Metody matematyczne fizyki/Transformacja Laplace'a

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Transformacja Laplace'a

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami.

Definicja transformaty prostej Laplace'a[edytuj]

Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(t)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt\;}
(18.1)

Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}(s)\;} .

Przykłady transformat Laplace'a[edytuj]

Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej.

Lp.
Oryginał f
Transformata Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}\;}
1
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 1\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{s}}\;}
2
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^a\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\Gamma(a+1)}\over{s^{a+1}}}\mbox{ }(a>-1)\;}
3
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle e^{-\lambda t}\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{s+\lambda}}\;}
4
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle e^{-\lambda t}t^a\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\Gamma(a+1)}\over{(s+\lambda)^{a+1}}}\;}
5
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sin\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\omega}\over{s^2+\omega^2}}\mbox{ }(\omega>0)\;}
6
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \cos\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{s}\over{s^2+\omega^2}}\;}
7
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^n\sin\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;}
8
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle t^n\cos\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n!{{\operatorname{Im}(s+i\omega)^{n+1}}\over{(s^2+\omega^2)^{n+1}}}\;}
9
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \sinh\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\omega}\over{s^2-\omega^2}}\;}
10
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \cosh\omega t\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {s\over{s^2-\omega^2}}\;}
11
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{e^{-at}}\over{\sqrt{\pi t}}}\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{1}\over{\sqrt{s+a}}}\;}

Transformacja odwrotna[edytuj]

Jeśli znamy transformatę funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}\;} , którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru (18.1), to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle f(t)={{1}\over{2\pi i}}\int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz\;}
(18.2)
  • gdzie z=x+iy i dz=idy.

Aby udowodnić wzór (18.2), który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}(z)\;} do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu. Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int^{x+i\infty}_{x-i\infty}e^{zt}\tilde{f}(z)dz=i\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x+iy)t}dy\int_0^{\infty}e^{-(x+iy)\tau}f(\tau)d\tau =i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau) d\tau\int_{-A}^{A}e^{iy(t-\tau)}dy=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle = i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\left[{{e^{iA(t-\tau)}-e^{-iA(t-\tau)}}\over{i(t-\tau)}}\right]^A_{-A}= i\lim_{A\rightarrow\infty}\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau{{2\sin A(t-\tau)}\over{t-\tau}}=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}}
(18.3)

Funkcja napisana wewnątrz wzoru (18.3) jest deltą Diraca. którego to określamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \delta(t-\tau)=\lim_{A\rightarrow\infty}{{\sin A(t-\tau)}\over{\pi(t-\tau)}}\;}
(18.4)

Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie (18.4), która występuje w obliczeniach (18.3), i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 2\pi i\int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)d\tau\delta(t-\tau)=2\pi i \int_0^{\infty}e^{x(t-\tau)}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=2\pi i f(t)\;}
(18.5)

Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (18.5) i (18.4) udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem (18.2) jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem (18.1).

Transformata Laplace'a pochodnej[edytuj]

We wzorze (18.1) podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt=f(t)e^{-st}\Bigg|_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-st}f^'(t)dt=-f(0)+s\tilde{f}(s)\;}
(18.6)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (18.6) transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}^'(s)=s\tilde{f}(s)-f(0)\;}
(18.7)

Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór (18.7):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{f}^{''}(s)=s\tilde{f}^'(s)-f^'(0)=s^2\tilde{f}(s)-sf(0)-f^'(0)\;}
(18.8)

Transformata Laplace'a całki z oryginału[edytuj]

Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle F(t)=\int_0^{t}f(\tau)d\tau\;}
(18.9)

Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem (18.9), zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-st}F(t)dt=-{{1}\over{s}}e^{-st}F(t)\Bigg|_0^{\infty}+{{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}F'(t)dt={{1}\over{s}}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;}
(18.10)

W drugiej równości w obliczeniach (18.10) pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty}e^{-st}=0\;} . Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie (18.10) transformata powyżej całki jest przestawiana:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \tilde{F}(t)={{\tilde{f}(s)}\over{s}}\;}
(18.11)

Transformata funkcji przesuniętej[edytuj]

Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(s)]\;} , to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja fa(t), którą liczymy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f_a(s)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t-a)dt=\int_0^{\infty}e^{-s(t-a)-sa}f(t-a)dt=e^{-sa}\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=e^{-sa}\tilde{f}(s)\;}
(18.12)

Transformata funkcji f(at) dla a>0[edytuj]

Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle L[f(at)]=\int_0^{\infty}e^{-st}f(at)dt={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}at}f(at)d(at)={{1}\over{a}}\int_0^{\infty}e^{-{{s}\over{a}}u}f(u)d(u)={{1}\over{a}}\tilde{f}\left({{s}\over{a}}\right)\;}
(18.13)
Następny rozdział: Równania różnicowe liniowe. Poprzedni rozdział: Rachunek wariacyjny.

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki.