Metody matematyczne fizyki/Równania różnicowe liniowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Równania różnicowe liniowe

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Równania różnicowe, są to pewne związki rekurencyjne, które określają wartość danego wyrazu w sposób niebezpośredni - pośrednio, przez wyrazy go poprzedzające. Mogą to być ciągi: liczbowe, funkcyjne, a nawet i wektorowe. Indeksy mogą być numerowane liczbami naturalnymi lub całkowitymi. W naszych obliczeniach ograniczymy się do zmiennej jednej funkcji jednej zmiennej.

Równania różnicowe liniowe pierwszego rzędu[edytuj]

Równanie różnicowe liniowe, pierwszego rzędu, możemy zapisać równaniem:

(19.1)

Wszystkie współczynniki występujące we wzorze (19.1) są różne od zera, a zakres zmienności zmiennej n jest ograniczony, chociaż nie jest to warunek konieczny. Wprowadźmy nową zmienną, tak określoną:

(19.2)

Wzór na zmienną ym wyznaczoną ze wzoru (19.2) podstawiamy do równania różnicowego (19.1) i, dzieląc obustronnie tak otrzymane równanie przez a1a2...an, dostajemy schemat:

(19.3)

Ogólnym rozwiązaniem zn równania różnicowego wynikającym z końcowego związku (19.3) jest równanie:

(19.4)

Z równania (19.4) możemy wyznaczyć ym wynikające z równania (19.2).

Procedura opisana w powyższych punktach jest procedurą uniwersalną, ale zwykle nie trzeba się do niej uciekać, bo wystarczy rozpisać kilka pierwszych wyrazów na ym i stąd wyznaczyć ogólne wyrażenie na ten wyraz.

Równania jednorodne różnicowe rzędu drugiego[edytuj]

Podamy tutaj ogólne równanie różnicowego rzędu drugiego, który często stosowane jest w fizyce, jest to równanie w postaci:

(19.5)

Rozwiązania tego równania poszukujemy w postaci funkcji potęgowej:

(19.6)

Rozwiązanie (19.6) podstawiamy do równania (19.5), i dzieląc tak otrzymane równanie przez λm, dochodzimy do równania kwadratowego:

(19.7)

Z równania (19.7) możemy otrzymać parametr λ, który przedstawia się w postaci dwóch wzorów zależnych od stałych a i b występujących w równaniu (19.5):

(19.8)

Ogólnym rozwiązaniem równania (19.5) jest równanie:

(19.9)

Jesli dwa rozwiązania równania kwadratowego są takie same, czyli λ=λ12, to rozwiązaniem równania różnicowego (19.5) jest:

(19.10)

Aby sprawdzić, czy rzeczywiście (19.10) jest rozwiązaniem równania (19.5), gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego (19.7) jest równy zero, podstawiamy nasze rozwiązanie do równania różnicowego i po podzieleniu przez λn otrzymujemy:


(19.11)

Równanie (19.11) jest rozwiązaniem prawdziwym na mocy równania kwadratowego (19.7) i wartości parametru , gdy rozwiązaniem tego równania (19.7) są dwa jednakowe pierwiastki.

Następny rozdział: Funkcje Greena Poprzedni rozdział: Transformacja Laplace'a

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki