Fizyka statystyczna/Statystyki w fizyce kwantowej

Statystyki w fizyce kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Obliczanie sumy statystycznej 2Suma statystyczna dla fermionów i bozonów 3Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina 4Parastatystyki

Statystyka w fizyce kwantowej dla cząstek - Każda cząstka podlega pewnemu rozkładowi statystycznemu, tak samo jak fermiony i bozony. Dla fermionów w jednym stanie kwantowym może znajdować się conaj wyżej tylko jedna cząstka. Dla bozonów liczba tych cząstek może być bardzo duża.

Obliczanie sumy statystycznej

Całkowita energia układu cząstek, ich liczba cząstek i objętość jest napisana w zależności od energii danej cząstki i ich liczby jakie mogą się one znajdować na poziomie "i"-tej.

$E_{\alpha }=\sum _{k=1}^{l}n_{k}\epsilon _{k}\;$

(21.1)

$V=\sum _{k=1}^{l}n_{k}V_{k}\;$

(21.2)

$N=\sum _{k=1}^{l}n_{k}\;$

(21.3)

Obliczmy teraz w sposób ogólną sumę statystyczną dla zespołu kanonicznego (T,p,μ) według (18.3) (dla zespoły dyskretnego suma za wzorem na prawdopodobieństwo dyskretne) w fizyce kwantowej, gdy mamy skwantowane poziomy energii i w danej objętości może się znajdować się różna ilość cząstek, a także mamy różną objętość, tą sumę liczymy według wzoru:

$Z=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\alpha }e^{(\alpha E_{\alpha }+\gamma V_{\alpha }+\omega N)}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{k_{i}}\}}e^{-\sum _{n_{k_{i}}}(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )n_{k_{i}}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{N=\sum k_{i}}\prod _{k_{i}}e^{(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )n_{k_{i}}}=$
$=\sum _{n_{k_{1}}}\sum _{n_{k_{2}}}...\sum _{n_{k_{i}}}e^{(\alpha \epsilon _{k_{1}}+\gamma V_{k_{1}}+\omega )n_{k_{1}}}e^{(\alpha \epsilon _{k_{2}}+\gamma V_{k_{2}}+\omega )n_{k_{2}}}\cdot ...\cdot e^{(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )n_{k_{i}}}=\prod _{k_{i}}\sum _{n_{k_{i}}}[e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }]^{n_{k_{i}}}$

(21.4)

Doszliśmy do wniosku, z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (21.4), że wielka suma statystyczna jest napisana:

$Z=\prod _{k_{i}}\sum _{n_{k_{i}}}[e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}]^{n_{k_{i}}}$

(21.5)

Suma statystyczna dla fermionów i bozonów

Korzystając z wniosku z przedostatniego rozdziału ze wzoru na sumę statystyczną zespołu kanonicznego wedle wzoru (21.5), przy czym musimy pamiętać, że dla fermionów $n_{k_{i}}$ liczba cząstek jakie mogą przebiegać dla danego poziomu może przebiegać od zera do jedynki, a dla bozonów ta sama liczba przebiega od zera do nieskończoności, możemy ją napisać dla fermionów i bozonów w ogólności pamiętając, że dla bozonów zachodzi warunek $\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega <0\;$:

$Z={\begin{cases}\prod _{k_{i}}\left(1+e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }\right){\mbox{ fermiony}}\\\prod _{k_{i}}{\left(1-e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }\right)}^{-1}{\mbox{ bozony}}\end{cases}}$

(21.6)

Wyrażenie na potencjał termodynamiczny napisanej wedle (18.8) przy definicji wielkiej sumy statystycznych dla fermionów i bozonów (21.6) jest napisany:

$\ln Z=\pm \sum _{k_{i}}\ln \left(1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }\right)$

(21.7)

We wzorze (21.7) oczywiście górne znaki są dla fermionów a dolne dla bozonów.

Funkcje Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina

(Rys. 21.1) Statystyki Fermiego-Diraca

(Rys. 21.2) Porównanie statystyk kwantowych

Ogólnie dla fermionów i bozonów możemy policzyć liczbę cząstek wchodzących w skład układu według (19.22):

${\overline {N}}=\left({{\partial \ln Z} \over {\partial \omega }}\right)_{T,V}=\sum _{k_{i}}{{e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\sum _{k_{i}}{{e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}{{e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\gamma }}}=$
$=\sum _{k_{i}}{{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }\pm 1}}=\sum _{i}{\overline {n}}_{k_{i}}$

(21.8)

W powyższych obliczeniach dla wzoru (21.8) wyznaczaliśmy całkowitą średnią liczbę cząstek występujących na wszystkich stanach na jakich te cząstki mogą występować. Następnie wyznaczmy całkowitą średnią energię układu jako suma energii wszystkich cząstek występujących we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią energię układu (19.20) do wyznaczenia tej energii i wyznaczmy całkowitą średnią objętość układu jako suma objętości zajmowane przez wszystkie cząstki występujące we wszystkich stanach, zatem musimy wykorzystać wzór na średnią liczbę cząstek układu (19.21) do wyznaczenia tej objętości. I dojdziemy do wniosku, że przy rozkładzie Bosego Einsteina i Fermiego-Diraca otrzymamy takie same wzory na rozkłady liczby cząstek ${\overline {n}}_{k_{i}}\;$, jak przy liczeniu całkowitej średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie, w którym podana jest średnia liczba cząstek przy energii $\epsilon _{k_{i}}\;$, i tych w trzech sposobach wyznaczania omawianych rozkładów wyjdą te same rozkłady o których wspomnieliśmy. Przy czym zakładamy, że stałe stojące przy rozkładzie nazwijmy je $\alpha =\beta \;$, $\gamma =\beta p\;$ oraz $\omega =\beta \mu \;$, co skorzystamy przy wyznaczaniu średniej energii i objętości układu w powyższym wyprowadzeniu przy wyznaczaniu wielkiej sumy statystycznej $Q\;$ wedle wzoru (21.6), by potem znów skorzystać z tego poniżej, i napisać nasze średnie ilości cząstek w rozkładzie o danej energii i zajmujących dane objętości, które otrzymamy poniżej.

${\overline {E}}={{\partial } \over {\partial \alpha }}\ln Z=\pm {{\partial } \over {\partial \alpha }}\sum _{i}\ln \left(1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }\right)=\sum _{i}{{\epsilon _{k_{i}}e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\sum _{i}{{\epsilon _{k_{i}}e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\;$
$=\sum _{i}\epsilon _{k_{i}}{{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }\pm 1}}=\sum _{i}\epsilon _{k_{i}}{\overline {n}}_{k_{i}}\;$

(21.9)

A teraz policzmy średnią objętość układu bozonów lub fermionów według:

${\overline {V}}={{\partial } \over {\partial \gamma }}\ln Z=\pm {{\partial } \over {\partial \gamma }}\sum _{i}\ln \left(1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }\right)=\sum _{i}{{V_{k_{i}}e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\sum _{i}{{V_{k_{i}}e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1\pm e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\;$
$=\sum _{i}V_{k_{i}}{{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }\pm 1}}=\sum _{i}V_{k_{i}}{\overline {n}}_{k_{i}}\;$

(21.10)

Ogólnie ilość fermionów lub bozonów znajdujących się w stanach o energiach $\epsilon _{k_{i}}\;$ i zajmujących objętości $V_{k_{i}}\;$ można wyedukować ze wzorów (21.8), (21.9) i (21.10), ten rozkład liczby cząstek o danej energii jest:

${\overline {n_{k_{i}}}}={\begin{cases}{{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }+1}}{\mbox{ fermiony}}&{\mbox{ (a)}}\\{{1} \over {e^{-\gamma \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }-1}}{\mbox{ bozony}}&{\mbox{ (b)}}\\\end{cases}}$

(21.11)

A oto przykłady rozkładów wynikających z (21.11):

Zespół	Rozkład Fermiego-Diraca	Rozkład Bosego-Einsteina
Zespół kanoniczny (T,V,N)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta \epsilon _{i}}+1}}$ (21.12)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta \epsilon _{i}}-1}}$ (21.13)
Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}+1}}$ (21.14)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}-1}}$ (21.15)
Zespół kanoniczny (T,p,N)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i})}+1}}$ (21.16)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i})}-1}}$ (21.17)
Zespół kanoniczny (T,p,μ)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i}-\mu )}+1}}$ (21.18)	$n_{i}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i}-\mu )}-1}}$ (21.19)

Parastatystyki

Wiemy, że statystyki Fermiego-Diraca, która jest w przypadku fermionów opisujących, że w danym stanie może przebywać tylko najwyżej jedna cząstka, a dla bozonów w jednym stanie może przebywać nieskończenie wielka ilość cząstek. Uogólniając to przyjmijmy, że w danym stanie może przebywać najwięcej "p" cząstek. Suma statystyczna policzona ogólnie (dla wszystkich przypadków) według (21.5) przebiera postać w zależności od liczby "p" wedle:

$Q=\prod _{k_{i}}\sum _{n=0}^{p}[e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }]^{n}$

(21.20)

Korzystając z twierdzenia o sumie ciągu geometrycznego występującego pod iloczynem dla sumy statystycznej (21.20), którego n przebiega od n=0 do n=p, a tych wszystkich składników jest ich p+1 wyrazów w tejże sumie.

$Q=\prod _{k_{i}}{{1-e^{(p+1)(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}} \over {1-e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}$

(21.21)

Potencjał termodynamiczny napisanej w przypadku sumy statystycznej (21.20) przyjmuje postać:

$\ln Q=\sum _{k_{i}}\ln {{1-e^{(p+1)(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}} \over {1-e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}=\sum _{k_{i}}\ln({1-e^{(p+1)(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}})-\ln(1-e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega })$

(21.22)

Policzmy teraz średnią liczbę cząstek ${\overline {N}}$ znajdujących się w tym układzie statystycznym według zespołu kanonicznego wykorzystując wzór (19.19), zatem ta średnia liczba cząstek we wszystkich stanach:

${\overline {N}}=\sum _{k_{i}}\left[-{{(p+1)e^{(p+1)(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}} \over {1-e^{(p+1)(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )}}}+{{e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }} \over {1-e^{\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega }}}\right]$

(21.23)

Korzystamy tutaj z definicji β, który jest napisany w punkcie (12.29) we wzorze (21.22), wtedy średnia liczba cząstek:

${\overline {N}}=\sum _{k_{i}}\left\{{{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)(-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega )}-1}}\right\}$

(21.24)

Ze wzoru (21.24) otrzymujemy, że średnia liczba cząsteczek znajdująca się w stanie o energii $\epsilon _{k_{i}}\;$ jest napisana:

${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\gamma )}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)(-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega )}-1}}$

(21.25)

A oto przykłady poszczególnych rozkładów wynikających z (21.25):

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{\beta \epsilon _{k_{i}}}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)\beta \epsilon _{k_{i}}}-1}}$ (21.26)	${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{k_{i}}-\mu )}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)\beta (\epsilon _{k_{i}}-\mu )}-1}}$ (21.27)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{k_{i}}+pV_{k_{i}})}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)\beta (\epsilon _{k_{i}}+pV_{k_{i}})}-1}}$ (21.28)	${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{k_{i}}+pV_{k_{i}}-\mu )}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)\beta (\epsilon _{k_{i}}+pV_{k_{i}}-\mu )}-1}}$ (21.29)

Gdy liczba "p" dąży do nieskończoności, wtedy mamy do czynienia z bozonami, to wzór (21.24) przy znanych α, β, γ przy tym warunku przechodzi w bardzo znany rozkład przy poszczególnych rozkładach dla $-(\alpha \epsilon _{k_{i}}+\gamma V_{k_{i}}+\omega )>0$:

${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }-1}}$

(21.30)

Zatem otrzymaliśmy statystykę Bosego-Einsteina napisaną wzorem (21.30), który jest podobny dla rozkładów bozonów (21.11). Gdy maksymalna liczba cząstek jakie mogą obsadzać stan o pewnej energii wynosi jeden, czyli p=1, to wyrażenie (21.24) przy znanych α, β, γ po krótkich przekształceniach też przechodzi w bardzo znany rozkład:

${\overline {n_{k_{i}}}}={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }-1}}-{{2} \over {e^{-2(-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\gamma )}-1}}={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }-1}}\left(1-{{2} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }+1}}\right)=\;$
$={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k}-\gamma V_{k_{i}}-\beta }-1}}{{e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }+1-2} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }+1}}={{1} \over {e^{-\alpha \epsilon _{k_{i}}-\gamma V_{k_{i}}-\omega }+1}}$

(21.31)

Otrzymaliśmy rozkład Fermiego-Diraca we wzorze końcowym (21.31), który jest podobny do rozkładów fermionów (21.11).

Dokonajmy podstawienia tak by nowy parametr mógł być równy zero, którego definicja, we wzorze (21.25):

$x=-(\alpha \epsilon _{q}+\gamma V_{q}+\omega )\;$

(21.32)

we wzorze na średnią liczbą cząstek w stanie o energii $\epsilon _{p}\;$ i objętości przez nie zajmowanych $V_{p}\;$ napisaną wedle wzoru (21.24) przejdźmy w nim do granicy, gdy zmienna zdefiniowana w punkcie (21.31) dąży do wartości zerowej, czyli pisząc to dla wspomnianego wzoru:

$\lim _{x\rightarrow 0}{\overline {n_{k_{i}}}}=\lim _{x\rightarrow 0}({{1} \over {e^{x}-1}}-{{p+1} \over {e^{(p+1)x}-1}})=\lim _{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-(p+1)(e^{x}-1)} \over {(e^{x}-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=\lim _{x\rightarrow 0}{{e^{(p+1)x}-1-pe^{x}+p-e^{x}+1} \over {(e^{x}-1)(e^{x(p+1)}-1)}}=$
$=\lim _{x\rightarrow 0}{{e^{x(p+1)}-pe^{x}+p-e^{x}} \over {e^{x(p+2)}-e^{x}-e^{x(p+1)}+1}}$

(21.33)

Teraz stosujemy twierdzenie de l'Hospitala dla powyższego wyrażenia:

$\lim _{x\rightarrow 0}{{(p+1)e^{x(p+1)}-pe^{x}-e^{x}} \over {(p+2)e^{x(p+2)}-e^{x}-(p+1)e^{x(p+1)}}}$

(21.34)

I jeszcze raz stosujemy twierdzenie de-Hospitala.

$\lim _{x\rightarrow 0}{{(p+1)^{2}e^{x(p+1)}-pe^{x}-e^{x}} \over {(p+2)^{2}e^{x(p+2)}-e^{x}-(p+1)^{2}e^{x(p+1)}}}={{p^{2}+2p+1-p-1} \over {p^{2}+4p+4-1-p^{2}-2p-1}}={{p^{2}+p} \over {2(p+1)}}={{p(p+1)} \over {2(p+1)}}={{p} \over {2}}$

(21.35)

Oznacza to podobnie jak przy bozonach, że kondensacja cząstek przy energii równej potencjałowi chemicznemu przy którym według dowodu przeprowadzonego powyżej jest równa połowie liczby "p", czyli równy ${{p} \over {2}}$.

Rozpatrzmy statystykę (21.24) dla temperatury bezwzględnej dążącej do zera, wtedy ten wspomniany rozkład przechodzi w wtedy w funkcję schodkową, przy którym schodek zniża się z "p" do zera dla $x\rightarrow 0\;$.

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
$\lim _{T\rightarrow 0}{\overline {n_{k_{i}}}}={\begin{cases}p{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}<0\\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}>0\end{cases}}$ (21.36)	$\lim _{T\rightarrow 0}{\overline {n_{k_{i}}}}={\begin{cases}p{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}<\mu \\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}>\mu \end{cases}}$ (21.37)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
$\lim _{T\rightarrow 0}{\overline {n_{k_{i}}}}={\begin{cases}p{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}+pV_{q}<0\\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}+pV_{q}>0\end{cases}}$ (21.38)	$\lim _{T\rightarrow 0}{\overline {n_{k_{i}}}}={\begin{cases}p{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}+pV_{q}<\mu \\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{q}+pV_{q}>\mu \end{cases}}$ (21.39)

Cząstki o tej statystyce zachowują się jak fermiony, dla T=0 funkcja ta przypomina funkcję schodkową o wysokości p. A przypadku fermionów wysokość schodka jest równa 1. Substancja zachowująca się według tego rozkładu w zależności od parametru p raz zachowuje się jak kondensat Bosego-Einsteina, a za innym razem jak cząstki zwane fermionami.