Metody matematyczne fizyki/Funkcje sferyczne w matematyce

Funkcje sferyczne w matematyce

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne 2Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność 3Normowanie funkcji sferycznych

W tym rozdziale zajmować się będziemy funkcjami sferycznymi, która ta funkcja zależy od dwóch współrzędnych kątowych, którego to zapis Y=Y_lm. Funkcje Y_lm są wzajemnie ortogonalne do siebie, tzn. to zachodzi związek mówiącej o tej ortogonalności.

$(Y_{lm},Y_{l^{'}m^{'}})=\delta _{ll^{'}}\delta _{mm^{'}}\;$

(10.1)

Iloczynem skalarnym dwóch funkcji zależnych od funkcji kątowych określamy wedle warunku:

$(f,g)=\int _{V}{\tilde {f}}(\phi ,\psi )g(\phi ,\psi )dV=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }{\tilde {f}}(\theta ,\phi )g(\theta ,\phi )\sin \phi d\phi \;$

(10.2)

Równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem są funkcje sferyczne

Równaniem, które się tutaj zajmować się tutaj będziemy, jest to równanie zależne od zmiennych kulistego układu współrzędnych, czyli zależy od zmiennych (r,φ.ξ), określmy przez równanie:

${{\partial ^{2}f} \over {\partial r^{2}}}+{{2} \over {r}}{{\partial f} \over {\partial r}}+{{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}\right){{\partial f} \over {\partial \xi }}\right)+{{1} \over {r^{2}(1-\xi ^{2})}}{{\partial ^{2}f} \over {\partial \theta }}=0\;$

(10.3)

Funkcję f piszemy jako iloczyn funkcji potęgowej r^l i funkcji kulistej Y(θ,φ):

$f(r,\xi ,\theta )=r^{l}Y(\xi ,\theta )\;$

(10.4)

Tożsamość (10.4) podstawiamy do równości różniczkowej (10.3), wtedy dostajemy następnie równanie różniczkowe, to dowód tego przejścia pokazujemy:

${{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(r^{l}Y)+{{2} \over {r}}{{\partial (r^{l}Y)} \over {\partial r}}+{{1} \over {r^{2}}}{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}\right){{\partial (r^{l}Y)} \over {\partial \xi }}\right)+{{1} \over {r^{2}(1-\xi ^{2})}}{{\partial ^{2}(r^{l}Y)} \over {\partial \theta ^{2}}}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow l(l-1)r^{l-2}Y+2lr^{l-2}Y+r^{l-2}{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}){{\partial Y} \over {\partial \xi }}\right)\right)+r^{l-2}{{1} \over {(1-\xi ^{2})}}{{\partial ^{2}Y} \over {\partial \theta ^{2}}}=0\Rightarrow$
$\Rightarrow l(l+1)Yr^{l-2}+r^{l-2}{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}\right){{\partial Y} \over {\partial \xi }}\right)+r^{l-2}{{1} \over {(1-\xi ^{2})}}{{\partial ^{2}Y} \over {\partial \theta ^{2}}}=0\Rightarrow l(l+1)Y+{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}\right){{\partial Y} \over {\partial \xi }}\right)+{{1} \over {(1-\xi ^{2})}}{{\partial ^{2}Y} \over {\partial \theta ^{2}}}=0$

(10.5)

Takie samo równanie, co równanie końcowe wynikające przeprowadzonej w punkcie (10.5) otrzymamy z (10.3), tzn. gdy weżniemy dla ujemnych potęg r^-l-1, czyli dla rozwiązania:

$f(r,\xi ,\theta )=r^{-l-1}Y(\xi ,\theta )\;$

(10.6)

Co pokazują obliczenia, które wynikają z dodawania czynników wynikające z dwóch pierwszych pochodnych (pierwsza i druga pochodna funkcji) przy czynniku r^l-3:

$(-l-1)(-l-2)+2(-l-1)=l^{2}+2l+l+2-2l-2=l^{2}+l=l(l+1)\;$

Funkcja Laplace'a jest funkcją, która jest kombinacją dwóch wyrazów z potęgą ujemną oraz dodatnią, czyli jest kombinacją liniową funkcji (10.4) i funkcji (10.6). Funkcja Y(θ,φ) jest iloczynem dwóch wyrazów, tzn. T(ξ) i Φ(θ), co opis tego rozwiązania zapisujemy:

$Y(\xi ,\theta )=T(\xi )\Theta (\theta )\;$

(10.7)

Możemy podstawić rozwiązanie równania kulistego (10.7) do równania różniczkowego (10.5), w takim przypadku możemy napisać od razu po dokonaniu tejże opisywanej operacji:

$l(l+1)T\Theta +{{\partial } \over {\partial \xi }}\left(\left(1-\xi ^{2}\right){{\partial T\Theta } \over {\partial \xi }}\right)+{{1} \over {1-\xi ^{2}}}{{\partial T\Theta } \over {\partial \theta ^{2}}}=0\;$

(10.8)

Równanie różniczkowe (10.8) dzielimy obustronnie przez wyrażenie zapisane wzorem (10.7), następnie po krótkich przekształceniach i po krótkich przenosinach pewnych wyrazów w taki sposób by po na prawej i lewej stronie rozważanego równania znajdowały się różne funkcje zależne od różnych zmiennych, wtedy dostajemy tożsamość:

$(1-\xi ^{2})\left(l(l+1)+{{1} \over {T}}{{\partial } \over {\partial \xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{\partial T} \over {\partial \xi }}\right]\right)=-{{1} \over {\Theta }}{{\partial ^{2}\Theta } \over {\partial \theta ^{2}}}\;$

(10.9)

Funkcje znajdujące się po obu stronach równania (10.9) są zależne od innych zmiennych, obie te funkcje są tożsamościowo równe sobie, zatem obie jego strony możemy przyrównać do stałej. Aby tak się stało musimy napisać:

$C^{2}=-{{1} \over {\Theta }}{{\partial ^{2}\Theta } \over {\partial ^{2}\theta }}\Rightarrow \Theta =e^{iC\theta }\;$

(10.10)

Aby końcowa tożsamość wynikowa (10.10) była poprawnie sformułowana, to ona na pewno powinna mieć takie same wartości dla φ=0 i 2π:

$e^{iC2\pi }=e^{0}\Rightarrow iC\pi =\pi m\Rightarrow C=m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,..\;$

(10.11)

Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.11) funkcja (10.10) przyjmuje ostateczną końcową postać:

$\Theta (\theta )=e^{im\theta }\;$

(10.12)

Jeśli równanie na Θ(θ) (10.12) podstawimy do równania (10.9), otrzymujemy następne równanie różniczkowe na funkcję T, w takim przypadku:

$(1-\xi ^{2})\left(l(l+1)+{{1} \over {T}}{{d} \over {d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{dT} \over {d\xi }}\right]\right)=m^{2}\Rightarrow (l(l+1)T+{{d} \over {d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{dT} \over {d\xi }}\right]={{m^{2}} \over {1-\xi ^{2}}}T\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{dT} \over {d\xi }}\right]+\left(l(l+1)-{{m^{2}} \over {1-\xi ^{2}}}\right)T=0\;$

(10.13)

W równaniu (10.13), która określa pewną funkcję T w zależności od parametru m i zmiennej ξ. dokonujemy podstawienia, która jest definicją wyrazu (1-ξ²)^m/2 i pewnej funkcji P_lm.

$T=(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}P_{lm}\;$

(10.14)

Następnym naszym krokiem jest policzenie składnika pierwszego, która znajduje się w równaniu końcowym wynikowym (10.13), zatem policzmy ten wyraz korzystając z definicji funkcji T poprzez iloczyn dwóch funkcji zależnych od ξ (10.14):

${{d} \over {d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{dT} \over {d\xi }}\right]={{d} \over {d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){{d\left[(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}P_{lm}\right]} \over {d\xi }}\right]={{d} \over {d\xi }}\left\{(1-\xi ^{2})\left[{{m} \over {2}}(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}(-2\xi )P_{lm}+\left(1-\xi ^{2}\right)^{{m} \over {2}}{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\right]\right\}=\;$
$={{d} \over {d\xi }}\left\{-m\xi (1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}P_{lm}+(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}+1}{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\right\}=-m(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}P_{lm}-m\xi (1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}{{m} \over {2}}(-2\xi )P_{lm}+\;$
$-m\xi (1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}{{dP_{lm}} \over {d\xi }}+\left({{m} \over {2}}+1\right)\left(1-\xi ^{2}\right)^{{m} \over {2}}\left(-2\xi \right){{dP_{lm}} \over {d\xi }}+(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}+1}{{d^{2}P_{lm}} \over {d\xi ^{2}}}=\left(1-\xi ^{2}\right)^{{{m} \over {2}}+1}{{d^{2}P_{lm}} \over {d\xi ^{2}}}+\;$
$-2{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\xi \left(1-\xi ^{2}\right)^{{m} \over {2}}(m+1)+\left(1-\xi ^{2}\right)^{{{m} \over {2}}-1}\left(m^{2}\xi ^{2}-m\left(1-\xi ^{2}\right)\right)P_{lm}\;$

(10.15)

Za pierwszy składnik sumy występującej w sumie po lewej stronie równania różniczkowego (10.13) podstawiamy wyrażenie wynikłe z obliczeń (10.15), to:

$(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}+1}{{d^{2}P_{lm}} \over {d\xi ^{2}}}-2{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\xi (1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}(m+1)+(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}\left(m^{2}\xi ^{2}-m(1-\xi ^{2})\right)P_{lm}+\;$
$+\left(l(l+1)-{{m^{2}} \over {1-\xi ^{2}}}\right)(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}P_{lm}=0\;$

(10.16)

W celu dalszego przekształcenia równania (10.16) należy dokonać obliczeń dla wyrazów stojących przy czynniku P_lm, ale będziemy liczyć bez tego czynnika, co jest dla nas oczywiste dlaczego tak robimy.

$(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}\left(m^{2}\xi ^{2}-m(1-\xi ^{2})\right)+\left(l(l+1)-{{m^{2}} \over {1-\xi ^{2}}}\right)(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}=(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}\left(m^{2}\xi ^{2}-m(1-\xi ^{2})-m^{2}\right)+\;$
$+l(l+1)(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}=(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}\left[m^{2}(\xi ^{2}-1)-m(1-\xi ^{2})\right]=-(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}-1}\left(1-\xi ^{2}\right)m(m+1)+l(l+1)(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}=\;$
$=(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}\left(l(l+1)-m(m+1)\right)$

(10.17)

Do równania (10.16) możemy podstawić wynik obliczeń przeprowadzonych w punkcie (10.17) dla wyrazów stojących przy P_lm, wtedy mamy wniosek:

$(1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}+1}{{d^{2}P_{lm}} \over {d\xi ^{2}}}-2{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\xi (1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}(m+1)+(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P_{lm}=0\;$

(10.18)

Równanie różniczkowe (10.18) dzielimy obustronnie przez wyrażenie $\left(1-\xi ^{2}\right)^{{m} \over {2}}\;$, co można tak zrobić przy założeniu, że mamy $\xi \neq \pm 1\;$, w takim przypadku równanie (10.18) przyjmuje postać:

$(1-\xi ^{2}){{d^{2}P_{lm}} \over {d\xi ^{2}}}-2{{dP_{lm}} \over {d\xi }}\xi (m+1)+\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P_{lm}=0\;$

(10.19)

W równaniu (10.19), gdy m zastąpimy przez zero, wtedy otrzymamy równanie Legendre'a wprowadzone w punkcie (9.16), zatem możemy powiedzieć, że P_l0 są to wielomiany Legendre'a. Równanie różniczkowe (10.19) możemy zróżniczkować względem zmiennej ξ, w takim przypadku mamy równość wynikową w porównaniu do poprzedniej równości:

$-2\xi P_{lm}^{''}+(1-\xi ^{2})P_{lm}^{'''}-2P_{lm}^{'}(m+1)-2P_{lm}^{''}\xi (m+1)+\left(l(l+1)-m(m+1)\right)P_{lm}^{'}=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow (1-\xi ^{2})P_{lm}^{'''}-2\xi (m+2)P_{lm}^{''}+\left(l(l+1)-m(m+1)-2(m+1)\right)P_{lm}^{'}=0\Rightarrow \;$
$(1-\xi ^{2})\left(P_{lm}^{'}\right)^{''}-2\xi (m+2)\left(P_{lm}^{'}\right)^{'}+\left(l(l+1)-(m+1)(m+2)\right)\left(P_{lm}\right)^{'}=0\;$

(10.20)

Ze wzoru końcowego możemy powiedzieć, że spełniona jest tożsamość:

$P_{l,m+1}=P_{lm}^{'}\;$

(10.21)

Wykorzystując wzór na wielomiany Legendre'a, które są zdefiniowane wzorem (9.33) oraz wzór na funkcje sferyczne (10.21) dochodzimy wtedy do wniosku, że wielomiany, które są rozwiązaniami równania (10.19), które to ogólnie przedstawienie przez P_lm możemy napisać:

$P_{lm}=P_{l}^{(m)}={{(-1)^{l}} \over {2^{l}l!}}\left[(1-\xi ^{2})^{l}\right]^{(l+m)}\;$

(10.22)

Z otrzymanego wzoru (10.22) dochodzimy do wniosku, że parametr m występujący we wzorze na równanie różniczkowe (10.19) przebiega wartości:

$m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l\;$

(10.23)

Końcowy wzór na rozwiązanie równania (10.13) jest w postaci:

$Y_{lm}\left(\xi ,\theta \right)=N(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}\left(P_{l}(\xi )\right)^{(m)}e^{im\theta }\;$

(10.24)

Funkcje sferyczne, a jego ortogonalność

Mając funkcje sferyczne (10.24), można udowodnić, że te funkcje wraz z odpowiednio dobraną stałą N jest funkcją ortogonalną, zatem z definicji iloczynu skalarnego i wspomnianej funkcji Y_lm możemy napisać tożsamość:

$(Y_{lm},Y_{'^{'}m^{'}})=N_{lm}N_{l'^{'}m^{'}}\int _{-1}^{1}d\xi (1-\xi ^{2})^{{{m} \over {2}}+{{m^{'}} \over {2}}}P_{l}^{(m)}(\xi )P_{l^{'}}^{(m^{'})}(\xi )\int _{0}^{2\pi }e^{(-m+m^{'})\theta }d\theta \;$

(10.25)

Ostatnia całka oznaczona występująca we wzorze na iloczyn skalarny dwóch funkcji kulistych jest równa zero, gdy $m\neq m^{'}\;$, a jest różna od zera, gdy m=m' i jest ona równa 2π, w takim razie (10.25) możemy przepisać w postaci:

$(Y_{lm},Y_{l^{'}m^{'}})=2\pi N_{lm}N_{l'^{'}m}\delta _{mm^{'}}\int _{-1}^{1}d\xi \left[(1-\xi ^{2})^{m}P_{l}^{(m)}\right](\xi )P_{l^{'}}^{(m)}(\xi )\;$

(10.26)

Wyrażenie (10.25) całkujemy przez części i wyrazy stojące pod całką są równe zero dla ξ=-1,1, zatem takim bądź razem dostajemy wniosek:

$(Y_{lm},Y_{l^{'}m^{'}})=2\pi N_{lm}N_{l'^{'}m}\delta _{m^{'}m}(-1)^{m}\int _{-1}^{1}d\xi \left(\left(1-\xi ^{2}\right)^{m}P_{l}^{(m)}\right)^{(m)}P_{l^{'}}\;$

(10.27)

We wzorze (10.27), gdy zachodzi l'>l, toteż całka oznaczona występująca w tym samym wzorze jest równa zero, co wynika że każdy wielomian ortogonalny $P_{l}^{'}\;$ ma iloczyn skalarny równy zero, dla stopnia niższego niż posiadany stopień przez wielomian P_l, w takim przypadku całka występująca we wzorze (10.27) jest różna od zera, zatem w takim razie możemy napisać tożsamość, czemu jest równe (10.25):

