funkcji Γ dla ν równego 1/2:


(11.26)

Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie (11.26) wzór na funkcję Bessela zapisane w punkcie (11.25) piszemy wedle:

(11.27)

Szereg zapisanej w punkcie (11.27) jest to szereg funkcji sinus z liczby x, zatem ta nasza tutaj rozważana funkcja Bessela jest to po prostu:

(11.28)

Funkcje Bessela (11.16) dla ν=-1/2 zapisujemy wedle sposobu, którego zapis jest o indeksie równym minus połowie jedynki:

(11.29)

Z teorii funkcji Gamma możemy napisać tożsamość, którego jest rozwinięciem funkcji Γ dla ν połówkowego i równego 1/2, którą piszemy:


(11.30)

Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie (11.29) wzór na funkcję Bessela zapisaną w punkcie (11.27) piszemy poniżej:

(11.31)

Szereg zapisany w punkcie (11.31) jest to szereg funkcji kosinus z liczby x, zatem tą naszą tutaj rozważaną funkcję Bessela piszemy:

(11.32)

Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych[edytuj]

Pokażemy, że wzór rekurencyjny dla funkcji Bessela o wskaźniku o wartości ν+1 wyraża się w zależności od współczynnika ν wzorem za pomocą operacji różniczkowania funkcji Bessela względem wskaźnika ν, dla której pod różniczkowaniem względem "x" jest iloczyn funkcji potęgowej x i funkcji Bessela (11.16):

(11.33)

Wzór (11.33) udowodniamy przez bezpośrednio przez wstawianie do niego funkcji Bessela Jν zdefiniowaną w punkcie (11.16):


(11.34)

Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (11.34) możemy zapisać wyrażenie, które jak udowodnimy w końcowych dysputach, że jest to po prostu rozważane wyrażenie, które jest funkcją Bessela o wskaźniku ν+1.


(11.35)

Udowodnijmy następną rekurencję, której to element Jν-1 jest pisany przy pomocy wzoru na Jν za pomocą operacji różniczkowania, którego to rekurencja jest:

(11.36)

Aby udowodnić wzór (11.36) musimy napisać wyrażenie różniczkowe, która jest iloczynem funkcji x i pochodnej z iloczynu funkcji xν i funkcji Bessela Jν, wtedy mamy problem:


(11.37)

Co kończy dowód tożsamości (11.36).

Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0[edytuj]

Mając wzór na funkcje Bessela zdefiniowaną w punkcie (11.16), który można zapisać dla punktu blisko zera pomijając wyrazy wyższego rzędu wedle potęg z liczby x, bo następne potęgi dla małego otoczenia w tymże punkcie są rzędu niższego niż ν, są bardzo malutkie w porównaniu ze wspomnianym wyrazem, w takim przypadku funkcja Bessela piszemy:

(11.38)

Niech wskaźnik ν jest liczbą całkowitą, w takim przypadku możemy przestawić funkcję J-n w zależności od Jn wedle sposobu poniżej, wiedząc, że funkcja Γ o współczynniku ujemnym przyjmuje wartość nieskończoną, a jego odwrotność jest zero.

(11.39)

Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym[edytuj]

Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja Jl+1/2(x) ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest on zdefiniowany jako:

(11.40)

Teraz zastosujemy wzór (11.33), by udowodnić rozwiązanie asymptotyczne (11.40), w tym celu przy dowodzie dla l=0 dostajemy dokładny wzór (11.28). Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku dla x bardzo dużego:


(11.41)

Wykażemy że drugi wyraz występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie (11.41):

(11.42)

Co kończy dowód twierdzenia (11.40) na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej. Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja Jl-1/2 ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest jako:

(11.43)

Teraz zastosujemy wzór (11.36), by udowodnić wzór (11.42), w tym celu udowodnimy nasz wzór dla l=0 dla którego dostajemy dokładny wzór (11.32). Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku x bardzo dużego:



(11.44)

Wyraz drugi występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie (11.44):

(11.45)

Co kończy dowód wzoru (11.42) na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej.

Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela[edytuj]

Funkcję Neumanna Nν, które sa bardzo związane z funkcjami Bessela, jak później powiemy. Te funkcje są osobliwe w punkcie x=0, jego definicja jest napisana wzorem wedle schematu:

(11.46)

Dla indeksów całkowitych funkcje Neumanna uzyskujemy w granicy dla ν, która jest liczbą określoną przy wzorze (11.46), której granica jest:

(11.47)

Jeśli przyjmować będziemy, że wielkość ν jest podana wzorem , w takim przypadku wzór (11.46) przyjmować będziemy wzorem:


(11.48)

Funkcję Hankela przestawiamy jako kombinację funkcji Bessela (11.16) i Neumanna Nν (11.46) w postaci:

(11.49)

Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela[edytuj]

Sferyczne funkcje Bessela oznazczamy przez jl(x), a także funkcje Neumanna i Hankela piszemy jako:

(11.50)
(11.51)
(11.52)

Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru (11.40), dochodzimy do związków, że funkcja Bessela (11.50) jest napisana wzorem poniżej:

(11.53)

Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru (11.43) dochodzimy do związku, że funkcja Neumanna (11.51) ma wygląd:

(11.54)

A na sam koniec podamy jak wygląda funkcja Hankela dla jej przypadku asymptotycznego, dochodzimy do związków, że wedle definicji tejże funkcji (11.52) jest narysowana ona:



(11.55)

Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych[edytuj]

Rozłóżmy funkcje opisująca falę płaską we funkcjach Legendre'a (9.33), wtedy możemy rozpisać naszą funkcję eikx w pewien szereg, którego jest kombinacją liniową w funkcjach Legendre'a Pl, którego to współczynniki są funkcjami zależnymi od wskaźnika l i argumentu r:

(11.56)

Biorąc wzór na definicję Laplasjanu we współrzędnych kulistych (7.41) i wiedząc, że Yl=Pl0, która nie zależy od zmiennej radialnej, wtedy na podstawie wzoru (10.5), która jest definicją Laplasjanu, mamy:

(11.57)

Rozpiszmy wzór na Laplasjan wedle sposobu (7.41) i biorąc tylko jako działanie na ten operator funkcję R(r):

(11.58)

Zatem możemy podziałać Laplasjanem obie strony równania (11.56), a do lewej jego strony także dokonujemy różniczkować względem współrzędnych kartezjańskim, a z jego z prawej strony we współrzędnych kulistych, w takim przypadku mamy równanie poniżej:

(11.59)

Ze wzoru (11.59) możemy napisać równanie różniczkowe, które jest tożsamościowo równe zero, w takim przypadku możemy napisać równanie, które w dalszych kroku mamy zamiar rozwiązać wykorzystując przy tym (11.56) do lewej strony ostatniego wzoru:

(11.60)

Do równania (11.60) wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy następująco:

(11.61)
(11.62)

Możemy wykorzystać wzory (11.61), która jest definicją zmiennej ρ, a wzór (11.62), która jest definicją S, i te ostatnie dwa wspomniane wzory wstawiamy do wspomnianego na samym początku równania różniczkowego, w ten sposób dokonajmy dwóch następnych kroków, by dalej wykorzystać równanie (11.60), ale najpierw policzmy jego pierwszą jego pochodną:

(11.63)

Następnie jest policzenie drugiej pochodnej, piszemy tożsamość:

(11.64)

Wzory udowodnione w puntach (11.63) i (11.64) są to wzory, które podstawimy do równania różniczkowego (11.60), w takim przypadku możemy napisać następne równanie różniczkowe:

(11.65)

Równanie różniczkowe (11.65) dzielimy obustronnie przez k2, a następnie mnożymy tak powstałe równanie przez i jednocześnie dalej redukując odpowiednie składniki do siebie z lewej strony rozważanego równania, w takim razie możemy dojść do wniosku:


(11.66)

Równanie wynikłe z końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (11.66) jest to równanie na funkcję Bessela (11.1):

(11.67)

Zatem wykorzystując wzory (11.61) i (11.62), to możemy napisać wzór (11.67) w postaci:

(11.68)

Funkcja Rl(kr) jest wprost proporcjonalna do funkcji sferycznej Bessela (11.53). Wzór (11.56) do którego podstawimy funkcję sferyczną Bessela, ale przedtem przy czym ewentualne stałe będziemy wkładać do stałej cl, i zakładając przy tym, że współrzędna zetowa wyraża się przy pomocy współrzędnej θ wzorem, tzn. ξ=r cosθ=rξ, w takim razie będziemy mogli powiedzieć:

(11.69)

W celu wyznaczenia współczynników cl należy pomnożyć obie strony równania (11.69) przez wielomian Legendre'a Pn(ξ) i z całkować obie jego strony, i wiedząc, że norma wielomianu Legendre'a jest policzona tutaj (9.58), to:

(11.70)

Weźmy sobie lewą stronę równania (11.70) i dokonajmy jego całkowania przez części, w takim razie otrzymujemy pewne wyrażenie, które jest wyrażone za pomocą wyrazu wolnego i za pomocą następnej całki:

(11.71)

Wyraz wolny można napisać dla jego granic w punktach 1 i -1, w których wielomiany Legendre'a zapisujemy wedle Pn(1)=1 i Pn(-1)=(-1)n, którego to pierwszy wyraz w (11.71) piszemy:

(11.72)

Do dalszych kroków jest wyznaczenie tożsamości, którą udowodnimy jako lemat, w takim przypadku mamy:

(11.73)

Dowód dla i=0 dla lematu twierdzeniem prawdziwym dla (11.73), zatem sprawdźmy co wyjdzie, gdy przejdziemy stwierdzenia z n do n+1, w takim bodź razie możemy pomnożyć równość (11.73), przez jednostkę urojoną równej jednostce urojonej i przestawienie jego w postaci i po wykorzystaniu twierdzenia o iloczynie funkcji potęgowych o tym samej podstawie, w takim przypadku możemy napisać:

(11.74)

Co kończy dowód lematu (11.73). Równość (11.72) możemy zapisać, korzystając przy tym z (11.74), i z definicji funkcji sinus:

(11.75)

Przy wyrażaniu (11.75) skorzystaliśmy, że drugi wyraz znajdujący się w punkcie wyrażenia (11.71) piszemy wedle sposobu poniżej, tzn. całkę poniżej całkujemy poprzez części, w takim przypadku udowodniliśmy, że ten wyraz jest wprost proporcjonalny do odwrotności kwadratu z liczby r, co uzasadnia w (11.71), że należy uciąć wyrazy rzędu więcej niż wyrazy proporcjonalne do odwrotności z odległości radialnej jako wyrażenia niecałkowego:

(11.76)


Jeszcze raz powracając do równania (11.70) możemy napisać tożsamość na funkcję zależną od x, czyli cnjn(x), która jest iloczynem współczynnika cn i asymptotycznej właściwości sferycznej funkcji Bessela jn(x) zdefiniowaną wzorem (11.53):

(11.77)

Mając wzór na cnjn(x), który jest określony przez wzór końcowy wynikowy (11.77), wtedy wzór (11.69) piszemy w postaci:

(11.78)

Jeśli wprowadzimy asymptotyczne sferyczne funkcje Bessela jn(x), które są zdefiniowane wzorem (11.53), w takim przypadku (11.78), który jest zarazem wzorem przybliżonym, przepisujemy:

(11.79)

Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela[edytuj]

Funkcja Bessela nie spełnia ogólnych warunków ortogonalizacji, jak to ma miejsce w przypadku wielomianów ortogonalnych, tzn. całka nie jest równe zero, zatem znajdziemy inny właściwy warunek ortogonalizacji dla naszej tutaj rozważanej funkcji. Obierzmy sobie dwie funkcje, które nazwiemy jako y1 i y2, dla których "a" jest nierówne "b":

(11.80)
(11.81)

Funkcje, tzn. (11.80) i (11.81) podstawiamy do równania różniczkowego Bessela (11.1) i dzielimy obustronnie przez x2, to dla tych dwóch rozwiązań mamy przestawienia:

(11.82)
(11.83)

Wzór (11.82) mnożymy obustronnie przez y2, a wzór (11.83) mnożymy obustronnie przez y1 i tak powstałe wzory odejmujemy od siebie, w ten sposób dostajemy równość:

(11.84)

Wprowadźmy nową funkcję zdefiniowaną za pomocą funkcji y1 i y2, a także za pomocą tychże pochodnych, w takim przypadku mamy definicję nowej zmiennej, w ten sposób (11.84) przechodzi w równość:

(11.85)

Końcową równość (11.85) musimy przecałkować w przedziale od (0,L), w ten sposób dostajemy tożsamość:

(11.86)

Wedle definicji na zmienną u, funkcje poniżej powinny być równe zero dla x=a,b, które są różnymi parametrami, dla naszego przypadku musi być przynajmniej jeden warunek z dwóch spełniony, co piszemy je:

(11.87)
(11.88)

Jeśli jest spełniony odpowiednio warunek (11.87) (funkcja Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero) lub (11.88) (pierwsza pochodna funkcji Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero), to lewa strona równości (11.86) jest równa zero:

(11.89)