Metody matematyczne fizyki/Funkcje Bessela

Funkcje Bessela

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmować funkcjami Bessela, który to on znany jest bardzo w matematyce i fizyce. Argument funkcji Bessela będziemy oznaczać przez x, a wskaźnikiem funkcji są współczynniki rzeczywiste. Funkcje Bessela oznaczamy przez J_ν.

Równanie różniczkowe Bessela i jego rozwiązania

Równanie różniczkowe, które definiuje funkcje Bessela jest to równanie określone:

$x^{2}J_{\nu }^{''}+xJ_{\mu }^{'}+(x^{2}-\nu ^{2})J_{\nu }=0\;$

(11.1)

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego (11.1) w postaci funkcji, w której wolny wyraz a₀ jest różny od zera. Możemy to otrzymać, gdy szereg potęgowy pomnożymy przez funkcję x^λ tak jak poniżej, zatem ostatecznie funkcje Bessela piszemy w postaci:

$J_{\nu }=x^{\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+\lambda }\;$

(11.2)

Wyznaczmy pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela (11.2), która jest proponowanym rozwiązaniem równania różniczkowego (11.1):

$J^{'}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\lambda +n)x^{n+\lambda -1}\;$

(11.3)

$J^{''}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\lambda +n)(\lambda +n-1)x^{n+\lambda -1}\;$

(11.4)

Możemy podstawić funkcję Bessela (11.2), a także pierwszą i drugą pochodną funkcji Bessela (11.3) i (11.4) do równania różniczkowego Bessela (11.1), otrzymujemy:

$x^{2}\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\lambda +n)(\lambda +n-1)x^{n+\lambda -2}\right]+x\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(\lambda +n)x^{n+\lambda -1}+(x^{2}-v^{2})\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+\lambda }=0\;$

(11.5)

Po krótkich przekształceniach, tzn. czynników stojących przed sumami jako czynniki włączamy pod tą sumę i po przegrupowaniu wyrazów:

$\sum _{n=0}^{\infty }\left[(n+\lambda )^{2}-\nu ^{2}\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+2}=0\;$

(11.6)

Współczynnik a₀ jest tak zdefiniowane w szeregu (11.2) by był różny od zera, w takim razie z równania (11.6) możemy otrzymać wyraz stojący przy potędze o wykładniku zerowym z liczby x:

$(\lambda ^{2}-\nu ^{2})a_{0}=0\;$

(11.7)

Z równości (11.7) otrzymujemy dwa rozwiązania na parametr λ, jedno z plusem a drugie z minusem, którego to piszemy za pomocą jednego ogólnego wzoru:

$\lambda =\pm \nu \;$

(11.8)

Jedno rozwiązaniu z plusem we wzorze zapisywanej ogólnie w punkcie (11.8) odpowiada rozwiązaniu regularnemu, a drugie z minusem odpowiada rozwiązaniu osobliwemu, które to w punkcie x=0 funkcja Besella (11.2) ma wartość osobliwą.

Współczynnik stojący w tożsamości (11.6) stojący przy pierwszej potędze, tzn. przy x¹ dla naszego wspomnianego równanie ma postać:

$0=\left[(1+\lambda )^{2}-\nu ^{2}\right]a_{1}=\left[(1\pm \nu )^{2}-\nu ^{2}\right]a_{1}=\left[1+\nu ^{2}\pm 2\nu -\nu ^{2}\right]a_{1}=\left[1\pm 2\nu \right]a_{1}\Rightarrow 0=\left(1\pm 2\nu \right)a_{1}\;$

(11.9)

Patrząc na warunek na liczbę λ według (11.8), to z (11.9) wynika, że a₁ jest równa zero. Równanie (11.6) możemy przekształcić do tożsamości:

$\sum _{n=0}^{\infty }\left[(n+\nu )^{2}-\lambda ^{2}\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n}=0\;$

(11.10)

W takim razie w równaniu różniczkowym (11.10) otrzymujemy wniosek na współczynniki a_n we funkcji Bessela w zależności od współczynników a_n-2, zatem poszczególne współczynniki:

$\sum _{n=0}^{\infty }n(n+2\lambda )x^{n}+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n-2}x^{n}=0\Rightarrow a_{n}=-a_{n-2}{{1} \over {n(n+2\lambda )}}\;$

(11.11)

Ale ponieważ a₁ jest równy zero co wcześniej wykazaliśmy w punkcie (11.9), to również na podstawie (11.11) ma miejsce warunek:

$a_{2l+1}=0,{\mbox{ dla }}l=0,1,2,...\;$

(11.12)

Dla indeksów parzystych można udowodnić, że istnieje ogólny wzór na współczynniki a_2l, który zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej wynikający ze wzoru ogólnego na współczynniki (11.11):

$a_{2l}={{1} \over {2l(2l+2\lambda )}}a_{2l-2}=(-1)^{l}{{a_{0}} \over {2^{2l}l!(l+\lambda )(l-1+\lambda )...(1+\lambda )}}\;$

(11.13)

