Fizyka statystyczna/Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Fizyka statystyczna
Fizyka statystyczna
Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wyprowadzimy statystykę Bolztmanna bezpośrednio z przesłanek czysto statystycznych, statystyki Fermiego i Diraca wyprowadzone poprzez kombinację bez powtórzeń (statystyka Fermiego) lub przez kombinację z powtórzeniami (statystyka Bosego), korzystając że pochodna entropii przyjmuje wartość maksymalną, czyli pierwsza pochodna wspomnianej funkcji termodynamicznej przyjmuje w tym punkcie wartość zero.

Funkcjonał entropii[edytuj]

Załóżmy, że energie są skwantowane i istnieje l poziomów o energiach . Średnia energia znajdujących się w układzie cząstek piszemy w zależności o energii poszczególnych poziomów jakie zajmują cząstki obsadzając stany pomnożone przez liczbę cząstek ni o numerze "i", a liczba cząstek jest sumą tych wszystkich cząstek znajdujących się w tych stanach.

(22.1)
(22.2)
(22.3)

Napiszmy funkcjonał oparty i uzupełniony o współczynniki Lagrange'a, który spełnia te same właściwości co entropia S.

(22.4)

Rozkład Boltzmanna[edytuj]

Załóżmy, że istnieje N cząstek w l przegrodach, to wtedy możliwości obsadzeń jest:


(22.5)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki (22.1), (22.2)) i (22.3)), którego definicja S jest dana tutaj wzorem (22.5), ma pochodną cząstkową względem ni równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, co na podstawie (22.3) zamiast D możemy napisać w (22.4), zatem:


(22.6)

Jak łatwo można sprawdzić, że druga pochodna funkcjonału (22.5) przyjmuje wartość ujemną, co spełnia właściwości maksymalizacji entropii bo wtedy zachodzi:

Końcowy wzór na liczbę cząstek ni (22.6) jest to rozkład Boltzmanna.

Statystyka Fermiego[edytuj]

W każdych obsadzanych poziomów istnieje stanów, które można obsadzać w przeróżny sposób przez ni cząstek, w których w każdej z przegródek (poziomów) może się znajdować conaj wyżej jedna cząstka, liczymy je jako kombinację bez powtórzeń:

(22.7)

Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych Wi dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l:

(22.8)

Jeśli podstawić do wzoru na entropię (12.73) wyrażenie (22.8), która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga (MMF-5.37):


(22.9)

Wyznaczmy pochodną cząstkową entropii (22.9) względem ni, która jest ilością cząstek w stanie "i":

(22.10)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki (22.1), (22.2) i (22.3)), którego definicja S jest dana tutaj wzorem (22.9), ma pochodną cząstkową równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają. Jeśli w naszym funkcjonale na S (22.9) dobierzemy współczynniki Lagrange'a co dostając wzór (22.4) wtedy pochodna funkcjonału po przyrównaniu go do zera przyjmuje postać:

(22.11)

Z równości (22.11) z pewnością możemy napisać tożsamość:

(22.12)

Ostatecznie z tożsamości końcowej wyznaczonej w punkcie (22.12) otrzymujemy liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i" o energii εi, gdy w tym wstanie istnieje gi przegród.

(22.13)

Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Fermiego druga pochodna funkcjonału (22.5) ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii, bo wtedy

Równanie (22.13) przedstawia rozkład Fermiego (liczby cząstek zajmującej dany poziom o energii ) w zależności od energii εi danego poziomu.

Statystyka Bosego[edytuj]

Załóżmy, że poziomy są skwantowane, które są podzielona na l poziomów. W każdym poziomie znajduje się stanów. Każdy stan może być wybierany więcej niż jeden raz. Liczba możliwych obsadzeń danego stanu jest kombinacją z powtórzeniami. Liczba tych sposobów jest wyrażona:

(22.14)

Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych Wi dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l:

(22.15)

Jeśli podstawić do wzoru na entropię (12.73) wyrażenie (22.15), która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga (MMF-5.37):

(22.16)

Pochodna cząstkowa entropii (22.16) względem liczby cząstek obsadzających dany poziom o numerze i, czyli względem ni, jest wyrażona przez wzór:

(22.17)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a, którą definiujemy wzorem (22.4), w którym wykorzystamy definicję entropii zapisaną według (22.16), ma pochodną cząstkową względem ni równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, zatem mając wzór (22.15) możemy napisać:

(22.18)

W równaniu (22.16) dokonując prostych przekształceń, dochodzimy do wniosku:

(22.19)

Z równości (22.19) dostajemy wzór na rozkład cząstek zwanych bozonami, które obsadzają dany poziom o energii εi, gdzie w tym poziomie liczba stanów jest równa gi.

(22.20)

Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Bosego druga pochodna funkcjonału (22.5) ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii bo wtedy:

Równanie (22.20) jest wzorem na rozkład Bosego.

Wyznaczanie parametrów B i C w rozkładach Boltzmanna, Fermiego i Bosego[edytuj]

Funkcjonał napisanej w punckie (22.4) możemy zapisać względem średniej energii i liczby cząstek należących do układu, tak by po tych przekształceniach otrzymać wzór:

(22.21)

Z równania (22.21) możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo termodynamiczne układu statystycznego, jeśli średnia energia i liczba cząstek jest jakaś tam:

(22.22)

Z definicji temperatury statystycznej napisanej wedle wzoru (12.1) dla definicji prawdopodobieństwa termodynamicznego dla rozkładu Fermiego lub Bosego wyrażających się wzorem (22.22), wtedy możemy wyznaczyć stałą "B" występujących we wzorze (22.21):

(22.23)

Również można napisać korzystając z definicji stałej B (22.23) średnią wartość, która jest zależna tylko od temperatury:

(22.24)

Gdy C i D są równe zero mamy zespół kanoniczny, gdy tylko C jest równe zero to mamy wielki zespół kanoniczny, gdy D jest równe zero mamy statystykę (T,P,N) a gdy C i D są nierówne zero to mamy statystykę (T,p,μ). Jeśli przyjmiemy, że stała C jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania (22.24) cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą C, która jest wyrażona w zależności od parametru β i ciśnienia p.

(22.25)

Jeśli przyjmiemy, że stała D jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania (22.24) cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą D, która jest wyrażona w zależności od parametru β i potencjału chemicznego μ.

(22.26)

Rozkład Boltzmanna zdefiniowanej w punkcie (22.6), rozkład Fermiego zdefiniowanej w punkcie (22.13) i Bosego zdefiniowanej w punkcie (22.20) możemy zapisać po uzupełnienia w nich za definicję stałej "B" wzór (22.21), stałej "C" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór (22.23) i stałej "D" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór (22.24), to wtedy:

Zespół Rozkład Boltzmanna Rozkład Fermiego Rozkład Bosego
Zespół kanoniczny (T,V,N)
(22.27)
(22.28)
(22.29)
Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)
(22.30)
(22.31)
(22.32)
Zespół kanoniczny (T,p,N)
(22.33)
(22.34)
(22.35)
Zespół kanoniczny (T,p,μ)
(22.36)
(22.37)
(22.38)

Następny rozdział: Cząstki o innych statystykach Poprzedni rozdział: Statystyki w fizyce kwantowej

Podręcznik: Fizyka statystyczna