Elektrodynamika klasyczna/Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego

Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Pole potencjałów opóźnionych i przedwczesnych 2Równania Jefimienki

Będziemy się zajmować wielkościami opóźnionymi- zależnymi od zdarzeń przeszłości, i przedwczesnymi- zależnymi od zdarzeń w przyszłości. Przy czym te pierwsze wielkości są fizyczne a drugie nie, bo narusza świętą zasadę przyczynowości, że przyczyna poprzedza skutek.

Pole potencjałów opóźnionych i przedwczesnych

Przypomnijmy sobie prawa w elektrostatyce i magnetostatyce przy pomocy potencjału wektorowego i skalarnego, czyli te wzory są napisane w puntach (3.10), którego rozwiązaniem jest (3.20). Dla wzoru napisanego w punkcie (10.5) rozwiązaniem jest (10.6). Widzimy, że te rozwiązania wcale nie zależą od czasu. Dla rozważań naszych jest istotne stan źródeł wcześniejszym czasie opóźnionym w chwili napisanej w czasie t_r, który jest zdefiniowany według:

$t_{r}=t-{{R} \over {c}}$

(21.1)

• gdzie t jest to czas rzeczywisty pewnej chwili, w której występuje pewny rozkład gęstości i prądów objętościowej w układzie.
• R jest to odległość od punktu, w którym liczymy pole zarówno magnetyczne i elektryczne od ładunku. Odległość punktu w czasie t od ładunku w czasie t_r jest to R.
• c jest to prędkość fali elektromagnetycznej w próżni, równej (17.11). Interesuje nam wpływ ładunków ich prądów z przeszłości na czas teraźniejszy. Przy stałym czasie przedwczesnym dla t_r zachodzi wzór: $c={{dR} \over {dt}}$, czyli nasze pole rozprzestrzenia się z prędkością światła. Czyli zaburzenia pola skalarnego i wektorowego rozchodzą się z prędkością światła.

Czasem przedwczesnym nazywamy czas zdefiniowany:

$t_{a}=t+{{R} \over {c}}$

(21.2)

• R w czasie przedwczesnym ma takie same właściwości, co w czasie opóźnionym.

Z definicji tego czasu wynika, że mamy wpływ ładunków i prądów z przyszłości, co fizycznie jest niemożliwe. Przy stałym t_a wynika, że: $c=-{{dR} \over {dt}}$.

Oba te czasy opóźniony (21.1) i przedwczesny (21.2) można zapisać ogólnie:

$t_{ra}=t\mp {{R} \over {c}}$

(21.3)

Czas opóźniony (z minusem) lub przedwczesny (z plusem) nazywamy czas rzeczywisty, w którym zostało wysłane pole od jakiegoś punktu w przestrzeni, w którym znajduje się cząstka o ładunku Δ q. Dla czasu opóźnionego (z minusem) czas opóźniony spełnia warunek t_r<t, czyli ładunki z przeszłości wpływają na pole w punkcie ${\vec {r}}$, co spełnia zasadę przyczynowości. Dla czasu przedwczesnego zachodzi warunek t_at, czyli ładunki z przyszłości w pływają na ładunki w teraźniejszości, co jest niezgodne z zasadą przyczynowości, ten przypadek zwykle nie uwzględniamy.

Rozszerzmy nasze nasze dysputy uwzględniając czas opóźniony i przedwczesny zdefiniowanych wcześniej, a zatem nasze wzory są na definicję potencjału skalarnego i wektorowego. Jeśli mamy$\rho ({\vec {r}}^{'},t^{'})$, gdzie pierwszym argumentem jest położenie cząstki o nieskończenie małej objętości znajdującej się w punkcie ${\vec {r}}^{'}\;$ w czasie t', to wtedy w gęstości objętościowej ładunku równej $\rho \;$, w którym zamiast $t^{'}\;$ piszemy: $t_{ra}=t\pm {{R} \over {c}}$, co jest czasem opóźnionym (przedwczesnym), aby policzyć wielkość, którą jest potencjał skalarny. Dla gęstości prądu objętościowego przy liczeniu potencjału wektorowego podobnie postępujemy. Zatem te wielkości definiujemy:

$\varphi ({\vec {r}},t)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int {{\rho \left({\vec {r}}^{'},t\mp {{R} \over {c}}\right)} \over {R}}dV^{'}$

(21.4)

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}\left({\vec {r}}^{'},t\mp {{R} \over {c}}\right)} \over {R}}dV^{'}$

(21.5)

Gdy we tych dwóch wzorach, tzn. w (21.4) i w (21.5) wybierzemy znak minus, to wtedy mamy doczynienia z potencjałami opóźnionymi, a znak plus, to z potencjałami przedwczesnymi.

Sprawdźmy, czy nasze równania na potencjał skalarny i wektorowy spełniają prawa elektrodynamiki klasycznej, tzn. równania (20.14) i (20.15).

Poniżej skorzystamy ze wzoru, który jest operatorem pochodnej względem czasu (21.3), który zamienimy do pochodnych względem położenia i zwykłego czasu t.

${{\partial } \over {\partial t_{ra}}}={{\partial x_{i}} \over {\partial t_{ra}}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}+{{\partial t} \over {\partial t_{ra}}}{{\partial } \over {\partial t}}$

(21.6)

A więc zmienne t_ra i x,y,z są to zmienne niezależne od siebie, zatem zachodzi tożsamość różniczkowa ${{\partial x_{i}} \over {\partial t_{ra}}}=0$, a także: ${{\partial t} \over {\partial t_{ra}}}=1$, zatem ostatecznie zachodzi więc związek:

${{\partial } \over {\partial t_{ra}}}={{\partial } \over {\partial t}}$

(21.7)

Co (21.7) jest równoważne dwóm warunkom:${{\partial } \over {\partial t_{r}}}={{\partial } \over {\partial t}}$ i  ${{\partial } \over {\partial t_{a}}}={{\partial } \over {\partial t}}$.

Wyznaczmy gradient potencjału skalarnego (21.4), wykorzystując przy tym twierdzenie o pochodnej iloczynu, znając że operator nabla (∇) jest w pewnym sensie wektorem operatorowym, wtedy na podstawie tychże rozważań dostajemy tożsamość:

$\nabla \varphi ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \nabla {{\rho } \over {R}}dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left(\nabla \rho \right){{1} \over {R}}+\rho \nabla \left({{1} \over {R}}\right)\right]dV^{'}$

(21.8)

We wzorze (21.8) gradient gęstości objętościowej ładunku w danym punkcie możemy rozpisać, korzystając przy tym z tożsamości (21.7), i definicji czasu opóźnionego (przedwczesnego) napisanej w sposób ogólny w punkcie (21.3), zatem dochodzimy do wniosku, że tą wielkość możemy rozpisać poprzez pochodną względem czasu gęstości objętościowej i za pomocą wektora normalnego wskazujący kierunek, w której to punkcie będziemy liczyć takie wielkości jak potencjał skalarny lub wektorowy dla teorii elektromagnetyzmu:

$\nabla \rho ={\vec {k}}_{i}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\rho ={\vec {k}}_{i}{{\partial \rho } \over {\partial t_{p}}}{{\partial t_{p}} \over {\partial x_{i}}}={\vec {k}}_{i}{{\partial \rho } \over {\partial t}}{{\partial t_{p}} \over {\partial x_{i}}}={\dot {\rho }}\nabla t_{p}=\mp {{1} \over {c}}{\dot {\rho }}\nabla R=\mp {{\dot {\rho }} \over {c}}{\hat {\vec {R}}}$

(21.9)

Zatem nasz gradient potencjału (21.8), na podstawie obliczeń nad gradientem gęstości objętościowej ładunku (21.9), możemy zapisać wedle:

$\nabla \varphi ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\mp {{\dot {\rho }} \over {c}}{{\hat {\vec {R}}} \over {R}}-\rho {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right]dV^{'}$

(21.10)

Następnym krokiem jest obliczenie dywergencji tożsamości (21.10), która jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4), czyli mamy policzyć Laplasjan tego samego potencjału skalarnego, zatem do dzieła:

$\Delta \varphi =\nabla (\nabla \varphi )=\nabla \left({{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\mp {{\dot {\rho }} \over {c}}{{\hat {\vec {R}}} \over {R}}-\rho {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right]dV^{'}\right)={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \nabla \left[\mp {{\dot {\rho }} \over {c}}{{\hat {\vec {R}}} \over {R}}-\rho {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right]dV^{'}=$
$={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left\{{{1} \over {c}}\left[\mp \nabla {\dot {\rho }}{{\hat {\vec {R}}} \over {R}}\mp {\dot {\rho }}\nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R}}\right]-\left[{{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\nabla \rho +\rho \nabla {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right]\right\}dV^{'}$

(21.11)

Naszym celem jest zastosowanie tożsamości różniczkowej (2.14), a także tym razem też innej tożsamości (7.4) w przeprowadzanych obliczeń w punkcie (21.11), a także chcemy wiedzieć co wyjdzie z obliczeń, gradientu pochodnej gęstości objętościowej względem czasu w danym punkcie w przestrzeni, zatem musimy przeprowadzić rachunek:

$\nabla {\dot {\rho }}=\mp {{1} \over {c}}{\ddot {\rho }}\nabla R=\mp {{1} \over {c}}{\ddot {\rho }}{\hat {\vec {R}}}$

(21.12)

Zatem laplasjan potencjału skalarnego (21.11), po skorzystaniu z tożsamości, którą jest gradientem pochodnej względem czasu gęstości ładunku w danym punkcie i w czasie w którym ona panuje, czyli z tożsamości (21.12), wtedy możemy napisać nasz laplasjan omawianej wielkości wedle sposobu:

$\Delta \varphi ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left\{{{1} \over {c}}\left[{{1} \over {c}}{\ddot {\rho }}{{1} \over {R}}\mp {{\dot {\rho }} \over {R^{2}}}\right]-\left[\mp {{1} \over {c}}{{\dot {\rho }} \over {R^{2}}}+\rho 4\pi \delta ^{3}({\vec {R}})\right]\right\}dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[{{1} \over {c^{2}}}{{\ddot {\rho }} \over {R}}-4\pi \rho \delta ^{3}({\vec {R}})\right]dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}c^{2}}}\int {{\ddot {\rho }} \over {R}}dV^{'}-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho ({\vec {r}})=\;$
$={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int {{\rho } \over {R}}dV^{'}-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho ({\vec {r}})$

(21.13)

Wykorzystując definicję potencjału skalarnego (21.4), wtedy przeprowadzone obliczenia (21.13), korzystając przy tym z definicji dalambercjanu (20.13), wtedy wspomniane wyrażenie możemy napisać wedle sposobu:

$\Delta \varphi ={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\varphi } \over {\partial t^{2}}}-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \Rightarrow \Delta \varphi -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\varphi } \over {\partial t^{2}}}=-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho \Rightarrow \square \varphi =-{{1} \over {\epsilon _{0}}}\rho$

(21.14)

Zatem przy definicji potencjału skalarnego (21.4) otrzymaliśmy, że ona jest rozwiązaniem równania różniczkowego (20.14). Potencjał przedwczesny i opóźniony spełnia niejednorodne równanie elektrodynamiki Maxwella. Podobnie dowodzimy dla potencjału wektorowego dla czasu opóźnionego i przedwczesnego (21.5).

Równania Jefimienki

Potencjały opóźnione jak udowodniliśmy wcześniej spełniają równania Maxwella, i one wyglądają jak w punkcie (21.4) i (21.5), a natężenie pola elektryczne i magnetycznego są zdefiniowane w zależności od potencjału skalarnego i wektorowego w elektromagnetyzmie wedle sposobu (20.4) i (20.1). Wyznaczmy wyrażenie, które jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4) dla czasu opóźnionego.

$\nabla \varphi ={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \nabla {{\rho } \over {R}}dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\rho \nabla {{1} \over {R}}-{{\dot {\rho }} \over {cR}}{\hat {\vec {R}}}\right]dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[-{{\rho } \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}-{{\dot {\rho }} \over {cR}}{\hat {\vec {R}}}\right]dV^{'}$

(21.15)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego (21.5) dla czasu opóźnionego, co go zapisujemy:

${{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}={{\mu _{0}\epsilon _{0}} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int {{\dot {\vec {J}}} \over {R}}dV^{'}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{1} \over {c^{2}}}\int {{\dot {\vec {J}}} \over {R}}dV^{'}$

(21.16)

Następnym krokiem jest wyznaczenie natężenie pola elektrycznego, korzystając przy tym z jego definicji (20.4) i już wcześniej obliczonych wielkości, tzn. gradientu potencjału skalarnego (21.15) i pochodnej cząstkowej potencjału wektorowego (21.16), zatem tą wielkość piszemy wedle sposobu:

${\vec {E}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[{{\rho } \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}+{{\dot {\rho }} \over {cR}}{\hat {\vec {R}}}-{{\dot {\vec {J}}} \over {c^{2}R}}\right]dV^{'}$

(21.17)

Następnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego znając jego potencjał wektorowy (21.5) dla czasu opóźnionego, korzystając przy tym ze wzoru (20.1), zatem policzmy rotację tego potencjału wektorowego w czasie opóźnionym.

$\nabla \times {\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \nabla \times \left({{\vec {J}} \over {R}}\right)dV^{'}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left[{{\nabla \times {\vec {J}}} \over {R}}-{\vec {J}}\times \nabla \left({{1} \over {R}}\right)\right]dV^{'}$

(21.18)

Wyznaczmy nasze pomocnicze wyrażenie, które będzie nam potrzebne do dokończenia obliczeń przeprowadzanych w punkcie (21.18), czyli rotację gęstości prądu objętościowego:

$\nabla \times {\vec {J}}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{\partial } \over {\partial x_{j}}}J_{k}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{\partial t_{r}} \over {\partial x_{j}}}{{\partial } \over {\partial t_{r}}}J_{k}=-{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{1} \over {c}}\nabla R{\dot {J}}_{k}=-{{1} \over {c}}{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{x_{j}} \over {\vec {R}}}{\dot {J}}_{k}=-{{1} \over {Rc}}{\vec {R}}\times {\dot {\vec {J}}}={{1} \over {cR}}\left({\dot {\vec {J}}}\times {\vec {R}}\right)$

(21.19)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (21.19) pozwalają dokończyć obliczenia rotacji potencjału wektorowego (21.18), która jest tym samym co wektor indukcji pola magnetycznego:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left\{\left[{{\vec {J}} \over {R^{2}}}+{{\dot {\vec {J}}} \over {cR}}\right]\times {\hat {\vec {R}}}\right\}dV^{'}$

(21.20)

Zatem otrzymaliśmy dwa równania całkowe, tzn. dla pola elektrycznego (21.17) i dla pola magnetycznego (21.20), które zależą od pochodnych czasowych gęstości i prądu ładunku elektrycznego:

${\vec {E}}={{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[{{\rho } \over {R^{2}}}{\hat {\vec {R}}}+{{\dot {\rho }} \over {cR}}{\hat {\vec {R}}}-{{\dot {\vec {J}}} \over {c^{2}R}}\right]dV^{'}\;$

(21.21)

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left\{\left[{{\vec {J}} \over {R^{2}}}+{{\dot {\vec {J}}} \over {cR}}\right]\times {\hat {\vec {R}}}\right\}dV^{'}$

(21.22)

Jak widzimy pierwszy wzór jest uogólnieniem prawa Coulomba, a drugi uogólnieniem prawa Biota-Savarta. Powyższe wzory dla pola elektrycznego, zależą od pochodnych gęstości objętościowych ładunku elektrycznego i pochodnej gęstości prądu elektrycznego. Te pochodne występują pod kolejnymi potęgami wartości prędkości fal elektromagnetycznych w próżni, a więc uzasadnione jest zastosowanie dla pola elektrycznego (21.21) w elektromagnetyzmie przypadku jego quasistatycznym (1.7), których te pochodne można pominąć, podobnie jest dla pola magnetycznego (21.22), którego jego przypadek quasistatyczny (9.5). Zatem przypadki quasistatyczne dla pola magnetycznego i elektrycznego nie są wcale takie złe. Można powiedzieć, że one są raczej dobrym przybliżeniem opisywania rzeczywistości w elektrostatyce lub magnetostatyce.