Mając na uwadze uproszczenie ogólnych formuł przyjmijmy, że współczynnik a₀ przyjmuje szczególna formę zapisywaną przy pomocy funkcji Γ(x) definiowana w punkcie (5.12):

$a_{0}={{1} \over {2^{\lambda }\Gamma (1+\lambda )}}\;$

(11.14)

Biorąc na uwagę wzór (11.14) na współczynnik a₀, wtedy wzór (11.13) na współczynnik a_2l przy wykorzystywaniu wzoru zapisany w punkcie (5.24) piszemy w formie:

$a_{2l}=(-1)^{l}{{1} \over {2^{2l+\lambda }l!\Gamma (l+\lambda +1)}}{\mbox{ dla }}(l=0,1,2,3,...)\;$

(11.15)

Ponieważ przyjmujemy rozwiązanie regularne, więc z tożsamości (11.8) wybieramy rozwiązanie z plusem, w takim przypadku szereg Bessela przyjmuje ostateczną formę:

$J_{\nu }(x)=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+\nu }\;$

(11.16)

Funkcje Bessela o indeksie całkowitym i jego funkcja tworząca

Jeśli w funkcji (11.16) parametr ν jest liczbą naturalną ν=n=0,1,2,3,.., to funkcja Bessela możemy napisać dla tak określonego ν z definicji funkcji J_ν, w której występuje funkcją Γ zależna od całkowitego parametru, którego postać jest Γ(l+n+1)=(l+n)!:

$J_{\nu }(x)=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!(n+l)!}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+n}\;$

(11.17)

Następnym krokiem jest udowodnienie, że funkcją tworzącą wielomianu Bessela (11.17) jest funkcją w postaci wzoru $e^{{{x} \over {2}}(w-{{1} \over {w}})}\;$:

$\Psi (w,x)=e^{{{x} \over {2}}(w-{{1} \over {w}})}=e^{{xw} \over {2}}e^{-{{x} \over {2w}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{{1} \over {m!}}\left({{xw} \over {2}}\right)^{m}\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!}}\left({{x} \over {2w}}\right)^{l}=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!m!}}\left({{x} \over {2}}\right)^{l+m}w^{m-l}\;$

(11.18)

We wzorze (11.18) wprowadźmy parametr l+m zamiast parametru m, wtedy wspomniane równanie piszemy:

$\Psi (w,x)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!(l+n)!}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+1}\right]w^{m}\;$

(11.19)

Wyrażenie stojące w nawiasie we wzorze (11.19) są to funkcje Bessela, wtedy funkcja tworząca:

$\Psi (w,x)=e^{{{x} \over {2}}\left(w-{{1} \over {w}}\right)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{m}(x)w^{m}\;$

(11.20)

Funkcje Bessela z indeksem i jego przestawienie całkowe

We wzorze (11.20) dokonajmy podstawienia pod funkcję tworzącą Bessela w postaci w=e^iφ:

$\Psi (w,x)=e^{{{x} \over {2}}\left(w-{{1} \over {w}}\right)}=e^{{{x} \over {2}}\left(e^{i\phi }-e^{-i\phi }\right)}=e^{{{x} \over {2}}i2\sin \phi }=e^{ix\sin \phi }\;$

(11.21)

Obie strony tak otrzymanej równości (11.21) mnożymy obustronnie przez e^imφ, a następnie całkujemy obustronnie przez zmienną φ w granicach 0 do 2π, wtedy piszemy tożsamość:

$\int _{0}^{2\pi }e^{i(x\sin \phi -m\phi )}d\phi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)\int _{0}^{2\pi }e^{i(n-m)}d\phi \;$

(11.22)

Prawa strona równości (11.22) jest równa zero, gdy n jest nie równe m, a jest różna od zera i równa 2π, gdy n=m, wtedy możemy napisać wzór na funkcję Bessela wynikającą ze wspomnianego wzoru:

$J_{m}(x)={{1} \over {2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x\sin \phi -m\phi )}d\phi \;$

(11.23)

W szczególnym przypadku, gdy w równaniu (11.23) współczynnik m jest równy zero, więc to ostatnie równanie na funkcję Bessela J₀, tak by po drugiej równości dokonać podstawienia φ:=π/2+φ, i ze względu na okresowość funkcji cosφ, piszemy jako:

$J_{0}(x)={{1} \over {2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ix\sin \phi }d\phi ={{1} \over {2\pi }}\int _{-{{\pi } \over {2}}}^{2\pi -{{\pi } \over {2}}}e^{ix\cos \phi }d\phi =\left(\int _{0}^{2\pi }-\int _{2\pi -{{\pi } \over {2}}}^{2\pi }+\int _{-{{\pi } \over {2}}}^{0}\right)e^{ix\cos \phi }d\phi ={{1} \over {2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{ix\cos \phi }d\phi \;$

(11.24)

Funkcje Bessela o wskaźniku równym 1/2

Funkcje Bessela (11.16) dla ν=1/2, dla którego zapis o indeksie równej połowie jedynki, są równe:

$J_{{1} \over {2}}=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma \left(l+{{3} \over {2}}\right)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+{{1} \over {2}}}\;$

(11.25)

