Elektrodynamika klasyczna/Rozkłady ciągłe gęstości ładunku i gęstości prądu objętościowego

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Będziemy się zajmować wielkościami opóźnionymi- zależnymi od zdarzeń przeszłości, i przedwczesnymi- zależnymi od zdarzeń w przyszłości. Przy czym te pierwsze wielkości są fizyczne a drugie nie, bo narusza świętą zasadę przyczynowości, że przyczyna poprzedza skutek.

Pole potencjałów opóźnionych i przedwczesnych[edytuj]

Przypomnijmy sobie prawa w elektrostatyce i magnetostatyce przy pomocy potencjału wektorowego i skalarnego, czyli te wzory są napisane w puntach (3.10), którego rozwiązaniem jest (3.20). Dla wzoru napisanego w punkcie (10.5) rozwiązaniem jest (10.6). Widzimy, że te rozwiązania wcale nie zależą od czasu. Dla rozważań naszych jest istotne stan źródeł wcześniejszym czasie opóźnionym w chwili napisanej w czasie tr, który jest zdefiniowany według:

(21.1)
  • gdzie t jest to czas rzeczywisty pewnej chwili, w której występuje pewny rozkład gęstości i prądów objętościowej w układzie.
  • R jest to odległość od punktu, w którym liczymy pole zarówno magnetyczne i elektryczne od ładunku o infinizymalnej wielkości. Odległość ładunku R jest liczony w czasie rzeczywistym t.
  • c jest to prędkość fali elektromagnetycznej w próżni, równej (17.11). Interesuje nam wpływ ładunków ich prądów z przeszłości na czas teraźniejszy. Przy stałym czasie przedwczesnym dla tr zachodzi wzór:, czyli nasze pole rozprzestrzenia się z prędkością światła. Czyli zaburzenia pola skalarnego i wektorowego rozchodzą się z prędkością światła.

Czasem przedwczesnym nazywamy czas zdefiniowany:

(21.2)
  • R w czasie przedwczesnym ma takie same właściwości co w czasie opóźnionym.

Z definicji tego czasu wynika, że mamy wpływ ładunków i prądów z przyszłości, co fizycznie jest niemożliwe. Przy stałym ta, wynika że:,

Oba te czasy opóźniony (21.1) i przedwczesny (21.2) można zapisać ogólnie:

(21.3)

Czas opóźniony (z minusem) lub przedwczesny (z plusem) nazywamy czas rzeczywisty, w którym zostało wysłane pole od jakiegoś punktu w przestrzeni, w którym znajduje się cząstka o ładunku Δ q. Dla czasu opóźnionego (z minusem) czas opóźniony spełnia warunek tr<t, czyli ładunki z przeszłości wpływają na pole w punkcie , co spełnia zasadę przyczynowości. Dla czasu przedwczesnego zachodzi warunek ta>t, czyli ładunki z przyszłości w pływają na ładunki w teraźniejszości, co jest niezgodne z zasadą przyczynowości, ten przypadek zwykle nie uwzględniamy.

Rozszerzmy nasze nasze dysputy uwzględniając czas opóźniony i przedwczesny zdefiniowanych wcześniej, a zatem nasze wzory są na definicję potencjału skalarnego i wektorowego. Jeśli mamy, gdzie pierwszym argumentem jest położenie cząstki o nieskończenie małej objętości znajdującej się w punkcie w czasie t', to wtedy w gęstości objętościowej ładunku równej , w którym zamiast piszemy :, co jest czasem opóźnionym (przedwczesnym), aby policzyć wielkość, którą jest potencjał skalarny. Dla gęstości prądu objętościowego przy liczeniu potencjału wektorowego podobnie postępujemy. Zatem te wielkości definiujemy:

(21.4)
(21.5)

Gdy we tych dwóch wzorach, tzn. w (21.4) i w (21.5) wybierzemy znak minus, to wtedy mamy doczynienia z potencjałami opóźnionymi, a znak plus, to z potencjałami przedwczesnymi.

Sprawdźmy, czy nasze równania na potencjał skalarny i wektorowy spełniają prawa elektrodynamiki klasycznej, tzn. równania (20.14) i (20.15).

Poniżej skorzystamy ze wzoru, który jest operatorem pochodnej względem czasu (21.3), który zamienimy do pochodnych względem położenia i zwykłego czasu t.

(21.6)

A więc zmienne tra i x,y,z są to zmienne niezależne od siebie, zatem zachodzi tożsamość różniczkowa , a także: , zatem ostatecznie zachodzi więc związek:

(21.7)

Co (21.7) jest równoważne dwóm warunkom: i  .

