Metody matematyczne fizyki/Szeregi Fouriera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Szeregi Fouriera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Każdą funkcję, która zmienia się okresowo możemy rozłożyć w szereg sinusów i kosinusów. Takie postępowanie nosi nazwę procedury spektralnej lub harmonicznej. Naszą funkcję możemy rozłożyć w szereg funkcji wykładniczych o urojonych wykładniku potęgi. Takie rozłożenie w szereg Fouriera stosuje się zwykle dla przebiegów czasowych i przestrzennych.

Funkcje uogólnione periodyczne i funkcje próbne w teorii dystrybucji[edytuj]

Oczywiste jest, że dystrybucję f definiujemy przy użyciu funkcji próbnej φ. Funkcja zwana dystrybuantą jest definiowana przy pomocy funkcji próbnej, jeśli jest funkcją okresową i jej periodyczność jest określona wzorem f(x+l)=f(x), to działanie na funkcję próbną φ(x) będziemy określać w postaci całki, którą dzielimy na najmniejsze przedziały, w której już ta funkcja nie jest funkcją periodyczną i zamiast całki pojawia się suma całek. Korzystając przy tym z okresowości funkcji f, więc jego działanie określamy przez:


(13.1)

Na sam koniec otrzymaliśmy nową funkcję próbną w obliczeniach (13.1), którą nazwiemy ψ(y), a jej definicją jest:

(13.2)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.1) działanie funkcji możemy zredukować do postaci poniżej, używając ogólnego symbolu T dystrybuanty. Podwójny znak działania będziemy tutaj określać tutaj dla działania ograniczone do pierwszego okresu.

(13.3)

Określenie współczynników Fouriera względem dystrybuanty T[edytuj]

Każdej dystrybucji możemy przepisać pewne współczynniki Fouriera, w której występuje dystrybuanta T(x) zależna tylko od jednej zmiennej iksowej:

(13.4)

Definicja szeregu Fouriera[edytuj]

Szeregiem Fouriera F[T] o periodyczności T i o okresie L nazywamy szereg ze współczynnikami cn(T) określaną:

(13.5)

Wykażemy, że szereg określony wzorem (13.5) jest równy samej dystrybucji określanej przez funkcję T, czyli zachodzi na pewno:

(13.6)

Z analizy funkcjonalnej wiadomo, że każdą funkcję możemy przybliżać funkcjami typu , teraz określmy działanie F[T] na funkcją ψ(y) sposobem:

(13.7)

Jeśli natomiast podstawimy wzór na współczynniki Fouriera (13.4) do wzoru (13.7), to otrzymamy równość, z którego coś wywnioskujemy dalej, tzn. zachodzi tożsamość (13.6):

(13.8)

Na podstawie obliczeń (13.8) udowodniliśmy tożsamość (13.6), która jest prawdziwa dla dowolnej funkcji próbnej ψ.

Twierdzenie Bessela-Parsevala[edytuj]

Zakładamy, że mamy dwie funkcje f(y) i g(y), które określać te funkcje będziemy w postaci szeregów określonych wzorami (13.5), przy założeniu, że jest spełniona tożsamość (13.6), to:

(13.9)
(13.10)

Mając już szeregi (13.9) i (13.10) możemy określić iloczyn skalarny funkcji f przez g w postaci:

(13.11)

Rozwinięcie dowolnej funkcji w szereg sinusów i cosinusów[edytuj]

Bardzo często szereg Fouriera przestawiamy jako szereg funkcji sinus i cosinus. Można to uczynić, gdy funkcję wykładniczą o wykładniku urojonym występującą w szeregu (13.5) można rozłożyć na funkcję kosinus i sinus, co piszemy po tej operacji:

(13.12)

Funkcja cosinus występująca w szeregu (13.12) jest funkcją parzystą, zatem szereg z cosinusami możemy zapisać uproszczonym wzorem:

(13.13)

Podobnie możemy zrobić z szeregiem z sinusami, wiedząc że jest to funkcja nieparzysta:

(13.14)

Wzór (13.12), który możemy przestawić w innej postaci przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.13) i w (13.14), jest w postaci:

(13.15)

Naszym następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników c0, i współczynników stojących przy cosinusach an=cn+c-n, i współczynników stojących przy sinusach an=cn+c-n i współczynnika wolnego a0=c0:

(13.16)
(13.17)
(13.18)

Ostateczny wzór na szereg Fouriera i jego współczynniki Fouriera[edytuj]

Szereg otrzymany w punkcie (13.15), przy uzyskanych współczynnikach a0 (13.16), an (13.17) i bn (13.18), możemy zapisać w uproszczonej postaci:

(13.19)
  • gdzie stałe a0 , bn i cn są zdefiniowane w postaci:
(13.20)
(13.21)
(13.22)

Policzalny postęp Fouriera[edytuj]

Policzalny (skończony) szereg Fouriera prosty, ale też jego transformatę odwrotną piszemy wedle przestawień:

(13.23)
(13.24)

Aby wykazać, że transformata odwrotna (13.24) jest działaniem odwrotnym do (13.23), wtedy należy podstawić wzór (13.23) do (13.24), wtedy powiemy:

(13.25)

W szeregu (13.25) mamy sumę postępu geometrycznego o ilorazie . Nasz szereg nasz w postaci zwartej jest równa zero dla n różnego m, a natomiast gdy n=m jest równy jeden. A więc, to mamy drugą sumę szeregu występującego w punkcie (13.25), która jest równa Nδnm, w takim razie szereg (13.25) dla naszego przypadku zapisujemy wedle:

(13.26)

Zatem udowodniliśmy, że transformata (13.24) jest transformatą odwrotną do transformaty (13.23). Jeśli oznaczymy przez , wtedy , jeśli oznaczymy elementy macierzy w postaci , to macierz transformująca z na i odwrotnie jest , wtedy wzory wynikające z (13.23) na transformatę prostą (13.23) i wzoru (13.24) na transformatę odwrotną piszemy je razem:

(13.27)
(13.28)