Z teorii funkcji Γ możemy napisać tożsamość, którego można rozpisać funkcję Γ przy wykorzystaniu definicji funkcji Γ dla ν równego 1/2:

$\Gamma \left(l+{{3} \over {2}}\right)=(l+{{1} \over {2}})(l-{{1} \over {2}})\cdot ...\cdot \Gamma \left({{1} \over {2}}\right)={\sqrt {\pi }}{{(2l+1)!!(2l+2)!!} \over {2^{l}(2l+2)!!}}={\sqrt {\pi }}{{(2l+2)!} \over {2^{l}2^{l+1}(l+1)!}}={\sqrt {\pi }}{{(2l+2)!} \over {l^{2l+1}(l+1)!}}={\sqrt {{\pi } \over {2}}}{{(2l+1)!} \over {l!2^{2l+{{1} \over {2}}}}}\;$

(11.26)

Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie (11.26) wzór na funkcję Bessela zapisane w punkcie (11.25) piszemy wedle:

$J_{{1} \over {2}}={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sum _{0}^{\infty }(-1)^{l}{{x^{2l+1}} \over {(2l+1)!}}\;$

(11.27)

Szereg zapisanej w punkcie (11.27) jest to szereg funkcji sinus z liczby x, zatem ta nasza tutaj rozważana funkcja Bessela jest to po prostu:

$J_{{1} \over {2}}(x)={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin x\;$

(11.28)

Funkcje Bessela (11.16) dla ν=-1/2 zapisujemy wedle sposobu, którego zapis jest o indeksie równym minus połowie jedynki:

$J_{-{{1} \over {2}}}(x)=\sum _{l=0}^{\infty }{{1} \over {l!\Gamma \left(l+{{1} \over {2}}\right)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l-{{1} \over {2}}}\;$

(11.29)

Z teorii funkcji Gamma możemy napisać tożsamość, którego jest rozwinięciem funkcji Γ dla ν połówkowego i równego 1/2, którą piszemy:

$\Gamma \left(l+{{1} \over {2}}\right)=\left(l-{{1} \over {2}}\right)\left(l-{{3} \over {2}}\right)...\Gamma \left({{\pi } \over {}2}\right)={\sqrt {\pi }}{{(2l-1)!!(2l)!!} \over {2^{l-1}(2l)!!}}={\sqrt {\pi }}{{(2l)!} \over {2^{2l-1}l!}}={\sqrt {{\pi } \over {2}}}{{(2l)!} \over {l!2^{2l-{{3} \over {2}}}}}\;$

(11.30)

Na podstawie tożsamości wyprowadzonej w obliczeniach w punkcie (11.29) wzór na funkcję Bessela zapisaną w punkcie (11.27) piszemy poniżej:

$J_{-{{1} \over {2}}}\left(x\right)={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sum _{l=1}^{\infty }{{2^{2l-{{3} \over {2}}}} \over {(2l)!}}{{x^{2l}} \over {2^{2l}}}={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{l!2^{2l-{{3} \over {2}}}} \over {l!(2l)!}}{{x^{2l}} \over {2^{2l-{{3} \over {2}}}}}={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{x^{2l}} \over {(2l)!}}$

(11.31)

Szereg zapisany w punkcie (11.31) jest to szereg funkcji kosinus z liczby x, zatem tą naszą tutaj rozważaną funkcję Bessela piszemy:

$J_{-{{1} \over {2}}}(x)={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos x\;$

(11.32)

Funkcje Bessela jako rozwiązania wzorów rekurencyjnych

Pokażemy, że wzór rekurencyjny dla funkcji Bessela o wskaźniku o wartości ν+1 wyraża się w zależności od współczynnika ν wzorem za pomocą operacji różniczkowania funkcji Bessela względem wskaźnika ν, dla której pod różniczkowaniem względem "x" jest iloczyn funkcji potęgowej x_-ν i funkcji Bessela (11.16):

$J_{\nu +1}=-x^{\nu }{{d} \over {dx}}\left(x^{-\nu }J_{\nu }\right)\;$

(11.33)

Wzór (11.33) udowodniamy przez bezpośrednio przez wstawianie do niego funkcji Bessela J_ν zdefiniowaną w punkcie (11.16):

${{d} \over {dx}}J_{\nu }={{d} \over {dx}}x^{-\nu }\left(\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1)}}{{x^{2l}} \over {2^{2l+\nu }}}\right)=-\sum _{l=1}^{\infty }{{1} \over {(l-1)!\Gamma (l-1+\nu +1+1)}}{{x^{2l-1}} \over {2^{2(l-1)+\nu +1}}}=\;$
$=-\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1+1)}}{{x^{2l+1}} \over {2^{2l+\nu +1}}}$

(11.34)

Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (11.34) możemy zapisać wyrażenie, które jak udowodnimy w końcowych dysputach, że jest to po prostu rozważane wyrażenie, które jest funkcją Bessela o wskaźniku ν+1.

$-x^{\nu }{{d} \over {dx}}J_{\nu }=-x^{\nu }\left(-\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1+1)}}{{x^{2l+1}} \over {2^{2l+\nu +1}}}\right)=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1+1)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+\nu +1}=J_{\nu +1}\;$

(11.35)

Udowodnijmy następną rekurencję, której to element J_ν-1 jest pisany przy pomocy wzoru na J_ν za pomocą operacji różniczkowania, którego to rekurencja jest:

$J_{\nu -1}=x^{-\nu }{{d} \over {dx}}\left(x^{\nu }J_{\nu }\right)\;$

(11.36)

Aby udowodnić wzór (11.36) musimy napisać wyrażenie różniczkowe, która jest iloczynem funkcji x^-ν i pochodnej z iloczynu funkcji x^ν i funkcji Bessela J_ν, wtedy mamy problem:

$x^{-\nu }{{d} \over {dx}}\left(x^{\nu }J_{\nu }\right)=x^{-\nu }{{d} \over {dx}}\left(\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l+2\nu }\right)=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu +1)}}(2l+2\nu ){{x^{2l+\nu -1}} \over {2^{2l+\nu }}}=\;$
$=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l+\nu -1+1)}}{{x^{2l+\nu -1}} \over {2^{2l+\nu -1}}}=J_{\nu -1}$

(11.37)

Co kończy dowód tożsamości (11.36).

Jak się zachowuje funkcja Bessela w pobliżu punktu x=0

Mając wzór na funkcje Bessela zdefiniowaną w punkcie (11.16), który można zapisać dla punktu blisko zera pomijając wyrazy wyższego rzędu wedle potęg z liczby x, bo następne potęgi dla małego otoczenia w tymże punkcie są rzędu niższego niż ν, są bardzo malutkie w porównaniu ze wspomnianym wyrazem, w takim przypadku funkcja Bessela piszemy:

$J_{\nu }(x)\simeq {{1} \over {2^{\nu }\Gamma (\nu +1)}}x^{\nu }\;$

(11.38)

Niech wskaźnik ν jest liczbą całkowitą, w takim przypadku możemy przestawić funkcję J_-n w zależności od J_n wedle sposobu poniżej, wiedząc, że funkcja Γ o współczynniku ujemnym przyjmuje wartość nieskończoną, a jego odwrotność jest zero.

$J_{-n}(x)=\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{{1} \over {l!\Gamma (l-n+1)}}\left({{x} \over {2}}\right)^{2l-n}\simeq (-1)^{n}{{x^{n}} \over {n!2^{n}}}=(-1)^{n}J_{n}(x)\;$

(11.39)

Asymptotyczne zachowania się funkcji Bessela ze wskaźnikiem ułamkowym

Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J_l+1/2(x) ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest on zdefiniowany jako:

$J_{l+{{1} \over {2}}}(x)={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.40)

Teraz zastosujemy wzór (11.33), by udowodnić rozwiązanie asymptotyczne (11.40), w tym celu przy dowodzie dla l=0 dostajemy dokładny wzór (11.28). Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku dla x bardzo dużego:

$J_{l+{{3} \over {2}}}=-x^{l+{{1} \over {2}}}{{d} \over {dx}}\left(x^{-l-{{1} \over {2}}}J_{l+{{1} \over {2}}}\right)=-x^{l+{{1} \over {2}}}{{d} \over {dx}}\left((x^{-l-{{1} \over {2}}}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\right)=-x^{l+{{1} \over {2}}}{\sqrt {{2} \over {\pi }}}{{d} \over {dx}}\left[{{\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+1}}}\right]=\;$
$=-x^{l+{{1} \over {2}}}{\sqrt {{2} \over {\pi }}}\left[{{\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+1}}}-(l+1){{\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+2}}}\right]$

(11.41)

Wykażemy że drugi wyraz występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie (11.41):

$J_{l+{{3} \over {2}}}=-{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)={\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin \left(x-(l+1){{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.42)

Co kończy dowód twierdzenia (11.40) na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej. Wykażemy, że dla bardzo dużego x funkcja J_l-1/2 ma postać asymptotyczną, którego wygląd w zależności od parametru "l" jest jako:

$J_{-l-{{1} \over {2}}}(x)=(-1)^{l}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.43)

Teraz zastosujemy wzór (11.36), by udowodnić wzór (11.42), w tym celu udowodnimy nasz wzór dla l=0 dla którego dostajemy dokładny wzór (11.32). Następnym krokiem naszego dowodu, że musimy udowodnić przejście z twierdzenia l do twierdzenia l+1 dla asymptotycznego przypadku x bardzo dużego:

$J_{-l-{{3} \over {2}}}(x)=x^{l+{{1} \over {2}}}{{d} \over {dx}}\left(x^{-l-{{1} \over {2}}}J_{\nu }\right)=x^{l+{{1} \over {2}}}{{d} \over {dx}}\left(x^{-l-{{1} \over {2}}}(-1)^{l}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\right)={\sqrt {{2} \over {\pi }}}(-1)^{l}x^{l+{{1} \over {2}}}{{d} \over {dx}}{{\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+1}}}=\;$
$=(-1)^{l}{\sqrt {{2} \over {\pi }}}x^{l+{{1} \over {2}}}\left(-{{\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+1}}}-(l+1){{\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {x^{l+2}}}\right)\;$

(11.44)

Wyraz drugi występujący w drugim członie jak odjemnik w nawiasie jest wielkością pomijalną ze względu, że mianownik odjemnej jest rząd niższy niż mianownik odjemnika, zatem odjemnik możemy pominąć, w takim bądź razem możemy napisać wyprowadzenie (11.44):

$J_{-l-{{3} \over {2}}}(x)=(-1)^{l+1}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}-{{1} \over {2}}\pi +{{1} \over {2}}\pi \right)=(-1)^{l+1}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos \left(x-(l+1){{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.45)

Co kończy dowód wzoru (11.42) na podstawie twierdzenia o indukcji zupełnej.

Funkcje Neumanna i Hankela a ich powiązanie z funkcjami Bessela

Funkcję Neumanna N_ν, które sa bardzo związane z funkcjami Bessela, jak później powiemy. Te funkcje są osobliwe w punkcie x=0, jego definicja jest napisana wzorem wedle schematu:

$N_{\nu }={{J_{v}\cos(\pi \nu )-J_{-\nu }} \over {\sin \pi \nu }}{\mbox{ dla }}(v\neq 0,\pm 1,\pm 2,...)\;$

(11.46)

Dla indeksów całkowitych funkcje Neumanna uzyskujemy w granicy dla ν, która jest liczbą określoną przy wzorze (11.46), której granica jest:

$N_{n}=\lim _{\nu \rightarrow n}N_{\nu }\;$

(11.47)

Jeśli przyjmować będziemy, że wielkość ν jest podana wzorem $\nu =l+{{1} \over {2}}\;$, w takim przypadku wzór (11.46) przyjmować będziemy wzorem:

$N_{l+{{1} \over {2}}}={{\cos \left(\left(l+{{1} \over {2}}\right)\pi \right)J_{\nu +{{1} \over {2}}}-J_{-l-{{1} \over {2}}}} \over {\sin \left(\left(l+{{1} \over {2}}\right)\pi \right)}}={{-\sin(l\pi )J_{\nu +{{1} \over {2}}}-J_{-l-{{1} \over {2}}}} \over {\cos l\pi }}={{-J_{-l-{{1} \over {2}}}} \over {(-1)^{l}}}=(-1)^{l+1}J_{-l-{{1} \over {2}}}\;$

(11.48)

Funkcję Hankela przestawiamy jako kombinację funkcji Bessela (11.16) i Neumanna N_ν (11.46) w postaci:

$H_{\pm }^{*}=J_{\nu }\pm iN_{\nu }\;$

(11.49)

Wprowadzenie do sferycznych funkcji Bessela

Sferyczne funkcje Bessela oznazczamy przez j_l(x), a także funkcje Neumanna i Hankela piszemy jako:

$j_{l}(x)={\sqrt {{\pi } \over {2x}}}J_{l+{{1} \over {2}}}\;$

(11.50)

$n_{j}=(-1)^{l+1}{\sqrt {{\pi } \over {2x}}}J_{-l-{{1} \over {2}}}(x)\;$

(11.51)

$h_{l}^{*}=j_{l}\pm in_{l}\;$

(11.52)

Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru (11.40), dochodzimy do związków, że funkcja Bessela (11.50) jest napisana wzorem poniżej:

$j_{l}(x)={\sqrt {{\pi } \over {2x}}}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)={{1} \over {x}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.53)

Wyżej wymienione funkcje możemy zapisać w postaci asymptotycznej korzystając ze wzoru (11.43) dochodzimy do związku, że funkcja Neumanna (11.51) ma wygląd:

$n_{l}=(-1)^{l+1}{\sqrt {{\pi } \over {2x}}}(-1)^{l}{\sqrt {{2} \over {\pi x}}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)=-{{1} \over {x}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\;$

(11.54)

A na sam koniec podamy jak wygląda funkcja Hankela dla jej przypadku asymptotycznego, dochodzimy do związków, że wedle definicji tejże funkcji (11.52) jest narysowana ona:

$h_{l}^{*}={{1} \over {x}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\pm i(-1){{1} \over {x}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)={{1} \over {x}}\sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\mp i{{1} \over {x}}\cos \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)=\mp {{i} \over {x}}\left(\left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\mp \sin \left(x-l{{\pi } \over {2}}\right)\right)=\;$
$=\mp {{i} \over {x}}e^{\mp i(x-l{{\pi } \over {2}})}=\mp {{i} \over {x}}e^{\mp ix}e^{\pm il{{\pi } \over {2}}}=\mp {{i} \over {x}}e^{\mp ix}i^{\pm l}=\mp {{i^{1\pm l}} \over {x}}e^{\mp ix}\;$

(11.55)

Wzór Rayleigha, czyli rozwinięcie funkcji fali płaskiej w funkcjach kulistych

Rozłóżmy funkcje opisująca falę płaską we funkcjach Legendre'a (9.33), wtedy możemy rozpisać naszą funkcję e^ikx w pewien szereg, którego jest kombinacją liniową w funkcjach Legendre'a P_l, którego to współczynniki są funkcjami zależnymi od wskaźnika l i argumentu r:

$e^{ikx}=\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}R_{l}(r)P_{l}(\cos \phi )\;$

(11.56)

Biorąc wzór na definicję Laplasjanu we współrzędnych kulistych (7.41) i wiedząc, że Y_l=P_l0, która nie zależy od zmiennej radialnej, wtedy na podstawie wzoru (10.5), która jest definicją Laplasjanu, mamy:

$\Delta Y_{l0}=-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}Y_{l0}\;$

(11.57)

Rozpiszmy wzór na Laplasjan wedle sposobu (7.41) i biorąc tylko jako działanie na ten operator funkcję R(r):

$\Delta R(r)={{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}\left(rR\right)={{1} \over {r}}{{\partial } \over {\partial r}}\left(R+r{{\partial R} \over {\partial r}}\right)={{1} \over {r}}{{\partial R(r)} \over {\partial r}}+{{\partial ^{2}R} \over {\partial r^{2}}}+{{1} \over {r}}{{\partial R} \over {\partial r}}={{\partial ^{2}R} \over {\partial r^{2}}}+{{2} \over {r}}{{\partial R} \over {\partial r}}\;$

(11.58)

Zatem możemy podziałać Laplasjanem obie strony równania (11.56), a do lewej jego strony także dokonujemy różniczkować względem współrzędnych kartezjańskim, a z jego z prawej strony we współrzędnych kulistych, w takim przypadku mamy równanie poniżej:

$-k^{2}e^{ikz}=-k^{2}\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}R_{l}(r)P_{l}(\cos \phi )=\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}\left[\left({{\partial ^{2}R} \over {\partial r^{2}}}+{{2} \over {r}}{{\partial R} \over {\partial r}}\right)-{{1} \over {r^{2}}}l(l+1)R_{l}\right]P_{l}(\xi )\;$

(11.59)

Ze wzoru (11.59) możemy napisać równanie różniczkowe, które jest tożsamościowo równe zero, w takim przypadku możemy napisać równanie, które w dalszych kroku mamy zamiar rozwiązać wykorzystując przy tym (11.56) do lewej strony ostatniego wzoru:

$R_{l}^{''}+{{2} \over {r}}R_{l}^{'}+\left[k^{2}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right]R_{l}=0\;$

(11.60)

Do równania (11.60) wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy następująco:

$r\rightarrow \rho =kr$

(11.61)

$R_{l}\rightarrow S={\sqrt {\rho }}R_{l}\;$

(11.62)

Możemy wykorzystać wzory (11.61), która jest definicją zmiennej ρ, a wzór (11.62), która jest definicją S, i te ostatnie dwa wspomniane wzory wstawiamy do wspomnianego na samym początku równania różniczkowego, w ten sposób dokonajmy dwóch następnych kroków, by dalej wykorzystać równanie (11.60), ale najpierw policzmy jego pierwszą jego pochodną:

$R^{'}=k{{\partial } \over {\partial \rho }}\left(S\rho ^{-{{1} \over {2}}}\right)=k{{S^{'}} \over {\sqrt {\rho }}}-k{{S} \over {2}}\rho ^{-{{3} \over {2}}}\;$

(11.63)

Następnie jest policzenie drugiej pochodnej, piszemy tożsamość:

$R^{''}=k^{2}{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({{S^{'}} \over {\sqrt {\rho }}}-{{S} \over {2}}\rho ^{-{{3} \over {2}}}\right)=k^{2}{{S^{''}} \over {\rho ^{{1} \over {2}}}}-{{S^{'}} \over {2\rho ^{{3} \over {2}}}}k^{2}-k^{2}{{S^{'}} \over {2}}\rho ^{-{{3} \over {2}}}+{{3} \over {2}}k^{2}{{S} \over {\rho ^{{5} \over {4}}}}\;$

(11.64)

Wzory udowodnione w puntach (11.63) i (11.64) są to wzory, które podstawimy do równania różniczkowego (11.60), w takim przypadku możemy napisać następne równanie różniczkowe:

$k^{2}{{S^{''}} \over {\rho ^{{1} \over {2}}}}-{{S^{'}} \over {2\rho ^{{3} \over {2}}}}k^{2}-k^{2}{{S^{'}} \over {2}}\rho ^{-{{3} \over {2}}}+{{3} \over {4}}k^{2}{{S} \over {\rho ^{{5} \over {2}}}}+{{2k} \over {\rho }}\left(k{{S^{'}} \over {\sqrt {\rho }}}-k{{S} \over {2}}\rho ^{-{{3} \over {2}}}\right)+k^{2}\left(1-{{l(l+1)} \over {\rho ^{2}}}\right){{S} \over {\sqrt {\rho }}}=0\;$

(11.65)

Równanie różniczkowe (11.65) dzielimy obustronnie przez k², a następnie mnożymy tak powstałe równanie przez $\rho ^{{1} \over {2}}\;$ i jednocześnie dalej redukując odpowiednie składniki do siebie z lewej strony rozważanego równania, w takim razie możemy dojść do wniosku:

$S^{''}+{{S^{'}} \over {\rho }}+\left[{{1} \over {4\rho ^{2}}}+1-{{l(l+1)} \over {\rho ^{2}}}\right]S=0\Rightarrow S^{''}+{{2S^{'}} \over {\rho }}+\left[1-{{\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}} \over {\rho ^{2}}}\right]S=0\Rightarrow \rho ^{2}S^{''}+S^{'}\rho +\left(\rho ^{2}-\left(l+{{1} \over {2}}\right)^{2}\right)S=0$

(11.66)

Równanie wynikłe z końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (11.66) jest to równanie na funkcję Bessela (11.1):

$S(\rho )=J_{l+{{1} \over {2}}}(\rho )\;$

(11.67)

Zatem wykorzystując wzory (11.61) i (11.62), to możemy napisać wzór (11.67) w postaci:

$R_{l}(kr)={{S} \over {\sqrt {\rho }}}={{J_{l+{{1} \over {2}}}(kr)} \over {\sqrt {kr}}}\sim j_{l}(kr)\;$

(11.68)

Funkcja R_l(kr) jest wprost proporcjonalna do funkcji sferycznej Bessela (11.53). Wzór (11.56) do którego podstawimy funkcję sferyczną Bessela, ale przedtem przy czym ewentualne stałe będziemy wkładać do stałej c_l, i zakładając przy tym, że współrzędna zetowa wyraża się przy pomocy współrzędnej θ wzorem, tzn. ξ=r cosθ=rξ, w takim razie będziemy mogli powiedzieć:

$e^{ikr\xi }=\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}j_{l}(kr)P_{l}(\xi )\;$

(11.69)

W celu wyznaczenia współczynników c_l należy pomnożyć obie strony równania (11.69) przez wielomian Legendre'a P_n(ξ) i z całkować obie jego strony, i wiedząc, że norma wielomianu Legendre'a jest policzona tutaj (9.58), to:

$\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P_{n}(\xi )d\xi =c_{n}j_{n}(kr){{2} \over {2n+1}}\;$

(11.70)

Weźmy sobie lewą stronę równania (11.70) i dokonajmy jego całkowania przez części, w takim razie otrzymujemy pewne wyrażenie, które jest wyrażone za pomocą wyrazu wolnego i za pomocą następnej całki:

$\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P_{n}(\xi )d\xi ={{1} \over {ikr}}e^{ikr\xi }P_{n}(\xi ){\Bigg |}_{-1}^{1}-{{1} \over {ikr}}\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P_{n}^{'}(x)d\xi \;$

(11.71)

Wyraz wolny można napisać dla jego granic w punktach 1 i -1, w których wielomiany Legendre'a zapisujemy wedle P_n(1)=1 i P_n(-1)=(-1)ⁿ, którego to pierwszy wyraz w (11.71) piszemy:

${{1} \over {ikr}}e^{ikr\xi }P_{n}(\xi ){\Bigg |}_{-1}^{1}={{e^{ikr}-(-1)^{n}e^{-ikr}} \over {ikr}}={{e^{ikr}-e^{in\pi }e^{-ikr}} \over {ikr}}=e^{in{{\pi } \over {2}}}{{e^{i(kr-n{{\pi } \over {2}})}-e^{-i(kr-n{{\pi } \over {2}})}} \over {ikr}}\;$

(11.72)

Do dalszych kroków jest wyznaczenie tożsamości, którą udowodnimy jako lemat, w takim przypadku mamy:

$e^{in{{\pi } \over {2}}}=i^{n}\;$

(11.73)

Dowód dla i=0 dla lematu twierdzeniem prawdziwym dla (11.73), zatem sprawdźmy co wyjdzie, gdy przejdziemy stwierdzenia z n do n+1, w takim bodź razie możemy pomnożyć równość (11.73), przez jednostkę urojoną równej jednostce urojonej i przestawienie jego w postaci $e^{i\pi /2}\;$ i po wykorzystaniu twierdzenia o iloczynie funkcji potęgowych o tym samej podstawie, w takim przypadku możemy napisać:

$e^{i(n+1){{\pi } \over {2}}}=i^{n+1}\;$

(11.74)

Co kończy dowód lematu (11.73). Równość (11.72) możemy zapisać, korzystając przy tym z (11.74), i z definicji funkcji sinus:

${{1} \over {ikr}}\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P_{n}(\xi )=2i^{n}{{\sin \left(kr-n{{\pi } \over {2}}\right)} \over {kr}}\;$

(11.75)

Przy wyrażaniu (11.75) skorzystaliśmy, że drugi wyraz znajdujący się w punkcie wyrażenia (11.71) piszemy wedle sposobu poniżej, tzn. całkę poniżej całkujemy poprzez części, w takim przypadku udowodniliśmy, że ten wyraz jest wprost proporcjonalny do odwrotności kwadratu z liczby r, co uzasadnia w (11.71), że należy uciąć wyrazy rzędu więcej niż wyrazy proporcjonalne do odwrotności z odległości radialnej jako wyrażenia niecałkowego:

${{1} \over {ikr}}\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P_{n}^{'}(\xi )d\xi ={{1} \over {(ikr)^{2}}}e^{ikr\xi }P_{n}^{'}(\xi ){\Bigg |}_{-1}^{1}-{{1} \over {(ikr)^{2}}}\int _{-1}^{1}e^{ikr\xi }P^{''}(\xi )d\xi \sim {{1} \over {(ikr)^{2}}}\;$

(11.76)

Jeszcze raz powracając do równania (11.70) możemy napisać tożsamość na funkcję zależną od x, czyli c_nj_n(x), która jest iloczynem współczynnika c_n i asymptotycznej właściwości sferycznej funkcji Bessela j_n(x) zdefiniowaną wzorem (11.53):

$2i^{n}{{\sin \left(kr-n{{\pi } \over {2}}\right)} \over {kr}}=c_{n}j_{n}(kr){{2} \over {2n+1}}\Rightarrow c_{n}j_{n}(\xi )=i^{n}(2n+1){{\sin \left(kr-{{n\pi } \over {2}}\right)} \over {kr}}\;$

(11.77)

Mając wzór na c_nj_n(x), który jest określony przez wzór końcowy wynikowy (11.77), wtedy wzór (11.69) piszemy w postaci:

$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }i^{n}(2n+1){{\sin \left(kr-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {kr}}P_{l}(\phi )\;$

(11.78)

Jeśli wprowadzimy asymptotyczne sferyczne funkcje Bessela j_n(x), które są zdefiniowane wzorem (11.53), w takim przypadku (11.78), który jest zarazem wzorem przybliżonym, przepisujemy:

$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }i^{n}(2l+1)j_{l}(kr)P_{l}(\cos \phi )\;$

(11.79)

Wprowadzenie specyficznego wzoru na ortogonalizację funkcji Bessela

Funkcja Bessela nie spełnia ogólnych warunków ortogonalizacji, jak to ma miejsce w przypadku wielomianów ortogonalnych, tzn. całka $\int _{0}^{2\pi }J_{\mu }J_{\nu }dx\;$ nie jest równe zero, zatem znajdziemy inny właściwy warunek ortogonalizacji dla naszej tutaj rozważanej funkcji. Obierzmy sobie dwie funkcje, które nazwiemy jako y₁ i y₂, dla których "a" jest nierówne "b":

$y_{1}=J_{\mu }(ax)\;$

(11.80)

$y_{2}=J_{\nu }(bx)\;$

(11.81)

Funkcje, tzn. (11.80) i (11.81) podstawiamy do równania różniczkowego Bessela (11.1) i dzielimy obustronnie przez x², to dla tych dwóch rozwiązań mamy przestawienia:

$y_{1}^{''}+{{1} \over {x}}y_{1}^{'}+\left(a^{2}-{{\nu ^{2}} \over {x^{2}}}\right)y_{1}=0\;$

(11.82)

$y_{2}^{''}+{{1} \over {x}}y_{2}^{'}+\left(b^{2}-{{\nu ^{2}} \over {x^{2}}}\right)y_{2}=0\;$

(11.83)

Wzór (11.82) mnożymy obustronnie przez y₂, a wzór (11.83) mnożymy obustronnie przez y₁ i tak powstałe wzory odejmujemy od siebie, w ten sposób dostajemy równość:

$y_{1}^{''}y_{2}-y_{2}^{''}y_{1}+{{1} \over {x}}\left(y_{1}^{'}y_{2}-y^{'}y_{1}\right)=(b^{2}-a^{2})y_{1}y_{2}\;$

(11.84)

Wprowadźmy nową funkcję zdefiniowaną za pomocą funkcji y₁ i y₂, a także za pomocą tychże pochodnych, w takim przypadku mamy definicję nowej zmiennej$_{u=y_{1}^{'}y_{2}-y_{2}^{'}y_{1}}\;$, w ten sposób (11.84) przechodzi w równość:

$u^{'}+{{u} \over {x}}=(b^{2}-a^{2})y_{1}y_{2}\Rightarrow xu^{'}+u=(b^{2}-a^{2})xy_{1}y_{2}\Rightarrow (xu)^{'}=(b^{2}-a^{2})xy_{1}y_{2}\;$

(11.85)

Końcową równość (11.85) musimy przecałkować w przedziale od (0,L), w ten sposób dostajemy tożsamość:

$Lu(L)=(b^{2}-a^{2})\int _{0}^{L}xy_{1}(x)y_{2}(x)dx\;$

(11.86)

Wedle definicji na zmienną u, funkcje poniżej powinny być równe zero dla x=a,b, które są różnymi parametrami, dla naszego przypadku musi być przynajmniej jeden warunek z dwóch spełniony, co piszemy je:

$J_{\mu }(xL)=0\;$

(11.87)

$J_{\mu }^{'}(xL)=0\;$

(11.88)

Jeśli jest spełniony odpowiednio warunek (11.87) (funkcja Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero) lub (11.88) (pierwsza pochodna funkcji Bessela w punkcie xL dla x=a,b jest równa zero), to lewa strona równości (11.86) jest równa zero:

$\int _{0}^{L}xJ_{\mu }(ax)J_{\nu }(bx)dx=0\;$

(11.89)