Wyznaczmy gradient potencjału skalarnego (21.4), wykorzystując przy tym twierdzenie o pochodnej iloczynu, znając że operator nabla (∇) jest w pewnym sensie wektorem operatorowym, wtedy na podstawie tychże rozważań dostajemy tożsamość:

(21.8)

We wzorze (21.8) gradient gęstości objętościowej ładunku w danym punkcie możemy rozpisać, korzystając przy tym z tożsamości (21.7), i definicji czasu opóźnionego (przedwczesnego) napisanej w sposób ogólny w punkcie (21.3), zatem dochodzimy do wniosku, że tą wielkość możemy rozpisać poprzez pochodną względem czasu gęstości objętościowej i za pomocą wektora normalnego wskazujący kierunek, w której to punkcie będziemy liczyć takie wielkości jak potencjał skalarny lub wektorowy dla teorii elektromagnetyzmu:

(21.9)

Zatem nasz gradient potencjału (21.8), na podstawie obliczeń nad gradientem gęstości objętościowej ładunku (21.9), możemy zapisać wedle:

(21.10)

Następnym krokiem jest obliczenie dywergencji tożsamości (21.10), która jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4), czyli mamy policzyć Laplasjan tego samego potencjału skalarnego, zatem do dzieła:


(21.11)

Naszym celem jest zastosowanie tożsamości różniczkowej (2.14), a także tym razem innej tożsamości (7.4) w przeprowadzanych obliczeń w punkcie (21.11), a także chcemy wiedzieć co wyjdzie z obliczeń, gradientu pochodnej gęstości objętościowej względem czasu w danym punkcie w przestrzeni, zatem musimy przeprowadzić rachunek:

(21.12)

Zatem laplasjan potencjału skalarnego (21.11), po skorzystaniu z tożsamości, którą jest gradientem pochodnej względem czasu gęstości ładunku w danym punkcie i w czasie w którym ona panuje, czyli z tożsamości (21.12), wtedy możemy napisać nasz laplasjan omawianej wielkości wedle sposobu:



(21.13)

Wykorzystując definicję potencjału skalarnego (21.4), wtedy przeprowadzone obliczenia (21.13), korzystając przy tym z definicji dalambercjanu (20.13), wtedy wspomniane wyrażenie możemy napisać wedle sposobu:

(21.14)

Zatem przy definicji potencjału skalarnego (21.4) otrzymaliśmy, że ona jest rozwiązaniem równania różniczkowego (20.14). Potencjał przedwczesny i opóźniony spełnia niejednorodne równanie elektrodynamiki Maxwella. Podobnie dowodzimy dla potencjału wektorowego dla czasu opóźnionego i przedwczesnego (21.5).

Równania Jefimienki[edytuj]

Potencjały opóźnione jak udowodniliśmy wcześniej spełniają równania Maxwella, i one wyglądają jak w punkcie (21.4) i (21.5), a natężenie pola elektryczne i magnetycznego są zdefiniowane w zależności od potencjału skalarnego i wektorowego w elektromagnetyzmie wedle sposobu (20.4) i (20.1). Wyznaczmy wyrażenie, które jest dywergencją potencjału skalarnego (21.4) dla czasu opóźnionego.

(21.15)

Następnie policzmy pochodną cząstkową potencjału wektorowego (21.5) dla czasu opóźnionego, co go zapisujemy:

(21.16)

Następnym krokiem jest wyznaczenie natężenie pola elektrycznego, korzystając przy tym z jego definicji (20.4) i już wcześniej obliczonych wielkości, tzn. gradientu potencjału skalarnego (21.15) i pochodnej cząstkowej potencjału wektorowego (21.16), zatem tą wielkość piszemy wedle sposobu:

(21.17)

Następnym krokiem jest policzenie indukcji pola magnetycznego znając jego potencjał wektorowy (21.5) dla czasu opóźnionego, korzystając przy tym ze wzoru (20.1), zatem policzmy rotację tego potencjału wektorowego w czasie opóźnionym.

(21.18)

Wyznaczmy nasze pomocnicze wyrażenie, które będzie nam potrzebne do dokończenia obliczeń przeprowadzanych w punkcie (21.18), czyli rotację gęstości prądu objętościowego:


(21.19)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (21.19) pozwalają dokończyć obliczenia rotacji potencjału wektorowego (21.18), która jest tym samym co wektor indukcji pola magnetycznego:

(21.20)

Zatem otrzymaliśmy dwa równania całkowe, tzn. dla pola elektrycznego (21.17) i dla pola magnetycznego (21.20), które zależą od pochodnych czasowych gęstości i prądu ładunku elektrycznego:

(21.21)
(21.22)

Jak widzimy pierwszy wzór jest uogólnieniem prawa Coulomba, a drugi uogólnieniem prawa Biota-Savarta. Powyższe wzory dla pola elektrycznego, zależą od pochodnych gęstości objętościowych ładunku elektrycznego i pochodnej gęstości prądu elektrycznego. Te pochodne występują pod kolejnymi potęgami wartości prędkości fal elektromagnetycznych w próżni, a więc uzasadnione jest zastosowanie dla pola elektrycznego (21.21) w elektromagnetyzmie przypadku jego quasistatycznym (1.7), których te pochodne można pominąć, podobnie jest dla pola magnetycznego (21.22), którego jego przypadek quasistatyczny (9.5). Zatem przypadki quasistatyczne dla pola magnetycznego i elektrycznego nie są wcale takie złe. Można powiedzieć, że one są raczej dobrym przybliżeniem opisywania rzeczywistości w elektrostatyce lub magnetostatyce.