Elektrodynamika klasyczna/Magnetostatyka

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Magnetostatyka nazywamy działem elektrodynamiki klasycznej, w której pole magnetyczne opisywane przez ten dział fizyki jest stałe, nie zależy od czasu we wszystkich punktach w przestrzeni.

Własności wielkości charakterystycznych pola w magnetostatyce[edytuj]

Pole w magnetostatyce jest to pole, którymi przyczynkami są prądy stałe płynące w jakichś przewodnikach, natężenie prądu źródła jest niezmienne, wtedy pole magnetyczne nie zmienia się, wtedy mówimy, że pole jest stałe, wtedy doczynienia mamy z magnetostatyką.

Siły magnetyczne[edytuj]

Załóżmy, że mamy jeden przewodnik, w którym płynie stały prąd, przewodnik ten nie jest w ogólności linią prostą. Jeśli w tym polu umieścimy ładunek próbny, które porusza się z jakoś prędkością, w ogólności nie prostopadłą do wektora indukcji pola magnetycznego, to wtedy na ten ładunek działa siłę magnetyczna:

(8.1)
  • gdzie:- jest to wektor indukcji magnetycznej charakteryzujący pole magnetyczne.
  • jest to prędkość ładunku q.

Widzimy jednak, gdy wektor prędkości ładunku próbnego jest równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego, czyli:, to wtedy siła działająca ze strony pola na ten ładunek jest równa zero ().

Gdy prędkość cząstki jest prostopadła do wektorów indukcji magnetycznej pola, czyli zachodzi:w danym punkcie, to wtedy na ładunek próbny pole magnetyczne działa z maksymalną siłą o wartości:

(8.2)

Wartością wektora indukcji nazywamy stosunek maksymalnej siły działającej na ładunek q ze strony pola magnetycznego przez iloczyn ładunku elektrycznego posiadanej przez to ciało w tym polu przez wartość jego prędkości. Należy pamiętać, że siła w ogólności działająca na ciało o ładunku q zależy od kąta pomiędzy wektorem indukcji pola i prędkością badanej cząstki.

Siły Lorentza[edytuj]

Jeśli oprócz sił magnetycznych (8.1) uwzględnimy siły elektryczne (1.2) (po wyznaczeniu z niego wektora siły), to siła Lorentza działająca na ciało o ładunku q jest równa sumie tych siły, tzn. siły pochodzących od pola elektrycznego i od pola magnetycznego, wynosi:

(8.3)
  • gdzie: jest wektor natężenia pola elektrycznego.

Czy siły magnetyczne wykonują pracę[edytuj]

Praca wykonywana przez siły magnetyczne jest równa zero ze względu na prostopadłość sił magnetycznych do prędkości cząstki o ładunku q, co udowodnimy poniżej:

(8.4)
  • ponieważ zachodzi:

Ostatecznie dochodzimy do wniosku, że siły magnetyczne nie wykonują pracy na podstawie dowodu (8.4).

Objętościowa gęstość prądu[edytuj]

Rozpatrzmy pewne rozumowanie, które jest natężeniem prądu wyrażone w zależności od koncentracji elektronów w nośniku n, jego przekroju S oraz średniej wartości prędkości tychże cząstek v:

(8.5)

Zdefiniujmy gęstość prądu jako iloraz natężenia prądu przez przekrój przewodnika, w którym płynie ten prąd jako:

(8.6)
  • gdzie : jest to kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu.

Natężenie prądu wyrażone wedle (8.5) podstawiamy do wzoru na wektor gęstości prądu elektrycznego, co w ostatecznych perypetiach ta wielkość wyrażamy poprzez iloczyn koncentracji ładunków e pomnożonej przez ten ładunek i wektor prędkości ładunków prądu elektrycznego, co ostatecznie możemy tą wielkość przestawić jako:

(8.7)

Widzimy, że wektor gęstości prądu elektrycznego jest równoległy do prędkości nośników omawianego obiektu.

Prądy objętościowe a siły magnetyczne[edytuj]

Reguła lewej ręki

Policzmy jakie siły działają na nieskończenie mały element długości przewodnika z prądem:


(8.8)
  • gdzie ma zwrot zgodny z kierunkiem płynięcia prądu elektrycznego w przewodniku.

Zwrot elementarnej siły :, określamy regułą lewej ręki, co jest pokazane na rysunku obok. Całkowia siła pola magnetycznego działająca na przewodnik z prądem jest wyrażona:

(8.9)

Powyższy wzór uwzględnia również kształt przewodnika z prądem, w którym płynie prąd o natężeniu I.

Powierzchniowa gęstość prądu[edytuj]

Zakładamy tutaj, że prąd płynie po nieskończenie małym wycinku z minus nieskończoności do plus nieskończoności, przy czym zakładamy, że ten wycinek nie jest w ogólności linią prostą.

Powierzchniowa gęstość ładunku jest wyrażona przez:

(8.10)

Inaczej wyrażając różniczkę natężenia prądu płynącego w przewodniku o szerokości przez iloczyn gęstości powierzchniowej i prędkości nośników prądu, tak jak w (8.5), tylko zamiast gęstości objętościowej jest gęstość powierzchniowa, a zamiast przekroju S jest szerokość przewodnika powierzchniowego.

(8.11)

Dochodzimy do wniosku wedle wyprowadzenia (8.11), że gęstość powierzchniowa prądu jest równa iloczynowi prędkości nośników prądu przez gęstość powierzchniową ładunków nośników prądu płynącej na powierzchni, zatem dochodzimy do wniosku:

(8.12)

Prądy powierzchniowe a siły magnetyczne[edytuj]

Różniczka siły działająca na nieskończenie mały przewodnik powierzchniowy, w zależności od gęstości powierzchniowej (8.10) i szerokości przewodnika, w którym panuje pola magnetyczne zewnętrzne o indukcji , jest równa:

(8.13)

A całkowita siła działająca na ten przewodnik z prądem, którego szerokość jest infinitezymalna, jest napisana:

(8.14)

Całkowita siła magnetyczna działająca na przewodnik powierzchniowy z prądem jest zależna od szerokości tego przewodnika, która jest równa .

Zasada zachowania ładunku[edytuj]

W układzie zamkniętym, na danej objętości lub powierzchni, suma wszystkich ładunków w dowolnym czasie jest wielkością stałą. Zmiana gęstości powierzchniowej lub objętościowej przy pomocy prądów powierzchniowych lub objętościowych nie może zmieniać (zaburzać) całkowitego ładunku w danej powierzchni lub objętości.

W układzie dyskretnym zachodzi:

(8.15)

lub dla układu ciągłego zastępując sumę całką, a dyskretne ładunki o numerze "i" ich infinitezymalnymi ładunkami, które wyrazimy przez gęstość objętościową, którego ładunki są w danej objętości dV wedle wzoru (1.6), wtedy to prawo ma się w postaci:

(8.16)

Powyższe dwa wzory stanowią globalną zasadę zachowania ładunku dla rozkładu dyskretnego (8.15) i ciągłego (8.16).

Całkowita zmiana ładunku w danej objętości musi być stała w magnetostatyce, tzn.

(8.17)

Ale ponieważ zmiana ładunku w dowolnym czasie jest równa zero, wtedy równanie (8.17) możemy zapisać wedle sposobu:

(8.18)

Powyższe równanie jest słuszne dla dowolnej objętości, bo w magnetostatyce rozkład ładunków nie zmienia się, bo pole magnetyczne lub elektryczne musi być stałe w czasie w danym punkcie w przestrzeni, zatem otrzymujemy:

(8.19)

Co jest treścią lokalną zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków objętościowych.

Formułując zasadę dla prądów powierzchniowych, można uzyskać podobną lokalną zasadę zachowania ładunku do (8.19):

(8.20)

Co jest prawdziwe dla dwuwymiarowego układu współrzędnych związanego z tą płaszczyzną, w której płynie prąd powierzchniowy, ale nie dla trzech. Dla trzech wymiarów należy stosować prawo (8.19). Prawo (8.20) jest treścią lokalnej zasady ciągłości dla magnetostatyki dla ładunków powierzchniowych.

Następny rozdział: Wektor indukcji magnetycznej Poprzedni rozdział: Ciało spolaryzowane a jego pole

Podręcznik: Elektrodynamika klasyczna