Fizyka statystyczna/Gazy doskonałe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fizyka statystyczna
Fizyka statystyczna
Gazy doskonałe

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Gazem doskonałym jest opisywany przez równanie gazu doskonałego, jest to równanie opisujące tylko gaz, gdy on posiada dużą temperaturę, objętość molową lub nawet gdy jest rozrzedzony, tzn. gdy gaz posiada względnie małą liczbę cząsteczek. Gaz doskonały spełnia

  • prawo Boyle'a-Mariotte'a (równanie izotermiczne), czyli procesy zachodzące pod stałą temperaturą, w których iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętość jest wielkością stałą:
(7.1)
  • prawo Charles'a (równanie izobaryczne), czyli procesy zachodzące pod stałym ciśnieniem, w którym objętość gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej panującej w gazie:
(7.2)
  • prawo Gay-Lussaca (równanie izochoryczne), czyli procesy zachodzące pod stałą objętością, w którym ciśnienie panujące w gazie jest wprost proporcjonalne do temperatury naszego badanego gazu:
(7.3)

Biorąc warunki (7.1) (parwo Boyle'a-Mariotte'a), (7.2) (prawo Charles'a), (7.3) (prawo Gay-Lussaca), dostajemy bardziej ogólne równanie stanu gazu doskonałego w postaci dla jednego mola gazu:

(7.4)

Stałą występująca w (7.4) nazwijmy stałą gazową i oznaczmy literką :

(7.5)

Mając definicję objętości molowej zdefiniowanej w równaniu jako iloraz objętości gazu przez liczbę moli cząstek jaką posiada gaz doskonały według (6.3), to równanie (7.5) piszemy:

(7.6)

Ogólne równanie stanu gazu doskonałego (Calpeyrona) na podstawie obliczeń (7.6) jest zapisywane jako:

(7.7)

Zatem na podstawie (7.7) iloczyn ciśnienia gazu jakie działa na ścianki naczynia przez objętość tego naczynia jest wprost proporcjonalna do temperatury jaką posiada nasz gaz. Udowodniliśmy, że z prawa Charles'a, prawa Gay-Lussaca i prawa Boyle'a-Mariotte'a wynika ogólne równanie stanu gazu doskonałego i udowodnimy, czy z równania gazu doskonałego wynikają te właśnie cząstkowe równania.

Wprowadzimy inny sposób wyprowadzania równania Calpeyrona wykorzystując definicję różniczki zupełnej wiedząc, że jednych z parametrów zależy od dwóch pozostałych parametrów, więc możemy napisać różniczkę ciśnienia w zależności od różniczki temperatury i objętości:

(7.8)

Możemy rozważyć dwa sposoby rozpatrywania różniczki (7.8), tzn. przy stałej temperaturze T i objetości V, ale najpierw rozpatrzmy stałą objętość wykorzystując (7.3), wtedy , a następnie rozpatrzmy przypadek stałej temperatury wykorzystując (7.1), wtedy , co na podstawie tego wzór (7.8) zapisujemy:

(7.9)

Na podstawie obliczeń (7.9) wyprowadziliśmy równanie stanu gazu doskonałego (7.7) dla jednego mola gazu.

Wirialne równanie stanu dla gazu doskonałego[edytuj]

Wirialne równanie stanu (6.7) przechodzi w równanie gazu doskonałego, gdy A(T)=0, B(T)=0, C(T)=0 i dalej lub gdy objętość molowa zajmowanej przez gaz jest bardzo duża w porównaniu z owymi współczynnikami. Wirialne równanie stanu tak zostało sformułowane, by dla dużych objętości molowych przechodziło w równanie stanu gazu doskonałego.

Związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością[edytuj]

Policzymy związek między ciepłem właściwym dla stałej objętości, a pod stałym ciśnieniem. Jeśli z równania gazu doskonałego wyznaczymy ciśnienie względem temperatury i objętości, wtedy mamy wniosek:

(7.10)

Korzystając ze wzoru na ciśnienie w zależności od pozostałych parametrów gazu (7.10), to pochodna cząstkowa ciśnienia względem temperatury pod stałą objętością dla tego gazu jest wyrażona:

(7.11)

Wyznaczmy z równania gazu doskonałego objętość względem temperatury i ciśnienia panującego w gazie znajdującym się w równowadze termodynamicznej i mechanicznej:

(7.12)

To pochodna cząstkowa objętości względem temperatury bezwzględnej pod stałym ciśnieniem, korzystając przy tym ze wzoru (7.12), jest przedstawiona:

(7.13)

Możemy wykorzystać wzór (5.40) i do tego wzoru podstawić pochodne cząstkowe (7.11) i (7.13), wtedy otrzymujemy ostatecznie wzór na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością:

(7.14)

Z obliczeń w punkcie (7.14) otrzymujemy ogólny związek między ciepłem właściwym pod stałym ciśnieniem a objętością dla gazu doskonałego, który jest wprost proporcjonalny do ilości moli cząsteczek jaką posiada nasz rozważany gaz.

(7.15)

Przyjmujemy jako definicję ciepła molowego pod stałym ciśnieniem i objętością jako iloraz ciepeł właściwych przez liczność materii jako posiada dany gaz:

(7.16)
(7.17)

Korzystamy ze wzoru (7.16) (ciepło właściwe molowe pod stałym ciśnieniem) i (7.17) (ciepło właściwe molowe pod stałą objętością) podstawiając to wszystko do równania (7.15), wtedy końcowe równanie przyjmuje równoważną do poprzedniego postać:

(7.18)

Dochodzimy do wniosku, że dla gazu doskonałego różnica między ciepłem właściwym molowym pod stałym ciśnieniem i pod stałą objętością jest wielkością stałą i nie zależy od rodzaju i liczności gazu i jest ona równa stałej gazowej.

Infinitezymalna zmiana energii wewnętrznej dla gazu doskonałego[edytuj]

Wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam bardzo potrzebne w późniejszych obliczeniach w przypadku gazu doskonałego:

(7.19)

Dla gazu doskonałego zachodzi również wzór w postaci ogólnej (5.52), na podstawie obliczeń (7.19) drugi wyraz znika z różniczką objętości i pozostaje tylko wyraz z różniczką temperatury, zatem dochodzimy do wniosku, że energia wewnętrzna gazu nie zależy od objętości tego gazu, co zachodzi tylko dla gazu doskonałego:

(7.20)

Zmiana energii wewnętrznej nie zależy od objętości dla gazu doskonałego i według (7.19) równanie (5.52) przyjmuje bardzo prostą postać:

(7.21)

Widzimy, że nieskończenie mała zmiana energii wewnętrznej gazu zależy od ciepła właściwego molowego pod stałą objętością i ilości moli cząsteczek jaką posiada gaz względem infinitezymalnej zmiany temperatury.

Równanie izotermiczne – prawo Boyle'a-Mariotte'a[edytuj]

(Rys. 7.1) Wykres przemiany izotermicznej, linia niebieska jest dla temperatury T1, zielona dla T2 i czerwona dla T1. Zachodzi T1<T2<T3

Jest to równanie stanu gazu doskonałego (7.7), w którym temperatura jest stała dla układu zamkniętego:

(7.22)

Z równania (7.22) wynika, że iloczyn ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia i objętości zajmowanej przez gaz jest wielkością niezmienniczą, dla stałej temperatury gazu wynika równanie.

(7.23)

Równanie izobaryczne – prawo Charles'a[edytuj]

(Rys. 7.2) Wykres przemiany izobarycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszego ciśnienia niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina

Jest to równanie gazu doskonałego (7.7), w której ciśnienie jest wielkością stałą:

(7.24)

Ze wzoru (7.22) wynika, że iloraz temperatury gazy przez objętość zajmowaną przez gaz jest wielkością stałą dla stałego ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia:

(7.25)

Stała po prawej stronie równania (7.25) jest zależna liniowo od ciśnienia gazu działających na ścianki naczynia i odwrotnie proporcjonalna do liczności gazu. Równanie Charles'a przy pomocy temperatury Celsjusza można zapisać:

(7.26)
  • – jest to objętość gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza.

Równanie (7.26) jest równoważna z równaniem (7.25), wtedy:

(7.27)

Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza.

Równanie izochoryczne – prawo Gay-Lussaca[edytuj]

(Rys. 7.3) Wykres przemiany izochorycznej dla tej samej liczności gazu. Górny wykres jest dla mniejszej objętości niż dolny. Jak widzimy oba wykresy mają punkt wspólny w temperaturze zero Kelwina

Jest to równanie gazu doskonałego (7.7), w którym objętość pozostaje stała, oczywiście:

(7.28)

Z równania (7.28) wynika, że iloraz temperatury gazu przez ciśnienie wywieranego przez gaz na ścianki naczynia, w którym znajduje się gaz jest wielkością stałą przy stałej objętości gazu.

(7.29)

Stała po prawej stronie wzoru (7.29) jest w liniowym związku z objętością gazu i odwrotnie proporcjonalna do jego liczności. Prawo Gay-Lussaca można też zapisać w zależności od temperatury Celsjusza w postaci:

(7.30)
  • – jest to ciśnienie gazu w temperaturze zera stopni Celsjusza.

Udowodnijmy, że równanie (7.30) jest równoważne z (7.29), zatem:

(7.31)

Zatem udowodniliśmy równoważność obu równań z temperaturą Kelwina i Celsjusza.

Równanie adiabaty – równania Poissona[edytuj]

Równanie adiabaty lub równoważnie równanie Poissona, w którym układzie zamkniętym nie ma wymiany ciepła między otoczeniem a układem, oczywiście:

(7.32)

Z z pierwszej zasady termodynamiki wynika, że równanie (2.2), biorąc jeszcze (7.32) (przemiana adiabatyczna), to oczywiście jest, że mamy:

(7.33)

Dochodzimy do wniosku, że w przemianie adiabatycznym wymiana energii miedzy układem a otoczeniem odbywa się na w sposób pracy objętościowej. Dla gazu doskonałego łącząc równania (7.21) i (7.33), bo oznaczają to samo, dostajemy, że:

(7.34)

Z równania gazu doskonałego (7.7) wyznaczamy ciśnienie, wtedy wykorzystujemy to otrzymane równanie stanu gazu doskonałego z wyznaczonym powiedzianym parametrem do (7.34) dokonując w nim odpowiednich mnożeń tak układamy tam wyrazy, by wyrazy jednej zmiennej znajdował się na jednej stronie, a wyrazy drugiej zmiennej znajdowały się na drugiej stronie, by potem można by je scałkować w sposób nieoznaczony:

(7.35)

Równanie (7.35) pierwiastkujemy obustronnie względem Cv, zatem otrzymujemy ważny wniosek, jako równanie stanu adiabaty względem zmiennych temperatury i objętości gazu doskonałego:

(7.36)

Wykorzystujemy równanie (7.15) na różnicę ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i stałą objętością, wtedy z równania (7.36) otrzymujemy równoważne równanie:

(7.37)

Definiujemy nowy parametr, jako iloraz ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem przez ciepło właściwe pod stałą objętością:

(7.38)

Wykorzystując definicję stałej κ wedle definicji (7.38), to wtedy równanie (7.37) przyjmuje wynikową ostateczną uproszczoną postać:

(7.39)

Równanie (7.39) zależy od stałej κ i jest w zmiennych T, V, można je przedstawić w zmiennych (p,V), w tym celu wykorzystujemy jeszcze raz równanie gazu doskonałego (7.7), z niego wyprowadzając temperaturę bezwzględną, zatem wykorzystując owe wyrażenie do wspomnianego równania, wtedy rozważane równanie przyjmowało będzie wygląd:

(7.40)

Napiszmy inną postać równań Poissona, jeśli mamy (7.39),to z równania gazu doskonałego (7.7) wyznaczmy objętość podstawiając ją do równania stanu gazu adiabaty napisanego wedle ostatniego równania, wtedy dostajemy wzór:

(7.41)

Z (7.41) grupując czynniki w zmiennych względem temperatury "T" i ciśnienia "p" po lewej stronie ostatniego równania, a stałe po prawej stronie tegoż równania, więc ostatecznie otrzymujemy równanie w tychże zmiennych.

(7.42)

Zestawienie równań Poissona[edytuj]

Przedstawimy tutaj cały zestaw równań Poissona w zmiennych ciśnienie-objętość (p,V), temperatura-objętość, (T,V), temperatura-ciśnienie (T,p).

(7.43)
(7.44)
(7.45)

Porównanie wykresów p-V dla adiabaty i izotermy gazu doskonałego[edytuj]

(Rys. 7.4) Krzywa czerwona i zielona – izotermy (przemiana izotermiczna), niebieska – adiabata

Równanie izotermy, dla określonej temperatury T jest określone według (7.23). A równanie adiabaty jest określone według (7.43) Wyznaczmy stałą występujące we wzorze adiabaty.

(7.46)

Wiadomo dla gazu jednoatomowego korzystając przy tym z zasady ekwipartycji energii (6.10), że jego ciepło właściwie jest wyrażone:

(7.47)

Różnica ciepeł właściwych pod stałym ciśnieniem i objętością:

(7.48)

Z równania (7.48) wyznaczamy ciepło właściwe pod stałym ciśnieniem:

.(7.49)

Korzystając przy tym z definicji na ciepło właściwe pod stałą objętością (7.47) i ciepła właściwego pod stałym ciśnieniem (7.49), wtedy dostajemy, że dla gazu doskonałego jednoatomowego parametr κ jest równy:

(7.50)

Równania politropy[edytuj]

Jest to równanie, w której podczas takiej przemiany ciepło właściwe pozostaje stałe, które jest stałe przy stałym parametrze x.

Korzystamy z równania (7.21), wtedy równanie (2.10) przyjmuje postać:

(7.51)

Energia wewnętrzna nie zależy od drogi w zmiennych (p,V) po jakich przebywał układ w sposób quasistatyczny, zatem rozłóżmy różniczkę energii wewnętrznej względem dwóch zmiennych niezależnych względem temperatury i objętości posiadanej przez dany gaz:

(7.52)

Po przyrównaniu równań na różniczkę zupełną energii wewnętrznej (7.52) i równania (7.51), bo one oznaczają to samo, to dostajemy inne wynikowe równanie:

(7.53)

Mamy wzór na ciepło właściwe gazu pod stałą objętością zdefiniowaną wedle wzoru (5.36) i podstawiając tą definicję do równania (7.53), mamy wniosek:

(7.54)

W równaniu (7.54) grupując wyrazy względem tych samych różniczek, tzn. względem różniczek temperatury i objętości, tak by znajdowały się po różnych obu stronach naszego rozważanego równania:

(7.55)

W równaniu (7.55) mamy w nim występującą energię wewnętrzną, zatem na razie owe równanie jest bezużyteczne, dopóki nie wykorzystamy wzoru (5.33) podstawiając go do równania (7.55), wtedy tak rozważane równanie możemy przedstawić w zmiennych równania stanu:

(7.56)

Rozpatrując gaz doskonały, to z równania (7.7) wyznaczamy ciśnienie podstawiając uzyskane równanie do (7.56), wtedy ono przechodzi w równanie:

(7.57)

W równaniu (7.57) tak wykonujemy obustronne mnożenia, by zmienne jednej zmiennej były po tej samej stronie, a zmienne drugiej zmiennej po drugiej jej stronie, by potem można by je scałkować w sposób oznaczony jako funkcje jednej zmiennej.

(7.58)

Po scałkowaniu nieoznaczonym obustronnym równania (7.58) otrzymujemy ostatecznie:

(7.59)

Widzimy, że nasze równanie politropy zależy od stałej D. Aby przedstawić równanie (7.59) względem zmiennych p i V, to wtedy biorąc kolejne przekształcenia równania gazu doskonałego (7.7) wyznaczamy z tego równania tym razem temperaturę:

(7.60)

Z równania (7.60) po niezbyt wyczerpujących działaniach na potęgach objętości V, mamy:

(7.61)

Co z kolei w równaniu (7.61) dokonujemy pierwiastkowania względem różnicy ciepła właściwego pod stałym parametrem "x" i ciepła właściwego pod stałą objętością, czyli Cx-Cv:

(7.62)

Równanie (7.62) jest równaniem politropy dla gazu doskonałego, który zachodzi pod stałym parametrem "x", wtedy owe ciepło właściwe jest równe Cx.

Następny rozdział: Gazy van der Waalsa Poprzedni rozdział: Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

Podręcznik: Fizyka statystyczna