Fizyka statystyczna/Cząstki o innych statystykach
Licencja
|
---|
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność. |
Podręcznik: Fizyka statystyczna.
Cząstki o innych statystykach - w naszych rozważaniach rozpatrywaliśmy, gdy pewna skończona liczba cząstek (>1) może obsadzać dany stan kwantowy. Również możliwe jest uogólnienie tego stanu, jako uogólnienia statystyk kwantowych. Oczywiście takie cząstki podlegają tym rozkładom.
Ułamkowe statystyki
[edytuj]Dotychczas mieliśmy do czynienia, gdy funkcja falowa wielu cząstek miała postać symetryczną lub antysymetryczną. Co jest spełnione w trzech wymiarach, wtedy grupą symetrii jest grupa permutacji. W dwóch wymiarach grupą symetrii jest grupa warkoczowa. Ogólna funkcja falowa spełniająca te warunki jest funkcją spełniająca warunek:
Gdy , to mamy do czynienia z bozonami, czyli funkcję symetryczną wobec przedstawień parametrów. Gdy , to mamy do czynienia z fermionami, czyli funkcja falowa jest funkcją antysymetryczną wobec przedstawień parametrów. Ułamkową statystyką i ułamkowe ładunki charakteryzują się u kwazicząstek obserwowanych w warunkach kwantowego zjawiska Halla, wtedy mamy do czynienia z dwumiarowym gazem elektronowym w umieszczonym silnym prostopadłym polu magnetycznym.
Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania
[edytuj]Istnieją próby uogólnienia statystyki dla obiektów trójwymiarowych poprzez uogólnienie zasady Pauliego dla fermionów.
Załóżmy, że mamy skwantowane poziomy o energiach εi, ε2,...,εl, a liczba tych poziomów jest "l", i będziemy je oznaczać przez literkę "i". Przez stan w danym poziomie będziemy rozumieć, że ten poziom jest podzielony na di części (posiada di stanów) czyli za pomocą di-1 przegród jest on podzielony.
Według zasady Fermiego, że każde wsadzenie fermionu, zmniejsza liczbę stanów (części w danym poziomie o numerze "i") o jeden, zatem powinno zachodzić:
gdzie
- di- to liczba stanów (części, podzielona za pomocą di-1 przegród) w i-tym poziomie.
- ni to liczba cząstek w stanach w i-tym poziomie.
Uogólnienie zasady Pauliego polega na założeniu, ze zamiast -1 dla fermionów w (24.2) występuje liczba "g", co mamy:
Wyznaczmy parametr di określanego przy pomocy wzoru (24.3), otrzymujemy:
gdzie:
- jest to liczba stanów (części) w danym poziomie, gdy liczba obsadzonych cząstek jest zero .
- określa, że każde obsadzenie stanów dla poziomu o numerze "i", zmniejsza liczbę stanów o tą właśnie liczbę przy każdym wsadzeniu do niej jakieś cząstki.
Określając liczbę stanów mikroskopowych Wi w danym poziomie (liczba możliwości obsadzenia danego poziomu jest oznaczona przez ni cząstek), która jest kombinacją z powtórzeniami z di stanami, które może obsadzać ni cząstek.
Liczbą możliwości obsadzenia danego poziomu jest równa Wi, a liczba ściśle określona możliwych obsadzeń w "l" poziomach, przy założeniach, że te poziomy są obsadzone przez n1, n2,..,nl cząstek, jest napisana:
Mogą być też różne obsadzenia tych w "l" poziomach, zakładając że liczba ściśle określonych obsadzeń danego l poziomów jest równa , liczba możliwych obsadzeń tychże poziomów jest sumą możliwości tych ściśle określonych obsadzeń, mamy tu na myśli, że mamy liczby n1,n2,...,nl ściśle określone, tych zestawów liczb może być bardzo dużo, a liczba wszystkich możliwych zestawów tych liczb wraz z możliwością obsadzeń dla ściśle określonego tego zestawu jest napisana przez:
Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce
[edytuj]Po podstawieniu za entropię w uogólnionej statystyce, która jest statystyczną definicją entropii (12.74), za prawdopodobieństwo termodynamiczne Ω napisane wedle wzoru na W{ni} (24.6), otrzymujemy:
We wzorze (24.8) wykorzystamy twierdzenie o logarytmie iloczynu, by potem można było wykorzystać wzór Stirlinga rozpisują po kolei silnie w odpowiedni sposób:
Wyznaczmy pochodną entropii wyrażenia (24.9) względem liczby cząstek zajmujący stan o numerze "i" przez liczbę ni, wtedy ta wielkość:
Zbudujmy funkcjonał taki sam jak w (22.4), ale za entropią wsadzamy wzór zdefiniowanej według (24.9), wtedy możemy policzyć pochodną tegoż funkcjonału względem liczby cząstek ni obsadzających stan "i", która przyjmuje wartość zero, a dlaczego, to wyjaśnione zostało przy tym funkcjonale:
W równaniu (24.11) po podzieleniu jego przez stałą Bolzmanna kB i przenoszeniu dwóch ostatnich wyrazów związanych ze stałą B i C na jej prawą stronę:
W równaniu (24.12) wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie pod logarytmem naturalnym z lewej strony z wspomnianego równania:
Podzielmy obustronnie równanie końcowe wynikowe (24.13) przez parametr gi, wtedy dostajemy następne równoważne równanie dla niezerowego tego parametru:
Wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy przy pomocy ilorazu ilości cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", czyli ni przez gi, która mówi ile jest stanów na danym poziomie kwantowym o pewnej energii εk zajmujących objętości Vk, gdy liczba obsadzonych cząstek wynosi zero, zatem:
Na podstawie definicji nowej zmiennej (24.15), co możemy podstawić go do równania (24.14), wtedy on przyjmuje postać:
Stałe B, C i D wyznaczamy podobnie jak dla funkcjonału (22.21), co stąd można napisać (22.23), (22.25), i (22.26), zatem wtedy wzór (24.16) można narysować w poniższych statystykach. Na podstawie (24.16) można utworzyć przykładowe statystyki:
Rozkład kanoniczny (T,V,N) | Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ) |
---|---|
(24.17) |
(24.18) |
Rozkład kanoniczny (T,p,N) | Rozkład kanoniczny (T,p,μ) |
]J3 |
(24.19) |
Jeśli we wzorze (24.16) zachodzi g=0, to mamy do czynienia z bozonami, wtedy:
Równanie (24.20) jest rozkładem Bosego-Einsteina.
A jeśli zachodzi w (24.16) g=1 to, wtedy mamy do czynienia z fermionami, dochodzimy do wniosku, że dla tego przypadku zachodzi na pewno:
Równanie końcowe (24.21) jest rozkładem Fermiego-Diraca.
Z definiujmy nową zmienną ωi, które przedstawimy tutaj poniżej w pierwszej linijce, w której definiujemy liczbę cząstek znajdującej się na poziomie o numerze "i" i definiujemy ją jako odwrotność sumy naszej nowej zmiennej ωi i parametru g występującej we wzorze (24.3):
Dokonajmy podstawienia napisanego według (24.22) do wyrażenia (24.16) do jego lewej strony:
Równanie (24.16) przy pomocy już obliczonego wyrażenia (24.23), który jest lewą stroną wspomnianej równości, piszemy:
Ze wzoru (24.24) możemy wyznaczyć parametr ωi względem parametru ni przedstawiający liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i", gdy każde obsadzenie zmniejsza liczbę cząstek o "g".
Wiadomo jednak, że ωi jest liczbą nieujemną, wtedy na podstawie wzoru (24.22) dostajemy nierówność na liczbę cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", gdy znamy parametr wcześniej omówiony "g" :
Dla temperatury zera bezwzględnego wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie poniżej w zależności od energii danego poziomu εi zajmujących objętości Vk. A oto przykłady funkcji eksponencjalnej występującej w (24.16):
Rozkład kanoniczny (T,V,N) | Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ) |
---|---|
(24.27) |
(24.28) |
Rozkład kanoniczny (T,p,N) | Rozkład kanoniczny (T,p,μ) |
(24.29) |
(24.30) |
Korzystać będziemy z równości (24.25), a także będziemy rozważać równanie (24.16), wtedy parametr ωi przyjmuje postać dla temperatury bezwzględnej równej zero kelwinów dla przykładowych rozkładów:
Rozkład kanoniczny (T,V,N) | Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ) |
---|---|
(24.31) |
(24.32) |
Rozkład kanoniczny (T,p,N) | Rozkład kanoniczny (T,p,μ) |
(24.33) |
(24.34) |
Korzystać będziemy z własności parametru ωi policzonego w punkcie (24.25) dla temperatury w kelwinach równej zero, wtedy funkcja (24.22) dla tej temperatury przestawia się wedle schematu w zależności od energii poziomu w danym stanie o numerze "i".
Rozkład kanoniczny (T,V,N) | Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ) |
---|---|
(24.35) |
(24.36) |
Rozkład kanoniczny (T,p,N) | Rozkład kanoniczny (T,p,μ) |
(24.37) |
(24.38) |
gdzie:
- εF oznacza poziom Fermiego, takiego że εF>0 dla parametru g różnej od zera.
Substancje oparte na ułamkowej statystyce mają średnią liczbę cząstek w temperaturze zera bezwzględnego równą:
Rozkład kanoniczny (T,V,N) | Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ) |
---|---|
(24.39) |
(24.40) |
Rozkład kanoniczny (T,p,N) | Rozkład kanoniczny (T,p,μ) |
(24.41) |
(24.42) |