$(Y_{lm},Y_{l^{'}m^{'}})=\operatorname {const} \cdot \delta _{l^{'}l}\delta _{mm^{'}}\;$

(10.28)

Normowanie funkcji sferycznych

Gdy we wzorze (10.26) podstawimy l=l' i m=m', wtedy ten wspomniany wzór przedstawia się:

$||Y_{lm}||=2\pi N_{lm}^{2}(-1)^{m}\int _{-1}^{1}d\xi \left(\underbrace {\left(1-\xi ^{2}\right)^{m}P_{l}^{(m)}} _{W(\xi )}\right)^{(m)}P_{l}\;$

(10.29)

Pod całką wystepuje wielomian $\left(1-\xi ^{2}\right)^{m}P_{l}\;$, który jest rzędu l, ale również wielomian P_l, też jest takiego rzędu, w takim razie całka występująca we wzorze (10.27) nie jest równa zero. Rozważmy wielomian W(ξ) występujący we wzorze (10.29), zatem jest taki, że potęgi mniejsze niż l, są wycinane przez wielomian Legendre'a $P_{l}\;$, bo to jest wielomian ortogonalny, w takim przypadku w całce należy posługiwać się tylko największą potęgą tegoż wielomianu, bo pozostałe potęgi są wycinane.

Możemy teraz określić największy wyraz stojący przy wielomianie W(ξ), w takim przypadku możemy napisać czynnik stojący przy największej potędze w wspominanym wielomianie, zatem ten współczynnik:

$w=(-1)^{m}a_{l}\left[l(l-1)(l-2)\cdot ...\cdot (l-m+1)\right]\left[\left(l+m\right)\left(l+m-1\right)\cdot ...\cdot (l+1)\right]\;$

(10.30)

Liczby całkowite występujące w pierwszym wyrazie pochodzą z różniczkowania wielomianu P_l, a liczby całkowite w drugim czynniku pochodzą z różniczkowania całego wyrażenia w dużym nawiasie. Wzór (10.30) możemy napisać w postaci zwartej:

$w=(-1)^{m}a_{l}{{(l+m)!} \over {(l-m)!}}\;$

(10.31)

Zatem norma funkcji kulistej Y_lm (10.29), wiedząc że w iloczynie skalarnym iloczyn a_lξ^l można uzupełnić do pełnego wielomianu P_l i zarazem znając normę wielomianu Legendre'a (9.57), określamy według:

$||Y_{lm}||^{2}=2\pi N_{lm}^{2}{{(l+m)!} \over {(l-m)!}}\int _{-1}^{1}a_{l}\xi ^{l}P_{l}(\xi )d\xi =2\pi N_{lm}^{2}{{(l+m)!} \over {(l-m)!}}{{2} \over {2l+1}}=N_{lm}^{2}{{4\pi } \over {2l+1}}{{(l+m)!} \over {(l-m)!}}\;$

(10.32)

Ze wzoru wynikającego z (10.32) możemy napisać stałą N_lm, bo norma funkcji kulistej jest równa jeden, jako:

$N_{lm}={\sqrt {{{2l+1} \over {4\pi }}{{(l-m)!} \over {(l+m)!}}}}\;$

(10.33)

Pełny wzór (10.24) uzyskujemy podstawiając do niego tożsamość za stałą N_lm (10.33):

$Y_{lm}\left(\xi =\cos \phi ,\theta \right)={\sqrt {{{2l+1} \over {4\pi }}{{(l-m)!} \over {(l+m)!}}}}(1-\xi ^{2})^{{m} \over {2}}\left(P_{l}(\xi )\right)^{(m)}e^{im\theta }={\sqrt {{{2l+1} \over {4\pi }}{{(l-m)!} \over {(l+m)!}}}}\sin ^{m}\phi {{d^{m}P_{l}(\cos \phi )} \over {d(\cos \phi )^{m}}}e^{im\theta }$

(10.34)