Fizyka statystyczna/Cząstki o innych statystykach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fizyka statystyczna
Fizyka statystyczna
Cząstki o innych statystykach

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Cząstki o innych statystykach- w naszych rozważaniach rozpatrywaliśmy, gdy pewna skończona liczba cząstek (>1) może obsadzać dany stan kwantowy. Również możliwe jest uogólnienie tego stanu, jako uogólnienia statystyk kwantowych. Oczywiście takie cząstki podlegają tym rozkładom.

Ułamkowe statystyki[edytuj]

Dotychczas mieliśmy do czynienia, gdy funkcja falowa wielu cząstek miała postać symetryczną lub antysymetryczną. Co jest spełnione w trzech wymiarach, wtedy grupą symetrii jest grupa permutacji. W dwóch wymiarach grupą symetrii jest grupa warkoczowa. Ogólna funkcja falowa spełniająca te warunki jest funkcją spełniająca warunek:

(24.1)

Gdy , to mamy do czynienia z bozonami, czyli funkcję symetryczną wobec przedstawień parametrów. Gdy , to mamy do czynienia z fermionami, czyli funkcja falowa jest funkcją antysymetryczną wobec przedstawień parametrów. Ułamkową statystyką i ułamkowe ładunki charakteryzują się u kwazicząstek obserwowanych w warunkach kwantowego zjawiska Halla, wtedy mamy do czynienia z dwumiarowym gazem elektronowym w umieszczonym silnym prostopadłym polu magnetycznym.

Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania[edytuj]

Istnieją próby uogólnienia statystyki dla obiektów trójwymiarowych poprzez uogólnienie zasady Pauliego dla fermionów.

Załóżmy, że mamy skwantowane poziomy o energiach εi, ε2,...,εl, a liczba tych poziomów jest "l", i będziemy je oznaczać przez literkę "i". Przez stan w danym poziomie będziemy rozumieć, że ten poziom jest podzielony na di części (posiada di stanów) czyli za pomocą di-1 przegród jest on podzielony.

Według zasady Fermiego, że każde wsadzenie fermionu, zmniejsza liczbę stanów (części w danym poziomie o numerze "i") o jeden, zatem powinno zachodzić:

(24.2)

gdzie

  • di- to liczba stanów (części, podzielona za pomocą di-1 przegród) w i-tym poziomie.
  • ni to liczba cząstek w stanach w i-tym poziomie.

Uogólnienie zasady Pauliego polega na założeniu, ze zamiast -1 dla fermionów w (24.2) występuje liczba "g", co mamy:

(24.3)

Wyznaczmy parametr di określanego przy pomocy wzoru (24.3), otrzymujemy:

,bo
(24.4)

gdzie:

  • jest to liczba stanów (części) w danym poziomie, gdy liczba obsadzonych cząstek jest zero .
  • określa, że każde obsadzenie stanów dla poziomu o numerze "i", zmniejsza liczbę stanów o tą właśnie liczbę przy każdym wsadzeniu do niej jakieś cząstki.

Określając liczbę stanów mikroskopowych Wi w danym poziomie (liczba możliwości obsadzenia danego poziomu jest oznaczona przez ni cząstek), która jest kombinacją z powtórzeniami z di stanami, które może obsadzać ni cząstek.

(24.5)

Liczbą możliwości obsadzenia danego poziomu jest równa Wi, a liczba ściśle określona możliwych obsadzeń w "l" poziomach, przy założeniach, że te poziomy są obsadzone przez n1, n2,..,nl cząstek, jest napisana:

(24.6)

Mogą być też różne obsadzenia tych w "l" poziomach, zakładając że liczba ściśle określonych obsadzeń danego l poziomów jest równa , liczba możliwych obsadzeń tychże poziomów jest sumą możliwości tych ściśle określonych obsadzeń, mamy tu na myśli, że mamy liczby n1,n2,...,nl ściśle określone, tych zestawów liczb może być bardzo dużo, a liczba wszystkich możliwych zestawów tych liczb wraz z możliwością obsadzeń dla ściśle określonego tego zestawu jest napisana przez:

(24.7)

Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce[edytuj]

Po podstawieniu za entropię w uogólnionej statystyce, która jest statystyczną definicją entropii (12.73), za prawdopodobieństwo termodynamiczne Ω napisane wedle wzoru na W{ni} (24.6), otrzymujemy:

(24.8)

We wzorze (24.8) wykorzystamy twierdzenie o logarytmie iloczynu, by potem można było wykorzystać wzór Stirlinga rozpisują po kolei silnie w odpowiedni sposób:


(24.9)

Wyznaczmy pochodną entropii wyrażenia (24.9) względem liczby cząstek zajmujący stan o numerze "i" przez liczbę ni, wtedy ta wielkość:


(24.10)

Zbudujmy funkcjonał taki sam jak w (22.4), ale za entropią wsadzamy wzór zdefiniowanej według (24.9), wtedy możemy policzyć pochodną tegoż funkcjonału względem liczby cząstek ni obsadzających stan "i", która przyjmuje wartość zero, a dlaczego, to wyjaśnione zostało przy tym funkcjonale:

(24.11)

W równaniu (24.11) po podzieleniu jego przez stałą Bolzmanna kB i przenoszeniu dwóch ostatnich wyrazów związanych ze stałą B i C na jej prawą stronę:

(24.12)

W równaniu (24.12) wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie pod logarytmem naturalnym z lewej strony z wspomnianego równania:

(24.13)

Podzielmy obustronnie równanie końcowe wynikowe (24.13) przez parametr gi, wtedy dostajemy następne równoważne równanie dla niezerowego tego parametru:

(24.14)

Wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy przy pomocy ilorazu ilości cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", czyli ni przez gi, która mówi ile jest stanów na danym poziomie kwantowym o pewnej energii εk zajmujących objętości Vk, gdy liczba obsadzonych cząstek wynosi zero, zatem:

(24.15)

Na podstawie definicji nowej zmiennej (24.15), co możemy podstawić go do równania (24.14), wtedy on przyjmuje postać:

(24.16)

Stałe B, C i D wyznaczamy podobnie jak dla funkcjonału (22.21), co stąd można napisać (22.23), (22.25), i (22.26), zatem wtedy wzór (24.16) można narysować w poniższych statystykach. Na podstawie (24.16) można utworzyć przykładowe statystyki:

Rozkład kanoniczny (T,V,N) Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
(24.17)
(24.18)
Rozkład kanoniczny (T,p,N) Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
]J3
(24.19)

Jeśli we wzorze (24.16) zachodzi g=0, to mamy do czynienia z bozonami, wtedy:

(24.20)

Równanie (24.20) jest rozkładem Bosego-Einsteina.

A jeśli zachodzi w (24.16) g=1 to, wtedy mamy do czynienia z fermionami, dochodzimy do wniosku, że dla tego przypadku zachodzi na pewno:

(24.21)

Równanie końcowe (24.21) jest rozkładem Fermiego-Diraca.

Z definiujmy nową zmienną ωi, które przedstawimy tutaj poniżej w pierwszej linijce, w której definiujemy liczbę cząstek znajdującej się na poziomie o numerze "i" i definiujemy ją jako odwrotność sumy naszej nowej zmiennej ωi i parametru g występującej we wzorze (24.3):

(24.22)

Dokonajmy podstawienia napisanego według (24.22) do wyrażenia (24.16) do jego lewej strony:

(24.23)

Równanie (24.16) przy pomocy już obliczonego wyrażenia (24.23), który jest lewą stroną wspomnianej równości, piszemy:

(24.24)

Ze wzoru (24.24) możemy wyznaczyć parametr ωi względem parametru ni przedstawiający liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i", gdy każde obsadzenie zmniejsza liczbę cząstek o "g".

(24.25)

Wiadomo jednak, że ωi jest liczbą nieujemną, wtedy na podstawie wzoru (24.22) dostajemy nierówność na liczbę cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", gdy znamy parametr wcześniej omówiony "g" :

(24.26)

Dla temperatury zera bezwzględnego wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie poniżej w zależności od energii danego poziomu εi zajmujących objętości Vk. A oto przykłady funkcji eksponencjalnej występującej w (24.16):

Rozkład kanoniczny (T,V,N) Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
(24.27)
(24.28)
Rozkład kanoniczny (T,p,N) Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
(24.29)
(24.30)

Korzystać będziemy z równości (24.25), a także będziemy rozważać równanie (24.16), wtedy parametr ωi przyjmuje postać dla temperatury bezwzględnej równej zero kelwinów dla przykładowych rozkładów:

Rozkład kanoniczny (T,V,N) Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
(24.31)
(24.32)
Rozkład kanoniczny (T,p,N) Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
(24.33)
(24.34)

Korzystać będziemy z własności parametru ωi policzonego w punkcie (24.25) dla temperatury w kelwinach równej zero, wtedy funkcja (24.22) dla tej temperatury przestawia się wedle schematu w zależności od energii poziomu w danym stanie o numerze "i".

Rozkład kanoniczny (T,V,N) Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
(24.35)
(24.36)
Rozkład kanoniczny (T,p,N) Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
(24.37)
(24.38)

gdzie:

  • εF oznacza poziom Fermiego, takiego że εF>0 dla parametru g różnej od zera.

Substancje oparte na ułamkowej statystyce mają średnią liczbę cząstek w temperaturze zera bezwzględnego równą:

Rozkład kanoniczny (T,V,N) Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
(24.39)
(24.40)
Rozkład kanoniczny (T,p,N) Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
(24.41)
(24.42)