Metody matematyczne fizyki/Obrót układu współrzędnych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Obrót układu współrzędnych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: zegarek(myślnik)odmierza(myślnik)czas(małpa)wp(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Zajmować się będziemy obrotem punktu wokół początku układu współrzędnych, a także obrotem układu współrzędnego płaskiego o ściśle określony kąt, a także obrotem układu współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej o ściśle określone kąty Eulera.

Obrót punktu wokół osi z[edytuj]

Spróbujmy napisać transformacje obrotu punktu (x,y) dla przestrzeni dwuwymiarowej przy obrocie odwrotnym niż ruch wskazówek zegara o kąt α do punktu (x',y'), wiedząc że transformacje współrzędnych z układu cylindrycznego na kartezjański można napisać w postaci wzorów x=rcosα i y=rsinα:


(4.1)

(4.2)

Otrzymujemy w ten sposób dwa równania przedstawiające obrót wokół osi z o kąt φ mając stare współrzędne kartezjańskie "x" i "y" w płaskim układzie współrzędnych:

  • Obrót dwuwymiarowy punktu, wokół osi z:
(4.3)
(4.4)

Macierzowo, macierz obrotu punktu w układzie kartezjańskim wokół osi z o kąt φ piszemy na podstawie wzorów (4.3) i (4.4) według:

(4.5)

Ogólnie macierzowo związek (4.3) i (4.4) piszemy ogólnie przy definicji macierzy obrotu (4.5) wedle schematu:

(4.6)

Po podstawieniu za M określone wzorem (4.5) do (4.6) możemy macierzowo opisać transformacje obrotu punktu (x,y) wokół punktu (0,0) wedle wzoru określonego poniżej.

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji prostej:
(4.7)

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji odwrotnej:
(4.8)

Obrót układu współrzędnych wokół osi z[edytuj]

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że macierz transformacji określająca obrót punktu wokół początku układu współrzędnej jest napisana wzorem (4.7). Teraz niech punkt pozostaje w spoczynku, a układ współrzędnych porusza się odwrotnie ze wskazówkami współrzędnych, wtedy w macierzy transformacji trzeba zastąpić według podstawienia , stąd:

(4.9)

Zaś sama transformacja wygląda :

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą transformacji dla obracającego się układu współrzędnych:
(4.10)

Kąty Eulera[edytuj]

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera), to układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicja[edytuj]

(Rys. 4.1) Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Dokonajmy obrotu układu współrzędnych xyz do x'y'z', według opisu:

  • obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w
  • obrotu wokół osi x ( = w), takiego aby oś z pokryła się z osią z'
  • obrotu wokół osi z ( = z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y').

Przy czym zakładamy, że obrót wokół np. osi x uważamy za dodatni, gdy odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. Obrót układu współrzędnych można opisać przez trójkę kątów:

.

Określmy:

  • — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z jest to kąt obrotu 1.
  • — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z' jest to kąt obrotu 2.
  • — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w jest to kąt obrotu 3.

Macierze obrotu A1, A2 i A3, którego symbolizują obroty układu współrzędnych, z charakteryzowane powyżej wynoszą:

(4.11)
(4.12)
(4.13)

Macierz obrotu (4.11)(przy pierwszym obrocie) i (4.13)(przy trzecim obrocie) są w kierunku wyznaczonym przez trzecią oś, a (4.12)(przy drugim obrocie) jest w kierunku wyznaczonym przez pierwszą oś. Macierz obrotu w trzech kierunkach na podstawie macierzy poszczególnych obrotów (4.11), (4.12) i (4.13) jest przedstawiona wzorem A=A3A2A1), co po podstawieniu do tej formuły macierze obrotów, otrzymujemy:


(4.14)

Macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, określająca obroty ze starego położenia do nowego układu współrzędnych, przedstawiamy:

(4.15)

Natomiast odwrotna macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, przekształcająca obroty z nowego położenia układu współrzędnych do starego, jest napisana w sposób następujący:


(4.16)

Odwrotną macierz obrotu (4.16) można również otrzymać z (4.15) zamieniając jednocześnie według i , a potem wszystkie kąty zmieniając na przeciwne. Podobnie jak dla wzoru (4.10) możemy napisać podobny wzory ale dla transformacji Eulera dla każdego kąta z osobna:

(4.17)
(4.18)
(4.19)

Co można napisać łącząc te trzy transformacje w transformacje Eulera wykorzystując, że całkowita macierz obrotu jest iloczynem poszczególnych macierzy obrotów wykorzystywanych w transformacjach (4.17), (4.18) i (4.19):

(4.20)

Można udowodnić, że transformacja (4.20) zachowuje długość w przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, w której mamy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny), bo:

(4.21)

co dowód tego został ukończony.

Następny rozdział: Całki i funkcje Eulera Poprzedni rozdział: Układ współrzędnych

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki