Metody matematyczne fizyki/Funkcje Greena

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Wprowadźmy operator i pewną funkcję , której argumenty są elementami n-wymiarowej przestrzeni. Załóżmy, że jest rozwiązaniem pewnego równania niejednorodnego omawianego operatora, które to równanie możemy przedstawić w postaci:

(20.1)

Zakładamy, że operator posiada operator odwrotny. Działając lewostronnie równość (20.1) przez nasz operator odwrotny do dostajemy równoważne do poprzedniego równanie:

(20.2)

Jeśli skorzystamy z własności funkcji Diraca, czyli z własności (12.1), to wyrażenie (20.2) możemy zapisać równoważnie w postaci całki po lewej stronie - co wynika z własności delty Diraca:

(20.3)

Funkcją Greena nazywamy wyrażenie, które jest iloczynem operatorowym odwrotności operatora i n-wymiarowej funkcji Diraca, zapisując tę funkcję według schematu:

(20.4)

Również z funkcji Greena (definicja (20.4)) możemy wyznaczyć n-wymiarową deltę (funkcję) Diraca z definicji funkcji Greena, wtedy jest ona iloczynem operatorowym operatora i funkcji Greena, zależną od dwóch n-wymiarowych argumentów:

(20.5)

Biorąc wyrażenie (20.3) i korzystając z definicji funkcji Greena (20.4), oraz mając na uwadze, że funkcja jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (20.1), wtedy otrzymamy rozwiązanie:

(20.6)

Niech rozwiązaniami równania jednorodnego operatora będą funkcje ψ0 spełnające:

(20.7)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (20.1) jest suma rozwiązania (20.6) i rozwiązania jednorodnego operatora (20.6):

(20.8)

Oczywiste jest, że funkcja własna (20.8) jest rozwiązaniem równania (20.1). Udowodnijmy to, korzystając przy tym z własności (20.7), a zatem przejdźmy do właściwego dowodu, wstawiając wyrażenie (20.8) do równości (20.1) do jej lewej strony:


(20.9)

W (20.9) z korzystamy z definicji funkcji Greena (20.4), wtedy nasze wyrażenie ma się:

(20.10)

Doszliśmy do wniosku (a korzystaliśmy z definicji delty Diraca), że z lewej strony (20.1) dochodzimy do jej prawej strony pomocy obliczeń (20.10), zatem funkcja (20.7) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (20.1).

Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego[edytuj]

W problemie oscylatora harmonicznego mamy równanie różniczkowe, a wiedząc że nasz układ drga z częstotliwością ω, możemy to równanie różniczkowe na opisywany ruch przestawić jako:

(20.11)

Operatorem nazywamy operator, który przestawiamy na podstawie definicji równania różniczkowego (20.11) dla oscylatora, którego drgania są wymuszane względem siły zewnętrznej F:

(20.12)

Aby policzyć funkcję Greena należy skorzystać z jej definicji zapisanej w punkcie (20.4) i z definicji wersji całkowej funkcji Diraca (14.39). W takim przypadku możemy napisać funkcję Greena używając definicji operatora , uzyskując dla :


(20.13)

Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce (20.13) dla , czyli:

(20.14)

wtedy musimy policzyć punkty osobliwe w całce zespolonej (20.14), wtedy rozwiązując równość kwadratową -z2+2iγt z+ω02t2=0 występująca w tej całce mamy:

(20.15)

Niech mamy t>0. Bo wybraliśmy całkowanie po konturze w górnej półpłaszczyźnie bo pierwiastki (20.15) leżą w górnej półpłaszczyźnie, całka po konturze C sprowadza się do całki po odcinku dla , a tym konturem C jest prosta o odcinku (-R,R) i półokrąg łączący punkt (R,0) z punktem (-R,0) w górnej półpłaszczyźnie, a całka po półokręgu jak udowodnimy jest równa zero co mamy dowieść, zatem zastępując przez , wtedy:





(20.16)

Zatem całka po półokręgu od do jest równa zero, zatem dla zatem prawdziwe jest zamienienie całki po odcinku (-R,R) (20.13) na kontur w (20.14), bo wtedy zachodzi G(t)=J(t). Wtedy residuum funkcji sprowadza się dla pierwszego bieguna według definicji residuum (8.34) w całce (20.14):

(20.17)

Co w tym przypadku funkcja Greena sprowadza się na podstawie policzonej residuum funkcji (20.17):

(20.18)

Zgodnie z lematem Jordana, w przypadku tak obranego konturu, by znajdował się on na górnej półpłaszczyźnie, tzn. dla takiego t<0, że mamy J(t)=0 w całce (20.14), bo na górnej półpłaszczyźnie nie ma biegunów dla tego t według (20.15) bo bieguny znajdują się w dolnej półpłaszczyźnie, możemy powiedzieć, że całka (20.14) J(t) jest równa całce (20.13), czyli G(t)=J(t), a więc funkcja Greena się zeruje, co zachodzi:

(20.19)

Dla t=0 funkcja Greena sprowadza się do postaci:

(20.20)

Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce (20.19) dla t=0:

(20.21)

Bieguny funkcji podcałkowej (20.21) są równe rozwiązaniu dwumianu kwadratowego -z2+2iγ z+ω02=0:

(20.22)

Zatem na podstawie (20.22) bieguny znajdują się w górnej półpłaszczyźnie, policzmy, czy całka po konturze (20.21) sprowadza się całce po odcinku , czyli policzmy oszacowanie czy całka po półokręgu się zeruje:


(20.23)

Co dowód (20.23) pokazuje, że całka (20.21) sprowadza się do całki (20.20), czyli G(0)=J(0). Policzmy residuum całki (20.21), na podstawie biegunów (20.22), a więc do roboty:

(20.24)

A sama funkcja Greena (20.20) przedstawia się na podstawie residuum (20.24):

(20.25)

Jak wiemy funkcja Greena G(t) dla t=0 jest równa zero, zatem znając funkcję Greena, co stąd końcowe rozwiązanie na funkcje Greena (20.18), (20.19) i (20.25) możemy wykorzystać do policzenia funkcji u(t), która jest rozwiązaniem równania (20.11), co daje się to zapisać za pomocą funkcji Greena G(t) wedle sposobu:

(20.26)

Znając funkcję Greena dla oscylatora harmonicznego (20.18), (20.19) i (20.25) oraz postać siły, którą mamy zamiar określić, może być to przypadek harmoniczny drgań siły opisanych według funkcji F=F0sin Ω t, to wtedy możemy oczywiście policzyć funkcję u(t) zapisaną wzorem (20.26). Należy zauważyć, że funkcja Greena nic nie upraszcza.

Definicja operatorowej funkcji Greena[edytuj]

Zamiast skalarnej definicji funkcji Greena (20.5) wprowadza się jego definicję operatorową, gdzie zamiast delty Diraca występuje operator jednostkowy, a zamiast funkcji Greena operator , zatem definicję operatora Greena piszemy:

(20.27)

Ze wzoru (20.27) możemy wyznaczyć operator , jeśli posiada operator odwrotny, wtedy ten operator piszemy wedle sposobu zależny od operatora całkowitej energii badanej cząstki:

(20.28)

Operatora definicja na funkcję Greena jest często niepraktyczna, w takim przypadku wprowadza się elementy macierzowe operatora Greena wedle jego definicji operatora Greena (20.28), których definicję jest zależna od elementów macierzowych operatora Diraca:

(20.29)

Bardzo wygodna jest baza funkcji własnych operatora , zatem jego elementy macierzowe piszemy przy pomocy funkcji bazy ortogonalnej φα, które są funkcjami własnymi operatora całkowitej energii badanej cząstki lub układu:

(20.30)

Wtedy równanie macierzowe (20.21) piszemy wedle rozkładu operatora w postaci macierzowej, których przestawienie jest zależne od wartości własnej λα rozważanego operatora energii:

(20.31)

Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena[edytuj]

Równanie operatorowego (20.27), który w tym przypadku nie zawsze da się rozwiązać, ma to miejsce, gdy operator jest zapisany jako operator różniczkowy, czy to zapisanej w języku operatorów, w takim przypadku dokonuje się rozkładu operatora na sumę operatora niezaburzonego i zaburzenia w sposób:

(20.32)

Napiszmy teraz funkcję na funkcję Greena niezaburzoną i jej odpowiednik zaburzony , w takim przypadku możemy powiedzieć ze zachodzą tożsamości operatorowe na te wielkości:

(20.33)
(20.34)

Mając wzór (20.33), który w równoważny sposób można zapisać, jako , które to podstawiamy do równania operatorowego (20.34), w takim przypadku otrzymujemy równość po dokonaniu opisanej operacji:

(20.35)

Jeśli równanie operatorowe (20.27) pomnożymy przez operator niezaburzonej funkcji Greena, wyznaczamy stąd funkcję Greena zaburzoną:

(20.36)

Równanie (20.36) możemy rozpisać w równoważny dla niego sposób wyznaczają z niego operator , który jest zależny od operatora i od :

(20.37)

Końcową równość (20.37), która jest równaniem Dyssona, która to możemy rozwinąć w szereg i w ten sposób otrzymać tożsamość operatorową na operator Greena dla hamiltonianu niezaburzonego:

(20.38)

Wzór (20.38) jest nazywana wzorem Dyssona, który to dla małej poprawki do operatora przyjmuje postać:

(20.39)

Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera[edytuj]

Równanie Schrödingera zawierający potencjał zaburzony V przestawiamy dla równania własnego zależnego od funkcji własnej i wartości własnej przestawiamy je na w sposób:f

(20.40)

Nie zmniejszając na ogólności w przypadku równania (20.40) możemy napisać go wprowadzając przy tym parametr ε, który dąży do zera, w takim przypadku wspomniane równanie własne w sposób równoważny zapisujemy je według:

(20.41)

Prawą stronę równości (20.41) możemy potraktować jako niejednorodność, równanie jednorodne zbudowane na podstawie (20.41) ma rozwiązanie ψ0, którego rozwiązaniem szczególnym powyższego równania jest ψ, zatem przy definicji odwrotności operatora , czyli (zmienna E+iε jest odpowiednikiem "z" w (20.28)), możemy powiedzieć:

(20.42)

Co równanie (20.42) można podstawić do równania (20.41) i sprawdzić jego słuszność, co tutaj nie będziemy robili. W równości (20.42) wyznaczamy funkcję ψ0 w zależności od funkcji ψ i operatora , z którego na podstawie tego będziemy wyznaczać naszą funkcję własną ψ równania własnego hamiltonianu:

(20.43)

Funkcję jako odwrotności pewnego operatora przestawimy jako nieskończony szereg geometryczny, którą piszemy na podstawie tożsamości (20.43), wtedy on przestawia się:

(20.44)

Jeśli przyjmować będziemy funkcję ψ jako małą względem wielkości V, zatem (20.44) piszemy w przybliżonej w postaci, dla które prawa strona zależy od operatora operatora i od funkcji własnej hamiltonianu niezaburzonego:

(20.45)

Język operatorowy (20.45) w przełożeniu na język funkcyjny zapisujemy jako:

(20.46)

Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena[edytuj]

W układach wielocząstkowych często się stosuje sumowania po wszystkich cząstkach, które to sumowanie często możemy zamienić na całkowanie, co piszemy:

(20.47)

Powyższe przejście jest możliwe, gdy funkcja F zależy tylko od energii. Wprowadziliśmy tutaj funkcję gęstości stanów, czy inaczej znana jako gęstością spektralną i określa ona liczbę stanów o energiach zbliżonych do E. Przejście od sumowania do całki wykonujemy według definicji definicji delty Diraca zapisanej przy pomocy stanów Eα wedle sposobu:

(20.48)

Porównując wzory (20.47) ze wzorem (20.48), otrzymujemy wzór na funkcję gęstości stanów, która jest zależna od energii stanów, i przestawiana jest jako sumę delt Diraca zapisanej względem energii poszczególnych poziomów (20.42) Eα i jest to sumowanie względem α:

(20.49)

Mając wzór (20.31) i za "z" w tym wzorze podstawiamy z=E+i0 i wykorzystując przy tym fakt (12.21), wtedy możemy napisać elementy macierzowe operatora z definicji elementów macierzowych:

(20.50)

Zadem ślad elementów macierzowych funkcji Greena wedle wzoru (20.42) przestawiamy jako część rzeczywistą ze zespolonej funkcji elementu macierzowego Gαα z definiowaną w punkcie (20.50):

(20.51)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń (20.51) i wzoru na gęstość stanów (20.49), dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest równa wyrażeniu (20.51) i przedstawiamy go jako:

(20.52)

Poprzedni rozdział: Równania różnicowe liniowe

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki