Elektrodynamika klasyczna/Opis fal prowadzonych

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Zajmować się będziemy falami prowadzonymi w falowodach i liniach transmisyjnych i wykażemy, że te fale nie są w ogólności falami poprzecznymi tak ja w zwykłych falach elektromagnetycznych, które rozchodzą się w nieskończonych rozmiarach w przeciwieństwie do fal w falowodach lub liniach transmisyjnych, które ograniczone są do wnętrza rury.

Opis ogólny fal prowadzonych w falowodach[edytuj]

Falowód jest to pewna rura, w których we wnętrzu rozchodzą się fale prowadzone. Zakładamy, że brzeg rury jest doskonałym przewodnikiem, tzn. jego przewodność elektryczna jest nieskończenie wielka. Na brzegach tej rury natężenie pola elektrycznego i magnetycznego jest równa zero, tzn. zachodzą warunki:

(19.1)
(19.2)

We wnętrzu rury nie ma prądów swobodnych , a także nie ma ładunków i dlatego gęstość ładunku i prądu objętościowych jest równa zero. Równania Maxwella dla falowodów na podstawie równań (15.14), (15.15), (15.16) oraz (15.16) wyglądają:

Pierwsze prawo Maxwella
Drugie prawo Maxwella
Trzecie prawo Maxwella
Czwarte prawo Maxwella
(19.3)
(19.4)
(19.5)

(19.6)

Rozwiązania pół elektrycznych i magnetycznych fali prowadzonej[edytuj]

Jeśli wybierzemy sobie taki układ współrzędnych, w których zachodzi, że oś zetowa przechodzi przez oś symetrii tej rury, wtedy rozwiązania równań Maxwella dla fal prowadzonych we wnętrzu rury są dla pola elektrycznego i magnetycznego:

(19.7)
(19.8)

Amplitudy dla pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej występujące we wzorach (19.7) i (19.8) możemy napisać:

(19.9)
(19.10)

Poszczególne składowe amplitudy fali prowadzonej zależą od współrzędnej iskowej i igrekowej, i nie zależą od współrzędnej zetowej.

Każda ze składowych i ,jest funkcją współrzędnych x i y, co wynika z symetrii rury dla fal prowadzonych.

Równania różniczkowe rządzące falami prowadzonymi w falowodzie[edytuj]

Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella (19.5), to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika:


(19.11)

A z prawej strony tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola magnetycznego wedle równania (19.8), znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola magnetycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu (19.10), można wyznaczyć:

(19.12)

Porównując prawą i lewą stronę równań, tzn. dla lewej strony trzeciego prawa elektrodynamiki (19.11) z jej prawą jego stroną wedle (19.12), otrzymujemy układ równań:

(19.13)

Wykorzystując trzecie równanie elektrodynamiki Maxwella (19.6), to policzmy jego lewą stronę, korzystając przy tym z formalnego oznaczenia iloczynu wektorowego w postaci ściśle określonego wyznacznika, w celu wyznaczeniu tej strony naszego równania, zatem do dzieła, policzmy ten wyznacznik:


(19.14)

A prawa strona tego samego prawa elektrodynamiki Maxwella można wyznaczyć, korzystając z przedstawienia fali prowadzonej dla pola elektrycznego wedle równania (19.7), znając również przedstawienie tejże fali amplitudy pola elektrycznego we współrzędnych kartezjańskich zdefiniowanych wedle sposobu (19.9).

(19.15)

Następnym krokiem jest przyrównanie obu stron w czwartym równaniu Maxwella, tzn. (19.14) i (19.15), wtedy to przyrównanie prowadzi do równania wektorowego, które jest równoważne trzem równaniom skalarnym, które zapisujemy wedle sposobu:

(19.16)

Współrzędne iksowe i igrekowe pola elekrycznego fali prowadzonej w falowodzie[edytuj]

Z korzystajmy z równania drugiego układu równań (19.13) i z równania pierwszego układu równań (19.16), które te równania równań z oczywistych powodów powinny zachodzić jednocześnie. Z tak otrzymanego układu równań, w pierwszym z nich pomnóżmy przez k a drugie z nich przez , wtedy dostajemy następny równoważny układ równań:

(19.17)

Tak otrzymany końcowy układ równań (19.17), co w nim dodajemy do siebie równania, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe, z którego będziemy chcieli wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego fali prowadzonej, zatem dodanie tych wspomnianych równań prowadzi:


(19.18)

Z końcowego równania (19.18) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego:

(19.19)

Z drugiej jednak strony weźmy pierwsze równanie układu równań (19.13) i drugie równanie układu równań (19.16). Pierwsze równanie tego układu równań mnożymy przez liczbę falową k, a drugie przez częstotliwość kołową ω, w ten sposób dostajemy następny układ równań.

(19.20)

Dodajmy dwa równania końcowego układu równań (19.20) do siebie, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać:


(19.21)

Z końcowego równania (19.21) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola elektrycznego w zalezności od współrzędnej zetowej natężenia pola elektrycznego i indukcji pola magnetycznego:

(19.22)

Współrzędne iksowe i igrekowe pola magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie[edytuj]

Mamy sobie te sam układ początkowy, co w punkcie (19.20), tylko będziemy wyznaczać z niego współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego. W tym celu pierwsze z tych równań pomnóżmy obustronnie przez , a drugie przez liczbę falową k, zatem w ten sposób dostajemy następny układ równań, co te czynności możemy zapisać:

(19.23)

Tak otrzymany końcowy układ równań (19.23) odejmujemy do siebie, tzn. drugie od pierwszego, w ten sposób dostajemy równanie wynikowe z którego będziemy chcieli w przyszłości wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy pola magnetycznego fali prowadzonej, zatem odejmowanie tych wspomnianych równań prowadzi do:


(19.24)

Z końcowego równania (19.24) możemy wyznaczyć współrzędną iksową amplitudy indukcji pola magnetycznego w zalezności od współrzędnych zetowych natęzenia pola magnetycznego i indukcji pola magnetycznego:

(19.25)

Posłużmy się znów układem równań (19.17) i pierwsze z nich pomnóżmy przez odwrotność kwadratu wartości światła c, czyli c-2, a drugie z nich przez liczbę falową k, w ten sposób dostajemy następny równoważny do poprzedniego układ równań:

(19.26)

Odejmijmy od siebie dwa równania końcowego układu równań (19.26), tzn. pierwsze od drugiego, by potem w przyszłości wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola magnetycznego, która panuje w falowodzie, w ten sposób otrzymujemy równanie wynikowe, które dalej będziemy przekształcać:

(19.27)

Z końcowego równania (19.27) możemy wyznaczyć współrzędną igrekową amplitudy pola elektrycznego występująca w rozwiązaniu jako fale prowadzone układu równań (19.8), zatem tą współrzędną można napisać:

(19.28)

Znając współrzędne i , które z kolei zależą od współrzędej kartezjańskiej x i y, wtedy możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Współrzędne zetowe pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej w falowodzie[edytuj]

Z korzystajmy z pierwszego prawa (19.3), oraz z drugiego prawa Maxwella (19.4), które są słuszne dla fali prowadzonej, wtedy amplitudy tych fal z definiowanych w punkcie (19.7) i (19.8) podstawiamy do tych równań, wtedy dostając końcowe równania różniczkowe, których postać podamy poniżej:

(19.29)

Równania (19.29) możemy zapisać po podzieleniu ich przez eksponens z liczby i(kz-ω t), wtedy dostajemy układ równań w postaci:

(19.30)

Do układu równań (19.30) podstawiamy już obliczone wartości na (19.19), na (19.22) oraz na (19.25) i ostatecznie na (19.28), wtedy dostaniemy układ równań, z których będziemy mogli wyznaczyć współrzędne zetowe amplitud fali prowadzonej pola elektrycznego i magnetycznego, dostajemy:

(19.31)

Bezpośrednio z układzie dwóch równań (19.31) dokonujemy redukcji pewnych wyrazów związanych z pochodnymi mieszanymi, i współrzędne zetowe amplitud pola elektrycznego i magnetycznego włączamy za nawias, w ten sposób dostajemy do poprzedniego przekształcony, ale równoważny układ równań:

(19.32)

Z powyższego układu równań (19.32) możemy wyznaczyć i jako funkcje x,y, już mając te funkcje, to można wyznaczyć pozostałe współrzędne pola elektrycznego i magnetycznego fali prowadzonej.

Jeśli współrzędna zetowa amplitudy pola elektrycznego jest równa zero, czyli, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami elektrycznymi (TE), a jeśli amplituda pola magnetycznego jest równa zero, czyli, to mamy do czynienia z poprzecznymi falami magnetycznymi (TM), a jeśli zarówno oba te współrzędne zetowe pól elektrycznych i magnetycznych są równe zero, czyli i , to mówimy o falach poprzecznych elektromagnetycznych (TEM), to w takim przypadku mamy na pewno:

(19.33)

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w falowodzie[edytuj]

Fale elektromagnetyczne nie mogą rozchodzić się w pustej falowodzie, udowodnijmy to. Wiadomo jednak, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi, więc ich składowa zetowa obu pól są rówe zero. Z pierwszego i trzeciego prawa Maxwella mamy wtedy równania w takim przypadku:

(19.34)
(19.35)

Dla pola elektromagnetycznego mamy zerową dywergencję i rotację, zatem pole elektromagnetyczne pola elektrycznego można przedstawić jako gradient pewnej funkcji zwanej potencjałem, która zależy od współrzędnej x i y. Co mamy podobnie w elektrostatyce. Potencjał na powierzchni rury (falowodu) musi mięć różnice potencjałów, ale z drugiej strony pole na powierzchni rury jest zerowe, zatem potencjał nie zmienia się z punku do punktu na naszej rurze. Dochodzimy więc do wniosku, że pole elektryczne we wnętrzu rury jest zerowe. Podobnie dowodzimy dla pola magnetycznego.

Propagacja fal prowadzonych w falowodzie prostokątnym[edytuj]

Falowodem prostokątnym nazywamy falowód o wysokości a i szerokości b.

Wyznaczmy współrzędną zetową pola magnetycznego fali prowadzonej pole według równania, które wyprowadziliśmy w punkcie (19.32) jako drugie końcowe równanie, i w nim dokonajmy za tą współrzędną amplitudy odpowiednie podstawienia:

(19.36)

Zatem otrzymujemy rówanie różniczkowe, które jest zależne od funkcji f(x) i g(y) względem współrzędnych iksowych i igrekowych.

(19.37)

Równanie (19.37) możemy podzielić obustronnie przez funkcję, która jest iloczynem funkcji zależnej od współrzędnej iksowej f(x) i fukcji zależnej od współrzędnej igrekowej g(y), zatem dostajemy równanie wynikowe:

(19.38)

Z wiadomości o równaniach różniczkowych z pełną premedytacją możemy zapisać, tożsamość zależną od kx, ky, wedle wyglądu:

(19.39)

Patrząc na równanie różniczkowe (19.38) i równanie do niego odpowiednie (19.39), wtedy dostajemy układ dwóch równań różniczkowych, z których każda zależy od innej współrzędnej przestrzennej.

(19.40)
(19.41)

Stąd z równań (19.40) i (19.41) możemy wyznaczyć ich rozwiązania w postaci funkcji f(x) i g(x):

(19.42)
(19.43)

Gdy mamy rozwiązanie (19.42), to dla x=0, to wtedy mamy f(0)=A kxcos(kx 0)=A k_x=0, zatem otrzymujemy, że A=0, wtedy ta nasza wspomniana funkcja przechodzi w równanie:

(19.44)

Ale już dla x=a powinno być f(a)=0, a więc wtedy funkcja (19.44) przy tym warunku brzegowym jest spełniona, gdy stała kx jest zależna od liczby falowej n wedle:

(19.45)

Ostatecznie funkcja f(x) zdefiniowana wzorem (19.44) przy definicji stałej kx można napisać wedle sposobu:

(19.46)

Podobnie otrzymujemy dla fukcji g(x) (19.43), w której parametr D jest równy zero i jeszcze raz w której parametr ky jest zależny od dyskretnej zmiennej m, to go zapisujemy:

(19.47)

Zatem nasza funkcja (19.36), przy znajomości funkcji f(x) i g(y) i stałej kx (19.45), a także stałej ky (19.47), piszemy wedle:

(19.48)

Z równania (19.39), znając stałe kx (19.45)i ky (19.47), możemy wyznaczyć k, możemy podstawić do nich za te stałe, wtedy otrzymujemy kwadrat stałej k, z którego wyznaczymy samo k, zatem do dzieła:

(19.49)

Oznaczmy wielkość występująca w końcowym wzorze (19.49) wedle schematu:

(19.50)

i nazywamy go częstością kołową obcięcia. Zgodnie umową przyjmujemy, że a≥ b, to najniższą częstość obcięcia zatem jest równa wzorowi:

(19.51)

Częstości mniejsze od ω10 w falowodzie prostokątnym nie mogą się rozchodzić.

Liczba falowa fali prowadzonej jest równa na podstawie jej definicji (19.50), wtedy wzór (19.49) możemy zapisać wedle:

(19.52)

Jeśli mamy ω≥ωnm, to mamy do czynienia z zwykłą falą nietłumioną, a jeśli ω<ωnm, to wtedy z falą prowadzoną tłumioną. Gdy jest spełniony ten pierwszy warunek, to wtedy prędkość fazowa fali prowadzonej jest wyrażona wzorem:

(19.53)

I zawsze jest ona większa od prędkości światła c.

Prawdziwą prędkością rozchodzenia się energii fali elektromagnetycznej jest to jej prędkość grupowa liczoną jak poniżej:

(19.54)

Gdy spełniona jest zależność ωnm<ω wtedy prędkość grupowa jest rzeczywista mniejsza niż prędkość światła, co jest zgodnie ze szczególną teorią względności.

Fale prowadzone jako fala płaska rozchodząca się pod kątem[edytuj]

Tym razem nie będziemy rozpatrywali fali prowadzonej według równań Maxwella, ale załóżmy, że jednak mamy falę elektromagnetyczną płaską, która rozchodzi się pod pewnym kątem. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w falowodzie można zapisać w postaci wzoru jako kombinacji funkcji sinus i kosinus według wzoru:

(19.55)

Rozpatrzmy przypadek , to wtedy funkcję y (19.55) możemy zapisać wedle sposobu:

(19.56)

Dla funkcji (19.56), gdy zachodzi x=0, to wtedy mamy y(0)=A, ale ponieważ ta funkcja w tymże punkcie jest równa zero, to musi być A=0, bo zakładamy, że na ściankach naczynia są węzły fali stojącej. Zatem otrzymujemy odpowiednik wzoru (19.56) w tym przypadku:

(19.57)

A teraz sprawdźmy dla x=a, dla funkcji (19.57), która w tym punkcie powinna przyjmować wartość zero, bo też mamy węzeł, zatem dostajemy definicję współrzędnej iksowej liczby falowej k'x.

(19.58)

Podobnie liczymy dla . Współrzędna liczby falowej wzdłuż osi z jak przyjmować będziemy jest równa k. Zatem nasz wektor falowy fali płaskiej występujący w równaniu (19.55) jest wyrażony przez:

(19.59)

Długość liczby falowej zdefiniowanej w punkcie (19.59) jest zależna od liczby dyskretnych n i m, a także od wymiarów naszego falowodu a i b. Ponadto ona jest również zależna od współrzędnej zetowej fali elektromagnetycznej k w tym naszym falowodzie.

(19.60)

Jej częstość kołowa, bo fala płaska porusza się z prędkością c jest wyrażona wzorem w zależności od długości liczby falowej napisanej w (19.60).

(19.61)

Wtedy w równaniu (19.61) możemy wyznaczyć parametr k2c2, który ostatecznie przyjmuje postać:

(19.62)

I jeśli dodatkowo oznaczymy w równaniu (19.62) wielkość ωnm, której definicja jest taka sama jak w punkcie (19.50), wtedy otrzymamy taki sam wzór na parametr k dla fali płaskiej jak w punkcie (19.52) dla fali prowadzonej. Kat między liczbą falową a jest wyrażony przez:

(19.63)

Ponieważ fala płaska porusza się pod kątem w falowodzie z prędkością światła, zatem nasza prędkość wzdłuż falowodu vg jest zależna od ω a także od częstotliwości kołowej obcięcia ωnm, zatem tą prędkość definiujemy:

(19.64)

Co jest prędkością grupową fali prowadzonej (19.54) fali elektromagnetycznej w falowodzie . Prędkość fazowa jest równa prędkości czoła fali, a zatem:

(19.65)

Te same wzory otrzymaliśmy rozważając fale prowadzone rozchodzące się w falowodzie, tak samo i zwykłe fale płaskie poruszające się po katem od osi falowodu polegające, że fale elektromagnetyczne odbijają się w sposób doskonały od przewodnika na powierzchni naszego falowodu, bo powierzchnia falowodu jest doskonałym przewodnikiem.

Rozchodzenie się fal prowadzonych w koncentrycznej linii transmisyjnej[edytuj]

W koncentryczna linia transmisyjna składa się z długiego prostego drutu, który ma promień "a", otoczonej powłoką walcowatą o promieniu "b".

W koncentrycznej linii transmisyjnej mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne, czyli dla których zachodzi E0z=0 i B0z=0, chociaż to nie jest falowód, bo we wnętrzu rury występuje długi prosty drut, i jest nadal spełnione twierdzenie, że w pustym falowodzie nie mogą rozchodzić się fale elektromagnetyczne.

Równanie fali w linii koncentrycznej jest takie same, tylko nie ma składowej zetowej pola elektrycznego i magnetycznego, zatem można przepisać równania falowe wynikające z praw elektrodynamiki Maxwella dla falowodów, z tym zaznaczeniem że nie ma fal podłużnych dla obu pól, po przepisaniu tych równań, otrzymujemy, że:

(19.66)

Widzimy, że pierwsze i czwarte oraz drugie i trzecie równanie są to równania ze sobą równoważne, pierwsze równanie przedstawia dywergencję amplitudy fali w linii koncentrycznej, a trzecie sanowi jakoby rotację wektora tej amplitudy. jeśli wektor amplitudy pola elektrycznego przedstawimy jako gradient pewnej wielkości skalarnej, to wtedy rotacja tego wektora jest automatycznie równa zero, to samo postępujemy z równaniem drugim i czwartym w układzie równań (19.66).

Są to dokładnie prawa elektrostatyki i magnetostatyki dla dwóch wymiarów tylko z tym zaznaczeniem, że dla współrzędnych ich amplitud fali elektrycznej i magnetycznej. Dokładnie te równania można otrzymać dla nieskończonej linii naładowanej, w której płynie prąd. Które można zapisać w postaci całkowej znanych z elektrostatyki i magnetostatyki. Z równań dla elektrostatyki dla ich amplitud z jej całkowej postaci można otrzymać:

(19.67)

Ponieważ nie ma współrzędnej zetowej dla tej fali, bo mamy w tym przypadku falę poprzeczną, czyli na pewno jest spełniony wzór (17.24), zatem amplituda fali pola magnetycznego zapisujemy wedle sposobu:

(19.68)
  • Gdzie: i są to wersory układu biegunowego.

A zatem równania fali dla koncentrycznej linii transmisyjnej dla pola elektrycznego i magnetycznego są:

(19.69)
(19.70)