Elektrodynamika klasyczna/Absorpcja i dyspersja w materii

Absorpcja i dyspersja w materii

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się zajmować absorpcją, czyli pochłanianiem energii fali elektromagnetycznej przez przewodnik i dyspersji, a więc zależnością współczynnika załamania od częstości dla ośrodka przewodzącego.

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w przewodnikach

Będziemy się zajmować rozchodzeniem fal elektromagnetycznych w ośrodkach liniowych, dla których spełnione jest różniczkowe prawo Ohma. W naszym przypadku będziemy zakładać, że gęstość objętościowa ładunku swobodnego jest równa zero, tylko gęstość prądu swobodnego jest różna od zera i jest według różniczkowego prawa Ohma (13.4), które tutaj powtórzymy dla przejrzystości wykładu:

${\vec {J}}_{sw}=\sigma {\vec {E}}\;$

(18.1)

Nasze prawa dla ośrodków liniowych przewodzących (15.46), (15.47), (15.48) i (15.49), gdy nie ma objętościowych ładunków swobodnych są:

Pierwsze prawo Maxwella	Drugie prawo Maxwella	Trzecie prawo Maxwella	Czwarte prawo Maxwella z prawem Ohma
$\nabla \cdot {\vec {E}}=0\;$ (18.2)	$\nabla \cdot {\vec {B}}=0\;$ (18.3)	$\nabla \times {\vec {E}}=-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\;$ (18.4)	$\nabla \times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\;$ (18.5)

W naszym przypadku jest spełniona zasada zachowania ładunku (równanie ciągłości) dla ładunku swobodnego (16.11), ale ponieważ gęstość objętościowa ładunku swobodnego jest zawsze równa zero, zatem to równanie ciągłości przechodzi w równanie:

$\nabla \cdot {\vec {J}}_{sw}=0\;$

(18.6)

Korzystając z równania ciągłości (18.6) i podstawiając do niego różniczkowe prawo Ohma (18.1), wtedy otrzymamy nasze pierwsze prawo Maxwella (18.2), które jest równe zero.

$0=\nabla \cdot {\vec {J}}_{sw}=\nabla \cdot \left(\sigma {\vec {E}}\right)=\sigma \left(\nabla \cdot {\vec {E}}\right)=0\;$

(18.7)

Czyli doszliśmy do sedna sprawy, że według obliczeń (18.7), doszliśmy do wniosku, że gęstość ładunków objętościowych jest równa zero, tak jak zakładaliśmy.

Równanie falowe fali elektromagnetycznej pola elektrycznego

Wzór (17.4) tak samo się wyprowadzało, jak się wyprowadza się w naszym przypadku, gdy dołożymy dodatkowo prawo Ohma. Do wzoru (17.4) podstawmy czwarte prawo Maxwella z namiastką prawa Ohma (18.5), i po dalszych przekształceniach ostatniego równania otrzymujemy ostateczne równanie falowe dla fali tłumionej wedle:

$\Delta {\vec {E}}={{\partial } \over {\partial t}}\left(\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)\Rightarrow \Delta {\vec {E}}=\mu \sigma {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}+\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(18.8)

Co końcowe równanie różniczkowe (18.8) jest równaniem falowym dla pola elektrycznego dla ośrodka liniowego przewodzącego.

Równanie falowe fali elektromagnetycznej pola magnetycznego

Mamy sobie tożsamość różniczkową (17.6) i podstawmy do niego drugie prawo Maxwella (18.3), a także czwarte prawo Maxwella z namiastką prawa Ohma (18.5), wtedy przekształcając go dalej, dostajemy wzór:

$-\Delta {\vec {B}}=\nabla \times \left(\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}\right)\Rightarrow -\Delta {\vec {B}}=\mu \sigma \left(\nabla \times {\vec {E}}\right)+\mu \epsilon {{\partial } \over {\partial t}}\left(\nabla \times {\vec {E}}\right)\;$

(18.9)

Następnym krokiem jest wykorzystanie trzeciego prawa Maxwella dla ośrodka przewodzącego (18.4) do tożsamości (18.9), otrzymujemy:

$-\Delta {\vec {B}}=\mu \sigma \left(-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)+\mu \epsilon {{\partial } \over {\partial t}}\left(-{{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}\right)\Rightarrow \Delta {\vec {B}}=\mu \sigma {{\partial {\vec {B}}} \over {\partial t}}+\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {B}}} \over {\partial t^{2}}}\;$

(18.10)

Co równanie różniczkowe (18.10) jest równaniem falowym pola magnetycznego dla ośrodka liniowego przewodzącego.

Równanie fali elektromagnetycznej płaskiej

Zakładamy, że rozwiązaniami równania falowego dla fali pola elektrycznego (18.8), i dla fali pola magnetycznego (18.10), oczywiście dla ośrodka linowego zarówno magnetycznie i elektrycznie, ale przewodzącego są równaniami fali płaskiej płaskiej dla tych pół:

${\vec {E}}(z,t)={\vec {\tilde {E}}}_{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}\;$

(18.11)

${\vec {B}}(z,t)={\vec {\tilde {B}}}_{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}\;$

(18.12)

Równanie dla fali zespolonej pola elektrycznego (18.8) możemy zapisać go równoważnie wprowadzając zespolone przenikalności elektryczne i magnetyczne i zespoloną liczbę falową ${\tilde {k}}\;$, która występuje w równaniu (18.11), zatem ten wzór piszemy:

$\Delta {\vec {\tilde {E}}}={\tilde {\epsilon }}{\tilde {\mu }}{{\partial ^{2}{\vec {\tilde {E}}}} \over {\partial t^{2}}}$

(18.13)

Ponieważ zespoloną prędkość fazową definiowaną poprzez przenikalności zespolone elektryczne ${\tilde {\epsilon }}\;$ i magnetyczne ${\tilde {\mu }}\;$, a także to z kolei definiujemy, dzięki stosunkowi częstotliwości fazowej przez zespoloną liczbę falową ${\tilde {k}}\;$, wtedy jego przestawienia piszemy:

${\tilde {v}}={{1} \over {\sqrt {{\tilde {\epsilon }}{\tilde {\mu }}}}}\;$

(18.14)

${\tilde {v}}={{\omega } \over {\tilde {k}}}\;$

(18.15)

Wyznaczmy prawą stronę równania różniczkowego dla fali pola elektrycznego (18.8), gdy jego rozwiązaniem jest (18.11), i prawą stronę równania (18.13) przy definicji zespolonej prędkości fazowej (18.14) i jego definicji przez zespoloną liczbę falową (18.15) w drugim wzorze, zatem do dzieła:

$\mu \epsilon {{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t^{2}}}+\mu \sigma {{\partial {\vec {E}}} \over {\partial t}}=\left(-\omega ^{2}\mu \epsilon -i\omega \mu \sigma \right){\vec {\tilde {E}}}_{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}\;$

(18.16)

${\tilde {\epsilon }}{\tilde {\mu }}{{\partial ^{2}{\vec {E}}} \over {\partial t^{2}}}={{{\tilde {k}}^{2}} \over {\omega ^{2}}}\omega ^{2}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}={\tilde {k}}^{2}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}\;$

(18.17)

Ponieważ wzory (18.3) i (18.8) oznaczają to samo, zatem możemy zdefiniować kwadrat zespolonej liczby falowej poprzez przenikalności elektryczne i magnetyczne w ośrodku liniowym w sposób:

${\tilde {k}}^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon +i\omega \mu \sigma \;$

(18.18)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie falowe dla ośrodków przewodzącej jest szczególnym przypadkiem równania falowego dla fali elektromagnetycznej dla ośrodka nieprzewodzącego o liczbie falowej zespolonej ${\tilde {k}}$ i częstości fali elektromagnetycznej $\omega$ i zespolonych przenikalnościach elektrycznych i magnetycznych.

Naszą zespoloną liczbę falową ${\tilde {k}}\;$ możemy zdefiniować jako sumę właściwej liczby falowej k i liczby, która jest iloczynem jednostki zespolonej i i współczynnika tłumienia κ:

${\tilde {k}}=k+i\kappa \;$

(18.19)

Wyznaczmy rzeczywistą liczbę falową k i współczynnik tłumienia κ podstawiając wzór na zespolony współczynnik falowy (18.19) do wzoru (18.8), i wykonując działania potęgowania po jego lewej stronie, dostajemy pokolei równania:

$\left(k+i\kappa \right)^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon +i\omega \mu \sigma \Rightarrow k^{2}-\kappa ^{2}+2ik\kappa =\omega ^{2}\mu \epsilon +i\omega \mu \sigma \;$

(18.20)

Następnym krokiem jest przyrównanie części rzeczywistej i zespolonej odpowiednio do siebie z dwóch stron równania (18.20), wtedy dostajemy:

${\begin{cases}k^{2}-\kappa ^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon \\2k\kappa =\omega \mu \sigma \Rightarrow \kappa ={{\omega \mu \sigma } \over {2k}}\end{cases}}\;$

(18.21)

Ostatnie wynikowe równanie układu równań (18.21) podstawiając do pierwszego równania tego samego układu równań, wtedy tak powstałe równanie możemy pomnożyć przez 4k², by potem poprzenosić wszystko na jedną stronę i przegrupować w nim wyrazy tworząc równanie czwartego stopnia:

$k^{2}-\left({{\omega \mu \sigma } \over {2k}}\right)^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon \Rightarrow 4k^{4}-\omega ^{2}\mu _{0}^{2}\sigma ^{2}=4k^{2}\omega ^{2}\mu \epsilon \Rightarrow 4k^{4}-4k^{2}\omega ^{2}\mu \epsilon -\omega ^{2}\mu ^{2}\sigma ^{2}=0\;$

(18.22)

Oznaczmy przez zmienną t kwadrat liczby zespolonej k², czyli według t=k², wtedy z równania czwartego stopnia dostajemy równanie kwadratowe zmiennej t:

$4t^{2}-4t\omega ^{2}\mu \epsilon -\omega ^{2}\mu ^{2}\sigma ^{2}=0\;$

(18.23)

Policzmy wyróżnik trójmianu kwadratowego równania kwadratowego (18.23), a na samym końcu pierwiastek tejże wielkości:

$\Delta =\left(-4\omega ^{2}\mu \epsilon \right)^{2}-4\cdot 4\cdot \left(-\omega ^{2}\mu ^{2}\sigma ^{2}\right)=16\omega ^{4}\mu ^{2}\epsilon ^{2}+16\omega ^{2}\mu ^{2}\sigma ^{2}=16\omega ^{2}\mu _{0}^{2}\left(\epsilon ^{2}\omega ^{2}+\sigma ^{2}\right)=16\omega ^{4}\epsilon ^{2}\mu _{0}^{2}\left(1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\sqrt {\Delta }}=4\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}\;$

(18.24)

Mając już pierwiastek trójmianu kwadratowego Δ możemy wyznaczyć pierwiastki równania kwadratowego (18.23), zatem do dzieła. Pierwszy jego pierwiastek t₁ jest w postaci:

$t_{1}={{4\omega ^{2}\mu _{0}\epsilon -4{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}} \over {2\cdot 4}}={{1} \over {2}}\omega ^{2}\mu _{0}\epsilon \left(1-{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}\right)<0\;$

(18.25)

Drugi jego pierwiastek jest w postaci:

$t_{2}={{4\omega ^{2}\mu _{0}\epsilon +4\omega ^{2}\epsilon \mu _{0}{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}} \over {2\cdot 4}}={{1} \over {2}}\omega ^{2}\mu _{0}\epsilon \left(1+{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}\right)>0\;$

(18.26)

Pierwsze rozwiązanie równania kwadratowego (18.23) jest mniejsze od zera a drugi większe, ale ponieważ kwadrat liczby falowej jest zawsze liczbą nieujemną i ona jest równa zmiennej t, zatem na podstawie tego wybierzmy to drugie rozwiązanie, czyli (18.26) wedle:

$k^{2}=t_{2}\Rightarrow k=\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1}}\;$

(18.27)

Następnym krokiem jest policzenie κ, podstawiając wzór na liczbę falową fali tłumionej (18.27) do drugiego równania układu równań (18.21), wtedy możemy policzyć ten właśnie parametr:

$\kappa ={{\omega \mu \sigma } \over {2k}}={{\omega \mu \sigma } \over {2\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}}}}={\sqrt {{\mu \sigma ^{2}} \over {2\epsilon }}}{{\sqrt {-1+{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}} \over {{\sqrt {1+{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}}{\sqrt {-1+{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}}}}={\sqrt {{\mu \sigma ^{2}} \over {2\epsilon }}}{{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1}} \over {{\sigma } \over {\epsilon \omega }}}=\;$
$=\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1}}\;$

(18.28)

Obliczone parametry rzeczywistej liczby falowej k (18.27) i współczynnika tłumienia fali κ (18.28) piszemy pod postacią:

${\begin{cases}k=\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1}}\\\kappa =\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1}}\\\end{cases}}\;$

(18.29)

Również otrzymamy taką samą rzeczywistą liczbę falową k i współczynnik tłumienia κ rozwiązując równanie falowe dla ośrodka przewodzącego dla fali elektromagnetycznej pola magnetycznego (18.10), więc nie trzeba powtarzać rachunku. Wyznaczymy równanie fali elektromagnetycznej tłumionej dla ośrodka przewodzącego dla pola elektrycznego i magnetycznego wykorzystując przy tym wzór (18.19):

${\vec {E}}(z,t)={\vec {\tilde {E}}}_{0}e^{i({\tilde {k}}z-\omega t)}={\vec {\tilde {E}}}_{0}e^{i\left[i(k+i\kappa )z-\omega t\right]}={\vec {\tilde {E}}}_{0}e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t)}\;$

(18.30)

${\vec {B}}(z,t)={\vec {\tilde {B}}}_{0}e^{-\kappa z}e^{(kz-\omega t)}\;$

(18.31)

Prędkość fali elektromagnetycznej dla ośrodków przewodzących piszemy wedle $v={{\omega } \over {k}}\;$, zatem zbadajmy czy nasza fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną czy podłużną, zatem tutaj będziemy się posługiwać wielkością zespolonej liczby falowej ${\tilde {k}}\;$, zamiast wielkości rzeczywistej liczby falowej k. Podobne dowodząc jak w ośrodku nieprzewodzącego, dochodzimy do wniosku, że fala elektromagnetyczna w ośrodku przewodzącym też jest falą poprzeczną, ponieważ wykorzystaliśmy równanie falowe dla tego ośrodka (18.13), które dla ośrodka nieprzewodzącego jest złudząco podobne, bo zachodzi (17.5). Dla fali pola magnetycznego jest podobnie.

Dotychczas badaliśmy fale w ośrodkach przewodzących lub nie, w tych przypadkach doszliśmy do wniosku, że fala elektromagnetyczna zarówno dla pola magnetycznego i elektrycznego jest falą poprzeczną.

Posługując się wielkością ${\tilde {k}}\;$, dochodzimy do wniosku tak samo jak w ośrodku nieprzewodzącym, że amplituda pola magnetycznego w zależności od amplitudy pola elektrycznego dla tego pierwszego jest wyrażona wzorem (17.24), co dla ośrodka przewodzącego jest podobnie, tzn.:

${\vec {\tilde {B}}}_{0}={{\tilde {k}} \over {\omega }}\left({\vec {k}}\times {\tilde {E}}\right)\;$

(18.32)

Zespoloną liczbę falową ${\tilde {k}}\;$, można wyrazić poprzez wyrażenie znane z pewnego twierdzenia z algebry o liczbach zespolonych w postaci:

${\tilde {k}}=Ke^{i\Phi }\;$

(18.33)

Aby wyznaczyć wielkość K oraz Φ występującej we wzorze (18.33) dokonajmy poniższe rachunki, ale najpierw wyznaczmy tą wielkość pierwszą:

$K=|{\tilde {k}}|={\sqrt {k^{2}+\kappa ^{2}}}={\sqrt {\omega ^{2}{{\epsilon \mu } \over {2}}\left({\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1\right)+\omega ^{2}{{\epsilon \mu } \over {2}}\left({\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right)}}=\;$
$=\omega {\sqrt {\epsilon \mu {\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}}\;$

(18.34)

Kąt Φ można wyznaczyć ze wzoru znanego z algebry, który występuje we wzorze (18.33) i który będziemy go wyznaczać ze wzoru:

$\Phi =\operatorname {arctg} \left({{\kappa } \over {k}}\right)=\operatorname {arctg} {{\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1}}} \over {\omega {\sqrt {{\mu \epsilon } \over {2}}}{\sqrt {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1}}}}=\operatorname {arctg} {\sqrt {{{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1} \over {{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1}}}=\;$
$=\operatorname {arctg} {\sqrt {{\left[{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right]\left[{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right]} \over {\left[{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}+1\right]\left[{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right]}}}=\operatorname {arctg} {\sqrt {{\left({\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right)^{2}} \over {\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}}=\operatorname {arctg} \left\{{{\epsilon \omega } \over {\sigma }}\left[{\sqrt {1+\left({{\sigma } \over {\epsilon \omega }}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\;$

(18.35)

Przedstawmy amplitudy fali pola magnetycznego i elektrycznego występujących w równaniach (18.11) i w postaci:

Mając związki na amplitudę fali pola elektrycznego i fali pola magnetycznego , wtedy korzystając, że fala magnetyczna i elektryczna są falami poprzecznymi, oraz z tożsamości , biorąc wyniki z tego wzoru na wartościach, wtedy dochodzimy do wniosku:

Ale lewa strona naszego równania jest liczbą rzeczywistą, to również musi być też prawa strona, stąd otrzymujemy, że wykładnik potęgi z prawej strony jest wielokrotnością liczmy 2π, więc przyjmijmy najmniejszą wielokrotność równą zero, zatem otrzymujemy:

Zatem dla ośrodka przewodzącego, w którym rozchodzi się fala elektromagnetyczna Istnieje pewna różnica faz miedzy polem magnetycznym, a elektrycznym dla fali elektromagnetycznej.

Na podstawie wcześniejszych rozważań dostajemy, że równanie fali magnetycznej i elektrycznej zapisujemy wedle sposobu:

Policzmy stosunek amplitudy fali magnetycznej przez amplitudę fali elektrycznej wykorzystując przy tym wzór wiedząc ze exponens w nim występujący po wykorzystaniu jest równy jeden.

Odbicie fali elektromagnetycznej od powierzchni przewodzącej

Rozważmy jak fala elektromagnetyczna z obszaru nieprzewodzącego pada na obszar przewodzący. Gęstość ładunków przewodzących zakładamy, że jest równa zero, również prąd powierzchniowy jest równy zero, bo gdy by nie był równy zero, to by wymagało nieskończonej wartości pola elektrycznego, ale wtedy byśmy mieli nieskończoną wartość gęstości objętościowej prądu powierzchniowego.

Zakładamy, że nasza fala elektromagnetyczna pada prostopadle na powierzchnię przewodzącą.

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali padającej w pierwszym ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego wzór , która ta fala rozchodzi się w ośrodku nieprzewodzącym przedstawia się jako:

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali odbitej w pierwszym ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego wzór , ale rozchodząca się w ośrodku nieprzewodzącym przedstawiają się jako:

Wektory pól fali elektromagnetycznej pola elektrycznego i magnetycznego fali wchodzącej w drugim ośrodku, wykorzystując dla tego drugiego odpowiednik wzoru , ale w nim występująca prędkość nie jest już wartością rzeczywistą, ale zespoloną zdefiniowaną wedle wzoru , ale formalnie dla ośrodka przewodzącego lub nieprzewodzącego jak powiedzieliśmy wcześniej wzory formalnie są takie same, zatem dla ośrodka przewodzącego wzoru na wspomniane amplitudy przedstawiają się:

Jeśli zastąpimy we wzorze i w wedle schematu , to formalnie otrzymujemy te same wzory jak dla powierzchni padającej nieprzewodzącej. Zatem amplitudy fali elektromagnetycznej pola elektrycznego odbitej i wchodzącej na podstawie jego odpowiednika dla ośrodka nieprzewodzącego, których te amplitudy piszemy wzorami i , zatem te same amplitudy, ale dla ośrodka przewodzącego piszemy wzorami:

Gdzie definicja jest formalnie takie same jak dla powierzchni nieprzewodzącej (pierwsza równość) i wynosi: Dla doskonałego przewodnika przewodność elektryczna σ jest równa nieskończoność i korzystając ze wzoru mamy K=∞, zatem moduł z zespolonej liczby falowej jest równy nieskończoność, zatem parametr na podstawie wzoru też jest liczbą nieskończoną.

Rozważając wzory na amplitudy fali odbitej i wchodzącej według wzorów i przy wcześniejszych rozważaniach dla doskonałego drugiego przewodnika, wtedy dostajemy, że amplituda fali wchodzącej jest równa zero, a amplituda fali odbitej z dokładnością do minusa jest równa fali padającej, co mamy:

Widzimy, że dla dobrze przewodzącej powierzchni przewodzącej wcale nie ma fali załamanej dla fali elektromagnetycznej padającej na tą powierzchnię i całkowita energia fali odbitej jest równa energii fali padającej.

Zależność przenikalności elektrycznej w materii od częstości

Przedstawimy ruch cząstki naładowanej o ładunku q, na którą działa siłą potencjalna pochodząca od tego, że nasz ośrodek jest przewodzący, siły działające pochodzące od zderzeń od rdzeni atomowych i siły pochodzącej od fali elektromagnetycznej pola elektrycznego, następnie policzymy moment dipolowy naszej cząstki w tym przewodniku, następnie polaryzację w danym punkcie ośrodka , na podstawie tego wyznaczymy podatność elektryczna i na jej podstawie przenikalność elektryczną naszego ośrodka.

Rozważając poszczególne cząstki dochodzimy do wniosku, że na każdy elektron posiada energię potencjalną, który jest funkcję x i ma wartość U(x), zatem rozłóżmy tą funkcję w szereg Taylora w sposób:

Dalsze wyrazy o stopniu wyższym niż dwa można pominąć, zakładamy że potencjał w położeniu zerowym jest równy zero, czyli U(0)=0. W położeniu minimalnym cząstka posiada minimum energii potencjalnej, a więc zachodzi U^'(0)=0, zatem pozostaje tylko trzeci niezerowy wyraz w , zatem tą naszą rozważana funkcję piszemy:

Siła potencjalna działająca na naładowaną cząstkę jest pochodną funkcji potencjału elektrycznego wziętej z minusem, którą razem piszemy: Jeżeli na naszą cząstkę działa tylko siła potencjalną , nie ma sił oporu, to z drugiej zasady dynamiki Newtona, w której niezrównoważona siła jest napisana przez:

Z rozważań nad ruchem harmonicznym, można powiedzieć, że wielkość U^"(0) jest równe kwadratowi częstotliwości podstawowej ω₀² pomnożonej przez masę cząstki:

• gdzie ω₀ jest to częstość kołowa rezonansowa układu.

Zatem nasza siła potencjalna działająca na nasz układ wyrażamy wzorem poniżej, która jest wprost proporcjonalna do położenia cząstki w układzie harmonicznym. Na naszą cząstkę oprócz siły potencjalnej również uwzględnijmy siłę tłumiącą, która jest proporcjonalna do jej prędkości dla cząstki, którą rozważamy o współczynniku tłumienia γ, co ten wzór na tą siłę można zapisać: A także siła pochodząca od fali elektromagnetycznej pola elektrycznego o natężeniu E działającej na ładunek q, którego wzór na siłę wektorowo piszemy ze wzoru wynikającego z , co dla tylko współrzędnej iksowej piszemy na pewno w pierwszym wzorze poniżej, co jeszcze łatwiej można zapisać wykorzystując funkcje eksponencjalne według drugiego wzoru poniżej:

\Wtedy również należy zamienić współrzędną iksową x na jego odpowiednik zespolony . Z drugiej zasady dynamiki Newtona uwzględniając siłę potencjalną , tłumiącą i na końcu siłę elektryczną , która pochodzi od fali elektromagnetycznej, zatem ta zasada przyjmuje postać: Przenosimy wszystkie wyrazy stojące na prawej stronie równości różniczkowej na jego lewą stronę i dzieląc w tak powstałym równaniu przez wielkość m, wtedy dostajemy: Do zespolonego równania różniczkowego podstawiamy położenie zespolone, która zależy od częstotliwości ω naszego układu mechanicznego i od czasu, który stoi pod zespoloną potęgą w eksponensie. Rozwiązanie zespolone podstawiamy do równania różniczkowego, wtedy tak powstałe równanie dzielimy przez e^{iω t}, bo ona jest zawsze nie równa zero, wtedy otrzymujemy:

Wyznaczmy przed nawias wyraz w wyrażeniu stałą zespoloną , i wtedy możemy z niego wyznaczyć tą właśnie amplitudę:

Odchylenie od czasu przy ustalonej amplitudzie zależnej od częstości zewnętrznej fali elektromagnetycznej jest wyrażona wzorem przy definicji stałej w nim występującej wedle końcowego wzoru wynikającego , wtedy dostajemy wzór: Napiszmy stałą i nazwijmy ją jako   stojąca przy eksponensie w , i tak go przekształcajmy by w nim w mianowniku występowała tylko liczba rzeczywista: Następnie krokiem jest wyznaczenie modułu z liczby korzystając z wiadomości z algebry przy jego liczeniu: Następnym znów krokiem jest policzenie parametru Φ znając definicję liczby występujacej w punkcie . Położenie cząstki w zależności od czasu jest dane wzorem przy definicji K i definicji Φ danej wzorem , zatem moment dipolowy poszczególnych elektronów liczymy z jego definicji: Każda cząsteczka posiada elektrony o częstościach własnych (ω₀)₁,(ω₀),..., a liczba elektronów o takich częstościach własnych kołowych jest równa kolejno f₁, f₂,....

Każda taka cząsteczka posiada elektrony o różnych częstościach własnych, czyli każda cząsteczka posiada elektrony mające różne częstości kołowe (ω₀)_j i liczbą elektronów o takich samych częstościach i współczynników tłumienia jest f_j. Liczba takich cząsteczek o takich właściwościach jest N na jednostkę objętości.

Liczba N ma miano w postaci m^-3, co jest odwrotnością jednostki objętości. Polaryzacja układu elektrycznego na podstawie powyższych omówień piszemy według: Widzimy, że zespolona polaryzacja jest proporcjonalna od natężenia pola elektrycznego fali elektromagnetycznej napisanej wzorem . Zatem zespolona polaryzacja przyjmuje kształt: Prawdziwa polaryzacja jest równe jej części rzeczywistej , która jest napisana przez:

Wielkość  nosi nazwę zespolonej podatności elektrycznej i ma się według wzoru na polaryzację ośrodka i wzoru tożsamego z nim przy użyciu zespolonej podatności elektrycznej wedle :

A wielkość nosi nazwę zespolonej przenikalności ośrodka, a zespolonej względnej przenikalności elektrycznej i ona ma się:

Dla ośrodka przewodzącego jak udowodniliśmy wcześniej jest spełnione równanie dla zespolonej przenikalności elektrycznej zespolonej, wiedząc że względna przenikalność magnetyczna jest w przybliżeniu równa jeden przy równaniu falowym . Dochodzimy do wniosku, że zespolona prędkość fazowa fali elektromagnetycznej jest napisana wzorem i z definicji prędkości fazowej , i łącząc te dwa wzoru dostajemy tożsamość, z którego możemy wyznaczyć zespoloną liczbę falową : Mając napisaną względną zespoloną przenikalność elektryczną , to możemy go podstawić do wzoru końcowego na zespoloną liczbę falową , przy założeniu, że względna przenikalność ośrodka magnetycznego jest w przybliżeniu równa jeden, czyli μ_r=1, zatem do dzieła:

Ponieważ jest liczbą zespoloną, to jej część rzeczywista jest rzeczywistą liczbą falową, za pomocą której możemy zdefiniować współczynnik załamania danego ośrodka.

Nazwijmy współczynnik absorpcji jako podwojona wartość współczynnika tłumiona, której to współczynnik tłumienia na podstawie jest równy części urojonej zespolonej liczby falowej wyrażonej:

Widzimy, że w szczególnej postaci współczynnik załamania jest większy niż jeden, co mamy do czynienia z prędkościami powyżej prędkości światła, wydaje się, że nasz wzór jest niepoprawny, ależ jest poprawny, bo mamy do czynienia z prędkościami fazowymi, a nie prędkościami grupowymi, prędkość grupowa jest to prędkość propagacji energii fali elektromagnetycznej w naszym przypadku i zawsze powinna być mniejsza niż prędkość światła, ale z prędkością fazową już tak nie jest.

Zgodnie z naszym wzorem i obserwacjami współczynnik załamania rośnie, a w pobliżu jednej częstości rezonansowej gwałtownie maleje, to zjawisko nazywamy dyspersją anomalną.

Gdy mamy jedną częstość rezonansową, to wtedy f jest to liczba wszystkich elektronów o tej jednej częstości i tylko tej jednej częstości kołowej znajdujących się w cząsteczce, czyli wszystkie elektrony w cząsteczce mają taką samą tą częstość kołową w danej cząsteczce, zatem współczynnik załamania: A współczynnik absorpcji na podstawie definiujemy: Gdy znajdujemy się z dala od jakieś częstości rezonansowej, to wtedy możemy zaniedbać stałą tłumienia, zatem współczynnik załamania w takim przypadku możemy napisać: Wtedy współczynnik absorpcji praktycznie znika, czyli fala elektromagnetyczna w ośrodku nie jest praktycznie tłumiona. Określmy częstości fal elektromagnetycznej według warunku ω<(ω₀)_j, czyli wyrażenie stojące w punkcie pod sumą , możemy zapisać: To ostatnie równanie na współczynnika załamania , gdy zachodzi przybliżenie , możemy zapisać wedle: Co można zapisać równanie dla jednej częstości kołowej rezonansowej:

Ponieważ zachodzi warunek na prędkość fazową światła   i korzystając z tych wniosków do tożsamości , wtedy dostajemy wzór na współczynnik załamania w zależności od długości fali jakie mogą przepływać w tym ośrodku materialnym jako: Wzór nazywamy wzorem Cauchy'ego .