Metody matematyczne fizyki/Transformacja Laplace'a

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Transformacja Laplace'a

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami.

Definicja transformaty prostej Laplace'a[edytuj]

Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy:

(18.1)

Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem .

Przykłady transformat Laplace'a[edytuj]

Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej.

Lp.
Oryginał f
Transformata
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Transformacja odwrotna[edytuj]

Jeśli znamy transformatę funkcji , którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru (18.1), to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze:

(18.2)
  • gdzie z=x+iy i dz=idy.

Aby udowodnić wzór (18.2), który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu. Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy:


(18.3)

Funkcja napisana wewnątrz wzoru (18.3) jest deltą Diraca. którego to określamy:

(18.4)

Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie (18.4), która występuje w obliczeniach (18.3), i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia:

(18.5)

Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (18.5) i (18.4) udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem (18.2) jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem (18.1).

Transformata Laplace'a pochodnej[edytuj]

We wzorze (18.1) podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz:

(18.6)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (18.6) transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy:

(18.7)

Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór (18.7):

(18.8)

Transformata Laplace'a całki z oryginału[edytuj]

Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki:

(18.9)

Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem (18.9), zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako:

(18.10)

W drugiej równości w obliczeniach (18.10) pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i . Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie (18.10) transformata powyżej całki jest przestawiana:

(18.11)

Transformata funkcji przesuniętej[edytuj]

Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja , to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja fa(t), którą liczymy:

(18.12)

Transformata funkcji f(at) dla a>0[edytuj]

Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji:

(18.13)

Następny rozdział: Równania różnicowe liniowe Poprzedni rozdział: Rachunek wariacyjny

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki