Metody matematyczne fizyki/Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równanie kuli[edytuj]

W przestrzeni n-wymiarowej mamy zdefiniowaną pewną normę , należącej do przestrzeni rzeczywistej, wzór na kulę niedomkniętą, a także domkniętą, a na samym końcu sfery przestawiamy wzorami poniżej o promieniach R, obie kule (niedomkniętą i domkniętą) dla przestrzeni z tą właśnie zdefiniowaną normą przestawiamy:

(6.1)
(6.2)
(6.3)

Dla przestrzeni Euklidesowej z normalną normą kule niedomkniętą, domknięta, a także sferę przestawiamy po kolei:

(6.4)
(6.5)
(6.6)
  • gdzie N jest to wymiar kuli w przestrzeni n-wymiarowej.

Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni[edytuj]

Wzór na sferę (6.6), dla której promień naszej rozważanej sfery jest R mając współrzędne środka tej kuli xio, i współrzędne punktów sfery xi, piszemy:

(6.7)

Oznaczmy dla oczywistych powodów, że środek kuli jest w środku układu współrzędnych, tzn. zachodzi warunek x0i=0 we wzorze (6.7), co nie umniejsza dowodu, by później wyznaczyć objętość n wymiarowej kuli zanurzonej w przestrzeni n-wymiarowej, zatem z definicji n-wymiarowej objętości kuli o promieniu jeden Ω(1) pomnożonej przez Rs mamy:

(6.8)

Grupując we wzorze (6.8) odpowiednio wyrazy w czynniku pod całką, gdy promień kuli wynosi jeden, korzystając przy tym ze wzoru (6.8), wtedy objętość n-wymiarowej tej kuli jest:

(6.9)

Obierzmy promień kuli s wymiarowej o promieniu jeden, który określany wzorem , gdzie R1 jest promień kuli w s-1 wymiarowej przestrzeni, pisząc ją przez , wtedy jej objętość:

(6.10)

Ale ponieważ zachodzi na pewno , to wzór (6.10) na promień jednostkowy kuli, którego objętość Ωs(1) wyżej wspomniana w zależności od objętości kuli s-1 wymiarowej Ωs-1(1), piszemy:

(6.11)

Policzmy teraz całkę początkowo przekształcając tą całkę z własności symetryczności funkcji podcałkowej, która występuje jako całka we wzorze końcowym wynikowym (6.11):

(6.12)

Dokonując podstawienia wynikającego z podstawienia wynikającego ze wzoru x=y2, to różniczka funkcji y(x) piszemy przez , wtedy końcowy wzór (6.12) piszemy jako:

(6.13)

Całka występująca we wzorze (6.13) jest szczególnym rodzajem całki Eulera pierwszego rodzaju, gdzie w naszym przypadku mamy oraz , którą definiujemy wzorem zapisaną w punkcie (5.1).

Całka Eulera B(a,b) dla parametrów równych a=α i b=β we wspomnianym wzorze na definicji całki Eulera pierwszego rzędu, dla naszych argumentów wchodzących w skład do tej całki, którą możemy napisać jako tożsamość:

(6.14)

Korzystając z całki (6.13) i z definicji całki Eulera dla specyficznych wartości a i b dla kuli zanurzonej w s-wymiarowej przestrzeni i po pewnych operacjach dokonywanych przez nas we wzorach pośrednich, to wzór na objętość n-wymiarowej kuli jednostkowej przestawianych wzorem (6.11), które tutaj dla kuli jednostkowej piszemy:

(6.15)

Ale pamiętając również, że funkcja , którego wartość wprowadziliśmy w punkcie (5.34), wtedy objętość kuli określamy ogólnym wzorem w zależności od funkcji Γ z liczby , gdzie s jest wymiarem kuli s-wymiarowej.

(6.16)

Gdy s jest równa podwojonej liczbie k, czyli wedle podstawienia , które dokonamy we wzorze (6.16), zatem objętość kuli jednostkowej w tym naszym przypadku zapisujemy:

(6.17)

Gdy s jest liczbą nieparzystą, czyli jest równa podwojonej wartości k odejmując od niej później jeden, czyli według podstawienia , to wyrażenie (6.16) piszemy wedle schematu:

(6.18)

Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej[edytuj]

Wiedząc, że objętość s-wymiarowej kuli jest wyrażona za pomocą objętości kuli jednostkowej pomnożonej przez s-tą potęgę promienia tejże kuli, którego ta objętość jest , to ta nasza objętość jest wyrażona wedle wzorów dla s parzystego (6.17) i s nieparzystego (6.18), wtedy zbierając to wszystko do kupy, piszemy:

(6.19)

co kończy dowód.

Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni[edytuj]

Zakładamy, że mamy dwie sfery o wspólnym środku i promieniach, takimi że zachodzi , czyli wystarczy policzyć pochodną funkcji V określone wzorem ogólnym (6.19) względem promienia kuli określonego przez wielkość R,

(6.20)

Stąd jego powierzchnia s-wymiarowej kuli, korzystając ze wzoru na objętość kuli określone wzorem (6.19), jest:

(6.21)

Następny rozdział: Operatory różniczkowe Poprzedni rozdział: Całki i funkcje Eulera

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki