Metody matematyczne fizyki/Układ współrzędnych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Układ współrzędnych

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Omówimy tutaj trzy rodzaje układów współrzędnych, tzn. układ kartezjański, cylindryczny i sferyczny.

Układ kartezjański[edytuj]

(Rys. 3.1) Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układem współrzędnych kartezjańskich, nazywamy taki układ współrzędnych, w których zadany jest punkt zwany początkiem układu współrzędnych. W punkcie tym wszystkie wspòłrzędne są równe zero.

Współrzędne[edytuj]

W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy pierwsze osie, nazywamy:

  • oś x: odcięta
  • oś y: rzędna
  • oś z: kota

Prostokatny układ współrzędny jest to układ, której współrzędne danego punktu powstają poprzez prostokatny rzut jego na poszczególne osie układu.

Podział płaszczyzny[edytuj]

U2Podział przestrzenny płaszczyzny na ćwiartki

Kartezjański układ współrzędnych w dwóch wymiarach dzieli płaszczyznę na cztery części tzw. ćwiartki:

  • I ćwiartka,
  • II ćwiartka,
  • III ćwiartka,
  • IV ćwiartka.

Skrętność trójwymiarowego układu współrzędnych[edytuj]

Każdy układ kartezjański w przestrzeni trójwymiarowej może być lewoskrętny lub prawoskrętny. Według reguły prawej dłoni, jeśli obracamy prawą dłoń od OX do OY, to taki układ nazywamy prawoskrętny.

Układ cylindryczny[edytuj]

(Rys. 3.2) Walcowy układ współrzędnych

Walcowym (cylindrycznym) układem współrzędnych jest to układ współrzędnych w trójwymiarowym układzie współrzędnych. Każdy punkt w przestrzeni zapisuje się za pomocą trójki współrzędnych , gdzie poszczególne współrzędne wyrażają się w postaci:

: jest to odległość układ współrzędnych od jego początku.
jest to kąt rzutu jaki tworzy rzut wektora wodzącego z osią OX.
jest to odległość rzutu punktu na oś OZ od początku układu współrzędnych.

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskiego[edytuj]

Wzory transformujące współrzędne φ i ρ i z' w układzie współrzędnych kartezjańskich walcowatych przedstawiamy wedle sposobu:

(3.1)
(3.2)
(3.3)

Jakobian przejścia[edytuj]

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do walcowatych:

(3.4)

Przepiszmy końcowy wynik (3.4), który właśnie wyznaczyliśmy:

(3.5)

Układ sferyczny[edytuj]

(Rys. 3.3) Wspólrzędne punktu w "matematycznym" systemie współrzędnych sferycznych

Dowolnemu punktowi można przepisać trójkę współrzędnych :

  • - promień wodzący, gdzie
  • - długość azymutalna ,gdzie
  • - odległość zenitalna, gdzie

Przejście do układu współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowej[edytuj]

Wzory transformujące współrzędne kuliste ρ i θ i φ w układzie współrzędnych kartezjańskich sferycznych do współrzędnych kartezjańskich przedstawiamy:

(3.6)
(3.7)
(3.8)

Jakobian przejścia[edytuj]

Wyznaczmy Jakobian przejścia z układu o współrzędnych kartezjańkich do sferycznych według:



(3.9)

Przepiszmy końcowy wynik (3.9), który właśnie wyznaczyliśmy:

(3.10)

Następny rozdział: Obrót układu współrzędnych Poprzedni rozdział: Rachunek tensorowy

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki