Elektrodynamika klasyczna/Prądy związane z polem namagnesowanego ciała

Prądy związane z polem namagnesowanego ciała

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Pod wpływem pola magnetycznego zewnętrznego, powstają tak zwane prądy związane, które modyfikują z kolei pole otaczające to nasze ciało i wewnątrz tego ciała nazywanego ciałem spolaryzowanym magnetycznie.

Prądy związane w namagnesowanej substancji pod wpływem pola magnetostatycznego

Zajmować się będziemy się ciałem spolaryzowanym magnetycznie pod pływem pola magnetycznego zewnętrznego, wiemy jednak, że potencjał magnetyczny znajdujący się w pewnym punkcie jest wytwarzany przez prąd kołowy mający pewien moment magnetyczny ${\vec {\mu }}\;$, jest on opisany wzorem (10.25). Jeśli ciało składa się z nieskończenie małych momentów dipolowych $d{\vec {\mu }}\;$, a w praktyce bardzo małych, to potencjał wektorowy jest opisany:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{d{\vec {\mu }}\times {\hat {\vec {R}}}} \over {R^{2}}}\;$

(12.1)

Moment magnetyczny nieskończenie małego elementu możemy wyrazić poprzez jego magnetyzację (11.29) w tymże punkcie:

$d{\vec {\mu }}={\vec {\mathrm {M} }}dV\;$

(12.2)

Podstawiając wzór (12.2) do (12.1) za nieskończenie mały moment dipolowy i całkując go po całej objętości ciała spolaryzowanego magnetycznie, wtedy potencjał wektorowy w danym punkcie jest równy:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left({\vec {\mathrm {M} }}\times {{\hat {\vec {R}}} \over {R^{2}}}\right)dV\;$

(12.3)

Jednakże korzystając ze wzoru (7.4), wtedy potencjał wektorowy (12.3) możemy przepisać po tych omawianych podstawieniach:

${\vec {A}}({\vec {r}})=-{{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left({\vec {\mathrm {M} }}\times \left(\nabla {{1} \over {R}}\right)\right)dV\;$

(12.4)

Aby dokonać następnych przekształceń dokonajmy obliczeń pomocniczych, które będą bardzo nam potrzebne do przekształcenia całki występującej w (12.4):

$\nabla \times {{\vec {\mathrm {M} }} \over {R}}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\nabla _{j}{{\mathrm {M} _{k}} \over {R}}={\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}\mathrm {M} _{k}\nabla _{j}{{1} \over {R}}+{\vec {k}}_{i}\epsilon _{ijk}{{1} \over {R}}\nabla _{j}\mathrm {M} _{k}=\nabla {{1} \over {R}}\times {\vec {\mathrm {M} }}+{{\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}} \over {R}}=-{\vec {\mathrm {M} }}\times \nabla {{1} \over {R}}+{{\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}} \over {R}}$
$\nabla \times {{\vec {\mathrm {M} }} \over {R}}=-{\vec {\mathrm {M} }}\times \nabla {{1} \over {R}}+{{\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}} \over {R}}\Rightarrow {\vec {\mathrm {M} }}\times \nabla {{1} \over {R}}=-\nabla \times {{\vec {\mathrm {M} }} \over {R}}+{{\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}} \over {R}}$

(12.5)

Wzór ostatni wynikowy wynikających z obliczeń na pochodnych (12.5) podstawiamy do równania (12.4) za jego funkcję podcałkową, wtedy dostajemy inne równoważne równanie na potencjał wektorowy wytwarzanych przez układ dipoli magnetycznych w ciele spolaryzowanych, zapisujemy te dysputy wedle:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int \left\{-\left(\nabla \times {{\vec {\mathrm {M} }} \over {R}}\right)dV+{{1} \over {R}}\left(\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}\right)dV\right\};$

(12.6)

Udowodnijmy pewny lemat, korzystające z twierdzenia Ostrogradskiego Gaussa zastępując w tym twierdzeniu wektor ${\vec {v}}\;$ przez wektor w postaci iloczynu wektorowego ${\vec {v}}\times {\vec {c}}\;$, dostając:

$\int \nabla {\vec {v}}dV=\oint vd{\vec {S}}\Rightarrow \int \nabla \left({\vec {v}}\times {\vec {c}}\right)dV=\int \left({\vec {v}}\times {\vec {c}}\right)d{\vec {S}}\Rightarrow \int \nabla \left({\vec {v}}\times {\vec {c}}\right)dV=-{\vec {c}}\oint {\vec {v}}\times d{\vec {S}}\;$

(12.7)

Jeszcze udowodnimy następny wniosek tak by przekształcić lewą stronę funkcji podcałkowej ostatniej równości (12.7):

$\nabla \left({\vec {v}}\times {\vec {c}}\right)=\epsilon _{ijk}\nabla _{i}v_{j}c_{k}=c_{k}\epsilon _{kij}\nabla _{i}v_{j}={\vec {c}}\left(\nabla \times {\vec {v}}\right)\;$

(12.8)

Wniosek (12.8) używamy do końcowego wzoru (12.7) do jego lewej strony dla funkcji podcałkowej, i z dowolności stałej wektorowej ${\vec {c}}\;$ możemy napisać, że:

${\vec {c}}\int \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)dV=-{\vec {c}}\oint {\vec {v}}\times d{\vec {S}}\Rightarrow \int \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)dV=-\oint {\vec {v}}\times d{\vec {S}}\;$

(12.9)

Wniosek (12.9) możemy wykorzystać dla pierwszej całki w (12.6) zamieniając całkowaniem po objętości, którą ogranicza pewna zamknięta powierzchnia, na całkowanie po tej powierzchni, zatem ten wzór możemy zapisać:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}} \over {R}}dV+{{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {\mathrm {M} }}\times {\vec {n}}} \over {R}}dS\;$

(12.10)

Z drugiej strony potencjał wektorowy zależy od prądów objętościowych i powierzchniowych, czyli łącząc wzór na potencjał wektorowy pochodzących od prądów objętościowych ale związanych i potencjał wekorowy pochodzący od prądów powierzchniowych, to całkowity potencjał wektorowy będący sumą tychże wspomnianych potencjałów wektorowych jest zapisywany:

${\vec {A}}({\vec {r}})={{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {J}}_{zw}} \over {R}}dV+{{\mu _{0}} \over {4\pi }}\int {{{\vec {K}}_{zw}} \over {R}}dS\;$

(12.11)

Możemy porównać wzory (12.11), który wynika z bezpośredniej definicji potencjału wektorowego w danym punkcie pochodzących od prądów objętościowych i powierzchniowych z (12.10). Wiedząc że cały układ ciała spolaryzowanego składa się z małych dipoli magnetycznych w praktyce bardzo małych, a matematycznie uważa się je za nieskończenie małe, zatem prądy powierzchniowe i objętościowe ale związane przedstawiają się według:

${\vec {J}}_{zw}=\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}\;$

(12.12)

${\vec {K}}_{zw}={\vec {\mathrm {M} }}\times {\vec {n}}\;$

(12.13)

Doszliśmy do wniosku, że prądy związane powierzchniowe i objętościowe zależą bardzo silnie od namagnesowania badanej substancji.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Ampere'a w materiałach magnetycznych

Całkowite natężenie prądu w magnetycznej substancji jest równe prądom objętościowych związanych i swobodnych w danym punkcie przestrzeni wynikających z sumowania natężeń prądów, a to z addytywności infinitezymalnych ładunków płynących w bardzo małej objętości dV.

${\vec {J}}={\vec {J}}_{zw}+{\vec {J}}_{sw}\;$

(12.14)

Prawo Stokesa dla pola magnetycznego (9.14), który jest definicją całkowitego prądu objętościowego płynącego w danym elemencie nieskończenie małej objętości, możemy napisać:

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}\Rightarrow \nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}_{zw}+{\vec {J}}_{sw}\right)\;$

(12.15)

Dokonując pewnych przekształceń w (12.15), biorąc wszystkie wyrazy stojące po prawej stronie przenosząc na jej lewą stronę oprócz gęstości prądów związanych i wykorzystując tożsamość (12.12), wtedy można:

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\left(\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}+{\vec {J}}_{sw}\right)\Rightarrow \nabla \times \left({\vec {B}}-\mu _{0}{\vec {\mathrm {M} }}\right)=\mu _{0}{\vec {J}}_{sw}\Rightarrow \nabla \times \left({{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {\mathrm {M} }}\right)={\vec {J}}_{sw}\;$

(12.16)

Z definiujmy natężenie pola magnetycznego ${\vec {H}}\;$ przez indukcję pola magnetycznego i namagnesowania w danym punkcie przestrzeni:

${\vec {H}}={{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {\mathrm {M} }}\;$

(12.17)

co jest równoważne wyznaczając z (12.17) wektor indukcji pola magnetycznego, który jest funkcją jak się przekonamy natężenia pola magnetycznego i namagnesowania ciała w danym punkcie przestrzeni:

$\mu _{0}\left({\vec {H}}+{\vec {\mathrm {M} }}\right)={\vec {B}}\;$

(12.18)

Podstawmy definicję natężenia pola magnetycznego (12.17) do końcowego wzoru (12.16), wtedy dostajemy wyrażenie:

$\nabla \times {\vec {H}}={\vec {J}}_{sw}\;$

(12.19)

Prawo (12.19), które jest słuszne dla spolaryzowanego magnetycznie ciała w postaci różniczkowej, to najpierw całkując je obustronnie po powierzchni ograniczonej przez pewną zamknięty kontur i zamieniając lewą stronę całki wedle twierdzenia Stokesa na całkowanie po tym konturze i z definicji gęstości prądu elektrycznego (8.6) dla prądów związanych wspomniane prawo zapisujemy w postaci całkowej:

$\int _{K}\nabla \times {\vec {H}}d{\vec {S}}=\int {\vec {J}}_{sw}d{\vec {S}}\Rightarrow \oint {\vec {H}}d{\vec {l}}=I_{sw}\;$

(12.20)

Jest to prawo Ampere'a dla spolaryzowanego magnetycznie ciała pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego.

Natężenie pola magnetycznego a prawo Gaussa

Wyznaczmy czemu jest równe dywergencja natężenia pola magnetycznego zdefiniowanego wedle wzoru (12.17), korzystając z prawa Gaussa dla tego samego pola (9.7) możemy udowodnić, że ono jest równe dywergencji namagnesowaniu ciała określających w danym punkcie ze znakiem minus:

$\operatorname {div} {\vec {H}}=\operatorname {div} \left({{1} \over {\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {\mathrm {M} }}\right)={{1} \over {\mu _{0}}}\operatorname {div} {\vec {B}}-\operatorname {div} {\vec {\mathrm {M} }}=-\operatorname {div} {\vec {\mathrm {M} }}\;$

(12.21)

W (12.21) nie jest oczywiste, że $\operatorname {div} {\vec {M}}\;$ jest równe dla ogólności zero, a jak się można przekonać jest ono równe zero dla magnetyków liniowych. Prawo (12.21) możemy zapisać w postaci całkowej wedle:

$\int _{V}\operatorname {div} {\vec {H}}=-\int _{V}\operatorname {div} {\vec {\mathrm {M} }}\Rightarrow \oint {\vec {H}}d{\vec {S}}=-\oint {\vec {\mathrm {M} }}d{\vec {S}}\;$

(12.22)

Warunki brzegowe a substancje magnetyczne

(Rys. 12.1) Natężenie pola magnetycznego a magnetyzacja

Obierzmy sobie pewien bardzo mały prostopadłościan, którego podstawy są równoległe do granicy między dwoma ośrodkami magnetycznymi na małym wycinku powierzchni tej granicy, wtedy ten wycinek przypomina płaską płaszczyznę, na którym jest położony prostopadłościan z czego będziemy korzystali, a ścianki boczne są do tej powierzchni prostopadłe, zakładamy, że pola wszystkich ścianek dążą do zera, którego podstawy mają takie pole że stosunek pola dowolnej ścianki bocznej przez pole dowolnej podstawy dąży do zera, zatem jedynymi niezerowymi strumieniami natężenia pola magnetycznego i namagnesowania są strumienia pochodzące od podstaw, które będziemy uwzględniać, bo strumienia pochodzące od podstaw są nieskończenie duże od strumieni pochodzących od ścianek bocznych, zatem prawo wedle końcowego wzoru (12.22) przy pominięciu wyrazów pochodzące od ścianek bocznych, bo ich pola są nieskończenie małe od pól podstaw, a mianowicie też ich strumienie, zatem zapisujemy prawo Gaussa dla naszego prostopadłościanu:

$H_{nad}^{\bot }S-H_{pod}^{\bot }S=-(\mathrm {M} _{nad}^{\bot }S-\mathrm {M} _{pod}^{\bot }S)\Rightarrow H_{nad}^{\bot }-H_{pod}^{\bot }=-(\mathrm {M} _{nad}^{\bot }-\mathrm {M} _{pod}^{\bot })\;$

(12.23)

(Rys. 12.2) Zastosowanie prawa Ampera

Obierzmy sobie mały prostokąt, którego powierzchnia jest prostopadła do powierzchni małego wycinka granicy między ośrodkami spolaryzowanymi, tak by ten wycinek przypominał płaską płaszczyznę, z czego skorzystamy na rysunku obok:

$H_{nad}^{||}l-H_{pod}^{||}l=I_{sw}\;$

(12.24)

Gęstość prądu powierzchniowego (8.10), które też można zapisać równoważnie w postaci, gdy l jest małe, ale na tyle duże od boków bocznych prostokąta, czyli tą wielkość zapisujemy wedle sposobu $K_{sw}={{I_{sw}} \over {l}}\;$, to podzielmy równanie (12.24) przez długość boku górnego lub dolnego, które są sobie równe, czyli przez l, a zatem z wspomnianej definicji gęstości prądu powierzchniowego, jest:

$H_{nad}^{||}-H_{pod}^{||}=K_{sw}\;$

(12.25)

Równanie (12.25) możemy również zapisać w postaci wektorowej:

${\vec {H}}_{nad}^{||}-{\vec {H}}_{pod}^{||}={\vec {K}}_{sw}\times {\vec {n}}\;$

(12.26)

• gdzie: ${\vec {n}}\;$ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny na której płynie prąd na granicy pomiędzy dwoma ośrodkami.

Ciała magnetyczne liniowe, podatność i przenikalność magnetyczna

Zajmować się tu substancjami, w których występuje liniowe zachowanie natężenia pola magnetycznego od jej magnetyzacji dla ciała spolaryzowanego magnetycznie:

${\vec {\mathrm {M} }}=\chi {\vec {H}}\;$

(12.27)

• gdzie χ jest to podatność magnetyczna dla pola magnetycznego.

Z definicji indukcji magnetycznej, zależności od namagnesowania i natężenia pola magnetycznego (12.18) można je zapisać wiedząc, że namagnesowanie ciała w danym punkcie jest według (12.27), zapisujemy go wynikających z jego definicji:

${\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {H}}+{\vec {\mathrm {M} }}\right)=\mu _{0}\left({\vec {H}}+\chi {\vec {H}}\right)=\mu _{0}(1+\chi ){\vec {H}}\;$

(12.28)

Z definiujmy sobie względną przenikalność magnetyczną występującą w (12.28) wedle sposobu:

$\mu _{r}=1+\chi \;$

(12.29)

Wyrażenie na indukcję pola magnetycznego w zależności od jego natężenia (12.28) przy definicji względnej przenikalności magnetycznej (12.29) można zapisać:

${\vec {B}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}\;$

(12.30)

Jeśli zdefiniujemy przenikalność magnetyczną ośrodka liniowego:

$\mu =\mu _{0}\mu _{r}\;$

(12.31)

wtedy wzór (12.30) na podstawie definicji przenikalności magnetycznej (12.31) można zapisać:

${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}\;$

(12.32)

Jak widać, że kierunek i zwrot wektora indukcji magnetycznej i natężenia pola magnetycznego są ze sobą zgodne dla ciał magnetycznych linowych.

Prąd objętościowy zdefiniowany w zależności od jego magnetyzacji jest napisany wedle wzoru (12.12), co korzystając ze wzoru (12.27) dla ciał liniowych magnetycznie, powiemy:

${\vec {J}}_{zw}=\nabla \times {\vec {\mathrm {M} }}=\nabla \times \left(\chi {\vec {H}}\right)=\chi \nabla \times {\vec {H}}=\chi J_{sw}\;$

(12.33)

Widzimy, że wedle wniosków wynikających z (12.33), gdy nie ma prądów swobodnych objętościowych, to gęstość prądów związanych objętościowych też jest równa zero.