Fizyka statystyczna/Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Fenomenologicznym równaniem stanu gazu nazywamy równanie stanu gazu wyprowadzonej empirycznie, czyli za pomocą doświadczenia i jest to równanie (1.4).

Definicja jednego mola

Jednym molem nazywamy taką liczność materii, w którym znajduje się atomów w 12 gramach węgla-12(izotopu węgla o liczbie masowej A=12).

Przy pomocy doświadczenia wykazano, że w jednym molu znajduje się $6.02\cdot 10^{23}$ atomów(cząsteczek), i tą wielkość dla jednego mola substancji nazywamy stałą Avogadro i oznaczamy $N_A$. W literaturze stałą Avogadra piszemy:

$N_A=6,02\cdot 10^{23}mo{l}^{-1}$

(6.1)

Można przeliczyć liczbę moli $n$ na ilość cząsteczek $N$ według:

$N=N_{A}n$

(6.2)

Objętość molowa

Objętością molową gazu nazywamy iloraz objętości zajmowanej przez ciało przez liczbę moli cząstek znajdujących się w danym badanym układzie, który można przeliczyć wykorzystując liczbę moli substancji liczbę (6.2).

$V_{mol}=\frac{V}{n}$

(6.3)

Często równanie (6.3) zapisuje się jako iloczyn objętości molowej równej liczbowo objętości gazu zajmowanej przez jeden mol przez liczbę moli danej substancji:

$V=V_{mol}n$

(6.4)

Powyższe równanie stosuje się w celu wyznaczenia objętości gazu znając jego objętość molową $V_{mol}$ i jego liczność "n".

Stała gazowa

Stałą gazową definiuje się jako iloczyn stałej Boltzmanna $k_B$ i stałej Avogadra przedstawiająca liczbę cząstek zajmowanej przez jeden mol danej substancji:

$R=k_B{N}_A$

(6.5)

Stała gazowa według ostatniego wzoru jest równa:

$R=k_B{N}_A=1,38\cdot 10^{-23}\cdot 6,02\cdot 10^{23}=8,31\frac{J}{mol\cdot K}$

(6.6)

Wirialne równanie stanu gazu

Ogólnym równaniem stanu gazu rzeczywistego jest równanie zwane wirialnym równaniem stanu zdefiniowanej według:

$p{V}_{mol}=RT+\frac{A(T)}{V_{mol}}+\frac{B(T)}{V_{mol}^2}+\frac{C(T)}{V_{mol}^3}+\mathrm{...}$

(6.7)

gdzie współczynniki: $A(T),B(T),C(T),\mathrm{...}$ są to funkcję zależne od temperatury bezwzględnej $T$, a także:

• $V_{mol}$ jest to objętość molowa gazu.

Zasada ekwipartycji energii

Każdemu stopniowi swobody odpowiada energia wyrażona przez wyrażenie poniżej i jest równa połowie iloczynu stałej Boltzmanna i temperatury układu jaki on posiada:

$E=\frac{1}{2}{k}_{B}T$

(6.8)

Ponieważ w gazie jednoatomowym jest N cząsteczek mogących się poruszać w trzech niezależnych kierunkach, wtedy liczba stopni swobody wynosi 3N, zatem całkowita energia układu jest:

$U=3NE=\frac{3}{2}N{k}_{B}T=\frac{3}{2}nRT$

(6.9)

Jego ciepło właściwe właściwe po policzeniu jej jako pochodną cząstkową (6.9) względem temperatury pod stałą objętością jest wyrażone:

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V=\frac{3}{2}nR$

(6.10)

W szczególności cząsteczki mogą być dwuatomowe, trójatomowe, oczywiście połączone (w pojedynczych cząsteczkach dla atomów) sprężynkami, które mogą być z dobrym przybliżeniem oscylatorama harmonicznego. Dla gazu dwuatomowego mamy $3N\cdot 2-N=5N$ stopni swobody, a więc jego energia wewnętrzna jest:

$U=5NE=\frac{5}{2}N{k}_{B}T=\frac{5}{2}nRT$

(6.11)

A jego ciepło molowe pod stałym cisnieniem jest wyrażona dla dwuatomowego gazu.

$C_P=\frac{5}{2}nR$

(6.12)

Zasadę ekwipartycji energii można udowodnić za pomocą statystyki fizycznej.

Prawo Dulonga-Petita

Twierdzenie
Ciepło molowe pierwiastków w stanie stałym tworzących sieć prostą jest wielkością stałą i niezależną od właściwości substancji i jest równe:

$C_V^{mol}=3R$

(6.13)

Atomy w ciele stałym można założyć, że są ułożone w sieć prostą, którego każdy atom oddziaływuje z sześcioma przyjaciółmi, a z każdym przyjacielem jest związana energia kinetyczna i potencjalna, a więc na jeden atom przypada 12 stopni swobody minus sześć więzów stąd mamy sześć stopni swobody, ale ponieważ atomów w sieci jest N, a więc całkowita energia kryształu jest:

$U=6NE=\frac{6}{2}N{k}_{B}T=3N{k}_{B}T=3nRT$

(6.14)

Według definicji ciepła właściwego dla danej substancji pod stałą objętością (5.40) dochodzimy do wniosku, że ono jest wielkością stałą zależną od liczby moli danej substancji i jest ona wyrażona:

$C_V=\frac{\partial U}{\partial T}=3nR$

(6.15)

A więc jego ciepło molowe pod stałą objętością, którą otrzymamy dzieląc rozwiązanie (6.15) przez liczbę moli substancji, co która jest wielkością stałą niezależną od ilości i właściwości substancji, którego kryształy tworzą sieć prostą i ta wielkość jest równa:

$C_V^{mol}=\frac{C_V}{n}=3R$

Co kończy dowód twierdzenia.