Metody matematyczne fizyki/Wstęp do transformacji Fouriera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Wstęp do transformacji Fouriera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Transformaty Fouriera są to transformaty pozwalające na rozkład pewnej funkcji na funkcję harmoniczne. W praktyce bardzo często jest potrzebne określenie transformaty z funkcji, lub z funkcji do transformaty, w takim razie rozważane transformaty są bardzo potrzebne w fizyce i matematyce.

Definicja prostej i odwrotnej transformaty Fouriera dla dowolnej funkcji[edytuj]

Transformatę funkcji ; będziemy oznaczać symbolem , tzn. wzoru na transformatę prostą, a także określmy drugi wzór na transformatę, tzn. na transformatę odwrotną:

(14.1)
(14.2)

W celu przeprowadzenia dowodu, że transformacja (14.2) jest transformatą odwrotną do transformaty prostej (14.1), napiszmy co się stanie, gdy dokonamy podwójnej transformaty funkcji φ(x), w takim przypadku:

(14.3)

Aby umożliwić zamianę kolejności całkowania wprowadźmy funkcję wykładniczą , która jest funkcją wolnozmienną i przy granicy ε dążącej do zera dąży do jedynki, czyli powinno być:

(14.4)

Wtedy na podstawie granicy (14.4) tożsamość (14.3) przyjmuje postać:

(14.5)

Funkcję wykładniczą występującą w całce w równości (14.5) możemy przestawić wedle tożsamości napisanej poniżej, którą to udowodnimy, jak się przekonamy, to są rachunki elementarne przy dowodzie poniższego lematu:

(14.6)

Następnym krokiem jest udowodnienie tożsamości zapisanej w punkcie (14.6) i jej rozpisanie:

(14.7)

Zatem tożsamość (14.6) została udowodniona przy pomocy obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.7). Następnym krokiem jest oblicznie całki oznaczonej podanej poniżej, dzięki której przeprowadzimy dalszy krok obliczeń (14.5) wykorzystując fakt (14.6):

(14.8)

Dzięki tej całce możemy przejść do dalszego kroku obliczeń wyrażenia (14.5):

(14.9)

Mamy tutaj funkcję deltopodobną, która spełnia wszystkie warunki ciągu deltopodobnego, którą określamy wedle wzoru poniżej zależnej od zmiennej y i k:

(14.10)

Funkcja (14.10) która jest funkcją deltopodobną spełnia całkę (12.1) i dla ε dążącego do zera funkcja dla y nierównego -k, przyjmuje wartość zero, tylko dla y=-k wykładnik potęgi jest równy zero, dla której ta funkcja jest równa nieskończoność dla ε dążącego do zera, zatem ta nasza funkcja deltopodobna spełnia wszystkie warunki do predentowania bycia deltopodobną wielkością. Ponieważ funkcja (14.10) jest funkcją deltopodobną, to funkcję zapisaną w punkcie (14.9) możemy przestawić wedle schematu poniżej:

(14.11)

Równanie (14.11) jest bardzo ważnym wynikiem mówiącym, że dwukrotna transformacja Fouriera tej samej funkcji przechodzi w funkcję wyjściową, ale argumentem jest argument przeciwny do k, czyli -k. Ponadto cały wynik jest podzielony przez liczbę 2π. Stąd wniosek, że transformatę odwrotną zapisujemy wedle wzoru (14.2).

n-te pochodne transformaty Fouriera[edytuj]

Mając wzór (14.1) możemy napisać n-tą pochodną transformacji Fouriera, którą piszemy według:

(14.12)

Aby udowodnić wzór (14.12) należy skorzystać, z twierdzenia o indukcji zupełnej. Zatem twierdzenie (14.12) jest spełniona dla n=1, na mocy (14.1), zatem jeśli twierdzenie (14.12) jest spełnione dla przypadku n, to powinno być spełnione dla przypadku n+1, co można udowodnić różniczkując stronami obie strony równana (14.12), co otrzymamy twierdzenie, ale dla przypadku n+1. Co kończy dowód naszego twierdzenia.

Transformaty pochodnej i jego wykorzystanie w równaniach różniczkowych[edytuj]

Weźmy sobie n-tą pochodną transformacji funkcji φ, która jest określona względem zmiennej k, jest ona napisana podobnym wzorem do (14.1), której to całkę całkujemy przez części n-razy pamiętając, że za każdym razem powstające niecałkowe wyrazy w granicy w nieskończoności są równe zero ze względu na znikanie funkcji próbnych w nieskończonościach:

(14.13)

Aby zapoznać się z transformatami pochodnej, należy rozwiązać pewien przykład obrazujący prawo (14.13), zatem napiszmy równanie, od którego będziemy wyznaczać funkcję f poniżej, z której policzymy transformatę Fouriera obu jego stron, w takim razie weźmy przykład:

(14.14)

Następnym krokiem jest wykorzystanie wzoru (14.13) na n-tą pochodną transformaty funkcji f, z którego wyprowadzimy wzór na transformatę funkcji f, czyli , w takim razie:

(14.15)

Jeśli skorzystamy ze wzoru (14.2) i znając transformatę funkcji g, zatem otrzymujemy wzór na funkcję f, którego zamiar mieliśmy wyznaczyć z pierwszego równania (14.14):

(14.16)

Transformata Fouriera iloczynu dwóch funkcji[edytuj]

Przy liczeniu transformaty iloczynu dwóch funkcji skorzystamy tutaj z podobnego triku podobnego do (14.4):

(14.17)

Do wzoru (14.17) wstawiamy wzory na transformatę odwrotną przez wzór (14.2), otrzymując poniższy wzór. W tych obliczeniach zastosujemy również wzór (14.6), tylko tutaj zamiast k+y występuje -k+k1+k2.





(14.18)

W obliczeniach (14.18) występuje funkcja deltopodobna o postaci:

(14.19)

Funkcja (14.19) spełnia całkę (12.1) i dla ε dążącego do zera funkcja dla k nierównego k1+k2, rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla k=k1+k2 wykładnik potęgi jest równy zero. Należy jeszcze uwzględnić ε stojący w czynniku przed eksponensem w mianowniku, zatem przy ε dążącym do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, a więc spełnia wszystkie warunki do pretendowania do bycia funkcją deltopodobną. W takim razie możemy napisać (14.18), korzystając przy tym z (12.38) na splot funkcji uogólnionych:


(14.20)

Na podstawie tychże przeprowadzonych obliczeń transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformaty tychże funkcji.

Transformacja Fouriera dla splotu dwóch funkcji[edytuj]

Splot dwóch funkcji napisanej wedle jego definicji (12.39) piszemy wedle schematu poniżej i jak się przekonamy jest ona równa z dokładnością do stałego czynnika iloczynowi transformat funkcji φ1(k) i φ2(k):


(14.21)

Na podstawie obliczeń (14.21) udowodniliśmy, że transformata splotu funkcji φ1 i funkcji φ2 jest równa iloczynowi transformat z każdej funkcji z osobna omawianych pomnożonej przez liczbę 2π.

Transformata Fouriera iloczynu skalarnego[edytuj]

Z definicji iloczynu skalarnego dwóch transformat i z definicji transformaty funkcji φ zapisanej wedle (14.1) piszemy:

(14.22)

Nastepnym krokiem jest wykorzystanie granicy, którego schemat jest tutaj , wtedy wzór (14.21) możemy przekształcić do postaci:


(14.23)

We wzorze (14.23) wykorzystujemy tożsamość całkową (14.8), wtedy nasz wspomniany wzór przyjmuje postać:

(14.24)

Funkcją deltopodobną wystepująca w obliczeniach (14.24) jest to funkcja zapisana wzorem:

(14.25)

Funkcja (14.25) spełnia całkę (12.2) i dla ε dążącego do zera funkcja dla t nierównego 0, ta nasza rozważana funkcja jest równa zero, tylko dla t=0 wykładnik potęgi jest równy zero, zatem należy wliczyć ε stojący w czynniku w jego mianowniku przed eksponensem, zatem przy naszym ε dążącej do zera, opisywana funkcja dąży do nieskończoności, zatem ta nasza funkcja delto-podobna spełnia wszystkie warunki do pretendowania bycia delto-podobną wielkością. Wtedy obliczenia (14.23) można dokończyć w sposób:

(14.26)

Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.26) i powyżej w tym rozdziale stwierdzamy, że iloczyn skalarny transformaty funkcji φ1 i funkcji φ2 jest równy iloczynowi skalarnemu samych dwóch funkcji tutaj omawianych podzielonej przez liczbę 2π.

Transformacja Fouriera funkcji przesuniętej[edytuj]

Napiszmy czemu jest równa transformata funkcji przesuniętej φa=φ(x-a), w takim przypadku z definicji transformaty mamy:


(14.27)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.27) możemy powiedzieć, że transformata funkcji przesuniętej o odcinek "a" wzdłuż osi iksowej jest równa transformacie samej nieprzesuniętej funkcji pomnożonej przez czynnik e-ika.

Transformata Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej[edytuj]

Ogólnie funkcję parzystą i nieparzystą oznaczamy, gdy ona spełnia własność ogólnie (wybieramy plus gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą, a znak minus, gdy mamy do czynienia z funkcją nieparzystą):

(14.28)

Wyznaczmy jakie własności spełnia transformata funkcji parzystej i nieparzystej, czyli wykorzystując własności dla tych funkcji (14.28), w takim wypadku:


(14.29)

Na podstawie obliczeń (14.29) transformata funkcji parzystej (nieparzystej) jest transformatą parzystą (nieparzystą).

Transformata Fouriera dla dystrybucji[edytuj]

Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję opisywaną przez własność (14.30):

(14.30)

Jeśli dystrybucja T jest funkcją, to możemy napisać


(14.31)

Transformata Fouriera delty Diraca[edytuj]

Dowód naszej własności przeprowadzamy na podstawie definicji (14.30):

(14.32)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonej w punkcie (14.32) przedstawiamy transformatę Fouriera delty Diraca jako:

(14.33)

Wynik (14.33) możemy udowodnić przeprowadzając obliczenia tradycyjną metodą przeprowadzoną wedle wzoru (14.1), w takim przypadku możemy powiedzieć:

(14.34)

Transformatę delty Diraca przesuniętej o odcinek "a" wzdłuż osi x przestawiamy na podstawie twierdzenia (14.27). Wyniku obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.32) otrzymujemy:

(14.35)

Transformata Fouriera funkcji stałej[edytuj]

Korzystając z twierdzenia (14.11) możemy powiedzieć, że podwójna transformata delty Diraca jest równa tej samej delcie, ale podzielonej przez 2π, w takim razie, ze względu na parzystość delty Diraca:

(14.36)

Z drugiej strony ten sam dowód możemy przeprowadzić jeszcze raz licząc transformatę obu jego stron według wzoru (14.34), wtedy na podstawie tego dostajemy własność:

(14.37)

Możemy porównać wzory (14.36) i (14.37) dostając bardzo ważną właściwość, że transformata jedynki jest równa:

(14.38)

Na podstawie własności (14.38) możemy powiedzieć, że transformata Fouriera stałej jest równa delcie Diraca. W fizyce często stosuje się umowną wersję definicji delty Diraca, którą zapisujemy wedle sposobów, które są ze sobą równoważne:

(14.39)
(14.40)

Należy pamiętać, że funkcje podcałkowe we wzorach (14.39) i (14.40) nie są zbieżne wedle definicji całki Riemanna.

Transformata Fouriera dystrybucji przesuniętej[edytuj]

Dystrybucją przesunięcia o wartość o "a" nazywamy taka dystrybucją, którą wynikiem działania na funkcję φ(x), ale też przesuniętą o "a", daje nam działanie samej dystrybucji na tą samą funkcji φ(x), co zapisujemy wzorem:

(14.41)

Transformatę dystrybucji możemy policzyć wedle:

(14.42)

Następnym krokiem jest napisać transformatę funkcji φ przesuniętej o wartość "a", co w tym przypadku napiszmy transformatę funkcji przesuniętej wedle schematu:


(14.43)

Jeśli wykorzystamy obliczenia przeprowadzone w punkcie (14.43), wtedy możemy przeprowadzić do końca nasze obliczenia:


(14.44)

Porównując prawą i lewą stronę obliczeń (14.44) dostajemy stąd bardzo ważny wniosek co do przesunięcia transformaty dystrybuanty T(x), czyli w takim przypadku możemy napisać końcowy wzór:

(14.45)

Porównując wzór (14.45) ze wzorem (14.27) dochodzimy do wniosku, że transformata przesunięcia zwykłej funkcji i przesunięcia transformaty dystrybuanty są to definicje formalnie identyczne.

Transformata Fouriera dla potęgi[edytuj]

Określmy transformatę funkcji potęgowej określonej przez wzór T=xn, wykorzystując przy tym definicję transformaty dystrybuanty (14.30):

(14.46)

Następnym krokiem jest wykorzystanie twierdzenia o transformacie n-tej pochodnej, przy tym wykorzystując wzór (14.13), wtedy możemy otrzymać tożsamość biorąc za k=x:

(14.47)

Na podstawie przestawionych obliczeń (14.47) możemy dokończyć obliczenia, które przerwaliśmy w punkcie (14.46), zatem biorąc tożsamość (14.38) i w wyniku końcowych obliczeń dostajemy wniosek:


(14.48)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.48) możemy powiedzieć zdanie:

(14.49)

Wzór (14.49) otrzymujemy również poprzez n-krotnie różniczkowanie obustronne wzoru (14.39).

Transformata Fouriera funkcji sinus[edytuj]

Przed dalszym krokiem wyznaczenia transformaty funkcji sinus należy przeprowadzić nasz ciąg obliczeń przy okazji korzystając ze wzoru (14.30) i rozkładając wzór na sinus poprzez funkcje eksponencjalne, w takim razie:

(14.50)

Następnie określmy przesunięcie transformaty funkcji φ, wtedy możemy powiedzieć że zachodzą dwa poniższe wzory w zależności od znaku wykładniku potęgi stojącej przy funkcji :

(14.51)
(14.52)

Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń (14.51) i (14.52) i korzystając z własności (14.41) możemy dokończyć obliczenia przeprowadzonych w punkcie (14.50).



(14.53)

Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.53) możemy powiedzieć, że porównując skrajne równości we wspomnianych obliczeniach, zatem na podstawie tego dostajemy, że transformata funkcji sin x wygląda:

(14.54)

Transformata Fouriera funkcji schodkowej[edytuj]

Funkcję schodkową Heaviside'a θ(x) można wyrazić poprzez funkcję znakową wedle schematu:

(14.55)

Na podstawie przestawienia funkcji schodkowej poprzez funkcję znakową transformata funkcji schodkowej sprowadza się do obliczenia transformaty funkcji znakowej. Wyznaczmy transformatę funkcji znakowej, którą możemy wyznaczyć przy pomocy przy poniższych obliczeń:


(14.56)

W całce występującej w punkcie (14.56) jest dozwolona zmiana kolejności całkowania, zatem na podstawie tych wspomnień możemy napisać tożsamość:


(14.57)

Dalszym naszym krokiem jest obliczenie całki poniżej, którą jak wykażemy jest równa zero, w takim razie możemy powiemy:


(14.58)

Ostatnia całka w obliczeniach (14.58) jest równa zero, dlatego, że funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą. Na podstawie wspomnianych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.58), to obliczenia (14.57) możemy dokończyć do:

(14.59)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (14.59) możemy powiedzieć, że zachodzi transformata funkcji znakowej:

(14.60)

Wedle przestawienia funkcji schodkowej Heaviside'a (14.55) i transformaty funkcji znakowej (14.60) i przestawienia, że transformata jedynki jest zapisana według (14.38), wtedy powiemy:

(14.61)

Następny rozdział: Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych Poprzedni rozdział: Szeregi Fouriera

Podręcznik: Metody matematyczne fizyki