Elektrodynamika klasyczna/Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Zasada wariacyjna w elektromagnetyzmie

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy tutaj wyprowadzać zasady elektromagnetyzmu z zasad wariacyjnych, na podstawie tego, aby funkcjonał S przyjmował wartość najmniejszą.

Zasada wariacyjna a równania tensorowe elektromagnetyzmu z definicją czteroprądu[edytuj]

Gęstość Lagrangianu w elektromagnetyzmie definiujemy przy pomocy tensora pola elektromagnetycznego (26.9) i przy pomocy definicji czteroprądu objętościowego napisanej wedle schematu (26.5).

(27.1)

Całką działania nazywamy wyrażenie zdefiniowane na podstawie definicji gęstości lagrangianu (27.1) w postaci:

(27.2)

Wariacji całki działania (27.2) zakładamy, że ona jest równa zero, wtedy na podstawie tego powinniliśmy otrzymać tensorowe równanie Maxwella (26.12), zatem sprawdźmy, czy o nam wyjdzie.

(27.3)

W wariację funkcjonału S (27.2), czyli δS (27.3), liczymy względem gęstości objętościowej czteroprądu (26.5) (Jμ), czeropotencjału i tensora pola elektromagnetycznego. Idąc dalej wykorzystajmy wzór na tensor pola elektromagnetycznego wyznaczony w zależności od czteropotencjału, czyli wzoru (26.34).

(27.4)

W obliczeniach (27.4) wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania, wiedząc że tensor pola elektromagnetycznego Fμν (26.9) jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zamianie wskaźników miejscami w tym wspomnianym tensorze przed tym tensorem pojawia się znak minus, czyli Fμν=-Fνμ.

(27.5)

Następnym krokiem jest wykorzystanie definicji pochodnej iloczynu dwóch funkcji do pierwszego wyrazu w obliczeniach (27.5), zatem w takim przypadku dostajemy równość:

(27.6)

Dalszym krokiem jest rozdzielenie w wariacji (27.6) na dwie osobne całki z twierdzenia na całkę sumy dwóch wyrażeń podcałkowych jako sumę całek, w których występują te wyrażenia podcałkowe, wtedy mamy wniosek:

(27.7)

Pierwsza całka w obliczeniach (27.7) jest zawsze równa zero, ponieważ można go rozpisać względem całkowania po zmiennej xμ, i zakładamy, że wariancja czteropotencjału na końcach xμ2 i xμ1 jest równa zero, co możemy powiedzieć, że:

(27.8)

Jeśli wykorzystamy nasz warunek (27.8) do wariacji δS (27.7), zatem to samo wyrażenie możemy przepisać po wyzerowaniu się według przeprowadzonego naszego dowodu powyżej, zatem tą naszą wspomnianą tożsamość piszemy w postaci:

(27.9)

Aby wariancja funkcjonału (27.9) była równa zero dla dowolnej wariacji wielkości czteropotencjału Aμ, to wyrażenie podcałkowe w ostatnim wniosku powinno być równa zero, zatem na tej podstawie powinna zachodzić tożsamość:

(27.10)

Widzimy, że równanie (27.10) jest równoważne z równaniem (26.12), zatem gęstość lagrangianu (27.1) jest poprawnym Lagrangianem.

Równania ruchu w polu elektromagnetycznym według rachunku wariacyjnego[edytuj]

Lagrangian w elektrodynamice relatywistycznej definiujemy przy pomocy potencjału skalarnego φ i wektorowego przy prędkości cząstki równym przy rozpatrywanej cząstce o ładunku o wartości q, przedstawiamy według:

(27.11)

Pęd uogólniony w elektrodynamice jest napisany jako pochodna cząstkowa Lagrangianu (27.11) względem wektora prędkości, mamy:

(27.12)

Pęd uogólniony w polu elektromagnetycznym jest równy sumie pędu klasycznego znanej ze szczególnej teorii względności i iloczynowi ładunku cząstki i potencjału wektorowego tego pola. Zatem dochodzimy do wniosku, że ten pęd to nie jest zwykły iloczyn masy relatywistycznej i prędkości cząstki, zachodzi tak tylko w polu bez potencjału wektorowego. Równanie wariacyjne Eulera-Lagrange'a dla lagrangianu (27.11) jest dokładnie takie same w (STW-1.464). W tym wzorze w pierwszym wyrazie pod pochodną zupełną względem czasu występuje pęd uogólniony cząstki (27.12). Zatem rozważając prawie tak samo jak w tym rozdziale, w którym znajduje się ostatnio wspomniany wzór, wtedy dochodzimy do wzoru na równanie ruchu cząstki punktowej (STW-1.473), tylko po lewej stronie wzoru występuje nie siła klasyczna Newtona według drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko siła relatywistyczna Einsteina. Co kończy dowód, że z zasady najmniejszego działania przy definicji Lagragianu (27.11) wynika dobrze nam znane równanie ruchu.

Lagrangian relatywistyczny cząstki w przybliżeniu małych prędkości[edytuj]

Lagrangian relatywistyczny cząstki punktowej o ładunku q (27.11) dla prędkości o wiele mniejszej od prędkości światła, czyli wtedy zachodzi , wtedy na podstawie tego pierwiastek w nim występujący można rozwinąć w szereg Taylora, wtedy dla tego przybliżenia dostajemy:

(27.13)

W wyrażeniu przybliżonym (27.13) w stosunku do jej odpowiednika klasycznego (STW-1.439) różni się o stałą -m0c2, która w tym przypadku nie odgrywa żadnej roli, ponieważ w równaniu Eulera-Lagrange'a (STW-1.464) występują pochodne cząstkowe i ta stała według twierdzenia o pochodnej sumy nic nie wnosi we końcowym wniosku.

Relatywistyczny hamiltonian w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym, korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu relatywistycznego (27.11) dla cząstki w polu elektromagnetycznym, a także z definicji pędu uogólnionego (27.12) dla pola elektromagnetycznego:



(27.14)

Widzimy, że wedle końcowych obliczeń przeprowadzonych w punkcie (27.14) hamiltonian ładunku punktowego, to jest po prostu jego energia mechaniczna (całkowita), która jest sumą całkowitej energii relatywistycznej cząstki mc2 i jego energii potencjalnej qφ.

Lagrangian a czterowektor potencjału i różniczki zmiany położenia cząstki w czasoprzestrzeni[edytuj]

Wykorzystując definicję czteropotencjału kowariantnego (26.33) i definicję położenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego w szczególnej teorii względności, wtedy definicję Lagrangianu (27.11) możemy zapisać w równoważnej postaci:

(27.15)

Wedle przekazów z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (27.15) iloczyn wspomnianego Lagrangianu L i różniczki czasu, w której badamy ruch badanej cząstki jest wyrażony:

(27.16)

Całka działania Lagrangianu (27.15) jest całką naszego Lagrangianu względem czasu i na podstawie wzoru (27.16) jest równa jego przedstawieniu:

(27.17)

Równanie ruchu w czteroprzestrzeni Minkowskiego[edytuj]

Zasada najmniejszego działania stwierdza, że względem funkcjonału (27.17), wariacja tegoż obiektu jest równa zero, tzn.:

(27.18)

Z definicji różniczki wariacji wariację (27.18) po jego działaniu na wnętrze jego nawiasu, stwierdzamy, że na pewno zachodzi:

(27.19)

We wzorze (27.19) stosujemy definicję kowariantnego czterowektora prędkości , a także całkujemy przez części jego pierwszy i drugi wyraz, dalej grupując odpowiednio wyrazy, otrzymujemy:

(27.20)

Drugi wyraz w (27.20) jest równy zero, bo przy wariowaniu całki należy uwzględnić, że współrzędne mają ustalone wartości na końcach przedziału całkowania. Dalej należy uwzględnić tożsamości:

(27.21)
(27.22)

Jeśli podstawimy tożsamości (27.21) i (27.22) do (27.20), to otrzymamy do tego ostatniego równoważny wzór:

(27.23)

Ponieważ we wzorze (27.23) wskaźniki μ i ν są wskaźnikami niemymi, więc w trzecim jego wyrazie pod całką (27.23) zamieniamy miejscami te wskaźniki, a także dla wyrazu drugiego i trzeciego stosujemy wzór wynikająca z defiicji kontrawariannej czteroprędkości, zatem na podstawie wyżej wymienionej tożsamości otrzymujemy wzór:

(27.24)

Ponieważ we wzorze (27.24) rozpatrujemy dowolne wariacje zmiennej μ, dla której cała całka jest równa zero, wtedy wyrażenie podcałkowe musi być zawsze być równa zero, zatem:

(27.25)

Wykorzystujemy definicję tensora pola elektromagnetycznego podwójnie kowariantnego przy pomocy kowariantnego czteropotencjału (26.33), czyli tożsamości fizycznej równoważnej do (26.34), wtedy wzór (27.25) przyjmuje bardziej uproszczoną postać:

(27.26)

Jeśli wprowadzimy definicję czteropędu w szczególnej teorii względności we wzorze (27.26) i wykorzystamy definicję czterosiły znanej w szczególnej teorii względności i także wykorzystamy, że tensor pola elektromagnetycznego (26.9) jest tensorem antysymetrycznym, wtedy mamy wniosek:

(27.27)

Ten sam wzór co (27.27), który otrzymaliśmy z zasady wariacyjnej, napisaliśmy w punkcie (26.61), którego zgodność ze szczególną teorią względności i z definicja siły Lorentza (8.3) udowodniliśmy wykorzystując definicję tensora pola elektromagnetycznego (26.9). Zatem te dwie metody prowadzą do takiej samej definicji czterowektora siły Kμ.