Autor:Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna:Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.
W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami.
Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(t)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\;}
(18.1)
Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}(s)\;}.
Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej.
Lp.
Oryginał f
Transformata Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}\;}
1
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 1\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{s}}\;}
2
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^a\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\Gamma(a+1)}\over{s^{a+1}}}\mbox{ }(a>-1)\;}
3
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle e^{-\lambda t}\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{s+\lambda}}\;}
4
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle e^{-\lambda t}t^a\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\Gamma(a+1)}\over{(s+\lambda)^{a+1}}}\;}
5
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sin\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\omega}\over{s^2+\omega^2}}\mbox{ }(\omega>0)\;}
6
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \cos\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{s}\over{s^2+\omega^2}}\;}
7
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^n\sin\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;}
8
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^n\cos\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;}
9
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sinh\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\omega}\over{s^2-\omega^2}}\;}
10
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \cosh\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {s\over{s^2-\omega^2}}\;}
11
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{e^{-at}}\over{\sqrt{\pi t}}}\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{\sqrt{s+a}}}\;}
Jeśli znamy transformatę funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}\;}, którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru (18.1), to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle f(t)={{1}\over{2\pi i}}\int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz\;}
(18.2)
gdzie z=x+iy i dz=idy.
Aby udowodnić wzór (18.2), który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}(z)\;} do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu.
Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x+iy)t}dy\int_0^{\infty}e^{-(x+iy)\tau}f(\tau)d\tau =i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau) d\tau\int_{-A}^{A}e^{iy(t-\tau)}dy=\;} Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle = i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\left[{{e^{iA(t-\tau)}-e^{-iA(t-\tau)}}\over{i(t-\tau)}}\right]^A_{-A}= i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau{{2\sin A(t-\tau)}\over{t-\tau}}=\;} Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}}
(18.3)
Funkcja napisana wewnątrz wzoru (18.3) jest deltą Diraca. którego to określamy:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \delta(t-\tau)=\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}\;}
(18.4)
Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie (18.4), która występuje w obliczeniach (18.3), i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\delta(t-\tau)=2\pi i \int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=2\pi i f(t)\;}
(18.5)
Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (18.5) i (18.4) udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem (18.2) jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem (18.1).
We wzorze (18.1) podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt=f(t)e^{-st}\Bigg|_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f^'(t)dt=-f(0)+s\tilde{f}(s)\;}
(18.6)
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (18.6) transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}^'(s)=s\tilde{f}(s)-f(0)\;}
(18.7)
Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór (18.7):
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}^{''}(s)=s\tilde{f}^'(s)-f^'(0)=s^2\tilde{f}(s)-sf(0)-f^'(0)\;}
Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle F(t)=\int_0^{t}f(\tau)d\tau\;}
(18.9)
Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem (18.9), zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-st}F(t)dt=-{{1}\over{s}}e^{-st}F(t)\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}F'(t)dt={{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;}
(18.10)
W drugiej równości w obliczeniach (18.10) pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty}e^{-st}=0\;}.
Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie (18.10) transformata powyżej całki jest przestawiana:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{F}(t)={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;}
Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(s)]\;}, to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja fa(t), którą liczymy:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f_a(s)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t-a)dt=\int_0^{\infty}e^{-s(t-a)-sa}f(t-a)dt=e^{-sa}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=e^{-sa}\tilde{f}(s)\;}
Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji:
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(at)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(at)dt={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}at}f(at)d(at)={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}u}f(u)d(u)={{1}\over{a}}\tilde{f}\left({{s}\over{a}}\right)\;}